Xem mẫu

  1. http://laisac.page.tl bi n đ i, khai tri n và ư c lư c đ tìm gi i h n dãy t ng laisac biên so n Trong các kì thi Oluympic , HSG ta thư ng th y có nhi u bài toán tìm gi i h n dãy t ng. Đôi lúc, đ gi i đư c d ng này ta ph i bi n đ i t đi u ki n gi thi t đã cho c a dãy, t đó khai tri n và ư c lư c đ đưa v dãy t ng c n tìm đơn gi n hơn , ta có th tính đư c gi i h n c a nó . Dư i đây là các bài toán c a tác gi và sưu t m l y t t p chí Toán H c và Tu i Tr đ minh h a cho chuyên đ này. 1 Bài 1:Xét dãy s (xn ) (n=1,2,3.....) đư c xác đ nh b i :x1 = 2 và xn+1 = (x2 + 1) v i 2 n m i n =1,2,3... 1 1 1 Đ t Sn = + + .... + . 1 + x1 1 + x2 1 + xn Tính ph n nguyên c a S2009 và tính gi i h n c a Sn khi n tăng lên vô h n. HD:Ta có th t ng  quát bài toán như sau:  u1 = a Cho dãy un th a mãn u2 − (b + c)un + c2  un+1 = n b−c n 1 1 1 Tính ch ng minh Sn = = − . i=1 ui + b u1 + c un+1 + c u2 − (b + c)un + c2 Th t v y, ta bi n đ i un+1 = n b−c u2 − (b + c)un + bc n (un + b)(un + c) ⇒ un+1 + c = = b−c b−c 1 1 1 1 1 1 ⇒ = − ⇒ = − un+1 + c un + c un + b un + b un + c un+1 + c Khai tri n và ư c lư c dãy: 1 1 1 = − u1 + b u1 + c u2 + c 1 1 1 = − u +b u2 + c u3 + c .2 . . 1 1 1 = − un + b un + c un+1 + c 1 1 Do đó Sn = − u1 + c un+1 + c V n d ng:Ta có th gi i bài toán trên b ng phép bi n đ i này (b=1,c=-1) 1 1 1 Khi đó Sn = − =1− u1 − 1 un − 1 un − 1 1 2 Mà un+1 − un = (un − 1) > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng ⇒ 2 = u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ .... 2 Gi s limun = a(a > 2) ⇒ 2a = a2 + 1 ⇒ a = 1 (vô lí) 1 V y limun = ∞ ⇒ lim =0 un − 1 1
  2. 1 Do đó ph n nguyên S2009 = 0 vì 0 < < 1 và limSn = 1 u2009 − 1 n 1 u1 = 2009 Bài 2: Cho dãy un th a mãn: . Tính lim . un+1 = u2 − un + 1 n i=1 un HD: Ta có un+1 − un = (un − 1)2 > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng Gi s (un ) có gi i h n. Đ t limun = L(L > 2009) Ta có L = L2 − L + 1 ⇒ L = 1 (vô lí) 1 ⇒ limun = ∞ ⇒ lim = 0 un 2 Ta còn có un+1 = un − un + 1 ⇒ un+1 − 1 = un (un − 1) 1 1 1 1 ⇒ = = − un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 un 1 1 1 V y = − un un − 1 un+1 − 1 Khai tri n và ư c lư c ta có : 1 1 1 = − u1 u1 − 1 u2 − 1 1 1 1 = − u u2 − 1 u3 − 1 .2 . . n 1 1 1 1 1 1 Sn = = − ⇒ limSn = lim( − )= i=1 ui u1 − 1 un+1 − 1 2009 − 1 un+1 − 1 2008 Bài 3: Cho dãy s xn , n = 1, 2, 3... đư c xác đ nh như sau: x1 = 1 và xn+1 = xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + 1 v i n = 1, 2, ... n 1 Đ t yn = , (n = 1, 2, ....) .Tính gi i h n c a yn khi n d n đ n vô t n. i=1 xi + 2 HD: Ta có: xn+1 = (x2 + 3xn )(x2 + 3xn + 2) + 1 = t(t + 2) + 1 = (t + 1)2 = x2 + 3xn + 1 n n trong đó 0 < t = x2 + 3xn . n Xét xn+1 − xn = (xn + 1)2 > 0, ∀n ∈ N ∗ ⇒ (xn ) là dãy tăng Gi s :limxn = a(a > 1) ⇒ a = a2 + 3a + 1 , vô nghi m(vì a>1) ⇒ limxn = ∞ 1 1 1 1 1 1 1 = 2 = − ⇒ = − xn+1 + 1 xn + 3xn + 2 xn + 1 xn + 2 xn + 2 xn + 1 xn+1 + 1 Khai tri n và ư c lư c ta có: 1 1 1 = − x1 + 2 x1 + 1 x2 + 1 1 1 1 = − x +2 x2 + 1 x3 + 1 .2 . . 1 1 1 ⇒ limyn = lim( − )= . x1 + 1 xn+1 + 1 2 a1 = 1; a2 = 3 Bài 4: Cho dãy s an xác đ nh b i: n=1,2,3... an+2 = 2an+1 − an + 1 1 1 1 Tính gi i h n t ng Sn = + + ... + . Khi n d n đ n vô t n. a1 a2 an n(n + 1) HD: Cách 1: Ta ch ng minh :an = . 2 Th t v y: Theo phương pháp qui n p. Ta nh n th y a1 , a2 đúng 2
  3. k(k + 1) Gi s ak = 2 (k + 1)(k + 2) Ta có ak+1 = 2ak − ak−1 + 1 = . 2 Theo nguyên lí qui n p ta có đi u ch ng minh. n(n + 1) 1 1 1 V y:an = ⇒ = 2( − ) 2 an n n+1 1 2n ⇒ limSn = lim2(1 − ) = lim =2 n+1 n+1 Cách 2: T gi thi t suy ra an+2 − an+1 = an+1 + 1 . . . a3 − a2 = a2 − a1 + 1 c ng l i ta có:an = an−1 + n = (an−2 + n − 1) + n..... n(n + 1) ⇒an = 1 + 2 + 3 + ..... + n = 2 Bài 5: Cho dãy s (un ) đư c xác đ nh như sau: n 1 u1 = 1 ∀n = 1, 2, 3....... Tính lim un+1 = 1 + u1 .u2....un i=1 ui HD: Ta có u1 = 1 ⇒ u2 = 2, un+1 = 1 + u1.u2...un−1.un = 1 + (un − 1).un ⇒ un+1 = u2 − un + 1 n Ch ng minh đư c (un ) là dãy tăng và limun = ∞ Ta còn có un+1 − 1 = un (un − 1)∀n ≥ 2 1 1 1 1 ⇔ = = − ∀n ≥ 2 un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 un 1 1 1 ⇔ = − ∀n ≥ 2 un un − 1 un+1 − 1 1 1 1 1 T đó Sn = + + + ... + u1 u2 u3 un 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ Sn = + − + − + ... + − u1 u2 − 1 u3 − 1 u3 − 1 u4 − 1 un − 1 un+1 − 1 1 1 1 1 ⇔ Sn = + − =2− u1 u2 − 1 un+1 − 1 un+1 − 1 1 Do đó limSn = 2 vì lim =0 un+1 − 1 √ Bài 6: Cho dãy s un th a mãn u1 = 2009; un+1 = un ( un + 1)2 ;v i n= 1, 2, 3.... n 1 Tính lim √ i=1 ui + 1 √ √ √ √ HD: Ta có un+1 = un ( un + 1)2 ⇒ un+1 = un ( un + 1) 1 1 1 1 1 1 1 ⇒√ =√ √ =√ −√ ⇒√ =√ −√ un+1 un ( un + 1) un un + 1 un + 1 un un+1 Khai tri n và ư c lư c ta suy ra k t qu 2008 2008 Bài 7: Cho dãy s (xn ) đ nh b i x1 = ,xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1); n 2009 2009 n=1,2,3... Tính lim x2 i i=1 2008 HD: Ta có xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1) 2009 2 ⇒ xn+1 = (1 − xn ).xn ⇒ xn = xn − xn+1 3
  4. Khai tri n và ư c lư c ta có: n 2008 Sn = x2 = x1 − xn+1 ⇒ limSn = i i=1 2009 1 Bài 8: Cho dãy s (un ) có un = v i n = 1, 2, 3.... n(n + 1)(n + 2)......(n + 2008) n Tính lim ui i=1 (n − 1)! n + 2008 − n (n − 1)! n! 1 HD: S h ng un = . =[ − ]. (n + 2008)! 2008 (n + 2007)! (n + 2008)! 2008 1 1 n! Cho n = 1, 2, 3, .....2008 , r i c ng l i ta đư c. Sn = [ − ] 2008 2008! (n + 2008)! n! 1 Mà lim = lim =0 (n + 2008)! (n + 1)(n + 2).....(n + 2008) 1 1 n! 1 ⇒ Sn = lim [ − ]= 2008 k! (n + 2008)! 2008.2008! k i Bài 9: Cho dãy xk , v i xk = , k=1, 2, 3.... i=1 (i + 1)! √ n Tính lim n x1 + xn + .... + xn 2 2009 k+1 HD: Vì xk+1 −xk = > 0. Do đó dãy trên tăng. Suy ra 0 < x1 < x2 < ..... < x2009 (k + 2)! hay xn < xn + xn + .... + xn < 2009xn 2009 1 √ 2 2009 2009 1 suy ra x2009 < n xn + xn + ... + xn < 2009 n x2009 (*) 1 2 2009 k 1 1 M t khác ta có: = − (k + 1)! k! (k + 1)! 1 1 T đó suy ra xk = 1 − ⇒ x2009 = 1 − (k + 1)! 2010! 1 1 1 Thay k t qu này vào (*) ta có: 1 − < xn + xn + ... + xn < 2009 n (1 − n 1 2 2009 ) 2010! 2010! 1 1 1 1 Nhưng vì lim(1 − ) = lim 2009 n (1 − )=1− . 2010! 2010! 2010! √ 1 V y theo đ nh lí k p ta có:lim n xn + xn + ... + xn = 1 − 1 2 2009 . 2010! Bài c p s c ng. Bài 10: Cho x, y, z là ba góc th a mãn đi u ki n 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2π cos x + cos y + cos z = 0 sin x + sin y + sin z = 0 Ch ng minh r ng ba s x, y, z l p thành m t c p s c ng . cos x + cos y = − cos z HDT gi thi t c a h suy ra sin x + sin y = − sin z 1 Bình phương hai v tương ng , r i c ng l i ta có cos(x − y) = − 2 1 Hoàn toàn tương t ta cũng có cos(y − z) = cos(z − x) = − 2 2π 4π Vì 0 ≤ y − x; z − x; z − y ≤ 2π ⇒y-x, z-y, z-x nh n m t trong hai giá tr ; . 3 3 4
  5. 4π 2π nhưng vì z-x=(z-y)+(y-x) nên ch có th x y ra z − x = ;z − y = y − x = . 3 3 Suy ra đi u ph i CM. A B C Bài 11: Trong tam giác ABC có cot( ); cot( ); cot( ) l p thành m t c p s c ng. 2 2 2 Tìm góc l n nh t c a tam giác đó. B A C HD:Ta có 2cot( ) = cot( ) + cot( ). 2 2 2 A C Bi n đ i đưa v 3tan( ).tan( ) = 1 2 2 A C A A T đó cot( ).cot( ) = 3 ⇔ cot( )[cot( + 2] = 3 2 2 2 2 A Gi i phương trình này ta đư c m t nghi m thích h p cot( ) = 1. 2 V y góc l n nh t c a tam giác b ng 900 1 1 1 Bài 12: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 6 + 6b + cos a cos cos6 c π Trong đó ba s a, b, c l p thành m t c p s c ng v i công sai b ng . 3 π π HD:Theo gi thi t thì a = b − và c = b + . 3 3 Đ t cos2 b = t, 0 < t ≤ 1 và cos3 b = m, 0 < m ≤ 1 thì π cos3 a = cos3 ( − b) = cos2 3b = m; 3 π cos3 c = cos3 ( + b) = cos2 3b = m; 3 Và (4cos3 b − 3cosb)2 = cos2 b(4cos2 b − 3)2 = m Hay phương trình 16t3 − 24t2 + 9t − m = 0, 0 < m ≤ 1 có các nghi m π π t1 = cos2 b, t2 = cos2 ( − b), t3 = cos2 ( + b) 3 3 Suy ra phương trình mu3 − 9u2 + 24u − 16 = 0 có các nghi m 1 1 1 u1 = 2b , u2 = π , u3 = π . cos cos2 ( − b) cos2 ( + b) 3 3 Khi đó P = u3 + u3 + u3 . S d ng h th c Vi-et và đ ng th c 1 2 3 u3 + u3 + u3 = (u1 + u2 + u3)3 − 3(u1 + u2)(u2 + u3)(u4 + u4), ta thu đư c: 1 2 3 9 3 9 9 9 P = ( ) − 3( − u1 )( − u2 )( − u3 ) m m m m 3 2 16 9 Hay P = P (x) = x − 8x + x, x = ≥ 9, (do0 < m ≤ 1). 3 m 16 Nh n xét r ng hàm s này có P’(x)== 3x2 − 16x + > 0,m i x≥ 9 nên P(x) đ ng bi n 3 trong [9; + ∝). Suy ra minP = P(9) = 129, đ t đư c khi m = 1 π Hay cos2 3b = 1 ⇔ sin3b = 0 ⇔ b = k . 3 π π Do đó a = (k − 1) , c = (k + 1) ,, k là s nguyên. 3 3 h t 5