Xem mẫu
- B t ð ng Th c Karamata và M t S ng D ng Cao Minh Quang THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long 1. L i gi i thi u Jovan Karamata sinh ngày 1 tháng 2 năm 1902 t i Zagreb, Serbia. B t ñ u h c khoa cơ khí t năm 1920, nhưng ñ n năm 1922, ông chuy n ñ n khoa toán ñ h c. T t nghi p năm 1925, ngay l p t c Karamata ñư c nh n làm tr gi ng cho giáo sư Mihailo Petrovic. Ông nh n ñư c h c v ti n sĩ năm 1926, tr thành giáo sư ð i h c Belgrade vào năm 1950. Năm 1951 Karamata r i Belgrade, ñ n gi ng d y t i ð i h c Geneva. Ông s ng và làm vi c ñây ñ n cu i ñ i. Karamata m t ngày 14 tháng 8 năm 1967. B t ñ ng th c Karamata là m t d ng t ng quát c a b t ñ ng th c Jensen. 2. B t ñ ng th c Karamata Trư c h t, ta s ñ nh nghĩa các b tr i. 2.1. ð nh nghĩa. N u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn , x1 ≥ y1, x1 + x2 ≥ y1 + y2 , ..., x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ y1 + y2 + ... + yn−1 và x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn thì ta nói b ( x1 , x2 ,..., xn ) tr i hơn b ( y1 , y2 ,..., yn ) và ta kí hi u là ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) hay ( y1, y2 ,..., yn ) ≺( x1, x2 ,..., xn ) . x1 + x2 + .. + xn Hi n nhiên, n u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn thì ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = . n 2.2. B t ñ ng th c Karamata N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] và ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) v i m i xi , yi ∈ I thì f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) . ð ng th c x y ra khi và ch khi xi = yi , i = 1, 2,..., n . Ta cũng có phát bi u tương t ñ i v i hàm s lõm b ng cách ñ i chi u d u b t ñ ng th c. Ch ng minh. Vì f ( x) là hàm l i nên f ( x) − f ( y) ≥ ( x − y). f '( y), ∀x, y ∈ I . Th t v y: f ( x) − f ( y ) • N u x ≥ y thì = f '(α ) ≥ f '( y ), α ∈ ( y, x) . x− y f ( y ) − f ( x) • N u x ≤ y thì = f '(β ) ≤ f '( y ), β ∈ ( x, y ) . y−x T ñó suy ra f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ( xi − yi ). f '( yi ), ∀xi , yi ∈ I , i = 1,2,..., n . Chú ý r ng f '( yi ) ≥ f '( yi +1 ), x1 + x2 + ... + xi ≥ y1 + y2 + ... + yi , i = 1,2,..., n −1 , s d ng khai tri n Abel, ta có n n ∑ f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ∑( xi − yi ). f '( yi ) = ( x1 − y1) f '( y1) +( x2 − y2 ) f '( y2 ) + ... +( xn − yn ) f '( yn ) i=1 i=1 = ( x1 − y1 ) f '( y1 ) − f '( y2 ) + ( x1 + x2 − y1 − y2 ) f '( y2 ) − f '( y3 ) + ... +( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn ) f '( yn−1) − f '( yn ) +( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn ) f '( yn ) ≥ 0 . 1
- Do ñó f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) . 2.3. H qu . (B t ñ ng th c Jensen). N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] , thì v i m i xi , ∈ I (i = 1, 2,..., n) , ta có x + x2 + ... + xn f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ nf 1 . n Ch ng minh. Do tính ch t ñ i x ng, không m t tính t ng quát, ta có th gi s x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn . x + x2 + .. + xn Khi ñó ta ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = 1 . S d ng b t ñ ng th c Karamata ta n có ngay ñi u c n ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = ... = xn . Sau ñây ta s nêu m t s ví d ñ minh h a cho vi c ng d ng c a b t ñ ng th c Karamata. 4. M t s ví d 4.1. Ví d 1. Cho 2n s th c dương ai , bi (i = 1,2,.., n) th a mãn các ñi u ki n sau a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn , a1 ≥ b1 , a1a2 ≥ b1b2 ,..., a1a2 ...an ≥ b1b2 ...bn . Ch ng minh r ng a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn . L i gi i. ð t xi = ln ai , yi = ln bi ( i = 1, 2,..., n ) . V i các ñi u ki n ñã cho, ta d dàng ki m tra ñư c r ng ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) . D th y r ng f ( x ) = e x là hàm l i trên ( 0, +∞ ) , do ñó, áp d ng b t ñ ng th c Karamata, ta có e x1 + e x2 + ... + e xn ≥ e y1 + e y2 + ... + e yn hay a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn . 4.2. Ví d 2. Cho ABC là tam giác nh n. Ch ng minh r ng 3 1 ≤ cos A + cos B + cos C ≤ . 2 Xác ñ nh khi nào x y ra ñ ng th c? π π π π L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s r ng A ≥ B ≥ C . Khi ñó A ≥ , C ≤ . Vì ≥ A ≥ 3 3 2 3 2π π π π π π và π ≥ A + B = π − C ≥ nên , ,0 ≻ ( A, B, C ) ≻ , , . 3 2 2 3 3 3 π Xét hàm f ( x) = cos x , d th y f ( x) là hàm lõm th t s trên ño n I = 0, , do ñó, theo b t ñ ng 2 th c Karamata, ta có π π π 3 f + f + f (0) ≤ f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≤ 3 f hay 1 ≤ cos A + cos B + cos C ≤ . 2 2 3 2 b t ñ ng th c th nh t, d u ñ ng th c không x y ra (vì hai góc c a tam giác không th cùng vuông). b t ñ ng th c th hai, ñ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC ñ u. 4.3. Ví d 3. Cho ABC là tam giác không nh n. Ch ng minh r ng A B C tan + tan + tan ≥ 2 2 − 1 . 2 2 2 L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s A ≥ B ≥ C . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c 2
- A B C π π π , , ≻ , , . 2 2 2 4 8 8 π 1 2sin x π Xét hàm s f ( x ) = tan x, x ∈ 0, . Ta có f '( x) = , f ''( x ) = > 0 v i m i x ∈ 0, . 2 2 cos x 3 cos x 2 π T ñó suy ra f ( x) là hàm s l i trên 0, . S d ng b t ñ ng th c Karamata, ta nh n ñư c 2 A B C π π π tan + tan + tan ≥ tan + tan + tan = 2 2 − 1 . 2 2 2 4 8 8 π π π ð ng th c x y ra khi và ch khi ( A, B, C ) = , , và các hoán v . 2 4 4 4.4. Ví d 4. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + . a + b b + c c + a 2a 2b 2c L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c (2a,2b,2c) ≻ (a + b, a + c, b + c) . 1 Vì f ( x) = là hàm l i trên kho ng (0,+∞) , nên theo b t ñ ng th c Karamata, ta có x f (2a) + f (2b) + f ( 2c) ≥ f (a + b) + f (a + c ) + f (b + c ) hay 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + . a + b b + c c + a 2a 2b 2c ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c . 4.5. Ví d 5. [IMO 2000/2] Cho a, b, c là các s th c dương th a ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng a − 1 + 1 b − 1 + 1 c − 1 + 1 ≤ 1 . b c a x y z L i gi i. Vì abc = 1 nên t n t i các s dương x, y, z sao cho a = , b = , c = . B t ñ ng th c y z x c n ch ng minh tr thành ( x − y + z )( y − z + x)( z − x + y ) ≤ xyz . Ta ñ ý r ng, ( x − y + z ) + ( y − z + x ) = 2 x > 0 , do ñó, trong ba s x − y + z , y − z + x, z − x + y không th có trư ng h p hai s cùng âm. N u trong ba s trên có m t ho c ba s âm, hi n nhi n ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh. Trư ng h p c ba s ñ u dương, b ng cách l y logarit hai v , ta có ln ( x − y + z ) + ln ( y − z + x) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z . Không m t tính t ng quát, gi s x ≥ y ≥ z . Khi ñó, ( y − z + x, x − y + z, z − x + y ) ≻ ( x, y, z ) . Vì f ( x ) = ln x là hàm lõm trên (0,+∞) , do ñó, s d ng b t ñ ng th c Karamata, ta ñư c ln ( y − z + x ) + ln ( x − y + z ) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z . ð ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z hay a = b = c = 1 . 4.6. Ví d 6 Cho a, b là các s th c không âm. Ch ng minh r ng 3
- 3 a+ 3 a + 3 b+ 3 b ≤ 3 a+ 3 b + 3 b+ 3 a . L i gi i. Gi s b ≥ a ≥ 0 . Gi a các s x1 = b + 3 b, x2 = b + 3 a, x3 = a + 3 b, x4 = a + 3 a , thì x1 là s l n nh t, x4 là s nh nh t. Vì x1 + x4 = x2 + x3 nên ( x1 , x4 ) ≻ ( x2 , x3 ) ho c ( x1 , x4 ) ≻ ( x3 , x2 ) . D th y f ( x) = 3 x là hàm lõm trên [0,+∞) , do ñó, theo b t ñ ng th c Karamata, ta có 3 f ( x 1 ) + f ( x4 ) ≤ f ( x2 ) + f ( x3 ) hay a+ 3 a + 3 b+ 3 b ≤ 3 a+ 3 b + 3 b+ 3 a . ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b . 1 4.7. Ví d 7 Cho −1 ≤ a, b, c ≤ 1, a + b + c = − . Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 2 F = a12 + b12 + c12 . 1 1 1 L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó 1 ≥ a , = 1 − ≥ −c − = a + b . 2 2 2 1 Do ñó 1, − , −1 ≻ (a, b, c) . Vì hàm f ( x) = x12 l i trên [−1,1] , theo b t ñ ng th c Karamata, ta có 2 1 1 a12 + b12 + c12 = f (a ) + f (b) + f (c) ≤ f (1) + f − + f (−1) = 2 + 12 . 2 2 1 1 ð ng th c x y ra, ch ng h n khi a = 1, b = − , c = −1 . Do ñó giá tr l n nh t c a F là 2 + 12 . 2 2 4.8. Ví d 8 [IMO 1999/2]. Cho x1, x2,..., xn là các s th c không âm, n ≥ 2 . Hãy xác ñ nh h ng s C nh nh t sao cho n 4 xi x j xi2 ( x2 ) ≤ C ∑ xi . ∑ + j 1≤i < j ≤n i =1 L i gi i. N u x1 = x2 = ... = 0 thì b t ñ ng th c ñúng v i m i C ≥ 0 . N u có ít nh t m t s xi > 0 , suy ra x1 + x2 + ... + xn > 0 . Vì b t ñ ng th c trên d ng thu n nh t nên ta có th gi s r ng x1 + x2 + ... + xn = 1 . Khi ñó F ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ xi x j ( xi2 + x 2 ) = j ∑ xi3 x j + ∑ xi x3 j 1≤i < j ≤n 1≤i < j ≤ n 1≤i < j ≤ n n = ∑ x ∑x 3 i j = 3 ∑ x (1− x ) = ∑ f ( x ) , v i i i i f ( x ) = x3 − x 4 . 1≤i ≤ n j ≠i 1≤i ≤n i =1 n Vì v y, ta c n xác ñ nh h ng s C nh nh t sao cho ∑ f (x ) ≤ C , v i i x1 + x2 + ... + xn = 1 , i =1 trong ñó f ( x ) = x3 − x 4 là hàm l i trên [0,1 2] (vì f '( x) = 3x − 4 x3 , f ''( x) = 6 x (1 − 2 x) ). 2 Do tính ñ i x ng, không m t tính t ng quát, gi s x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn . Ta s xét các trư ng h p sau. 1 1 1 Trư ng h p 1. ≥ x1 . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c , ,0,...,0 ≻ ( x1 , x2 ,..., xn ) . S d ng b t 2 2 2 ñ ng th c Karamata, ta có n 1 1 1 ∑ f ( x ) ≤ f 2 + f 2 + f (0) + ... + f (0) = 8 . i =1 i 4
- 1 Trư ng h p 2. ≤ x1 . Ta ki m tra ñư c (1 − x1 ,0,...,0) ≻ ( x2 ,..., xn ) . S d ng b t ñ ng th c 2 Karamata, ta có n n ∑ f ( xi ) = f ( x1 ) + ∑ f ( xi ) ≤ f ( x1 ) + f (1 − x1 ) + f (0) + ... + f (0) = f ( x1 ) + f (1 − x1 ) . i =1 i=2 M t khác, f ( x1 ) + f (1 − x1 ) = ( x13 − x14 ) + (1 − x1 ) − (1 − x1 ) = x1 (1 − x1 ) x12 + (1 − x1 ) 3 4 2 2 x + (1 − x1 ) 2 = x1 (1 − x1 ) 2 x12 + (1 − 2 x1 ) ≤ 1 2 1 = 1 . 2 2 8 n 1 1 Do ñó, ∑ f (x ) ≤ 8 . V i y h ng s C nh nh t c n xác ñ nh là 8 . i =1 ð k t th c bài vi t, m i các b n gi i m t s bài t p t luy n. 1. Cho tam giác ABC , ch ng minh r ng A B C 3 a) sin α + sin α + sin α ≥ α v i α < 0 . 2 2 2 2 A B C 3 b) 1 < sin α + sin α + sin α ≤ α v i 1 ≥ α > 0 . 2 2 2 2 α 1+ A B C 3 2 c) cos α + cosα + cosα ≥ α v i α < 0 . 2 2 2 2 α 1+ A B C 3 2 d) 2 < cosα + cosα + cosα ≤ α v i 0 < α ≤ 1 . 2 2 2 2 2. Cho a1, a2 ,..., an là các s th c dương. Ch ng minh r ng a 2 a2 a2 (1 + a1 )(1 + a2 )...(1 + an ) ≤ 1 + 1 1 + 2 ...1 + n . a2 a3 a1 3. [APMO 1996] Cho tam giác ABC . Ch ng minh r ng a +b−c + b + c −a + c + a −b ≤ a + b + c . π π 4. Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ − , . Ch ng minh r ng 6 6 cos (2 x1 − x2 ) + cos ( 2 x2 − x3 ) + ... + cos ( 2 xn − x1 ) ≤ cos x1 + cos x2 + ... + cos xn . Tài li u tham kh o [1]. Aleksandar Nikolic, Jovan Karamata (1902 – 1967). [2]. Hojoo Lee, Topics in Inequalities – Theorems and Techniques, 2007. [3]. Kin Y. Li, Majorization Inequality, Mathematical Excalibur, Vol.5, No.5, 11/2000. [4]. Nguy n Văn Nho, Olympic Toán h c Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo D c, 2003. [5]. Nguy n H u ði n, Gi i toán b ng phương pháp ð i Lư ng B t Bi n, NXB Giáo D c, 2004. [6]. Ph m Kim Hùng, Sáng t o B t ð ng Th c, NXB Tri Th c, 2006. 5