Xem mẫu
- B t ð ng Th c Karamata và M t S ng D ng
Cao Minh Quang
THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long
1. L i gi i thi u
Jovan Karamata sinh ngày 1 tháng 2 năm 1902 t i Zagreb, Serbia. B t ñ u h c khoa cơ khí t
năm 1920, nhưng ñ n năm 1922, ông chuy n ñ n khoa toán ñ h c. T t nghi p năm 1925, ngay l p t c
Karamata ñư c nh n làm tr gi ng cho giáo sư Mihailo Petrovic. Ông nh n ñư c h c v ti n sĩ năm
1926, tr thành giáo sư ð i h c Belgrade vào năm 1950. Năm 1951 Karamata r i Belgrade, ñ n gi ng
d y t i ð i h c Geneva. Ông s ng và làm vi c ñây ñ n cu i ñ i. Karamata m t ngày 14 tháng 8 năm
1967.
B t ñ ng th c Karamata là m t d ng t ng quát c a b t ñ ng th c Jensen.
2. B t ñ ng th c Karamata
Trư c h t, ta s ñ nh nghĩa các b tr i.
2.1. ð nh nghĩa.
N u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn , x1 ≥ y1, x1 + x2 ≥ y1 + y2 , ..., x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ y1 + y2 + ... + yn−1
và x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn thì ta nói b ( x1 , x2 ,..., xn ) tr i hơn b ( y1 , y2 ,..., yn ) và ta kí hi u
là ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) hay ( y1, y2 ,..., yn ) ≺( x1, x2 ,..., xn ) .
x1 + x2 + .. + xn
Hi n nhiên, n u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn thì ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = .
n
2.2. B t ñ ng th c Karamata
N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] và ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) v i m i xi , yi ∈ I thì
f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) .
ð ng th c x y ra khi và ch khi xi = yi , i = 1, 2,..., n .
Ta cũng có phát bi u tương t ñ i v i hàm s lõm b ng cách ñ i chi u d u b t ñ ng th c.
Ch ng minh. Vì f ( x) là hàm l i nên f ( x) − f ( y) ≥ ( x − y). f '( y), ∀x, y ∈ I . Th t v y:
f ( x) − f ( y )
• N u x ≥ y thì = f '(α ) ≥ f '( y ), α ∈ ( y, x) .
x− y
f ( y ) − f ( x)
• N u x ≤ y thì = f '(β ) ≤ f '( y ), β ∈ ( x, y ) .
y−x
T ñó suy ra f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ( xi − yi ). f '( yi ), ∀xi , yi ∈ I , i = 1,2,..., n .
Chú ý r ng f '( yi ) ≥ f '( yi +1 ), x1 + x2 + ... + xi ≥ y1 + y2 + ... + yi , i = 1,2,..., n −1 , s d ng khai tri n
Abel, ta có
n n
∑ f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ∑( xi − yi ). f '( yi ) = ( x1 − y1) f '( y1) +( x2 − y2 ) f '( y2 ) + ... +( xn − yn ) f '( yn )
i=1 i=1
= ( x1 − y1 ) f '( y1 ) − f '( y2 ) + ( x1 + x2 − y1 − y2 ) f '( y2 ) − f '( y3 ) + ...
+( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn ) f '( yn−1) − f '( yn ) +( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn ) f '( yn ) ≥ 0 .
1
- Do ñó
f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) .
2.3. H qu . (B t ñ ng th c Jensen). N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] , thì v i m i
xi , ∈ I (i = 1, 2,..., n) , ta có
x + x2 + ... + xn
f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ nf 1
.
n
Ch ng minh. Do tính ch t ñ i x ng, không m t tính t ng quát, ta có th gi s x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn .
x + x2 + .. + xn
Khi ñó ta ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = 1 . S d ng b t ñ ng th c Karamata ta
n
có ngay ñi u c n ch ng minh.
ð ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = ... = xn .
Sau ñây ta s nêu m t s ví d ñ minh h a cho vi c ng d ng c a b t ñ ng th c Karamata.
4. M t s ví d
4.1. Ví d 1. Cho 2n s th c dương ai , bi (i = 1,2,.., n) th a mãn các ñi u ki n sau a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ,
b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn , a1 ≥ b1 , a1a2 ≥ b1b2 ,..., a1a2 ...an ≥ b1b2 ...bn . Ch ng minh r ng
a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn .
L i gi i. ð t xi = ln ai , yi = ln bi ( i = 1, 2,..., n ) . V i các ñi u ki n ñã cho, ta d dàng ki m tra ñư c
r ng ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) . D th y r ng f ( x ) = e x là hàm l i trên ( 0, +∞ ) , do ñó, áp d ng b t
ñ ng th c Karamata, ta có
e x1 + e x2 + ... + e xn ≥ e y1 + e y2 + ... + e yn hay a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn .
4.2. Ví d 2. Cho ABC là tam giác nh n. Ch ng minh r ng
3
1 ≤ cos A + cos B + cos C ≤ .
2
Xác ñ nh khi nào x y ra ñ ng th c?
π π π π
L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s r ng A ≥ B ≥ C . Khi ñó A ≥ , C ≤ . Vì ≥ A ≥
3 3 2 3
2π π π π π π
và π ≥ A + B = π − C ≥ nên , ,0 ≻ ( A, B, C ) ≻ , , .
3
2 2
3 3 3
π
Xét hàm f ( x) = cos x , d th y f ( x) là hàm lõm th t s trên ño n I = 0, , do ñó, theo b t ñ ng
2
th c Karamata, ta có
π π π 3
f +
f + f (0) ≤ f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≤ 3 f hay 1 ≤ cos A + cos B + cos C ≤ .
2
2
3
2
b t ñ ng th c th nh t, d u ñ ng th c không x y ra (vì hai góc c a tam giác không th cùng
vuông). b t ñ ng th c th hai, ñ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC ñ u.
4.3. Ví d 3. Cho ABC là tam giác không nh n. Ch ng minh r ng
A B C
tan + tan + tan ≥ 2 2 − 1 .
2 2 2
L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s A ≥ B ≥ C . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c
2
- A B C π π π
, , ≻ , , .
2 2 2 4 8 8
π 1 2sin x π
Xét hàm s f ( x ) = tan x, x ∈ 0, . Ta có f '( x) =
, f ''( x ) = > 0 v i m i x ∈ 0, .
2
2
cos x 3
cos x 2
π
T ñó suy ra f ( x) là hàm s l i trên 0, . S d ng b t ñ ng th c Karamata, ta nh n ñư c
2
A B C π π π
tan + tan + tan ≥ tan + tan + tan = 2 2 − 1 .
2 2 2 4 8 8
π π π
ð ng th c x y ra khi và ch khi ( A, B, C ) = , , và các hoán v .
2 4 4
4.4. Ví d 4. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng
1 1 1 1 1 1
+ + ≤ + + .
a + b b + c c + a 2a 2b 2c
L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c
(2a,2b,2c) ≻ (a + b, a + c, b + c) .
1
Vì f ( x) = là hàm l i trên kho ng (0,+∞) , nên theo b t ñ ng th c Karamata, ta có
x
f (2a) + f (2b) + f ( 2c) ≥ f (a + b) + f (a + c ) + f (b + c ) hay
1 1 1 1 1 1
+ + ≤ + + .
a + b b + c c + a 2a 2b 2c
ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c .
4.5. Ví d 5. [IMO 2000/2] Cho a, b, c là các s th c dương th a ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng
a − 1 + 1 b − 1 + 1 c − 1 + 1 ≤ 1 .
b
c a
x y z
L i gi i. Vì abc = 1 nên t n t i các s dương x, y, z sao cho a = , b = , c = . B t ñ ng th c
y z x
c n ch ng minh tr thành
( x − y + z )( y − z + x)( z − x + y ) ≤ xyz .
Ta ñ ý r ng, ( x − y + z ) + ( y − z + x ) = 2 x > 0 , do ñó, trong ba s x − y + z , y − z + x, z − x + y
không th có trư ng h p hai s cùng âm. N u trong ba s trên có m t ho c ba s âm, hi n nhi n ta có
b t ñ ng th c c n ch ng minh. Trư ng h p c ba s ñ u dương, b ng cách l y logarit hai v , ta có
ln ( x − y + z ) + ln ( y − z + x) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z .
Không m t tính t ng quát, gi s x ≥ y ≥ z . Khi ñó, ( y − z + x, x − y + z, z − x + y ) ≻ ( x, y, z ) .
Vì f ( x ) = ln x là hàm lõm trên (0,+∞) , do ñó, s d ng b t ñ ng th c Karamata, ta ñư c
ln ( y − z + x ) + ln ( x − y + z ) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z .
ð ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z hay a = b = c = 1 .
4.6. Ví d 6 Cho a, b là các s th c không âm. Ch ng minh r ng
3
- 3
a+ 3 a + 3 b+ 3 b ≤ 3 a+ 3 b + 3 b+ 3 a .
L i gi i. Gi s b ≥ a ≥ 0 . Gi a các s x1 = b + 3 b, x2 = b + 3 a, x3 = a + 3 b, x4 = a + 3 a , thì x1 là s
l n nh t, x4 là s nh nh t. Vì x1 + x4 = x2 + x3 nên ( x1 , x4 ) ≻ ( x2 , x3 ) ho c ( x1 , x4 ) ≻ ( x3 , x2 ) . D th y
f ( x) = 3 x là hàm lõm trên [0,+∞) , do ñó, theo b t ñ ng th c Karamata, ta có
3
f ( x 1 ) + f ( x4 ) ≤ f ( x2 ) + f ( x3 ) hay a+ 3 a + 3 b+ 3 b ≤ 3 a+ 3 b + 3 b+ 3 a .
ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b .
1
4.7. Ví d 7 Cho −1 ≤ a, b, c ≤ 1, a + b + c = − . Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
2
F = a12 + b12 + c12 .
1 1 1
L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó 1 ≥ a , = 1 − ≥ −c − = a + b .
2 2 2
1
Do ñó 1, − , −1 ≻ (a, b, c) . Vì hàm f ( x) = x12 l i trên [−1,1] , theo b t ñ ng th c Karamata, ta có
2
1 1
a12 + b12 + c12 = f (a ) + f (b) + f (c) ≤ f (1) + f − + f (−1) = 2 + 12 .
2
2
1 1
ð ng th c x y ra, ch ng h n khi a = 1, b = − , c = −1 . Do ñó giá tr l n nh t c a F là 2 + 12 .
2 2
4.8. Ví d 8 [IMO 1999/2]. Cho x1, x2,..., xn là các s th c không âm, n ≥ 2 . Hãy xác ñ nh h ng s C
nh nh t sao cho
n 4
xi x j xi2
( x2
) ≤ C ∑ xi .
∑ + j
1≤i < j ≤n i =1
L i gi i. N u x1 = x2 = ... = 0 thì b t ñ ng th c ñúng v i m i C ≥ 0 . N u có ít nh t m t s
xi > 0 , suy ra x1 + x2 + ... + xn > 0 . Vì b t ñ ng th c trên d ng thu n nh t nên ta có th gi s r ng
x1 + x2 + ... + xn = 1 . Khi ñó
F ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ xi x j ( xi2 + x 2 ) =
j ∑ xi3 x j + ∑ xi x3
j
1≤i < j ≤n 1≤i < j ≤ n 1≤i < j ≤ n
n
= ∑ x ∑x 3
i j = 3
∑ x (1− x ) = ∑ f ( x ) , v
i i i i f ( x ) = x3 − x 4 .
1≤i ≤ n j ≠i 1≤i ≤n i =1
n
Vì v y, ta c n xác ñ nh h ng s C nh nh t sao cho ∑ f (x ) ≤ C , v
i i x1 + x2 + ... + xn = 1 ,
i =1
trong ñó f ( x ) = x3 − x 4 là hàm l i trên [0,1 2] (vì f '( x) = 3x − 4 x3 , f ''( x) = 6 x (1 − 2 x) ).
2
Do tính ñ i x ng, không m t tính t ng quát, gi s x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn . Ta s xét các trư ng h p sau.
1 1 1
Trư ng h p 1. ≥ x1 . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c , ,0,...,0 ≻ ( x1 , x2 ,..., xn ) . S d ng b t
2
2 2
ñ ng th c Karamata, ta có
n
1 1 1
∑ f ( x ) ≤ f 2 + f 2 + f (0) + ... + f (0) = 8 .
i =1
i
4
- 1
Trư ng h p 2. ≤ x1 . Ta ki m tra ñư c (1 − x1 ,0,...,0) ≻ ( x2 ,..., xn ) . S d ng b t ñ ng th c
2
Karamata, ta có
n n
∑ f ( xi ) = f ( x1 ) + ∑ f ( xi ) ≤ f ( x1 ) + f (1 − x1 ) + f (0) + ... + f (0) = f ( x1 ) + f (1 − x1 ) .
i =1 i=2
M t khác, f ( x1 ) + f (1 − x1 ) = ( x13 − x14 ) + (1 − x1 ) − (1 − x1 ) = x1 (1 − x1 ) x12 + (1 − x1 )
3 4 2
2
x + (1 − x1 )
2
= x1 (1 − x1 ) 2 x12 + (1 − 2 x1 ) ≤ 1
2 1 = 1 .
2
2 8
n
1 1
Do ñó, ∑ f (x ) ≤ 8 . V
i y h ng s C nh nh t c n xác ñ nh là
8
.
i =1
ð k t th c bài vi t, m i các b n gi i m t s bài t p t luy n.
1. Cho tam giác ABC , ch ng minh r ng
A B C 3
a) sin α + sin α + sin α ≥ α v i α < 0 .
2 2 2 2
A B C 3
b) 1 < sin α + sin α + sin α ≤ α v i 1 ≥ α > 0 .
2 2 2 2
α
1+
A B C 3 2
c) cos α + cosα + cosα ≥ α v i α < 0 .
2 2 2 2
α
1+
A B C 3 2
d) 2 < cosα + cosα + cosα ≤ α v i 0 < α ≤ 1 .
2 2 2 2
2. Cho a1, a2 ,..., an là các s th c dương. Ch ng minh r ng
a 2 a2 a2
(1 + a1 )(1 + a2 )...(1 + an ) ≤ 1 + 1 1 + 2 ...1 + n .
a2
a3
a1
3. [APMO 1996] Cho tam giác ABC . Ch ng minh r ng
a +b−c + b + c −a + c + a −b ≤ a + b + c .
π π
4. Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ − , . Ch ng minh r ng
6 6
cos (2 x1 − x2 ) + cos ( 2 x2 − x3 ) + ... + cos ( 2 xn − x1 ) ≤ cos x1 + cos x2 + ... + cos xn .
Tài li u tham kh o
[1]. Aleksandar Nikolic, Jovan Karamata (1902 – 1967).
[2]. Hojoo Lee, Topics in Inequalities – Theorems and Techniques, 2007.
[3]. Kin Y. Li, Majorization Inequality, Mathematical Excalibur, Vol.5, No.5, 11/2000.
[4]. Nguy n Văn Nho, Olympic Toán h c Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo D c, 2003.
[5]. Nguy n H u ði n, Gi i toán b ng phương pháp ð i Lư ng B t Bi n, NXB Giáo D c, 2004.
[6]. Ph m Kim Hùng, Sáng t o B t ð ng Th c, NXB Tri Th c, 2006.
5
nguon tai.lieu . vn
