Xem mẫu

  1. Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 11 Các Bài Toán V Đ ng C u Vành Cho các vành X,Y . Ánh x f : X → Y là đ ng c u vành n u ∀x1 , x2 ∈ X thì : f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) và f (x1 x2 ) = f (x1 ) · f (x2 ) Nói m t cách v n t t : Ánh x f gi a hai vành là đ ng c u vành (hay đơn gi n hơn : đ ng c u !) n u f b o toàn hai phép toán có trong vành. Đ ng c u vành f đư c g i là đơn c u n u ánh x f đ ng th i là đơn ánh. Đ ng c u vành f đư c g i là toàn c u n u ánh x f đ ng th i là toàn ánh. Và đ ng c u vành f đư c g i là đ ng c u n u ánh x f đ ng th i là song ánh. Hi n nhiên f là đ ng c u ⇔ f đ ng th i là đơn c u và toàn c u. Ta nh c l i sau đây m t vài k t qu đáng đ ý v đ ng c u vành, thư ng đư c s d ng trong các bài toán liên quan đ n đ ng c u vành. • H t nhân c a m i đ ng c u vành f đư c đ nh nghĩa là : ker f = f −1 (0) luôn là m t Iđêan. K t qu này cho phép chúng ta, khi ch ng minh b ph n khác r ng A là Iđêan c a vành X, có th xác đ nh m t đ ng c u f : X → Y , v i Y là vành nào đó, mà ker f = A. • Đ ng c u vành f : X → Y là đơn c u ⇔ ker f = 0. K t qu này cho phép chúng ta, thay cho vi c ki m tra f đơn ánh, thì ch c n tính h t nhân ker f . 1
  2. • N u f : X → Y là toàn c u vành thì t n t i và duy nh t đ ng c u f : X/Kerf → Y sao cho f = f · p trong đó p là phép chi u p : X → X/ ker f . K t qu này cho phép ta khi ch ng minh v s t n t i m t đ ng c u t m t vành thương X/A t i vành Y nào đó ta ch c n thi t l p m t toàn c u f : X → Y mà ker f = A. • N u f : X → Y là đ ng c u thì f −1 : Y → X là đ ng c u. K t qu này cho th y r ng quan h đ ng c u c a các vành là quan h đ i x ng và khi k t h p v i các tính ch t ph n x , b c c u v n có thì quan h đ ng c u là quan h tương đương. Các bài toán v đ ng c u vành, trư c h t là các bài toán ki m tra tính đ ng c u, đơn c u hay đ ng c u c a m t ánh x nào đó gi a các vành. Ví d 1 Cho vành X và End(X) là vành các t đ ng c u c a nhóm (X, +). V i m i ph n t a ∈ X, xác đ nh ánh x ha : X → X mà ha (x) = ax, ∀x ∈ X Ch ng minh r ng : 1. ∀a ∈ X thì ha ∈ End(X) và ánh x ϕ : X → End(X) mà ϕ(a) = ha , ∀a ∈ X là đ ng c u vành. 2. Ch ng minh ϕ là đơn c u n u vành X có đơn v . Gi i 1. Do tính ch t phân ph i c a phép nhân v i phép c ng trong vành X nên ∀a ∈ X : ha (x + y) = a(x + y) = ax + ay = ha (x) + ha (y), ∀x, y ∈ X t c ha : X → X là t đ ng c u nhóm, hay ha ∈ End(X). Đ ki m tra ánh x ϕ : X → End(X) mà ∀a ∈ X : ϕ(a) = ha là đ ng c u vành, ta c n ki m tra v i m i a, b ∈ X thì : ha+b = ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) = ha + hb (1) ha·b = ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) = ha · hb (2) Vì các v c a các đ ng th c (1), (2) đ u là các ánh x t X vào X, đ ki m tra chúng b ng nhau, ta ch c n ki m tra chúng b ng nhau t i m i đi m c a mi n xác đ nh X. Th t v y, ∀x ∈ X : ha+b (x) = (a + b)x = ax + bx = ha (x) + hb (x) = (ha + hb )(x), và hab (x) = (ab)x = a(bx) = a · hb (x) = ha · hb (x) = (ha · hb )(x) V y ta có đpcm ; t c ϕ là đ ng c u vành. 2
  3. 2. Đ ch ng minh ϕ là đơn c u ta tính ker ϕ : ker ϕ = {a ∈ X : ha ≡ 0} = {a ∈ X : ha (x) = 0, ∀x ∈ X} = {a ∈ X : ax = 0, ∀x ∈ X} ⊂ {a ∈ X : a · 1 = 0} = {0} V y ker ϕ = 0, t c ϕ đơn c u khi X có đơn v 1 Ví d ti p sau đây ch ra m t cách ki m tra Iđêan mà không dùng t i đ nh nghĩa hay các tiêu chu n v Iđêan, đ ng th i cũng ch ra cách xác l p đ ng c u t m t vành thương nh s d ng đ nh lý v toàn c u. Ví d 2 Cho R[x] là vành đa th c h s th c và A là t p t t c các đa th c nh n x = 1 làm nghi m. Ch ng minh A R[x] và vành thương R[x]/A là trư ng. Nh n xét : Đ c gi có th x lý ví d này b ng cách ki m tra tr c ti p A R[x], và đ ng th i A là Iđêan t i đ i đ có đư c k t qu R[x]/A là trư ng. Cũng có th s d ng đ nh lý Bê du nói r ng m i đa th c f (x) ∈ R[x] luôn đư c bi u di n dư i d ng f (x) = q(x)(x+1)+f (1), t đó đ th y r ng m i l p ghép f (x) + A ∈ R[x]/A có m t bi u di n duy nh t dư i d ng f (1) + A v i f (1) = r ∈ R; nh đó xác l p đ ng c u tr c ti p t R[x]/A → R. Tuy nhiên đây, ta mu n x lý ti t ki m hơn như sau: Gi i Xây d ng ánh x ϕ : R[x] → R, v i R là trư ng s th c, mà ∀f (x) ∈ R[x] thì ϕ(f ) = f (1). Hi n nhiên ϕ là ánh x . Đ ng th i ∀f (x), g(x) ∈ R[x] : ϕ(f + g) = (f + g)(1) = f (1) + g(1) = ϕ(f ) + ϕ(g) ϕ(f (x), g(x)) = f (1) · g(1) = ϕ(f ).ϕ(g) t c ϕ là đ ng c u vành. D th y ϕ là toàn ánh, vì ∀r ∈ R thì ch n f (x) = x+r −1, ta có ϕ(f ) = f (1) = 1+r −1 = r V y ϕ là toàn c u và cho ta : ker ϕ = {h(x) : ϕ(h) = h(1) = 0} = A R[x] và R[x]/A ∼ R, t c R[x]/A là trư ng. = Nh n xét: Trong ví d trên thay cho vi c ch ng minh tr c ti p R[x]/A là trư ng, ta đã xây d ng đ ng c u R[x]/A ∼ R. Như v y đây ta ch p nh n đi u : n u hai vành đ ng c u v i nhau thì = c u trúc đ i s trên hai vành y là như nhau. Th t ra, đi u đó còn đư c nhân r ng hơn như sau : N u đ ng th i trên c hai t p X và Y đ u có trang b hai phép toán c ng và nhân, và n u có t n t i m t song ánh ϕ : X → Y , b o toàn hai phép toán c ng và nhân (t c ∀x1 , x2 ∈ X thì ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ); ϕ(x1 x2 ) = ϕ(x1 ) · ϕ(x2 )) thì t X là vành, v i c u trúc nào, ta suy ra Y cũng là vành v i c u trúc đó và ngư c l i. Nói riêng X là trư ng ⇔ Y cũng là trư ng. Ví d 3 Ch ng minh r ng t p h p A các ma tr n có d ng a b A= : a, b ∈ R . −b a là trư ng v i hai phép c ng và nhân ma tr n. 3
  4. Nh n xét: Đ ý r ng m i ma tr n thu c A đư c xác đ nh b i m t c p s (a, b) dòng trên và "quan sát" các phép c ng và nhân ma tr n khi đ v t l i các dòng trên, ta nh n th y quy lu t c a nó th c ch t là quy lu t c ng và nhân các s ph c (đ c gi hãy t vi t ra đ xác nh n đi u đó !). Do v y đ x lý bài toán ta c n thi t l p m t song ánh, b o toàn phép toán t A lên trư ng s ph c (C; +, ·) Gi i Xây d ng ánh x ϕ:A→C a b → a + ib −b a B n đ c có th ki m tra tr c ti p r ng ϕ b o toàn c hai phép toán c ng và nhân, tương ng trên A và C. Hi n nhiên ϕ là song ánh vì v i m i s ph c a + ib ∈ C, t n t i và duy nh t m t a b ma tr n K = ∈ A mà ϕ(K) = a + ib. −b a V y t C là trư ng suy ra A là trư ng. M t d ng bài toán v đ ng c u vành cũng thư ng đư c xét t i là các bài xác đ nh s các đ ng c u t m t vành t i m t vành cho trư c, hay s các t đ ng c u c a chính m t vành. Ví d 4 Tìm t t c các t đ ng c u c a trư ng các s h u t . Nh n xét : Vi c tìm các t đ ng c u c a m t vành hay m t trư ng ph thu c vào tính ch t c u trúc c a vành hay trư ng đó. Đ i v i trư ng Q, d th y r ng nó có m t h sinh đơn gi n ch là ph n t 1 ∈ Q. Vì v y đ xác đ nh m t t đ ng c u f : Q → Q, ph i b t đ u v i s xác đ nh f (1) Gi i N u f : Q → Q là đ ng c u thì f (1) = f (1 · 1) = f (1).f (1) Suy ra : f (1) = 0 (1) f (1)(1 − f (1)) = 0 ⇔ f (1) = 1 (2) Đ ý r ng n u f là đ ng c u t Q → Q thì ta có th tính đư c f ( m ) qua f (1) v i m i n m n ∈Q Th t v y : Vì 1 1 1 f (1) f (1) = f (n · ) = n · f ( ) ⇒ f ( ) = n n n n f (1) Do đó : f ( m ) = f (m · n ) = m · f ( n ) = m · n 1 1 n = m n .f (1). Quay tr l i v i công th c (1), (2). 1. Khi f (1) = 0 thì theo (3) : f ( m ) = 0, n ∀ m ∈ Q tương ng v i k t qu này ta có đ ng n c u không θ. 2. Khi f (1) = 1 thì theo (3) : f ( m ) = n m n , ∀ m ∈ Q tương ng v i k t qu này ta có đ ng n c u đ ng nh t. V y có ch duy nh t hai t đ ng c u c a trư ng Q là đ ng c u θ và đ ng c u đ ng nh t. 4
  5. a b Ví d 5 : Cho M = : a, b ∈ R là vành v i hai phép c ng và nhân ma tr n (xem b a bài t p 5 §9). V i m i c p s r, s ∈ R, xác đ nh ánh x ϕs : M → R mà v i m i ma tr n r a b A= thì ϕs (A) = ra + sb. Tìm t t c các c p (r, s) sao cho ϕs là đ ng c u vành. r r b a Gi i D th y r ng v i b t kì c p r, s nào thì ϕs cũng b o toàn phép toán c ng. V y ϕs s là đ ng r r c u vành ⇔ ϕs b o toàn phép toán nhân, t c khi và ch khi v i m i c p ma tr n r a b c d A= ,B = b a d c thì : ϕr (A · B) = ϕr (A) · ϕs (B) s s r ⇔ r(ac + bd) + s(ad + bc) = (ra + sb)(rc + sd) ⇔ r(ac) + r(bd) + s(ad) + s(bc) = r2 (ac) + s2 (bd) + rs(ad) + rs(bc), ∀a, c, d. b,   r = r2 r = s = 0 ⇔ r = s2 ⇔ r = s = 1 s = rs r = 1 và s = −1  V y có t t c là 3 đ ng c u : ϕ0 : 0 M → R mà ϕ0 (A) = 0, 0 ∀A ∈ M a b ϕ1 : 1 M → R mà ϕ1 (A) = a + b, 1 ∀A = ∈M b a ϕ−1 : 1 M → R mà ϕ−1 (A) = a − b, 1 ∀A ∈ M Nh n xét: Th t ra 3 đ ng c u nói trên chính là t p t t c các đ ng c u có th có t M → R. Đ c gi hãy th tìm cách ch ng minh kh ng đ nh này th xem ? Và n u ví d trên yêu c u tìm t t c các đ ng c u vành t M → R thì b n s gi i như th nào ? Bài T p 1. Cho ϕ : X → Y là m t toàn c u vành. Ch ng minh r ng : (a) N u I X thì ϕ(I) Y ; và n u I là Iđêan nguyên t hay t i đ i (trong trư ng h p X, Y giao hoán có đơn v ) thì ϕ(I) cũng nguyên t hay t i đ i. (b) T n t i m t song ánh t t p các Iđêan c a Y t i t p các Iđêan ch a ker ϕ c a vành X. 2. Cho các t p các ma tr n c p hai sau: √ a b a√ b 3 A= : a, b ∈ Q ; B = : a, b ∈ Q 3b a b 3 a Ch ng minh r ng c A, B đ u là trư ng đ i v i hai phép toán c ng và nhân ma tr n. Kh ng đ nh A ∼ B đúng hay sai ? = 5
  6. 3. Tìm t t c các đ ng c u c a các vành sau : (a) T Z6 t i Z12 . (b) T Z15 t i Z9 . 4. Tìm t t c các t đ ng c u c a : (a) Vành các s nguyên Z (b) Vành Z20 các s nguyên môđun 20. (c) Trư ng các s th c R (d) Trư ng các s ph c C Bài 12 Các Bài Toán Ki m Tra Các Ph n T Kh Ngh ch, Ph n T B t Kh Qui Trong Vành Giao Hoán Có Đơn V . Các vành giao hoán có đơn v , đ c bi t là các mi n nguyên, đư c xem như là s t ng quát hóa c a vành Z các s nguyên, nên hoàn toàn có th trang b các y u t c a lí thuy t chia h t c a vành s nguyên và nghiên c u v chúng. Khái ni m chia h t trong vành giao hoán có đơn v đ c bi t trong mi n nguyên, đư c xác đ nh m t cách tương t như trong vành s nguyên. C th là, cho X là vành giao hoán, có đơn v 1 và a, b ∈ X. Ta nói a chia h t cho b hay a là b i c a b n u t n t i ph n t c ∈ X sao cho a = b · c. Khi đó ta cũng nói b chia h t a hay b là ư c c a a. Các kí hi u v "chia h t" hay "chia h t cho " đư c dùng như trong mi n nguyên Z; các tính ch t cơ b n c a m i quan h ư c, b i này trong Z v n đư c b o toàn trong vành giao hoán có đơn v b t kì, và chúng s đư c dùng v sau, m i khi c n đ n mà không c n ph i nh c l i. Ph n t kh ngh ch trong vành giao hoán có đơn v X là ph n t u ∈ X sao cho u là ư c c a đơn v 1. Nói cách khác u kh ngh ch ⇔ ∃v ∈ Xmà u · v = 1 Trong đ i s cơ s ta đã bi t r ng : t p U t t c các ph n t kh ngh ch c a m t mi n nguyên X l p thành m t nhóm đ i v i phép nhân. K t qu này hoàn toàn có th m r ng cho vành giao hoán có đơn v b t kì ; t c là n u X là vành giao hoán, có đơn v thì t p U các ph n t kh ngh ch c a X cũng l p thành m t nhóm đ i v i phép nhân. Vi c ch ng minh k t qu này là s "sao chép" nguyên xi phép ch ng minh v k t qu tương t trong mi n nguyên đư c trình bày trong giáo trình đ i s cơ s ; xin đư c dành cho b n đ c ki m ch ng. Ví d sau đây cho ta m t tiêu chu n ki m tra tính kh ngh ch c a ph n t u trong vành giao hoán có đơn v X, trong m i quan h v i các ph n t lũy linh 6
  7. Ví d 1 Trong vành giao hoán có đơn v X, ph n t x ∈ X đư c g i là lũy linh n u t n t i s t nhiên n > 0 sao cho xn = 0. Ch ng minh r ng : 1. N u x lũy linh thì 1 + x kh ngh ch. 2. Ph n t u ∈ X là kh ngh ch ⇔ v i m i ph n t lũy linh x thì u + x là kh ngh ch. Phân tích ban đ u : Đ ch ng minh 1+x kh ngh ch ta c n ch ra nó là ư c c a đơn v 1. Do tính lũy linh c a x mà t n t i n > 0 đ xn = 0, t đó (−x)n = 0 và 1 = 1−(−x)n là b i c a 1+x = 1− (−x) Gi i : 1. Do x lũy linh nên t n t i n > 0 đ xn = 0, do đó (−x)n = 0. Vì 1 = 1 − (−x)n = (1 + x)(1 + (−x) + · · · + (−x)n−1 ) nên hi n nhiên (1 + x)\1, t c (1 + x) kh ngh ch. 2. N u m i x lũy linh mà u + x kh ngh ch thì nói riêng v i x = 0 (là m t ph n t lũy linh), u = u + 0 là kh ngh ch. Bây gi n u u kh ngh ch và x lũy linh, ta c n ch ra u + x kh ngh ch. Ta s áp d ng 1, b ng cách phân tích u + x = u(1 + u−1 x), v i chú ý r ng x lũy linh thì u−1 x cũng lũy linh. V y theo 1) (1 + u−1 x) là kh ngh ch và u + x là tích hai ph n t kh ngh ch là u và (1 + u−1 x) cũng là ph n t kh ngh ch. Nh n xét 1 : Trong ch ng minh trên ta đã s d ng h ng đ ng th c 1 − xn = (1 − x)(1 + x + · · · + xn−1 ) cho vành giao hoán có đơn v X. Th t ra do tính ch t các phép toán trong X, mà m i "h ng đ ng th c" khác có trong vành các s nguyên Z đ u có th đư c s d ng cho X, k c khai tri n nh th c Niu tơn ! Nh n xét 2 : T vi c x lý ví d trên, ta có th rút ra vài phương pháp ki m tra m t ph n t u ∈ X là kh ngh ch. Đó là ch ra u là ư c c a đơn v như trong l i gi i 1/ (ho c là ch ra u là ư c c a m t ph n t kh ngh ch v nào đó). Cũng có th ch ra u là tích c a các ph n t kh ngh ch như trong l i gi i 2/. Tr l i câu 2 c a ví d trên b n đ c có th t ki m tra chi ti t r ng u + x là ư c c a m t ph n t kh ngh ch nào đó theo m t trong các cách sau : Cách 1 : Vì u kh ngh ch nên t n t i u−1 , và (u + x)(u−1 + x) = uu−1 + ux + x(u−1 + x) = 1 + v v i v = ux + x(u−1 x) là lũy linh. Cách 2 : Vì xn = 0 nên : (u + x)(u + (−x) + · · · + (−x)n−1 ) = un − (−x)n = un v i un là lũy th a ph n t kh ngh ch u. V các ph n t b t kh qui (tương t s nguyên t trong vành s nguyên Z) đ tránh s ph c t p v m t kĩ thu t, ta gi i h n s xem xét ch trong mi n nguyên. Cho mi n nguyên X, p ∈ X là ph n t khác 0 không kh ngh ch đư c g i là ph n t b t kh qui n u các ư c c a p ch là các ph n t kh ngh ch hay các ph n t sai khác p m t nhân 7
  8. t kh ngh ch. Nói cách khác n u q|p thì ho c q|1 ho c q = u · p v i u|1. Ph n t q sai khác p m t nhân t kh ngh ch đư c g i là ph n t liên k t v i p và vi t q ∼ p. Các bài toán v ph n t b t kh qui trư c h t là các bài toán ki m tra tính b t kh qui c a ph n t cho trư c nào đó. a b Ví d 2 Cho mi n nguyên A = : a, b ∈ Z v i hai phép toán c ng và nhân ma −b a tr n. 1. Tìm t t c các ph n t kh ngh ch c a A. 2. Ki m tra tính b t kh qui c a các ph n t sau trong A : 1 1 1 −1 0 2 A1 = ; A2 = và B = −1 1 1 1 −2 0 Gi i 1 0 1. Đơn v c a A là ma tr n E = có detE = 1. 0 1 a b N u A = là ph n t kh ngh ch thì t t n t i ma tr n B ∈ A sao cho −b a A · B = E ⇒ detA · detB = detE ⇒ detA = a2 + b2 là ư c c a 1. Đi u này x y ra khi và ch khi ho c a2 = 1 và b2 = 0 ho c a2 = 0 và b2 = 1. V y có t t c 4 ph n t kh ngh ch trong A là : 1 0 −1 0 0 1 0 −1 ; ; và . 0 1 0 −1 −1 0 1 0 a b Nh n xét : T vi c ch ng minh trên ta đi t i k t lu n : Ma tr n A = là kh −b a ngh ch ⇔ detA = 1. Và do v y A không kh ngh ch ⇔ detA > 1. Đi u này có ích cho l i gi i câu 2) sau đây. 2. Do nh n xét trên đây n u m t ma tr n C ∈ A không kh ngh ch thì detC > 1 và vì detC 1 1 1 −1 là s nguyên nên detC ≥ 2. Chú ý r ng các ma tr n A1 = và A2 = −1 1 1 1 đ u có detA1 = 2 = detA2 nên hi n nhiên A1 , A2 không kh ngh ch; và không th phân tích đư c thành tích c a hai ph n t không kh ngh ch vì như v y thì đ nh th c c a chúng ph i không bé hơn 4 (m i ph n t không kh ngh ch có đ nh th c không bé hơn 2 !). V y c A1 và A2 đ u b t kh qui. Còn ma tr n B đư c phân tích thành : 0 2 −1 1 1 −1 B= = = −2 0 −1 −1 1 1 trong đó c hai nhân t đ u không kh ngh ch. V y B không b t kh qui. Nh n xét : Trong ví d trên đ ch ng minh m t ph n t trong mi n nguyên là b t kh 8
  9. qui ngoài vi c ki m tra tính khác 0, không kh ngh ch, ta dùng cách ph n ch ng đ ch ng t nó không th phân tích đư c thành tích hai ph n t không kh ngh ch; t c nó không th có ư c th t s (là ư c không kh ngh ch và không liên k t). M t cách khác đ ki m tra tính b t kh qui c a m t ph n t cho trư c, là s d ng đ nh nghĩa, l y ư c b t kì c a nó, ta tìm cách ch ng minh, ho c ư c đó kh ngh ch, ho c ư c đó liên k t v i nó t c đó là ư c t m thư ng. Ví d 3 Cho mi n nguyên X và p ∈ X là ph n t khác 0, không kh ngh ch. Ch ng minh r ng n u Iđêan sinh b i ph n t p (là p · X) là Iđêan nguyên t thì p là b t kh qui Gi i L y ư c b t kì q c a p, Khi đó t n t i s ∈ X, s = 0 sao cho p = s · q. Hi n nhiên s · q ∈ p · X là Iđêan nguyên t nên ho c s ∈ pX ho c q ∈ pX N u s ∈ pX, t t n t i t ∈ X mà s = pt. K t h p p = s · q, ta có s = t · q · s, và sau khi gi n ư c ph n t s = 0 ( trong mi n nguyên có lu t gi n ư c này !) đ ng th c này cho ta t · q = 1. Suy ra q|1, t c q là ư c t m thư ng. N u q ∈ pX, t t n t i u ∈ X mà q = u · p. L p lu n tương t như trên ta đi đ n u|1, do đó q ∼ p, t c q là ư c t m thư ng. V y trong b t kì trư ng h p nào thì q cũng là ư c t m thư ng. V y p b t kh qui. Bài T p 1. Cho X là vành giao hoán, có đơn v 1, g i N (X) là t p t t c các ph n t lũy linh c a X. Ch ng minh: (a) N (X) là Iđêan c a X. (b) N u N (X) là Iđêan t i đ i thì N (X) là Iđêan t i đ i duy nh t, đ ng th i nhóm U các ph n t kh ngh ch là U = X|N (X). 2. Cho X là vành giao hoán có đơn v 1 và u ∈ X. Ch ng minh r ng n u t n t i ph n t lũy linh x = 0 sao cho u + x là kh ngh ch thì u kh ngh ch. 3. Cho K[X] là đa th c trên trư ng K. Ch ng r ng n u đa th c f (x) không có nghi m trong K mà degf = 2 ho c degf = 3, thì f (x) là b t kh qui trong K[x]. 4. Cho các trư ng K, F mà K ⊂ F và đa th c f (x) ∈ K[x]. Ch ng minh r ng n u f (x) b t kh qui trong F [x] thì f (x) b t kh qui trong K[x]. N u f (x) b t kh qui trong K[x] thì có th kh ng đ nh r ng f (x) cũng b t kh qui trong F [x] ?. 5. Xét tính b t kh qui c a các đa th c sau trong vành Z[x] : (a) f (x) = 2x2 − 3x + 1. (b) g(x) = x2 + x − 1. 6. Cho A là mi n nguyên và p ∈ A ⊂ A[x]. Ch ng minh r ng p b t kh qui trong A ⇔ p b t kh qui trong A[x] 9
  10. Bài 13 Các Bài Toán V Vành Chính M t mi n nguyên b t kì X, dù đư c xem là s m r ng tr c ti p vành các s nguyên Z, còn khá xa m i có đư c các tính ch t cơ b n c a lí thuy t chia h t trong vành Z. Nghiên c u ngu n g c c a các tính ch t cơ b n này, có th th y h u h t chúng đ u đư c suy ra t m t tính ch t khá đ c bi t c a vành Z. Đó là Iđêan b t kì c a vành Z là Iđêan chính. Đi u này d n ta t i khái ni m vành chính đư c đ nh nghĩa như sau : Đ nh nghĩa 1 Vành chính là m t mi n nguyên X, trong đó Iđêan b t kì đ u là Iđêan chính. Trong đ i s cơ s ta đã bi t r ng : vành Z, vành các đa th c K[x] trên m t trư ng K đ u là các vành chính. Đ ki m tra m t vành cho trư c X là vành chính, theo đ nh nghĩa ta c n ki m tra X là mi n nguyên và ph i ch ra r ng m i Iđêan c a X là Iđêan chính. Ví d 1 Ch ng minh r ng trư ng K b t kì là vành chính Gi i Trư c tiên ta ch ra r ng trong K ch có duy nh t hai Iđêan t m thư ng là {0} và K. Th t v y, n u I = 0 là m t Iđêan c a K thì ∃a = 0, a ∈ I, và khi đó ∀x ∈ K thì x = a(a−1 x) ∈ I. v y I = K. Bây gi n u I = 0 thì I = 0 · K Còn n u I = K thì I = 1 · K V y m i Iđêan c a K đ u là Iđêan chính, t c trư ng K là vành chính. Nh n xét : Trong ví d trên vì trư ng K ch có 2 iđêan duy nh t nên ta đã l n lư t ki m tra riêng t ng Iđêan là Iđêan chính. Trư ng h p chung nh t, ta thư ng l y m t Iđêan b t kì I = 0 và tìm cách ch ng minh I là Iđêan chính (khi I = 0 thì hi n nhiên I là Iđêan chính !). Đ làm đi u này, ta đ ý r ng n u I là Iđêan chính thì I ph i đư c sinh b i m t ph n t nào đó a ∈ I ∗ , mà a là ư c c a m i ph n t trong I, t c a là ph n t nh nh t trong I theo quan h th t chia h t. Căn c vào c u trúc c th c a vành đang xét, tính ch t nói trên c a a giúp ta xác đ nh đư c a và ta ch còn ph i tìm cách ch ng minh là I = a . Ch ng h n, n u 0 = I Z thì t đi u a là nh nh t theo quan h chia h t trong I suy ra a cũng là nh nh t v giá tr tuy t đ i trong I ∗ , do v y ta xác đ nh a = min{k > 0 : k ∈ I}. Hay n u I = 0 là Iđêan trong vành đa th c K[x], thì t đi u a là nh nh t theo quan h chia h t trong I suy ra a có b c nh nh t trong I ∗ và d n đ n vi c xác đ nh a là đa th c có b c nh nh t trong các đa th c c a I ∗ . Vành chính như đã bi t, còn gi đư c khá nhi u các tính ch t quan tr ng c a lí thuy t chia h t trong Z như : • Trong vành chính A, ư c chung l n nh t hai ph n t b t kì là t n t i. • Trong vành chính A, hai ph n t a, b là nguyên t cùng nhau ⇔ ∃s, t ∈ A mà sa + tb = 1 . . • Trong vành chính A n u ab. và (a, c) = 1 thì b. .c .c . • Trong vành chính A ph n t p = 0 không kh ngh ch là b t kh qui ⇔ n u ab. thì ho c .p . . ho c b. . a.p .p 10
  11. • Trong vành chính A m i ph n t a = 0 không kh ngh ch đ u phân tích đư c thành tích các nhân t b t kh qui và s phân tích là duy nh t n u không tính đ n th t các nhân t hay s sai khác các nhân t kh ngh ch. ... Các tính ch t này là công c giúp ta gi i quy t các bài toán v tính ch t và m i quan h gi a các ph n t trong vành chính. . . . Ví d 2 Trong vành chính A cho a. a. và (b, c) = 1. Ch ng minh r ng a. .b, .c .bc Gi i . Vì a. nên t n t i k ∈ A mà .b a = kb (3) . Vì a. nên t n t i l ∈ A mà .c a = lc (4) Vì (b, c) = 1 nên t n t i s, t ∈ A : sb + tc = 1 (5) Nhân hai v c a (5) v i a ta đư c : sba + tca = a. thay a h ng t đ u đ ng th c này theo (4), thay a h ng t th hai theo (3) ta đư c : a = sb(lc) + tc(kb) = (sl + tk)bc . V y: a. .bc. Các tính ch t trên c a vành chính cũng giúp cho chúng ta trong vi c x lí các bài toán ph đ nh m t vành cho trư c là vành chính. Ví d 3 Ch ng minh r ng vành các đa th c h s nguyên Z[x] không là vành chính. Gi i Xét hai đa th c x và 2 nguyên t cùng nhau trong Z[x]. N u Z[x] là vành chính thì t t n t i các đa th c h(x), g(x) ∈ Z[x] sao cho : xh(x) + 2 · g(x) = 1 Tuy nhiên h th c này không th có trong Z[x] b i s h ng t do c a đa th c v trái luôn là s ch n, trong khi đó s h ng t do c a đa th c v ph i là s l ! V y Z[x] không là vành chính. Nh n xét : Đ ch ra Z[x] không là vành chính, ta đã đưa ra m t tính ch t có trong vành chính nhưng trong Z[x] l i không có. Đây là m t trong nh ng phương pháp thư ng dùng đ ph đ nh m t vành không là vành chính. Ngoài phương pháp này ta có th s d ng m t trong các phương pháp truy n th ng : ph n ch ng, ch ng h n ví d trên ta có th x lí b ng ph n ch ng như sau : Gi s Z[x] là vành chính khi đó Iđêan I sinh b i hai đa th c x và 3 nguyên t cùng nhau là Iđêan sinh b i ư c chung l n nh t c a chúng (x, 3) = 1, t c I = Z[x], trong khi đó I = x, 3 ch là t p các đa th c có h ng t t do là b i c a 3, hoàn toàn là Iđêan con th c s c a Z[x]. Mâu thu n này ch ra gi s ban đ u là sai, t c Z[x] không là vành chính. 11
  12. √ √ Ví d 4 Cho Z( −5) = {a + b −5 : a, b ∈ Z}. Ch ng minh r ng : √ √ √ 1. Z( −5) là mi n nguyên và các ph n t 2, 3, 1 + −5 và 1 − −5 là các ph n t b t kh √ qui trong Z( −5). √ 2. Z( −5) không là vành chính. Gi i √ 1. Vi c ki m tra Z( −5) là mi n nguyên xin phép dành l i cho đ c gi . đây ta ch ki m √ √ tra 2, 3, 1 + −5 và 1 − −5 là các ph n t b t kh qui. Ta có nh n xét r ng c 4 ph n t trên đ u có mô đun bé hơn 4, l n hơn 1, và vì v y đ ch ng minh c 4 ph√ t b t n kh qui, ta ch ng minh m t đi u t ng quát hơn sau đây : n u ph n t z ∈ Z( −5) mà 1 < |z| < 4 thì z b t kh qui. √ √ √ Trư c h t ta th y r ng trong Z( −5) các ph n t kh ngh ch ch là 1+0 −5, −1+0 −5. √ V y z = a + b −5 không kh ngh ch ⇔ ho c b = 0 ho c b = 0 và |a| ≥ 2. √ Khi b = 0 thì |z| ≥ −5 và khi b = 0 và |a| ≥ 2 thì |z| ≥ 2. V y z không kh ngh ch thì |z| ≥ 2. Do đó m t ph n t không b t kh qui vì luôn phân tích đư c thành tích hai ph n t không kh ngh ch z1 · z2 v i |z1 |, |z2 | không bé hơn 2, t c ph i có mô đun không bé hơn 2 · 2 = 4. V y n u z có 1 < |z| < 4 thì z b t kh qui, và c b n ph n t nói trên là b t kh qui. √ √ 2. Trong Z( −5) xét ph n t 6 ∈ Z( −5) ta th y √ √ 6 = 2 · 3và6 = (1 + −5)(1 − −5) √ V y trong Z( −5) t n t i ph n t có t i hai cách phân tích thành các nhân t b t kh qui khác nhau, vi ph m vào tính duy nh t c a s phân tích thành nhân t b t kh qui trong vành chính. √ V y Z( −5) không th là vành chính. Bài t p √ √ 1. Ch ng minh r ng vành Z( −2) = {a + b −2 : a, b ∈ Z} là vành chính. 2. Gi s p = 0 là ph n t c a vành chính A. Ch ng minh r ng p b t kh qui ⇔ Iđêan pA là Iđêan nguyên t . Ch ng minh r ng p là b t kh qui khi và ch khi vành thương A/pA là trư ng. √ 3. Vành Z( 2)[x] có là vành chính không ? √ √ √ 4. Cho Z( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Z}. Khi đó Z( −3) là mi n nguyên. Ch ng minh r ng: √ √ √ (a) Các ph n t 2, 1 + −3, 1 − −3 là các ph n t b t kh qui c a Z( −3). 12
  13. √ (b) Z( −3) không là vành chính. 5. Vành con ch a đơn v c a m t vành chính có là vành chính không ? nh toàn c u c a m t vành chính có là vành chính không ? 6. Trong vành chính A cho a, b ∈ A mà (a, b) = 1. Ch ng minh r ng v i m i s m, n nguyên dương, ta cũng có (am , bn ) = 1. 13