Xem mẫu

  1. Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 1 BÀI T P MÔN CƠ S Đ IS DÀNH CHO CAO H C TOÁN 16 Ngày 16 tháng 1 năm 2008 Câu 1. Cho f : M −→ N là đ ng c u R-môđun. a) Ch ng minh r ng S là m t h sinh c a M thì đ ng c u f đư c xác đ nh b i giá tr c a f trên S . b) Tìm ví d ch ng t n u S không ph i là h sinh c a M thì có ánh x g : S −→ N không th m r ng thành đ ng c u môđun t M vào N . c) Ch ng minh r ng n u S là m t cơ s c a M thì m i ánh x h : S −→ N đ u có th m r ng thành đ ng c u môđun t M vàN . Câu 2. R-môđun M đư c g i là n a đơn n u m i môđun con c a M đ u là m t h ng t tr c ti p. Cho M là m t R-môđun khác 0. Ch ng minh các phát bi u sau là tương đương: a) M là n a đơn. b) M là t ng tr c ti p các môđun con đơn c a M . c) M là t ng các môđun con đơn c a M . Câu 3. Ch ng minh r ng m i môđun t do X trên mi n nguyên R là không xo n (t c là không có x ∈ X \ {0}, λ ∈ R \ {0} sao cho λx = 0). N u X là R-môđun không xo n v i R là m t mi n nguyên thì có th k t lu n đư c X là R-môđun t do không? Câu 4. Cho M là R-môđun t do, R là mi n nguyên chính. Ch ng minh m i môđun con c a M đ u là R-môđun t do. Câu 5. Cho bi u đ : Y β  X α / A α / X /0 β  Y  0 trong đó các dòng và c t đ u kh p. Ch ng minh β α là toàn c u khi và ch khi α β toàn c u. Câu 6. Cho X1 , X2 là các môđun con c a X . Ch ng minh dãy sau là kh p: ϕ ψ 0 −→ X2 /(X1 ∩ X2 ) − X/X1 − X/(X1 + X2 ) −→ 0 → → A L TEX - http://esnips.com/web/chyputy
  2. Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 2 v i ϕ(x + X1 ∩ X2 ) = x + X1 và ψ(x + X1 ) = x + (X1 + X2 ) . Câu 7. Cho U, V là các không gian vectơ h u h n chi u trên trư ng K . Ch ng minh: a) U ⊗K V là không gian vectơ trên trư ng K . b) dim(U ⊗K V ) = dimK U . dimK V . Câu 8. Cho I, J là các iđêan c a vành R. Ch ng minh các đ ng c u R-môđun sau: a) (R/I) ⊗R M ∼ M/(IM ). = b) (R/I) ⊗R (R/J) ∼ R/(I + J). = Câu 9. Cho A là R-môđun. Ch ng minh n u đ ng c u λ : Hom(A, R) ⊗ A −→ Hom(A, R ⊗ A) f ⊗c −→ λ(f ⊗ c) (λ(f ⊗ c) : A −→ R ⊗ A a −→ f (a) ⊗ c) là toàn c u thì A h u h n sinh. Câu 10. Cho R là vành chia đư c, M là R-môđun. Đ t D = HomR (M, M ). Ch ng minh: a)M là m t D-môđun v i phép nhân ngoài đư c đ nh nghĩa như sau: r.m = r(m), ∀r ∈ D, ∀m ∈ M . b)T n t i đ ng c u vành t R vào HomD (M, M ). Câu 11. Ch ng minh m i dãy kh p ng n 0 /A /B / C / 0 các R-môđun đ u có th nhúng vào m t bi u đ giao hoán: 0 0 0    0 /U / V / W / 0    0 /X / Y / Z / 0    0 /A /B /C / 0    0 0 0 A L TEX - http://esnips.com/web/chyputy
  3. Tr n M u Quý - Cao h c Toán 16 (2007-2009) 3 trong đó các dòng và c t đ u kh p, dòng gi a ch ra, X, Y, Z là các môđun x nh, các dãy kh p ng n 0 / U / X / A / 0 0 / W / Z / C /0 có th cho trư c tùy ý. Câu 12. Ch ng minh r ng m i môđun x nh X trên mi n nguyên R là không xo n. —H t— A L TEX - http://esnips.com/web/chyputy