Xem mẫu

  1. Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 14. Bài t p v không gian véctơ (ti p theo) PGS TS M Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 13. Cho A, B là các KGVT con c a KGVT V . Ch ng minh r ng A ∪ B là KGVT con c a KGVT V khi và ch khi A ⊂ B ho c B ⊂ A. Gi i. N u A ⊂ B ho c B ⊂ A thì A ∪ B = B ho c A ∪ B = A nên A ∪ B là KGVT con c a V. Ngư c l i, gi s A ∪ B là KGVT con c a V nhưng A ⊂ B và B ⊂ A. Khi đó t n t i x ∈ A, x ∈ B và y ∈ B, y ∈ A. Ta ch ng minh x + y ∈ A ∪ B. Th t v y, n u z = x + y ∈ A ∪ B thì z ∈ A, ho c z ∈ B, do đó y = z − x ∈ A ho c x = z − y ∈ B. Đi u này trái v i cách ch n x, y. V y x + y ∈ A ∪ B. Như v y, t n t i x, y ∈ A ∪ B nhưng x + y ∈ A ∪ B, do đó A ∪ B không là KGVT con c a V (!). Mâu thu n ch ng t A ⊂ B ho c B ⊂ A. 14. Cho V là KGVT, A là KGVT con c a V . Ch ng minh t n t i KGVT con B c a V sao cho A + B = V và A ∩ B = {0} Gi i. Gi s α1 , . . . , αk là m t cơ s trong A, khi đó α1 , . . . , αk là h véctơ đ c l p tuy n tính trong V , do đó ta có th b sung thêm các véctơ, đ đư c h véctơ α1 , . . . , αk , αk+1 , . . . , αn là cơ s c a V . Đ t B = αk+1 , . . . , αn . Khi đó, vì A = α1 , . . . , αk nên A + B = α1 , . . . , αk , αk+1 , . . . , αn = V . M t khác, n u x ∈ A ∩ B, thì t n t i các s ai , bj ∈ R sao cho x = a1 α1 + . . . + ak αk và x = bk+1 αk+1 + . . . + bn αn do đó a1 α1 + . . . + ak αk − bk+1 αk+1 − . . . − bn αn = 0, vì h véctơ {α1 , . . . , αn } ĐLTT nên ai = 0, bj = 0, do đó x = 0. V y, A ∩ B = {0}. 15. Trong R4 cho các véctơ: u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 1, 1, 1), u3 = (0, −1, 0, 1), u4 = (1, 2, −1, −2) và E = u1 , u2 , u3 , u4 . a. Tìm cơ s , s chi u c a E. b. Tìm m t đi u ki n c n và đ đ véctơ x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ E. c Cho v1 = (1, a3 , a, 1), v2 = (1, b, b3 , 1), v3 = (ab + 1, ab, 0, 1). Tìm a, b đ v1 , v2 , v3 là cơ s c a E. 1
  2. Gi i. a. Đ tìm cơ s , s chi u c a E, ta tìm h con ĐLTT t i đ i c a h sinh u1 , u2 , u3 , u4 c a E. L p và bi n đ i ma tr n:     1 1 0 0 1 1 1 0 0 1  1 1 1 1  2  0 0 1 1   2 A=  0 −1 −→  0 −1 0 1  3 0 1  3 1 2 −1 −2 4 0 1 −1 −2 4     1 1 0 0 1 1 1 0 0 1  0 −1 0 1  2  0 −1 0 1  2 −→   0  −→   0 1 1  3  0 0 1 1  3 0 1 −1 −2 4 0 0 −1 −1 4   1 1 0 0 1  0 −1 0 1  2 −→   0  0 1 1  3 0 0 0 0 4 Ma tr n b c thang sau cùng b c 3, và 3 dòng khác không ng v i các véctơ u1 , u3 , u2 . Do đó, dimE = 3 và cơ s c a E là h {u1 , u2 , u3 } và E = u1 , u2 , u3 . b. x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ E khi và ch khi phương trình véctơ x = x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 có nghi m. Phương   trình véctơ trên tương đương  i h sau:  v 1 1 0 a1 1 1 0 a1  1 1 −1 a2   −→  0 0 −1 −a1 + a2      0 1 0 a3   0 1 0 a3  0 1 1 a4 0 1 1 a4     1 1 0 a1 1 1 0 a1  0 1 0 a3  −→  0 1 0 a3    −→   0 0 −1 −a1 + a2   0 0 −1 −a1 + a2   0 1 1 a4 0 0 1 −a3 + a4   1 1 0 a1  0 1 0 a3  −→   0 0 −1  −a1 + a2  0 0 0 −a1 + a2 − a3 + a4 Như v y, h có nghi m khi và ch khi −a1 + a2 − a3 + a4 = 0. V y x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ E ⇔ a1 + a3 = a2 + a4 . c. Vì dimE = 3 nên {v1 , v2 , v3 } là cơ s c a E khi và ch khi v1 , v2 , v3 ∈ E và {v1 , v2 , v3 } ĐLTT. Do câu b., v1 ∈ E ⇔ 1 + a = a3 + 1 ⇔ a = 0, 1, −1, v2 ∈ E ⇔ 1 + b3 = 1 + b ⇔ b = 0, 1, −1. Xét các trư ng h p có th x y ra: • a = 0 ho c b = 0, khi đó v1 = v2 ho c v2 = v3 , h {v1 , v2 , v3 } ph thu c tuy n tính nên không là cơ s c a E. • a = b thì v1 = v2 nên h {v1 , v2 , v3 } không là cơ s c a E. • Còn l i 2 kh năng là a = 1, b = −1 ho c a = −1, b = 1, ki m tra tr c ti p ta th y h {v1 , v2 , v3 } ĐLTT, do đó là cơ s c a E. 16. Trong R4 cho các KGVT con U = (2, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (0, −2, −1, −1) x1 − x3 − x4 = 0 V = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x2 − x3 + x4 = 0 2
  3. a. Tìm cơ s , s chi u c a các KGVT con U, V, U + V . b. Tìm cơ s , s chi u c a KGVT con U ∩ V Gi i. a. • D th y cơ s c a U là các véctơ α1 = (2, 0, 1, 1), α2 = (1, 1, 1, 1) và do đó U = α1 , α2 . x1 − x3 − x4 = 0 Không gian con V chính là không gian nghi m c a h , x2 − x3 + x4 = 0 b i v y cơ s c a V là h nghi m cơ b n c a h trên. H trên có vô s nghi m x1 = x3 + x4 ph thu c 2 tham s x3 , x4 . Nghi m t ng quát là , do đó h x2 = x3 − x4 nghi m cơ b n là: β1 = (1, 1, 1, 0), β2 = (1, −1, 0, 1). V y, cơ s c a V là β1 , β2 và dimV = 2, V = β1 , β2 . • Vì U = α1 , α2 , V = β1 , β2 nên U + V = α1 , α2 , β1 , β2 , do đó h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h {α1 , α2 , β1 , β2 } là cơ s c a U + V . Tính toán tr c ti p ta có k t qu dim(U + V ) = 3 và {α1 , α2 , β1 } là m t cơ s c a U + V . b. Đ tìm cơ s c a U ∩V , ta c n tìm đi u ki n c n và đ đ véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U . Tương t bài t p 15., x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U khi và ch khi phương trình véctơ x = a1 α1 + a2 α2 có nghi m, phương trình này tương đương v i h sau:     2 1 x1 1 1 x4  0 1 x2   −→  0 1 x2      1 1 x3   1 1 x3  1 1 x4 2 1 x1     1 1 x4 1 1 x4  0 1 x2  −→  0 1 x2    −→    0 0 −x4 + x3   0 0 x3 − x4  0 −1 x1 − 2x4 0 0 x1 + x2 − 2x4 x3 − x4 = 0 V y véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U ⇔ .  x1 + x2 − 2x4 = 0   x3 − x4 = 0 x1 + x2 − 2x4 = 0  Do đó, (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U ∩ V ⇔ (∗)  x1 − x3 − x4 = 0  x2 − x3 + x4 = 0  Như v y U ∩ V chính là không gian nghi m c a h (∗) và do đó cơ s c a U ∩ V chính là h nghi m cơ b n c a h (∗). Vi c gi i và tìm h nghi m cơ b n c a h (∗) xin dành cho b n đ c. K t qu h nghi m cơ b n c a (∗) là véctơ γ = (2, 0, 1, 1), do đó dim(U ∩ V ) = 1. Cơ s c a U ∩ V là véctơ γ. 17. Cho U là không gian véctơ con c a V . Bi t dimU = m < dimV = n. Ch ng minh a. Có cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U . b. Có cơ s c a V ch a đúng k véctơ đ c l p tuy n tính c a U . (0 ≤ k ≤ m). Gi i. a. Đ u tiên ta ch ng minh có cơ s c a V ch a đúng m véctơ c a U . Th t v y, gi s α1 , . . . , αm là cơ s c a U , β1 , . . . , βn là cơ s c a V . Vì α1 , . . . , αm ĐLTT và bi u th tuy n tính đư c qua h β1 , . . . , βn nên theo b đ cơ b n v h véctơ ĐLTT ta có th thay m véctơ α1 , . . . , αm cho m véctơ c a h β1 , . . . , βn đ đư c h m i là 3
  4. h α1 , . . . , αm , βm+1 , . . . , βn (∗) tương đương v i h (β). Vì (β) là cơ s c a V nên hê (∗) cũng là cơ s c a V . Cơ s (∗) có đúng m véctơ thu c U là α1 , . . . , αm . Th t v y, n u có βk ∈ U (k = m + 1, . . . , n) thì βk bi u th tuy n tính đư c qua α1 , . . . , αm , do đó h α1 , . . . , αm , βm+1 , . . . , βn PTTT, trái v i h (∗) là cơ s c a V . Ti p t c ta ch ng minh có cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U : Vì h véctơ (∗) ĐLTT nên b ng cách ki m tra tr c ti p, ta có h α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αm + βn , βm+1 , . . . , βn cũng là h ĐLTT, do đó là cơ s c a V . Vì αi ∈ U, βn ∈ U nên αi + βn ∈ U , do đó h véctơ trên chính là cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U . b. Gi s v1 , . . . , vn là cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U và gi s u1 , . . . , uk là h véctơ ĐLTT c a U . Vì u1 , . . . , uk bi u th tuy n tính đư c qua v1 , . . . , vn nên theo b đ cơ b n v h véctơ ĐLTT, ta có th thay k véctơ u1 , . . . , uk cho k véctơ c a h v1 , . . . , vn đ đư c h m i u1 , . . . , uk , vk+1 , . . . , vn chính là cơ s c a V ch a đúng k véctơ c a U . 18. Cho A, B là các ma tr n c p m × n. (A, B ∈ Mm×n (R). Ch ng minh rank(A + B) ≤ rankA + rankB     a11 . . . a1n b11 . . . b1n  a21 . . . a2n   b21 . . . b2n  Gi i. Gi s A =  . .  ; B =  . .. . .      . . ... .  . . .  .  . . am1 . . . amn bm1 . . . bmn Ta đ t α1 = (a11 , . . . , a1n ), α2 = (a21 , . . . , a2n ), . . . , αm = (am1 , . . . , amn ) là các véctơ dòng c a A, khi đó rankA = rank{α1 , . . . , αm }. Tương t ta đ t: β1 = (b11 , . . . , b1n ), β2 = (b21 , . . . , b2n ), . . . , βm = (bm1 , . . . , bmn ) là các véctơ dòng c a B, khi đó rankB = rank{β1 , . . . , βm }. Các véctơ dòng c a ma tr n A+B chính là các véctơ α1 +β1 , . . . , αm +βm và rank(A+B) = rank{α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αm + βm }. V y ta c n ch ng minh: rank{α1 + β1 , . . . , αm + βm } ≤ rank{α1 , . . . , αm } + rank{β1 , . . . , βm } Gi s αi1 , . . . , αik là h con ĐLTT t i đ i c a h α1 , . . . , αm (do đó, rank{α1 , . . . , αm } = k) và βj1 , . . . , βjl là h con ĐLTT t i đ i c a h β1 , . . . , βm (do đó rank{β1 , . . . , βm } = l). Khi đó vì αi bi u th tuy n tính đư c qua h αi1 , . . . , αjk và βj bi u th tuy n tính đư c qua h βj1 , . . . , βjl nên αi + βi bi u th tuy n tính đư c qua h véctơ αi1 , . . . , αik , βj1 , . . . , βjl t c là h véctơ α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αm + βm bi u th tuy n tính đư c qua h véctơ αi1 , . . . , αik , βj1 , . . . , βjl . Do đó, theo bài t p 5, ta có: rank{α1 + β1 , . . . , αm + βm } ≤ rank{αi1 , . . . , αik , βj1 , . . . , βjl } ≤ k + l = rank{α1 , . . . , αm } + rank{β1 , . . . , βm } V y rank{α1 + β1 , . . . , αm + βm } ≤ rank{α1 , . . . , αm } + rank{β1 , . . . , βm }, t c là rank(A + B) ≤ rankA + rankB 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, Ngày: 15/02/2006 4