Xem mẫu
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 24 tháng 06 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN HÀM ĐA THỨC
Câu 1: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (C)
1.1 Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +∞ )
1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn:
a) xCT < 2
b) Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1
1
c) x1 − x2 > , với x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị
3
d) Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0)
Câu 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 . Tìm m để hàm số có:
2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1
2.2. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3
2.3. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc
45o .
5 17
2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm I ; −
3 3
3 1
2.5. Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+
2 2
2.6. Các điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5.
2.7. Có cực trị và chứng minh khoảng cách giữa 2 điểm cực trị lớn hơn 2.
2.8. Cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 − 3x2 = 4 .
Câu 3: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4
3.1. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác:
a. Vuông cân
b. Đều
c. Tam giác có diện tích bằng 4.
3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm M ( )
2;1
Câu 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3x + 2 (C)
4.1. Tìm điểm trên trục hoành sao từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C);
4.2. Tìm m để hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx;
4.3. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(-1; 3);
4.4. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 2x – y + 2 = 0;
4.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
3
a) − x + 3 x + m −1 = 0
m +1
b) x − x − 2 =
2
2 x +1
4.6. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Câu 5: Cho hàm số (C): y = x 3 − 3mx 2 − mx và đường thẳng d: y = x + 2.
Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d:
5.1. Tại đúng 2 điểm phân biệt.
5.2. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
5.3. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
5.4. Tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Câu 6: Cho hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1
4 2
6.1. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng;
6.2. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 2 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
Câu 1: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (C)
1.3 Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +∞ )
1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn:
a. xCT < 2
b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1
1
c. x1 − x2 > , với x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị
3
d. Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0)
Lời giải:
1.1. Hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇔ y ' = 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) ≥ 0 với ∀x ∈ ( 0; +∞ )
3x 2 + 2x + 2
⇔ f ( x) = ≥ m với ∀x ∈ ( 0; +∞ )
4x +1
2 ( 6 x 2 + x − 3) −1 ± 73
Ta có: f ' ( x ) = = 0 ⇔ 6 x2 + x − 3 = 0 ⇔ x =
( 4 x + 1)
2
12
Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên ( 0; +∞ ) , từ đó ta đi đến kết luận:
−1 + 73 3 + 73
f
12 ≥m⇔
≥m
8
1.2. Ta có: y ' = 3x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m)
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
5
⇔ ∆ ' = (1 − 2m) − 3(2 − m) = 4m − m − 5 > 0 ⇔
2 2 m > 4 (*)
m < −1
Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 .
2m − 1 + 4m 2 − m − 5
a. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x2 = ⇒ xCT = x2
3
2 m − 1 + 4m 2 − m − 5
Do đó: xCT < 2 ⇔
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
⇔ 4m 2 − m − 5 < 7 − 2m
7 − 2 m > 0
⇔ 2 2 ⇔ m< 2
4m − m − 5 < ( 7 − 2m )
5
Kết hợp với (*), kết luận các giá trị cần tìm của m là: m ∈ ( −∞; −1) ∪ ; 2
4
b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1 ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 đều lơn hơn -1
∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0
2(1 − 2m) 5
⇔ x1 + x2 > −2 ⇔ − > −2 ⇔m>
x +1 x +1 > 0 3 4
( 1 )( 2 ) 2(1 − 2m) 2 − m
−
3
+
3
>0
2(1 − 2m)
x1 + x2 = −
3
c. Áp dụng định lí viet, ta có:
x x = 2−m
1 2
3
1 1
⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 >
2 2
Ta có: x1 − x2 >
3 9
⇔ 4 ( 1 − 2m ) − 4 ( 2 − m ) > 1 ⇔ 16m 2 − 12m − 5 > 0
2
3 + 29 3 − 29
⇔m> ∨m<
8 8
3 + 29
Kết hợp (*), ta suy ra m > ∨ m < −1
8
d. Để hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2; 0) ⇔ y ' = f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 và có ít nhất
−2 < x1 < x2 < 0;(1)
1 nghiệm thuộc (-2; 0) ⇔ −2 < x1 < 0 ≤ x2 ;(2)
x1 ≤ −2 < x2 < 0;(3)
Ta có:
Page 4 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m − m − 5 > 0
2
−2 < 2 m − 1 < 0
−2 < x1 + x2 3
0 4 + + >0 7
1 2
3 3
x1 x2 > 0
2 − m
3 >0
4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m − m − 5 > 0
2
m ≥ 2
f ( 0) = 2 − m ≤ 0
(2) ⇔ ⇔ 2 m − 1 > −2 ⇔m≥2
( x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) > 0 3
( x + 2 ) ( x + 2 ) > 0 2 − m 4 ( 2m − 1)
1 2
+ +4>0
3 3
4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m − m − 5 > 0
2
3m + 5 ≥ 0
f ( −2 ) = 10 + 6m ≤ 0 5
(3) ⇔ ⇔ 2m − 1 < 0 ⇔ − ≤ m < −1
x1 + x2 < 0 3 3
x x > 0 2 − m
1 2 >0
3
5
Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m ∈ − ; −1 ∪ [ 2; +∞ )
3
Câu 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 . Tìm m để hàm số có:
2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1
2.2. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3
2.3. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc
45o .
5 17
2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm I ; −
3 3
3 1
2.5. Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+
2 2
2.6. Các điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5.
2.7. Có cực trị và chứng minh khoảng cách giữa 2 điểm cực trị lớn hơn 2.
2.8. Cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 − 3x2 = 4 .
Page 5 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Lời giải:
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*)
Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 ;
gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:
1 1 2m m
y = x − y '− + 2 x + 2 −
3 3 3 3
2m m
y1 = y ( x1 ) = − + 2 x1 + 2 −
3 3
⇒
2m m
y2 = y ( x2 ) = − + 2 x2 + 2 −
3 3
2m m
⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = − + 2 x + 2 −
3 3
2.1. Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1 ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x – 1
2m 3
⇔ − + 2 = 1 ⇔ m = − (thỏa mãn)
3 2
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x – 1
y1 + y2 x1 + x2
⇔ y I = xI − 1 ⇔ = −1
2 2
2m m
⇔ − + 2 ( x1 + x2 ) + 2 2 − = ( x1 + x2 ) − 2
3 3
2m 2m
⇔ + 3 .2 = 6 − ⇔m=0
3 3
3
Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0; −
2
2.2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3
2m
− 3 + 2 = −4
⇔ ⇔ m = 3 (thỏa mãn)
2 − m ≠ 3
3
2m
2.3. Đặt k = − + 2 là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
3
Page 6 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Đường thẳng x + 4y – 5 = 0 có hệ số góc bằng -1/4
1 1 1 3 39
k+ k + 4 = 1 − 4 k k = 5 m = − 10
Ta có: tan 45 =
o 4 ⇔ ⇔ ⇔
1 k + 1 = −1 + 1 k k = − 5 m = − 1
1− k
4
4 4
3
2
1
Kết hợp đk (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = −
2
5 17
2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm M ; −
3 3
17 2m 5 m
⇔ M ∈d ⇔ − = − + 2 + 2 − ⇔ m = 3 (thỏa mãn)
3 3 3 3
Vậy m = 3
x1 + x2 = 2
2.5. Theo định lí viet ta có: m
x1 x2 = − 3
Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 1; − m ) .
3 1 d ⊥ ∆
Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+ ⇔
2 2 I ∈ ∆
2m 3
− 3 + 2 . 2 = −1
⇔ ⇔ m = −2 (thỏa mãn (*))
3 1
− m = +
2 2
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn bài toán
2.6. Các điểm cực trị A, B nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5.
2
m
⇔ + 3 ( 4 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 1) < 0
3
2
m 4m
⇔ + 3 5 −
5 − 4m < 0 4
3
Page 7 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
15
Vậy m > là các giá trị cần tìm.
4
2 m
2
2.7. Ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + 2 + 1 ( x1 − x2 )
2 2 2
2
=
3
2 m
2
2m
= + 2 + 1 4 +
3
3
2m
Với m thỏa mãn đk (*) ⇒ + 2 > 0 ⇒ AB 2 > 2 ⇒ AB > 2
3
Vậy khi hàm số có cực trị thì khoảng cách cực trị luôn lớn hơn 2
2.8. Áp dụng định lí viet, kết hợp điều kiện ta có hệ:
5
x1 + x2 = 2 x1 = 2
m 1 m 5 15
x1 x2 = − ⇔ x2 = − ⇒− =− ⇒m= (thỏa mãn (*))
3 2 3 4 4
x1 − 3 x2 = 4
m
x1 x2 = − 3
15
Vậy m =
4
Câu 3: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4
3.1. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác:
a. Vuông cân
b. Đều
c. Tam giác có diện tích bằng 4.
3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị.
3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm M ( 2;1 )
Lời giải:
x = 0
3.1. Ta có: y ' = 4 x − 4mx = 0 ⇔
3
g ( x) = x − m = 0
2
Vì hệ số a = 1 > 0 nên nếu hàm số có 1 cực trị thì đó là điểm cực tiểu, do đó điều kiện để hàm có cực
tiểu mà không có cực đại là y’ = 0 đổi dấu tại duy nhất 1 điểm
⇔ ∆g = m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0
Page 8 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
3.2. Hàm số có 3 cực trị ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ g = m > 0 ⇔ m > 0 (*)
Với đk (*), phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm x1 = − m ; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 ; x3 .
Gọi A ( 0; 2m + m ) ; B
4
( ) ( )
m ; m4 − m 2 + 2m ; C − m ; m 4 − m 2 + 2m là 3 điểm cực trị.
Ta có: AB 2 = AC 2 = m4 + m; BC 2 = 4m ⇒ ∆ABC cân đỉnh A
a. ∆ABC vuông cân ⇔ ∆ABC vuông cân tại A ⇔ BC 2 = AB 2 + AC 2
m = 0
⇔ 4 m = 2 m 4 + 2m ⇔ m = m 4 ⇔
m = 1
Kết hợp điều kiện, suy ra giá trị cần tìm m = 1
m = 0
b. ∆ABC đều ⇔ BC = AB = AC ⇔ m4 + m = 4m ⇔ 3m = m ⇔
4
m = 3
3
Kết hợp điều kiện, suy ra giá trị cần tìm m = 3 3
c. Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M ( 0; m − m + 2m ) ⇒ AM = m = m
4 2 2 2
Vì ∆ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
1 1
S ∆ABC = AM .BC = .m 2 . 4m = 4
2 2
5
⇔ m 2 = 4 ⇔ m5 = 16 ⇔ m = 5 16
Vậy m = 5 16
1
3.3. Chia y cho y’ ta được: y = x. y '+ ( −mx 2 + 2m + m 4 )
4
Do hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của y’ = 0 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực
trị là parabol: ( Pm ) : y = − mx + 2m + m
2 4
3.4. ( P ) đi qua điểm M ( )
2;1 ⇔ 1 = m 4 + 2m − 2m ⇔ m = ±1
Kết hợp điều kiện, ta lấy nghiệm m = 1. Vậy ( P ) : y = − x + 3
2
1
Câu 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3x + 2 (C)
4.1. Tìm điểm trên trục hoành sao từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C);
4.2. Tìm m để hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx;
4.3. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(-1; 3);
4.4. Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 2x – y + 2 = 0;
4.5. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
Page 9 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
3
a. − x + 3 x + m − 1 = 0
m +1
b. x − x − 2 =
2
2 x +1
4.6. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Lời giải:
4.1. Điểm M thuộc trục hoành Ox ⇒ M ( a;0 ) . Nhận thấy đường thẳng x = a không là tiếp tuyến của (C),
xét đường thẳng đi qua M có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − a) tiếp xúc với (C)
− x 3 + 3 x + 2 = k ( x − a )
⇔ có nghiệm.
−3 x + 3 = k
2
Suy ra: − x + 3 x + 2 = ( −3 x + 3) ( x − a )
3 2
⇔ ( x + 1) ( 2 x 2 + ( 3a − 2 ) x + 3a + 2 ) = 0
x = −1
⇔
f ( x ) = 2 x + ( 3a − 2 ) x + 3a + 2 = 0
2
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) thì f ( x ) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1
6+4 3
∆ = ( 3a − 2 ) 2 − 8 ( 3a + 2 ) > 0 3a − 12a − 4 > 0
2 a >
3
⇔ ⇔ ⇔
f ( −1) ≠ 0
6 ≠ 0 6−4 3
a <
3
6−4 3 6+4 3
Vậy các điểm M thỏa mãn có tọa độ ( a;0 ) với a ∈ −∞;
∪ ; +∞
3 3
− x 3 + 3 x + 2 = mx
4.2. Hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx ⇔
có nghiệm
−3 x + 3 = m
2
Suy ra: − x 3 + 3 x + 2 = ( −3 x 2 + 3) x
⇔ 2 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) = 0
⇔ x = −1
Thay vào ta được m = 0. Vậy m = 0 thì (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 0.
4.3. Gọi A ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , B ∈ ( C ) là điểm đối xứng với A qua điểm M ( −1;3)
⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 )
Page 10 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
y0 = − x0 + 3x0 + 2
3
Vì A, B ∈ ( C ) ⇒
6 − y0 = − ( −2 − x0 ) + 3 ( −2 − x0 ) + 2
3
⇒ 6 = − x0 + 3x0 + 2 − ( −2 − x0 ) + 3 ( −2 − x0 ) + 2
3 3
⇒ 6 x0 + 12 x0 + 6 = 0
2
⇒ x0 = −1 ⇒ y0 = 0
Vậy 2 điểm cần tìm là: ( −1;0 ) và ( −1;6 )
4.4. Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d
x + x y + y2
I là trung điểm của AB nên I 1 2 ; 1 , ta có I ∈ d
2 2
y1 + y2 ( − x1 + 3 x1 + 2 ) + ( − x2 + 3 x2 + 2 )
3 3
Có: x +x
= = 2. 1 2 + 2
2 2 2
⇒ − ( x1 + x2 ) + 3x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3 ( x1 + x2 ) = 2 ( x1 + x2 )
3
x1 + x2 = 0
⇒ 2
x1 − x1 x2 + x2 = 1
2
Lại có: MN ⊥ d ⇒ ( x2 − x1 ) .1 + ( y2 − y1 ) .2 = 0
⇒ 7 ( x2 − x1 ) − 2 ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) = 0
2
7
⇒ x12 + x1 x2 + x2 =
2
2
7 7
- Xét x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = ± ; x2 = m
2 2
2 9
x12 − x1 x2 + x2 = 1
2
x1 + x2 = 4
2
- Xét 2 7⇔ ⇒ vô nghiệm
x1 + x1 x2 + x2 = x x = 5
2
2 1 2 4
7 1 7 7 1 7
Vậy 2 điểm đối xứng của đồ thị hàm số là:
2 ;2 − ; − ; 2 +
2 2 2
2 2
4.5. Bạn đọc tự vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = − x + 3 x + 2
3
3 3
a. Ta có: − x + 3 x + m − 1 = 0 ⇔ − x + 3 x + 2 = 3 − m
3
Vẽ đồ thị hàm số y = − x + 3 x + 2 như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị ( C p ) hàm số (C) bên phải trục Oy
Page 11 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
- Lấy ( C ' p ) đối xứng phần đồ thị ( C p ) qua Oy
⇒ ( C1 ) = ( C ' p ) ∪ ( C p ) từ đó dựa vào đồ thị hàm số biện luận
m +1 m +1
b. x − x − 2 =
2
⇔ ( − x2 + x + 2) x + 1 = − với x ≠ −1
2 x +1 2
Vẽ đồ thị hàm số ( C2 ) y = ( − x + x + 2 ) x + 1 như sau:
2
- Giữ nguyên phần đồ thị ( C p ) của ( C ) - ứng với x > -1
- Lấy ( C ) đối xứng với phần đồ thị của ( C ) - ứng
'
p với x < -1 qua trục hoành Ox
⇒ ( C ) = ( C ) ∪ ( C ) (Các bạn tự vẽ hình). Từ đó dẫn tới kết luận
'
p p
4.6. Ta có: y ' = −3 x 2 + 3 ; y " = −6 x = 0 ⇔ x = 0
⇒ U ( 0; 2 ) là điểm uốn của đồ thị hàm số
Hệ số góc của tiếp tuyến tại U là: k = y ' ( 0 ) = 3
Với điểm M ( x0 ; y0 ) bất kì thuộc đồ thị hàm số, thì hệ số góc tại M là: k1 = y ' ( x0 ) = 3 x0 + 3 ≤ 3
2
Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Câu 5: Cho hàm số (C): y = x 3 − 3mx 2 − mx và đường thẳng d: y = x + 2.
Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d:
5.1. Tại đúng 2 điểm phân biệt.
5.2. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
5.3. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
5.4. Tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Lời giải:
5.1. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x3 − x − 2
x 3 − 3mx 2 − mx = x + 2 ⇔ f ( x ) = =m
3x 2 + x
3 x 4 + 2 x3 + 3 x 2 + 12 x + 2
Ta có: f ' ( x ) = = 0 ⇔ 3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 12 x + 2 = 0 ⇔ ...
( 3x + x)
2 2
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x), từ đó dựa vào bảng biến thiên kết luận bài toán
5.2. Tương tự như câu a
Page 12 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
5.3. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x 3 − 3mx 2 − mx = x + 2 ⇔ g ( x ) = x 3 − 3mx 2 − ( m + 1) x − 2 = 0
Hàm số (C) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
⇔ g ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và điểm uốn của đồ thị hàm số y = g ( x ) nằm trên trục hoành Ox.
Phương trình g ' ( x ) = 3 x − 6mx − ( m + 1) = 0 có ∆ ' = 9m 2 + 3m + 3 > 0 nên luôn có 2 nghiệm phân biệt
2
-
với mọi m
Hàm y = g ( x ) có điểm uốn là U ( m; −2m − m − m − 2 ) ∈ Ox khi và chỉ khi:
3 2
-
−2m3 − m 2 − m − 2 = 0 ⇔ ( m + 1) ( 2m 2 − m + 2 ) = 0 ⇔ m = −1
Vậy m = −1
5.4. Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân.
Khi đó ta có: g ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 )
x1 + x2 + x3 = 3m
Suy ra: x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = −m − 1
x x x = 2
1 2 3
5
Vì x1 x3 = x2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x2 = 3 2 nên ta có: −m − 1 = 4 + 2.3m ⇔ m = −
2 3 3
3 2 +1
3
5
Đk đủ: Với m = − , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
33 2 +1
5
Vậy m = −
3 2 +1
3
Câu 6: Cho hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1
4 2
6.1. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng;
6.2. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3.
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 ; (1)
4 2
Đặt t = x 2 , t ≥ 0 thì (1) thành: f (t ) = t − 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 .
2
Page 13 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
6.1. Điều kiện để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân biệt
∆ ' = m 2 > 0 1
m > −
⇔ S = 2 ( m + 1) > 0 ⇔ 2 (*)
P = 2m + 1 > 0 m ≠ 0
Với (*), gọi t1 < t2 là 2 nghiệm của f(t), khi đó hoành độ giao điểm của hàm số với Ox lần lượt là:
x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
Các giao điểm lập thành cấp số cộng ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1
⇔ m +1+ m = 9 ( m +1− m )
m = 4
5m = 4m + 4
⇔ 5 m = 4 ( m + 1) ⇔ ⇔
−5m = 4m + 4 m = − 4
9
4
Vậy m = 4; −
9
6.2. Hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3
0 = t1 < t2 < 3
⇔ f ( t ) có 2 nghiệm phân biệt t1 ; t2 sao cho:
0 < t1 < 3 ≤ t2
∆ ' = m 2 > 0
∆ ' = m > 0
2
f ( 3) = 4 − 4m ≤ 0
⇔ f (0) = 2m + 1 = 0
S = 2 m + 1 < 3 S = 2 ( m + 1) > 0
( ) P = 2m + 1 > 0
1
⇔ m = − ∨ m ≥1
2
1
Đáp số m = − ∨ m ≥ 1 .
2
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 14 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
Câu 1: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (C)
1.4 Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +∞ )
1.2 Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn:
a. xCT < 2
b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1
1
c. x1 − x2 > , với x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị
3
d. Có ít nhất 1 hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0)
Lời giải:
1.1. Hàm đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇔ y ' = 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) ≥ 0 với ∀x ∈ ( 0; +∞ )
3x 2 + 2x + 2
⇔ f ( x) = ≥ m với ∀x ∈ ( 0; +∞ )
4x +1
2 ( 6 x 2 + x − 3) −1 ± 73
Ta có: f ' ( x ) = = 0 ⇔ 6 x2 + x − 3 = 0 ⇔ x =
( 4 x + 1)
2
12
Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên ( 0; +∞ ) , từ đó ta đi đến kết luận:
−1 + 73 3 + 73
f
12 ≥m⇔
≥m
8
1.2. Ta có: y ' = 3x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m)
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
5
⇔ ∆ ' = (1 − 2m) − 3(2 − m) = 4m − m − 5 > 0 ⇔
2 2 m > 4 (*)
m < −1
Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 .
2m − 1 + 4m 2 − m − 5
a. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x2 = ⇒ xCT = x2
3
2 m − 1 + 4m 2 − m − 5
Do đó: xCT < 2 ⇔
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
⇔ 4m 2 − m − 5 < 7 − 2m
7 − 2 m > 0
⇔ 2 2 ⇔ m< 2
4m − m − 5 < ( 7 − 2m )
5
Kết hợp với (*), kết luận các giá trị cần tìm của m là: m ∈ ( −∞; −1) ∪ ; 2
4
b. Hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1 ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 đều lơn hơn -1
∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m 2 − m − 5 > 0
2(1 − 2m) 5
⇔ x1 + x2 > −2 ⇔ − > −2 ⇔m>
x +1 x +1 > 0 3 4
( 1 )( 2 ) 2(1 − 2m) 2 − m
−
3
+
3
>0
2(1 − 2m)
x1 + x2 = −
3
c. Áp dụng định lí viet, ta có:
x x = 2−m
1 2
3
1 1
⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 >
2 2
Ta có: x1 − x2 >
3 9
⇔ 4 ( 1 − 2m ) − 4 ( 2 − m ) > 1 ⇔ 16m 2 − 12m − 5 > 0
2
3 + 29 3 − 29
⇔m> ∨m<
8 8
3 + 29
Kết hợp (*), ta suy ra m > ∨ m < −1
8
d. Để hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2; 0) ⇔ y ' = f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 và có ít nhất
−2 < x1 < x2 < 0;(1)
1 nghiệm thuộc (-2; 0) ⇔ −2 < x1 < 0 ≤ x2 ;(2)
x1 ≤ −2 < x2 < 0;(3)
Ta có:
Page 16 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m − m − 5 > 0
2
−2 < 2 m − 1 < 0
−2 < x1 + x2 3
0 4 + + >0 7
1 2
3 3
x1 x2 > 0
2 − m
3 >0
4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m − m − 5 > 0
2
m ≥ 2
f ( 0) = 2 − m ≤ 0
(2) ⇔ ⇔ 2 m − 1 > −2 ⇔m≥2
( x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) > 0 3
( x + 2 ) ( x + 2 ) > 0 2 − m 4 ( 2m − 1)
1 2
+ +4>0
3 3
4m 2 − m − 5 > 0
∆ ' = 4m − m − 5 > 0
2
3m + 5 ≥ 0
f ( −2 ) = 10 + 6m ≤ 0 5
(3) ⇔ ⇔ 2m − 1 < 0 ⇔ − ≤ m < −1
x1 + x2 < 0 3 3
x x > 0 2 − m
1 2 >0
3
5
Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m ∈ − ; −1 ∪ [ 2; +∞ )
3
Câu 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 . Tìm m để hàm số có:
2.1. Cực trị và các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1
2.2. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3
2.3. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – 5 = 0 một góc
45o .
5 17
2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm I ; −
3 3
3 1
2.5. Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+
2 2
2.6. Các điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5.
2.7. Có cực trị và chứng minh khoảng cách giữa 2 điểm cực trị lớn hơn 2.
2.8. Cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 − 3x2 = 4 .
Page 17 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Lời giải:
Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*)
Với điều kiện (*), gọi x1 < x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0. Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 ; x2 ;
gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:
1 1 2m m
y = x − y '− + 2 x + 2 −
3 3 3 3
2m m
y1 = y ( x1 ) = − + 2 x1 + 2 −
3 3
⇒
2m m
y2 = y ( x2 ) = − + 2 x2 + 2 −
3 3
2m m
⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = − + 2 x + 2 −
3 3
2.1. Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x – 1 ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x – 1
2m 3
⇔ − + 2 = 1 ⇔ m = − (thỏa mãn)
3 2
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x – 1
y1 + y2 x1 + x2
⇔ y I = xI − 1 ⇔ = −1
2 2
2m m
⇔ − + 2 ( x1 + x2 ) + 2 2 − = ( x1 + x2 ) − 2
3 3
2m 2m
⇔ + 3 .2 = 6 − ⇔m=0
3 3
3
Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0; −
2
2.2. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3
2m
− 3 + 2 = −4
⇔ ⇔ m = 3 (thỏa mãn)
2 − m ≠ 3
3
2m
2.3. Đặt k = − + 2 là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
3
Page 18 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Đường thẳng x + 4y – 5 = 0 có hệ số góc bằng -1/4
1 1 1 3 39
k+ k + 4 = 1 − 4 k k = 5 m = − 10
Ta có: tan 45 =
o 4 ⇔ ⇔ ⇔
1 k + 1 = −1 + 1 k k = − 5 m = − 1
1− k
4
4 4
3
2
1
Kết hợp đk (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = −
2
5 17
2.4. Các điểm cực trị đối xứng qua tâm M ; −
3 3
17 2m 5 m
⇔ M ∈d ⇔ − = − + 2 + 2 − ⇔ m = 3 (thỏa mãn)
3 3 3 3
Vậy m = 3
x1 + x2 = 2
2.5. Theo định lí viet ta có: m
x1 x2 = − 3
Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 1; − m ) .
3 1 d ⊥ ∆
Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng ∆ : y = x+ ⇔
2 2 I ∈ ∆
2m 3
− 3 + 2 . 2 = −1
⇔ ⇔ m = −2 (thỏa mãn (*))
3 1
− m = +
2 2
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn bài toán
2.6. Các điểm cực trị A, B nằm về 2 phía đối với đường thẳng y = 4x + 5.
2
m
⇔ + 3 ( 4 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 1) < 0
3
2
m 4m
⇔ + 3 5 −
5 − 4m < 0 4
3
Page 19 of 26
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
15
Vậy m > là các giá trị cần tìm.
4
2 m
2
2.7. Ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + 2 + 1 ( x1 − x2 )
2 2 2
2
=
3
2 m
2
2m
= + 2 + 1 4 +
3
3
2m
Với m thỏa mãn đk (*) ⇒ + 2 > 0 ⇒ AB 2 > 2 ⇒ AB > 2
3
Vậy khi hàm số có cực trị thì khoảng cách cực trị luôn lớn hơn 2
2.8. Áp dụng định lí viet, kết hợp điều kiện ta có hệ:
5
x1 + x2 = 2 x1 = 2
m 1 m 5 15
x1 x2 = − ⇔ x2 = − ⇒− =− ⇒m= (thỏa mãn (*))
3 2 3 4 4
x1 − 3 x2 = 4
m
x1 x2 = − 3
15
Vậy m =
4
Câu 3: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4
3.1. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
3.2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác:
a. Vuông cân
b. Đều
c. Tam giác có diện tích bằng 4.
3.3. Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị.
3.4. Tìm m để parabol đi qua 3 điểm cực trị đi qua điểm M ( 2;1 )
Lời giải:
x = 0
3.1. Ta có: y ' = 4 x − 4mx = 0 ⇔
3
g ( x) = x − m = 0
2
Vì hệ số a = 1 > 0 nên nếu hàm số có 1 cực trị thì đó là điểm cực tiểu, do đó điều kiện để hàm có cực
tiểu mà không có cực đại là y’ = 0 đổi dấu tại duy nhất 1 điểm
⇔ ∆g = m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0
Page 20 of 26
nguon tai.lieu . vn
