Bất đẳng thức Schur và phương pháp biến đổi PQR

B§t đflng thøc Schur và phương pháp đŒi bi‚n p,q,r Võ Thành Văn Lîp 11 Toán-KhŁi chuyên THPT-ĐHKH Hu‚ Nh÷ c¡c b⁄n ¢ bi‚t, b§t flng thøc Schur l mºt b§t flng thøc m⁄nh v câ nhi•u øng döng, tuy nhi¶n nâ v¤n cÆn kh¡ xa l⁄ vîi nhi•u b⁄n håc sinh THCS công nh÷ THPT. Qua b i vi‚t n y, tæi muŁn công c§p th¶m cho c¡c b⁄n mºt k¾ thu“t ” sß döng tŁt BDT Schur, â l k‚t hæp vîi ph÷ìng ph¡p Œi bi‚n p;q;r. Tr÷îc h‚t, tæi xin nh›c l⁄i v• b§t flng thøc Schur v ph÷ìng ph¡p Œi bi‚n p;q;r. 1 B§t đflng thøc Schur ành lþ 1 (B§t flng thøc Schur) Vîi måi sŁ thüc khæng ¥m a;b;c;k; ta luæn câ ak(a b)(a c)+bk(b c)(b a)+ck(c a)(c b) 0: Hai tr÷íng hæp quen thuºc ÷æc sß döng nhi•u l k = 1 v k = 2 a(a b)(a c)+b(b c)(b a)+c(c a)(c b) 0 (i) a2(a b)(a c)+b2(b c)(b a)+c2(c a)(c b) 0 (ii) 2 Phương pháp đŒi bi‚n p;q;r Łi vîi mºt sŁ b i b§t flng thøc thuƒn nh§t Łi xøng câ c¡c bi‚n khæng ¥m th… ta câ th” Œi bi‚n l⁄i nh÷ sau °t p = a+b+c;q = ab+bc+ca;r = abc: V ta thu ÷æc mºt sŁ flng thøc sau ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) (a+b)(b+c)(c+a) ab(a2 +b2)+bc(b2 +c2)+ca(c2 +a2) (a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b) a2 +b2 +c2 a3 +b3 +c3 a4 +b4 +c4 a2b2 +b2c2 +c2a2 a3b3 +b3c3 +c3a3 a4b4 +b4c4 +c4a4 = pq 3r = pq r = p2q 2q2 pr = p2 +q = p2 2q = p3 3pq +3r = p4 4p2q +2q2 +4pr = q2 2pr = q3 3pqr +3r2 = q4 4pq2r +2p2r2 +4qr2 °t L = p2q2 +18pqr 27r2 4q3 4p3r; khi â a2b+b2c+c2a = (a b)(b c)(c a) = pq 3r pL 2 L 1 3 CÁC VÍ DÖ MINH H¯A Câ th” th§y ngay læi ‰ch cıa ph÷ìng ph¡p n y l mŁi r ng buºc giœa c¡c bi‚n p;q;r m c¡c bi‚n a;b;c ban ƒu khæng câ nh÷ p2 3q p3 27r q2 3pr pq 9r 2p3 +9r 7pq p2q +3pr 4q2 p4 +4q2 +6pr 5p2q Nhœng k‚t qu£ tr¶n ¥y ch›c ch›n l ch÷a ı, c¡c b⁄n câ th” ph¡t tri”n th¶m nhi•u flng thøc, b§t flng thøc li¶n h» giœa 3 bi‚n p;q;r. V i•u quan trång m tæi muŁn nâi ‚n l tł b§t flng thøc (i) v (ii), ta câ r p(4q p2) (tł (i)) r (4q p2)(p2 q) (tł (ii)) Tuy nhi¶n trong mºt sŁ tr÷íng hæp th… câ th” c¡c ⁄i l÷æng 4q p2câ th” nh“n gi¡ trà ¥m l¤n gi¡ trà d÷ìng n¶n ta th÷íng sß döng r max 0; p(4q p2) r max0; (4q p2)(p2 q) Câ l‡ ‚n ¥y c¡c b⁄n ¢ hi”u ÷æc phƒn n o v• b§t flng thøc Schur v ph÷ìng ph¡p Œi bi‚n p;q;r. Sau ¥y l mºt sŁ v‰ dö minh håa, nh÷ng tr÷îc h‚t, c¡c b⁄n h¢y t“p l m thß rçi xem ¡p ¡n sau 3 Các ví dö minh håa 3.1 B§t đflng thøc Schur V‰ dö 1 Cho c¡c sŁ d÷ìng a;b;c: Chøng minh r‹ng s s s (a+b)3 (b+c)3 (c+a)3 8ab(4a+4b+c) 8bc(4b+4c+a) 8ca(4c+4a+b) (Vª Th nh V«n) L˝I GIƒI. °t s s s (a+b)3 (b+c)3 (c+a)3 8ab(4a+4b+c) 8bc(4b+4c+a) 8ca(4c+4a+b) Q = 8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ca(4c+4a+b) = 32(a+b+c)(ab+bc+ca) 72abc p döng b§t flng thøc Holder, ta câ P2 Q 8(a+b+c)3 Võ Thành Văn 2 3.1 B§t đflng thøc Schur 3 CÁC VÍ DÖ MINH H¯A Ta cƒn chøng minh 8(a+b+c)3 Q , 8(a+b+c)3 32(a+b+c)(ab+bc+ca) 72abc , (a+b+c)3 4(a+b+c)(ab+bc+ca) 9abc (óng theo b§t flng thøc Schur). V“y ta câ pcm. V‰ dö 2 Cho c¡c sŁ d÷ìng a;b;c: Chøng minh r‹ng (a2 +2)(b2 +2)(c2 +2) 9(ab+bc+ca): (APMO 2004) L˝I GIƒI. Khai tri”n b§t flng thøc tr¶n, ta cƒn chøng minh a2b2c2 +2(a2b2 +b2c2 +c2a2)+4(a2 +b2 +c2)+8 9(ab+bc+ca) Ta câ a2 +b2 +c2 ab+bc+ca (a2b2 +1)+(b2c2 +1)+(c2a2 +1) 2(ab+bc+ca) a2b2c2 +1+1 3pa2b2c2 a+b+c 4(ab+bc+ca) (a+b+c)2 (theo b§t flng thøc Schur) p döng c¡c b§t flng thøc tr¶n, ta câ (a2b2c2 +2)+2(a2b2 +b2c2 +c2a2 +3)+4(a2 +b2 +c2) 2(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)+3(a2 +b2 +c2) 9(ab+bc+ca): B§t flng thøc ÷æc chøng minh. flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: V‰ dö 3 Cho c¡c sŁ d÷ìng a;b;c: Chøng minh r‹ng 2(a2 +b2 +c2)+abc+8 5(a+b+c): (Trƒn Nam Dông) L˝I GIƒI. Sß döng b§t flng thøc AM-GM, ta câ 6VT = 12(a2 +b2 +c2)+3(2abc+1)+45 523(a+b+c) 12(a2 +b2 +c2)+9 3 a2b2c2 +45 5 (a+b+c)2 +9 = 7(a2 +b2 +c2)+ 9abc 10(ab+bc+ca) 7(a2 +b2 +c2)+ a27abc c 10(ab+bc+ca) M°t kh¡c, sß döng b§t flng thøc Schur, a+b+c 4(ab+bc+ca) (a+b+c)2 = 2(ab+bc+ca) (a2 +b2 +c2) Võ Thành Văn 3 3.1 B§t đflng thøc Schur 3 CÁC VÍ DÖ MINH H¯A Do â 7(a2 +b2 +c2)+ a+b+c 10(ab+bc+ca) 7(a2 +b2 +c2)+6(ab+bc+ca) 3(a2 +b2 +c2) 10(ab+bc+ca) = 4(a2 +b2 +c2 ab bc ca) 0: B§t flng thøc ÷æc chøng minh. flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: V‰ dö 4 Cho c¡c sŁ khæng ¥m a;b;c; khæng câ 2 sŁ n o çng thíi b‹ng 0: Chøng minh r‹ng a b c 18 b3 +c3 a3 +c3 a3 +b3 5(a2 +b2 +c2) ab bc ca (Michael Rozenberg) L˝I GIƒI. B§t flng thøc cƒn chøng minh t÷ìng ÷ìng vîi Xa(a+b+c) 18(a+b+c) cyc b3 +c3 5(a2 +b2 +c2) ab bc ca X a2 X a 18(a+b+c) cyc b3 +c3 cyc b2 +c2 bc 5(a2 +b2 +c2) ab bc ca p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz, ta câ X a2 (a2 +b2 +c2)2 b3 +c3 a2(b3 +c3) cyc X a (a+b+c)2 b2 +c2 bc a(b2 +c2 bc) cyc Ta cƒn chøng minh (a2 +b2 +c2)2 (a+b+c)2 18(a+b+c) a2(b3 +c3) a(b2 +c2 bc) 5(a2 +b2 +c2) ab bc ca cyc cyc Gi£ sß a+b+c = 1 v °t ab+bc+ca = q;abc = r ) r maxn0; (4q 1)(1 q)o. Ta cƒn chøng minh (1 2q)2 1 18 q2 (q +2)r q 6r 5 11q B§t flng thøc cuŁi d„ d ng chøng minh b‹ng c¡ch x†t 2 tr÷íng hæp 1 4q v 4q 1. flng thøc x£y ra khi a = b = c ho°c a = b;c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng øng. V‰ dö 5 Cho c¡c sŁ d÷ìng a;b;c thäa m¢n a4 +b4 +c4 = 3. Chøng minh r‹ng 4 ab + 4 bc + 4 ca 1: Võ Thành Văn (Moldova TST 2005) 4 3.1 B§t đflng thøc Schur 3 CÁC VÍ DÖ MINH H¯A L˝I GIƒI. Quy çng m¤u sŁ rçi khai tri”n, ta cƒn chøng minh 49 8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc 64 16(ab+bc+ca)+4(a+b+c)abc a2b2c2 , 16+3(a+b+c)abc a2b2c2 +8(ab+bc+ca) p döng b§t flng thøc Schur v gi£ thi‚t a4 +b4 +c4 = 3, ta câ (a3 +b3 +c3 +3abc)(a+b+c) [ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)](a+b+c) , 3+3abc(a+b+c) (ab+bc)2 +(bc+ca)2 +(ca+ab)2 p döng b§t flng thøc AM-GM, ta câ (ab+bc)2 +(bc+ca)2 +(ca+ab)2 +12 8(ab+bc+ca) ) 15+3abc(a+b+c) 8(ab+bc+ca) M°t kh¡c ta l⁄i câ V“y ta câ pcm. flng thøc x£y ra khi v 1 a2b2c2: ch¿ khi a = b = c = 1: V‰ dö 6 Cho c¡c sŁ khæng ¥m a;b;c thäa m¢n ab+bc+ca = 3: Chøng minh r‹ng a3 +b3 +c3 +7abc 10: (Vasile Cirtoaje) p döng b§t flng thøc Schur, ta câ r max0; p(4q p2) = max0; p(12 p2) Ta cƒn chøng minh p3 9p+10r 10 N‚u p 2p3 th… ta câ p3 9p+10r 10 p3 9p 10 12p 9p 10 = 3p 10 > 0 N‚u p 2p3 < 4 th… p3 9p+10r 10 p3 9p+ 10p(12 p2) 10 = 1(p 3)[(16 p2)+3(4 p)+2] 0: V“y ta câ pcm. flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. V‰ dö 7 Cho c¡c sŁ d÷ìng a;b;c thäa m¢n a+b+c = 3: Chøng minh r‹ng 3+ abc 5 a + b + c : (Vª Th nh V«n) Võ Thành Văn 5 ... - tailieumienphi.vn