Xem mẫu
- http://laisac.page.tl
bi n đ i, khai tri n và ư c lư c đ tìm gi i h n dãy t ng
laisac biên so n
Trong các kì thi Oluympic , HSG ta thư ng th y có nhi u bài toán tìm gi i h n dãy t ng.
Đôi lúc, đ gi i đư c d ng này ta ph i bi n đ i t đi u ki n gi thi t đã cho c a dãy, t đó khai tri n và
ư c lư c đ đưa v dãy t ng c n tìm đơn gi n hơn , ta có th tính đư c gi i h n c a nó .
Dư i đây là các bài toán c a tác gi và sưu t m l y t t p chí Toán H c và Tu i Tr đ minh h a cho
chuyên đ này.
1
Bài 1:Xét dãy s (xn ) (n=1,2,3.....) đư c xác đ nh b i :x1 = 2 và xn+1 = (x2 + 1) v i
2 n
m i n =1,2,3...
1 1 1
Đ t Sn = + + .... + .
1 + x1 1 + x2 1 + xn
Tính ph n nguyên c a S2009 và tính gi i h n c a Sn khi n tăng lên vô h n.
HD:Ta có th t ng quát bài toán như sau:
u1 = a
Cho dãy un th a mãn u2 − (b + c)un + c2
un+1 = n
b−c
n 1 1 1
Tính ch ng minh Sn = = − .
i=1 ui + b u1 + c un+1 + c
u2 − (b + c)un + c2
Th t v y, ta bi n đ i un+1 = n
b−c
u2 − (b + c)un + bc
n (un + b)(un + c)
⇒ un+1 + c = =
b−c b−c
1 1 1 1 1 1
⇒ = − ⇒ = −
un+1 + c un + c un + b un + b un + c un+1 + c
Khai tri n và ư c lư c dãy:
1 1 1
= −
u1 + b u1 + c u2 + c
1 1 1
= −
u +b u2 + c u3 + c
.2
.
.
1 1 1
= −
un + b un + c un+1 + c
1 1
Do đó Sn = −
u1 + c un+1 + c
V n d ng:Ta có th gi i bài toán trên b ng phép bi n đ i này (b=1,c=-1)
1 1 1
Khi đó Sn = − =1−
u1 − 1 un − 1 un − 1
1 2
Mà un+1 − un = (un − 1) > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng ⇒ 2 = u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ ....
2
Gi s limun = a(a > 2) ⇒ 2a = a2 + 1 ⇒ a = 1 (vô lí)
1
V y limun = ∞ ⇒ lim =0
un − 1
1
- 1
Do đó ph n nguyên S2009 = 0 vì 0 < < 1 và limSn = 1
u2009 − 1
n 1
u1 = 2009
Bài 2: Cho dãy un th a mãn: . Tính lim .
un+1 = u2 − un + 1
n i=1 un
HD: Ta có un+1 − un = (un − 1)2 > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng
Gi s (un ) có gi i h n. Đ t limun = L(L > 2009)
Ta có L = L2 − L + 1 ⇒ L = 1 (vô lí)
1
⇒ limun = ∞ ⇒ lim = 0
un
2
Ta còn có un+1 = un − un + 1 ⇒ un+1 − 1 = un (un − 1)
1 1 1 1
⇒ = = −
un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 un
1 1 1
V y = −
un un − 1 un+1 − 1
Khai tri n và ư c lư c ta có :
1 1 1
= −
u1 u1 − 1 u2 − 1
1 1 1
= −
u u2 − 1 u3 − 1
.2
.
. n 1 1 1 1 1 1
Sn = = − ⇒ limSn = lim( − )=
i=1 ui u1 − 1 un+1 − 1 2009 − 1 un+1 − 1 2008
Bài 3: Cho dãy s xn , n = 1, 2, 3... đư c xác đ nh như sau:
x1 = 1 và xn+1 = xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + 1 v i n = 1, 2, ...
n 1
Đ t yn = , (n = 1, 2, ....) .Tính gi i h n c a yn khi n d n đ n vô t n.
i=1 xi + 2
HD: Ta có:
xn+1 = (x2 + 3xn )(x2 + 3xn + 2) + 1 = t(t + 2) + 1 = (t + 1)2 = x2 + 3xn + 1
n n
trong đó 0 < t = x2 + 3xn .
n
Xét xn+1 − xn = (xn + 1)2 > 0, ∀n ∈ N ∗ ⇒ (xn ) là dãy tăng
Gi s :limxn = a(a > 1) ⇒ a = a2 + 3a + 1 , vô nghi m(vì a>1) ⇒ limxn = ∞
1 1 1 1 1 1 1
= 2 = − ⇒ = −
xn+1 + 1 xn + 3xn + 2 xn + 1 xn + 2 xn + 2 xn + 1 xn+1 + 1
Khai tri n và ư c lư c ta có:
1 1 1
= −
x1 + 2 x1 + 1 x2 + 1
1 1 1
= −
x +2 x2 + 1 x3 + 1
.2
.
.
1 1 1
⇒ limyn = lim( − )= .
x1 + 1 xn+1 + 1 2
a1 = 1; a2 = 3
Bài 4: Cho dãy s an xác đ nh b i: n=1,2,3...
an+2 = 2an+1 − an + 1
1 1 1
Tính gi i h n t ng Sn = + + ... + . Khi n d n đ n vô t n.
a1 a2 an
n(n + 1)
HD: Cách 1: Ta ch ng minh :an = .
2
Th t v y: Theo phương pháp qui n p. Ta nh n th y a1 , a2 đúng
2
- k(k + 1)
Gi s ak =
2
(k + 1)(k + 2)
Ta có ak+1 = 2ak − ak−1 + 1 = .
2
Theo nguyên lí qui n p ta có đi u ch ng minh.
n(n + 1) 1 1 1
V y:an = ⇒ = 2( − )
2 an n n+1
1 2n
⇒ limSn = lim2(1 − ) = lim =2
n+1 n+1
Cách 2: T gi thi t suy ra
an+2 − an+1 = an+1 + 1
.
.
.
a3 − a2 = a2 − a1 + 1
c ng l i ta có:an = an−1 + n = (an−2 + n − 1) + n.....
n(n + 1)
⇒an = 1 + 2 + 3 + ..... + n =
2
Bài 5: Cho dãy s (un ) đư c xác đ nh như sau:
n 1
u1 = 1
∀n = 1, 2, 3....... Tính lim
un+1 = 1 + u1 .u2....un i=1 ui
HD: Ta có u1 = 1 ⇒ u2 = 2, un+1 = 1 + u1.u2...un−1.un = 1 + (un − 1).un
⇒ un+1 = u2 − un + 1
n
Ch ng minh đư c (un ) là dãy tăng và limun = ∞
Ta còn có un+1 − 1 = un (un − 1)∀n ≥ 2
1 1 1 1
⇔ = = − ∀n ≥ 2
un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 un
1 1 1
⇔ = − ∀n ≥ 2
un un − 1 un+1 − 1
1 1 1 1
T đó Sn = + + + ... +
u1 u2 u3 un
1 1 1 1 1 1 1
⇔ Sn = + − + − + ... + −
u1 u2 − 1 u3 − 1 u3 − 1 u4 − 1 un − 1 un+1 − 1
1 1 1 1
⇔ Sn = + − =2−
u1 u2 − 1 un+1 − 1 un+1 − 1
1
Do đó limSn = 2 vì lim =0
un+1 − 1
√
Bài 6: Cho dãy s un th a mãn u1 = 2009; un+1 = un ( un + 1)2 ;v i n= 1, 2, 3....
n 1
Tính lim √
i=1 ui + 1
√ √ √ √
HD: Ta có un+1 = un ( un + 1)2 ⇒ un+1 = un ( un + 1)
1 1 1 1 1 1 1
⇒√ =√ √ =√ −√ ⇒√ =√ −√
un+1 un ( un + 1) un un + 1 un + 1 un un+1
Khai tri n và ư c lư c ta suy ra k t qu
2008 2008
Bài 7: Cho dãy s (xn ) đ nh b i x1 = ,xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1);
n
2009 2009
n=1,2,3... Tính lim x2 i
i=1
2008
HD: Ta có xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1)
2009
2
⇒ xn+1 = (1 − xn ).xn ⇒ xn = xn − xn+1
3
- Khai tri n và ư c lư c ta có:
n 2008
Sn = x2 = x1 − xn+1 ⇒ limSn =
i
i=1 2009
1
Bài 8: Cho dãy s (un ) có un = v i n = 1, 2, 3....
n(n + 1)(n + 2)......(n + 2008)
n
Tính lim ui
i=1
(n − 1)! n + 2008 − n (n − 1)! n! 1
HD: S h ng un = . =[ − ].
(n + 2008)! 2008 (n + 2007)! (n + 2008)! 2008
1 1 n!
Cho n = 1, 2, 3, .....2008 , r i c ng l i ta đư c. Sn = [ − ]
2008 2008! (n + 2008)!
n! 1
Mà lim = lim =0
(n + 2008)! (n + 1)(n + 2).....(n + 2008)
1 1 n! 1
⇒ Sn = lim [ − ]=
2008 k! (n + 2008)! 2008.2008!
k i
Bài 9: Cho dãy xk , v i xk = , k=1, 2, 3....
i=1 (i + 1)!
√ n
Tính lim n x1 + xn + .... + xn
2 2009
k+1
HD: Vì xk+1 −xk = > 0. Do đó dãy trên tăng. Suy ra 0 < x1 < x2 < ..... < x2009
(k + 2)!
hay xn < xn + xn + .... + xn < 2009xn
2009 1
√ 2 2009 2009
1
suy ra x2009 < n xn + xn + ... + xn < 2009 n x2009 (*)
1 2 2009
k 1 1
M t khác ta có: = −
(k + 1)! k! (k + 1)!
1 1
T đó suy ra xk = 1 − ⇒ x2009 = 1 −
(k + 1)! 2010!
1
1 1
Thay k t qu này vào (*) ta có: 1 − < xn + xn + ... + xn < 2009 n (1 −
n
1 2 2009 )
2010! 2010!
1
1 1 1
Nhưng vì lim(1 − ) = lim 2009 n (1 − )=1− .
2010! 2010! 2010!
√ 1
V y theo đ nh lí k p ta có:lim n xn + xn + ... + xn = 1 −
1 2 2009 .
2010!
Bài c p s c ng.
Bài 10:
Cho x, y, z là ba góc th a mãn đi u ki n 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2π
cos x + cos y + cos z = 0
sin x + sin y + sin z = 0
Ch ng minh r ng ba s x, y, z l p thành m t c p s c ng .
cos x + cos y = − cos z
HDT gi thi t c a h suy ra
sin x + sin y = − sin z
1
Bình phương hai v tương ng , r i c ng l i ta có cos(x − y) = −
2
1
Hoàn toàn tương t ta cũng có cos(y − z) = cos(z − x) = −
2
2π 4π
Vì 0 ≤ y − x; z − x; z − y ≤ 2π ⇒y-x, z-y, z-x nh n m t trong hai giá tr ; .
3 3
4
- 4π 2π
nhưng vì z-x=(z-y)+(y-x) nên ch có th x y ra z − x = ;z − y = y − x = .
3 3
Suy ra đi u ph i CM.
A B C
Bài 11: Trong tam giác ABC có cot( ); cot( ); cot( ) l p thành m t c p s c ng.
2 2 2
Tìm góc l n nh t c a tam giác đó.
B A C
HD:Ta có 2cot( ) = cot( ) + cot( ).
2 2 2
A C
Bi n đ i đưa v 3tan( ).tan( ) = 1
2 2
A C A A
T đó cot( ).cot( ) = 3 ⇔ cot( )[cot( + 2] = 3
2 2 2 2
A
Gi i phương trình này ta đư c m t nghi m thích h p cot( ) = 1.
2
V y góc l n nh t c a tam giác b ng 900
1 1 1
Bài 12: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 6 + 6b
+
cos a cos cos6 c
π
Trong đó ba s a, b, c l p thành m t c p s c ng v i công sai b ng .
3
π π
HD:Theo gi thi t thì a = b − và c = b + .
3 3
Đ t cos2 b = t, 0 < t ≤ 1 và cos3 b = m, 0 < m ≤ 1 thì
π
cos3 a = cos3 ( − b) = cos2 3b = m;
3
π
cos3 c = cos3 ( + b) = cos2 3b = m;
3
Và (4cos3 b − 3cosb)2 = cos2 b(4cos2 b − 3)2 = m
Hay phương trình 16t3 − 24t2 + 9t − m = 0, 0 < m ≤ 1 có các nghi m
π π
t1 = cos2 b, t2 = cos2 ( − b), t3 = cos2 ( + b)
3 3
Suy ra phương trình mu3 − 9u2 + 24u − 16 = 0 có các nghi m
1 1 1
u1 = 2b
, u2 = π , u3 = π .
cos cos2 ( − b) cos2 ( + b)
3 3
Khi đó P = u3 + u3 + u3 . S d ng h th c Vi-et và đ ng th c
1 2 3
u3 + u3 + u3 = (u1 + u2 + u3)3 − 3(u1 + u2)(u2 + u3)(u4 + u4), ta thu đư c:
1 2 3
9 3 9 9 9
P = ( ) − 3( − u1 )( − u2 )( − u3 )
m m m m
3 2 16 9
Hay P = P (x) = x − 8x + x, x = ≥ 9, (do0 < m ≤ 1).
3 m
16
Nh n xét r ng hàm s này có P’(x)== 3x2 − 16x + > 0,m i x≥ 9 nên P(x) đ ng bi n
3
trong [9; + ∝). Suy ra minP = P(9) = 129, đ t đư c khi m = 1
π
Hay cos2 3b = 1 ⇔ sin3b = 0 ⇔ b = k .
3
π π
Do đó a = (k − 1) , c = (k + 1) ,, k là s nguyên.
3 3
h t
5
nguon tai.lieu . vn
