Xem mẫu
- Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 1
BÀI T P MÔN CƠ S Đ IS
DÀNH CHO CAO H C TOÁN 16
Ngày 16 tháng 1 năm 2008
Câu 1. Cho f : M −→ N là đ ng c u R-môđun.
a) Ch ng minh r ng S là m t h sinh c a M thì đ ng c u f đư c xác đ nh
b i giá tr c a f trên S .
b) Tìm ví d ch ng t n u S không ph i là h sinh c a M thì có ánh x
g : S −→ N không th m r ng thành đ ng c u môđun t M vào N .
c) Ch ng minh r ng n u S là m t cơ s c a M thì m i ánh x h : S −→ N
đ u có th m r ng thành đ ng c u môđun t M vàN .
Câu 2. R-môđun M đư c g i là n a đơn n u m i môđun con c a M đ u là m t
h ng t tr c ti p. Cho M là m t R-môđun khác 0. Ch ng minh các phát bi u
sau là tương đương:
a) M là n a đơn.
b) M là t ng tr c ti p các môđun con đơn c a M .
c) M là t ng các môđun con đơn c a M .
Câu 3. Ch ng minh r ng m i môđun t do X trên mi n nguyên R là không
xo n (t c là không có x ∈ X \ {0}, λ ∈ R \ {0} sao cho λx = 0).
N u X là R-môđun không xo n v i R là m t mi n nguyên thì có th k t lu n
đư c X là R-môđun t do không?
Câu 4. Cho M là R-môđun t do, R là mi n nguyên chính. Ch ng minh m i
môđun con c a M đ u là R-môđun t do.
Câu 5. Cho bi u đ :
Y
β
X
α / A
α / X /0
β
Y
0
trong đó các dòng và c t đ u kh p. Ch ng minh β α là toàn c u khi và ch khi
α β toàn c u.
Câu 6. Cho X1 , X2 là các môđun con c a X . Ch ng minh dãy sau là kh p:
ϕ ψ
0 −→ X2 /(X1 ∩ X2 ) − X/X1 − X/(X1 + X2 ) −→ 0
→ →
A
L TEX - http://esnips.com/web/chyputy
- Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 2
v i ϕ(x + X1 ∩ X2 ) = x + X1 và ψ(x + X1 ) = x + (X1 + X2 ) .
Câu 7. Cho U, V là các không gian vectơ h u h n chi u trên trư ng K . Ch ng
minh:
a) U ⊗K V là không gian vectơ trên trư ng K .
b) dim(U ⊗K V ) = dimK U . dimK V .
Câu 8. Cho I, J là các iđêan c a vành R. Ch ng minh các đ ng c u R-môđun
sau:
a) (R/I) ⊗R M ∼ M/(IM ).
=
b) (R/I) ⊗R (R/J) ∼ R/(I + J).
=
Câu 9. Cho A là R-môđun. Ch ng minh n u đ ng c u
λ : Hom(A, R) ⊗ A −→ Hom(A, R ⊗ A)
f ⊗c −→ λ(f ⊗ c)
(λ(f ⊗ c) : A −→ R ⊗ A
a −→ f (a) ⊗ c)
là toàn c u thì A h u h n sinh.
Câu 10. Cho R là vành chia đư c, M là R-môđun. Đ t D = HomR (M, M ).
Ch ng minh:
a)M là m t D-môđun v i phép nhân ngoài đư c đ nh nghĩa như sau: r.m =
r(m), ∀r ∈ D, ∀m ∈ M .
b)T n t i đ ng c u vành t R vào HomD (M, M ).
Câu 11. Ch ng minh m i dãy kh p ng n
0 /A /B / C / 0
các R-môđun đ u có th nhúng vào m t bi u đ giao hoán:
0 0 0
0 /U / V / W / 0
0 /X / Y / Z / 0
0 /A /B /C / 0
0 0 0
A
L TEX - http://esnips.com/web/chyputy
- Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 3
trong đó các dòng và c t đ u kh p, dòng gi a ch ra, X, Y, Z là các môđun x
nh, các dãy kh p ng n
0 / U / X / A / 0
0 / W / Z / C /0
có th cho trư c tùy ý.
Câu 12. Ch ng minh r ng m i môđun x nh X trên mi n nguyên R là không
xo n.
—H t—
A
L TEX - http://esnips.com/web/chyputy
nguon tai.lieu . vn
