Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 20-05
−x +1
Câu I: Cho hàm số y = (C)
2x +1
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của
2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ∈ ( C ) , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ
tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ∈ ( C ) , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ
tạo thành 1 tam giác cân.
( m − 1) x + m C
Câu II: Cho hàm số y =
x−m
( m)
II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố
định.
II.2. Tiếp tuyến tại M ∈ ( Cm ) cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm M ( x 0 , y0 ) ∈ ( C3 ) . Tiếp tuyến của ( C3 ) tại M cắt các tiệm cận của (C) tại
các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm
cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 20-05
−x +1
Câu I: Cho hàm số y = (C)
2x +1
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của
2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ∈ ( C ) , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ
tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ∈ ( C ) , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ
tạo thành 1 tam giác cân.
HDG
1 −3
Tập xác định: D = R \ − . Ta có: y ' = < 0, ∀x ∈ D
( 2 x + 1)
2
2
Bài 1:
Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi
qua M (2; 3) có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − 2 ) + 3 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
−x +1
2x +1 = k ( x − 2) + 3
−3 có nghiệm
=k
( 2 x + 1)
2
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
−x +1 −3
2 (
= x − 2 ) + 3 ⇔ 7 x 2 + 4 x + 4 = 0 : Vô nghiệm
2 x + 1 ( 2 x + 1)
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2:
1 1 1 1
Hàm số có: TCĐ: x = − ; TCN: y = − ⇒ I − ; −
2 2 2 2
Page 2 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1
Vì đường thẳng x = − không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi
2
1 1 1 1
qua I − ; − có hệ số góc k có dạng: y = k x + + tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi
2 2 2 2
hệ:
−x +1 1 1
2x +1 = k x + 2 + 2
−3 có nghiệm
=k
( 2 x + 1) 2
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
−x +1 −3 1 1 3 −3
= 2
x+ − ⇔ =
2 x + 1 ( 2 x + 1) 2 2 2 x + 1 2 ( 2 x + 1) :Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3:
1 3 1
Gọi M x0 − ; − ∈ ( C ) . Tiếp tuyến tại M có dạng:
2 4 x0 2
−3 3 1 −3 3 1
2 (
d:y= x − x0 ) + − = 2
x+ −
4 x0 4 x0 2 4 x0 2 x0 2
2 x0 ( x0 − 3) 3 − x0
Giả sử A = d ∩ Ox; B = d ∩ Oy suy ra: A ;0 ; B 0;
3 x0
1 2
OA.OB = ( 3 − x0 ) = 1
2
∆OAB vuông tạo O ⇒ S ∆OAB =
2 3
6 6± 6
⇒ 3 − x0 = ± ⇒ x0 =
2 2
−3 4− 6 −3 4+ 6
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: y = x+ hay y = x−
40 − 12 6 20 40 + 12 6 20
Bài 4:
Page 3 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến
là k = ±1 . Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) là tiếp điểm
−3 −1 ± 3
- Nếu k = −1 ⇒ = −1 ⇒ 2 x0 + 1 = ± 3 ⇒ x0 =
( 2 x0 + 1)
2
2
−1 − 3 −1 − 3
Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ tiếp tuyến là: y = − x − 1 − 3
2 2
−1 + 3 −1 + 3
Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ tiếp tuyến là: y = − x − 1 + 3
2 2
−3
- Nếu k = −1 ⇒ 2 x + 1 2 = 1 ⇒ ( 2 x0 + 1) = −3 : Vô nghiệm
2
( 0 )
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: y = − x − 1 − 3 và y = − x − 1 + 3
( m − 1) x + m C
Câu II: Cho hàm số y =
x−m
( m)
II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố
định.
II.2. Tiếp tuyến tại M ∈ ( Cm ) cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm M ( x 0 , y 0 ) ∈ ( C3 ) . Tiếp tuyến của ( C3 ) tại M cắt các tiệm cận của (C)
tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm
cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
HDG
Bài 1:
( m − 1) x0 + m ; ∀m
Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định của hàm số ⇒ y0 =
x0 − m
⇔ m ( x0 + y0 + 1) − ( x0 + x0 y0 ) = 0; ∀m
x0 + y0 + 1 = 0 x0 = 0
⇔ ⇔
x0 + x0 y0 = 0 y0 = −1
Với M ( 0; −1) , tiếp tuyến tại M là: y = y ' ( 0 ) x − 1 = − x − 1
Page 4 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định y = − x − 1 tại M ( 0; −1)
.
Bài 2:
m2
Ta có: y = m − 1 + ⇒ TCĐ: x = m và TCN: y = m − 1
x−m
m2
Gọi M a + m; m − 1 + ∈ ( Cm ) , a ≠ 0 . Tiếp tuyến tại M có dạng:
a
m2 m2 m2
d : y = y '( a + m) ( x − a − m) + m −1 + = − 2 ( x − a − m) + m −1 +
a a a
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
2m 2
A ( 2a + m; m − 1) ; B m; m − 1 +
a
x A + xB = 2 xM
Nhận thấy ⇒ M là trung điểm của AB (đpcm)
y A + y B = 2 yM
Bài 3:
9 9
Điểm M ∈ ( C3 ) : y = 2 + ⇒ M 3 + α; 2 +
x −3 α
9 18 27
Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: ∆ : y = − x+2+ + 2
α 2
α α
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
18
A ( 2α + 3; 2 ) ; B 3; 2 +
a
Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên I ( 3; 2 )
1 1 18
+ ∆IAB vuông tại I nên: S∆IAB = .IA.IB = . 2α . = 18 (đvdt)
2 2 α
+ Chu vi tam giác IAB là:
2
18 18
p = IA + IB + AB = 2α + + 4α 2 +
α α
Page 5 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
2
18 18
≥ 2 2α + 2 4α 2 + = 12 + 2.2.18 = 12 + 6 2
α α
18
Dấu = xảy ra ⇔ 2α = ⇔ α = ±3 ⇔ M ( 6;5 ) hoặc M ( 0; −1)
α
• BTVN NGÀY 22-05
x 2 + 2mx + 1 − 3m 2
Cho hàm số y = . Tìm tham số m để hàm số có:
x−m
Câu 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
Câu 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O
Câu 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.
Câu 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng m 10 .
Câu 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
Câu 6. Cực trị và thỏa mãn: yCD + yCT > 2 3 .
HDG:
Tập xác định: D = R \ { m}
1 1 x 2 − 2 xm + m 2 − 1
Ta có: y = x + 3m + ⇒ y ' = 1− =
x−m ( x − m) ( x − m)
2 2
Bài 1:
Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu
⇔ g ( x) = x 2 − 2 xm + m2 − 1 có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m
m 2 − 1 < 0
⇔ ⇔ −1 < m < 1
g ( m) ≠ 0
Vậy m ∈ ( −1;1)
Bài 2:
x = x1 = m − 1
Có: y ' = 0 ⇔
x = x2 = m + 1
Page 6 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại x1 ; x2 . Ta có:
y1 = y ( x1 ) = 4m − 2; y2 = y ( x2 ) = 4m + 2
Gọi 2 điểm cực trị là A ( m − 1; 4m − 2 ) ; B ( m + 1; 4m + 2 )
uuu uuu
r r
∆OAB vuông tại O ⇔ OA ⊥ OB ⇔ OA.OB = 0
⇔ ( m − 1) ( m + 1) + ( 4m − 2 ) ( 4m + 2 ) = 0
85
⇔ 17 m 2 − 5 = 0 ⇔ m = ±
17
85
Vậy m = ± là giá trị cần tìm.
17
Bài 3:.
uuu
r uuur
Ta có: MA = ( m − 1; 4m − 2 ) ; MB = ( m + 1; 4m )
uuu uuu
r r
A, M, B thẳng hàng ⇔ MA || MB ⇔ 4m ( m − 1) = ( m + 1) ( 4m − 2 )
1
⇔ 6m = 2 ⇔ m =
3
1
Đáp số: m =
3
Bài 4:
Ta có: AB = m 10 ⇔ 4 + 42 = m 10 ⇔ m = 2
Bài 5:
Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị.
1
Vì xlim y − ( x + 3m ) = xlim
→±∞ x − m = 0 ⇒ y = x + 3m là TCX của hàm số.
→±∞
Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:
( m − 1) − ( 4m − 2 ) + 3m 1
h= =
2 2
Page 7 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Bài 6:
3
m >
4
Ta có: yCD + yCT > 2 3 ⇔ 8m > 2 3 ⇔
3
m < −
4
3 3
Đáp số: m ∈ −∞; − ∪ ; ∞
4 4
• BTVN NGÀY 24-05
−x +1
Câu 1: Cho hàm số y = (C)
2x +1
Tìm m để (C) cắt đường thẳng ( d m ) : y = mx + 2m − 1 tại 2 điểm phân biệt A, B:
a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
uuu uuu
r r
c. Thỏa mãn điều kiện 4OA.OB = 5
HDG:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
−x +1 1
= mx + 2m − 1 ⇔ f ( x ) = mx 2 + ( 5m − 1) x + 2m − 2 = 0 với x ≠ −
2x +1 2
cắt ( d m ) tại 2 điểm phân biệt A, B ⇔ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác −
1
( C) 2
m ≠ 0
m ≠ 0
⇔ ∆ = 17 m 2 − 2m + 9 > 0 ⇔ (*)
m ≠ −6
f − = − m− ≠ 0
1 1 3
2
4 2
a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị
Page 8 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1
⇔ f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 mà x1 < − < x2
2
1 1 3 m > 0
⇔ mf − = m − m − < 0 ⇔
2 4 2 m < −6
b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:
−3 −3
k A = y ' ( xA ) = ; k B = y ' ( xB ) =
( 2 xA + 1) ( 2 xB + 1)
2 2
3 3
⇒ k A .k B = . > 0 nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với
( 2 xA + 1) ( 2 xB + 1)
2 2
nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.
c. Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của f(x). Giả sử A ( x1 ; mx1 + 2m − 1) ; B ( x2 ; mx2 + 2m − 1)
5m − 1
x1 + x2 = −
m
Theo viet ta có:
x x = 2m − 2
1 2
m
uuu uuu
r r uuu uuu 5
r r
Có: 4OA.OB = 5 ⇔ OA.OB − = 0
4
5
⇔ x1 x2 + ( mx1 + 2m − 1) ( mx2 + 2m − 1) − =0
4
5
⇔ ( m 2 + 1) x1 x2 + m ( 2m − 1) ( x1 + x2 ) + ( 2m − 1) −
2
=0
4
5
⇔ ( m 2 + 1) ( 2m − 2 ) − m ( 2m − 1) ( 5m − 1) + m ( 2m − 1) −
2
=0
4
3
⇔ 4m 3 − m 2 − 2 m + =0
4
2 3
⇔ ( 2m − 1) m + = 0
4
1 −3
⇔ m= ∨m=
2 4
1 −3
Đáp số: m = ;
2 4
Page 9 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
− x 2 + 3x − 3
Câu 2: Cho hàm số y = (1)
2 ( x − 1)
a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao
cho AB=2
b. Tìm m để đường thẳng d: y = m ( x − 2 ) + 3 và đường cong (1) cắt
nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.
HDG
a. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
− x 2 + 3x − 3
= m ⇔ f ( x ) = x 2 + ( 2m − 3) x + 3 − 2m = 0 ; với x ≠1
2 ( x − 1)
Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt ⇔ f ( x ) = 0 có 2
3
∆ = ( 2m − 3 ) 2 − 4 ( 3 − 2m ) > 0
m > 2
nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ ⇔ (*)
f ( 1) ≠ 0 m < − 1
2
Với điều kiện (*), gọi x1 ; x2 là nghiệm của f ( x ) = 0 . Theo viet có:
x1 + x2 = 3 − 2m
x1 x2 = 3 − 2m
Tọa độ A, B là: A ( x1 ; m ) ; B ( x2 ; m ) . Ta có:
AB 2 = 2 ⇔ ( x1 − x2 ) = 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 2
2 2
1± 6
⇔ ( 3 − 2m ) − 4 ( 3 − 2 m ) = 2 ⇔ 4 m 2 − 4 m − 5 = 0 ⇔ m =
2
2
1± 6
Đáp số: m =
2
b. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
− x 2 + 3x − 3
= m ( x − 2 ) + 3 ⇔ f ( x ) = ( 2m + 1) x 2 + 3 ( 1 − 2m ) x + 4m − 3 = 0 ; với x ≠ 1
2 ( x − 1)
Page 10 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m ( x − 2 ) + 3 tại 2 điểm phân biệt ⇔ f ( x ) = 0
có 2
nghiệm phân biệt khác 1
7+2 7
m >
2m + 1 ≠ 0 2
⇔ ∆ = 9 ( 1 − 2m ) − 4 ( 2m + 1) ( 4m − 3) > 0 ⇔ m < 7 − 2 7
2
2
f ( 1) ≠ 0
1
m ≠ − 2
3 ( 1 − 2m )
Với điều kiện trên, gọi x1 ; x2 là nghiệm của f ( x ) = 0 ⇒ x1 + x2 = −
2m + 1
Gọi 2 giao điểm là A ( x1 ; m ( x1 − 2 ) + 3) ; B ( x2 ; m ( x2 − 2 ) + 3) .
Điểm M ( 2;3) ∈ d là trung điểm củ a AB
3 ( 1 − 2m ) 7
⇔ x1 + x2 = 4 ⇔ − =4⇔m=−
2m + 1 2
7
Vậy m = −
2
Câu 3:
( m − 1) x + m C
Cho hàm số y =
x−m
( m)
Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương
trình:
2x + 3
a. − 1 = log 2 m
x −3
2x + 3
b. − 2m + 1 = 0
x−3
HDG
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( m ) là số giao điểm của đường
cong y = f ( x) và đường thẳng y = g ( m ) song song với trục hoành Ox khi vẽ
lên hệ trục tọa độ Oxy.
Page 11 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
2x + 3
a. Vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = như sau:
x−3
- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của ( C3 ) - kí hiệu là ( Ct )
- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu Ct ( ) '
⇒ ( C ) = ( Ct' ) ∪ ( Ct ) (Các bạn tự vẽ hình)
1
Kết luận: m≤ phương trình vô nghiệm
2
1
m = ; 2 phương trình có nghiệm duy nhất
2
1
m ∈ ; 2 ∪ ( 2; +∞ ) phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2
2x + 3
b. Vẽ đồ thị hàm số ( C ') : y = như sau:
x−3
- Giữ nguyên nhánh phải của ( C3 ) - kí hiệu là ( C p )
- Lấy ( C p ) đối xứng nhánh trái của ( C3 ) qua trục hoành Ox
'
⇒ ( C ) = ( C p ) ∪ ( C p ) (Các bạn tự vẽ hình)
'
1
Kết luận: m≤− phương trình vô nghiệm
2
1 3
− < m ≤ phương trình có nghiệm duy nhất
2 2
3
m≥ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2
Page 12 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
• BTVN NGÀY 25-05
− x2 + 3x − 3
Câu 1: Cho hàm số y = (1)
2 ( x − 1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
HDG
− x 2 + 3 x − 3 −1 1
a. Ta có: y = = x +1−
2 ( x − 1) 2 2 ( x − 1)
−α 1 1 −β 1 1
Gọi A α + 1; − + thuộc nhánh trái, B β + 1; − + thuộc
2 2α 2 2 2β 2
nhánh phải của đồ thị hàm số với α < 0 < β .
2
1 1 1
Ta có: AB = ( β − α ) + ( β − α ) + −
2 2
4 β α
1 1
2 1 1
2
= ( β −α ) 1 + 1 +
2
1 + 1 − ≥ 4 αβ
4 αβ
4 αβ
1
= 5 αβ + +2≥ 2+2 5
αβ
β = −α
1
Dấu = xảy ra ⇔ 1 ⇔ β = −α = 4
αβ = 5 5
1 1 4
5 1 1 1 4
5 1
A − 4 + 1; 4 −
Vậy + ; B 4 + 1; − 4 + + thì ABmin = 2 + 2 5
5 2 5 2 2 5
2 5 2 2
−1
b. Hàm số có TCX: ∆ : y = x +1 .
2
Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A ( 2;0 ) ; B = ∆ ∩ Oy ⇒ B ( 0;1)
1
Nên S ∆OAB = OA.OB = 1 (đvdt)
2
Page 13 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
−x +1
Câu 2: Cho hàm số y = (C)
2x +1
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm
cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
HDG
1 3 1
a. . Gọi M x0 − ; − ∈ ( C ) ; x0 ≠ 0 . Tổng khoảng cách từ M đến 2
2 4 x0 2
trục tọa độ là:
1 3 1
d = x0 − + −
2 4 x0 2
1 1
Với x0 ≤ 0 ⇒ d ≥ + =1
2 2
1 3 1 3
Với x0 > 0 ⇒ d ≥ x0 − + − = x0 + −1 ≥ 3 −1
2
4x 2 0 4x 0
3 3 3 −1 3 −1
Dấu = xảy ra khi x0 = ⇔ x0 = ⇔M
2 ; 2
4 x0 2
3 −1 3 −1
2 ; 2 thì d min =
Vậy M 3 −1
3
b. . Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là: d1 = x0 ; d 2 =
4 x0
⇒ d = d1 + d 2 = x0 +
3 3 3
≥ 2 x0 . = 3 , dấu = xảy ra khi x0 = ±
4 x0 4 x0 2
3 −1 3 −1 − 3 −1 − 3 −1
Kết luận: M
; hoặc M
2 ; 2 là các điểm cần tìm
2 2
Page 14 of 15
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1 3 1 1 3 1
c . Gọi A a − ; − thuộc nhánh trái, B b − ; − thuộc nhánh phải
2 4a 2 2 4b 2
của đồ thị hàm số (C), với a < 0 < b . Ta có:
3 3 ( b − a)
2 2
3 3 3 3 −4ab
AB = ( b − a ) + − ≥ 2 ( b − a ) − =
2
2
≥ . =6
4b 4a 4b 4a 2 ab 2 −ab
3
b = −a a = −
2
Dấu bằng xảy ra ⇔ 3 3 ⇔
2
( b − a ) = 4b − 4a
2
b = 3
2
− 3 −1 − 3 −1 3 −1 3 −1
Vậy hai điểm cần tìm là: A
2 ; 2 ; B 2 ; 2
thì
ABmin = 6
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 15 of 15
nguon tai.lieu . vn
