Xem mẫu

  1. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt C¸c quy t¾c ®Õm c¬ b¶n Ho¸n vÞ – ChØnh hîp – Tæ hîp I – C¸c quy t¾c ®Õm c¬ b¶n  1/ Quy t¾c céng      Mét c«ng viÖc A ®îc chia ra k c«ng viÖc A1 , A2 , … , Ak ®Ó thùc  hiÖn ; mçi c«ng viÖc ®éc lËp kh«ng liªn quan ®Õn nhau . Trong ®ã :  + C«ng viÖc A1 cã n1 c¸ch thùc hiÖn  + C«ng viÖc A2 cã n2 c¸ch thùc hiÖn  + C«ng viÖc A3 cã n3 c¸ch thùc hiÖn  … + C«ng viÖc Ak cã nk c¸ch thùc hiÖn .     Khi ®ã sè c¸ch thùc hiÖn c«ng viÖc A lµ : (n1 + n2 + … + nk) c¸ch  . 2/ Quy t¾c nh©n      Mét c«ng viÖc A ®îc thùc hiÖn lÇn lît qua k giai ®o¹n  A1 , A2 ,  … , Ak .      Trong ®ã :  + Giai ®o¹n A1 cã n1 c¸ch thùc hiÖn  + Giai ®o¹n A2 cã n2 c¸ch thùc hiÖn  + Giai ®o¹n A3 cã n3 c¸ch thùc hiÖn  … + Giai ®o¹n Ak cã nk c¸ch thùc hiÖn .     Víi mçi c¸ch thùc hiÖn ë giai ®o¹n nµy kh«ng trïng víi bÊt cø  c¸ch thùc hiÖn nµo ë giai ®o¹n cßn l¹i .      Khi ®ã sè c¸ch thùc hiÖn c«ng viÖc A lµ : (n1. n2 …  nk) c¸ch . • Chó ý : Víi bµi to¸n ph¶i chia ra c¸c trêng hîp th× sau khi xÐt   c¸c trêng hîp ta ph¶i dïng quy t¾c céng . II – Ho¸n vÞ  1/ Kh¸i niÖm : Cho mét tËp hîp X gåm n phÇn tö ( n ≥ 1) . Khi ®ã mçi  c¸ch s¾p thø tù n phÇn tö cña X gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö .  2/ C«ng thøc tÝnh sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö                                                Pn = n! = 1.2.3…n  III – ChØnh hîp 1/ Kh¸i niÖm : Cho mét tËp hîp X gåm n phÇn tö ( n ≥ 1) . Khi ®ã mét  chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (0 ≤  k ≤  n , k ∈ N) lµ mét bé s¾p  thø tù gåm k phÇn tö kh¸c nhau lÊy tõ n phÇn tö cña X .  2/ C«ng thøc tÝnh sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö  n!                                       A k  =      ( 0 ≤ k  ≤ n ) n (n − k) ! • Chó ý : Ho¸n vÞ lµ mét chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö kh¸c nhau  n!                                        Pn =  A n  =   = n !  n (n − n) ! IV – tæ hîp Trường THPT Gò Công Đông 1 GV: Trần Duy Thái
  2. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1/ Kh¸i niÖm : Cho mét tËp hîp X gåm n phÇn tö ( n ≥ 1) . Khi ®ã mét  tæ hîp chËp k cña n phÇn tö (0 ≤  k ≤  n , k ∈ N) lµ mét tËp con gåm  k phÇn tö kh¸c nhau lÊy tõ n phÇn tö cña X .  2/ C«ng thøc tÝnh sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö  n!                                       C k  =      ( 0 ≤ k  ≤ n  n k!(n − k) ! ) 3/ C¸c tÝnh chÊt cña tæ hîp k n-k •  C n  =  C n k k+1 k+1 •  C n  +  C n  =  C n + 1 4/ Chó ý : Ph©n biÖt ho¸n vÞ , chØnh hîp , tæ hîp  • Ho¸n vÞ lµ s¾p thø tù toµn bé c¸c phÇn tö cña tËp X . • ChØnh hîp lµ lÊy ra mét vµi phÇn tö cña X vµ s¾p thø tù . • Tæ hîp lµ chØ lÊy ra mét vµi phÇn tö cña X kh«ng s¾p thø tù . D¹ng 1 : Bµi to¸n tËp hîp sè A . Mét sè chó ý  1/ Sè ch½n : Ch÷ sè tËn cïng lµ : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 2/ Sè lΠ: Ch÷ sè tËn cïng lµ : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 3/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 3 : Tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3 .  4/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 9 : Tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 .  5/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 5 : Sè tËn cïng lµ 0 ; 5 .  6/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 6 : S蠮㠮ång thêi chia hÕt cho 2 vµ 3 . 7/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 4 : Hai sè tËn cïng chia hÕt cho 4 .  8/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 8 : Ba sè tËn cïng chia hÕt cho 8 .  9/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 10 : Sè tËn cïng lµ 0  .  • Gi¶ sö sè ph¶i lËp cã d¹ng : N =  a1a 2a 3a 4 ...a n  . Khi chän c¸c ch÷ sè  a1 , a2 , … , an ta chän nh÷ng ch÷ sè bÞ rµng buéc tríc .  VÝ dô  +  a1 ph¶i kh¸c 0  + NÕu N lΠth× an ph¶i chän c¸c sè lΠ1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 . B . Bµi tËp Bµi 1 : Cho tËp A cã c¸c phÇn tö 1,2,3,4,5,6,7 . Cã bao nhiªu sè cã  n¨m ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ®îc lÊy ra tõ tËp A .  Gi¶i C¸ch 1 • TËp A kh«ng chøa sè 0 . • Sè c¸c sè cã n¨m ch÷ sè ®îc lÊy tõ tËp A lµ sè chØnh hîp chËp 5  cña 7 phÇn tö nªn cã      A 5  = 2520 sè . 7 C¸ch 2 : Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3a 4 a 5   Trường THPT Gò Công Đông 2 GV: Trần Duy Thái
  3. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt • Chän a1 cã 7 c¸ch   (chó ý a1 ≠ 0 ) • Chän a2 cã 6 c¸ch  … • Chän a5 cã 3 c¸ch  Theo quy t¾c nh©n cã : 7.6.5.4.3 = 2520 sè tho¶ m∙n . Bµi 2 : Cho tËp A cã c¸c phÇn tö  0,1,2,3,4,5,6,7 . Cã bao nhiªu sè  cã n¨m ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ®îc lÊy ra tõ tËp A .  Gi¶i C¸ch 1 • TËp A chøa sè 0 . • Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3a 4 a 5 • Chän a1 cã 7 c¸ch  v× a1 ≠ 0   4 • Bèn ch÷ sè cßn l¹i cã  A 7  c¸ch chän . 4 Theo quy t¾c nh©n co 7.  A 7  = 5880 sè tho¶ m∙n . C¸ch 2 : Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3a 4 a 5   • Chän a1 cã 7 c¸ch v× a1 ≠ 0 • Chän a2 cã 7 c¸ch  • Chän a3 cã 6 c¸ch • Chän a4 cã 5 c¸ch • Chän a5 cã 4 c¸ch  Theo quy t¾c nh©n cã : 7.7.6.5.4 = 5880 sè tho¶ m∙n . Bµi 3 : Cho tËp A = {1,2,3,4,5}  1/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c  nhau ? TÝnh tæng c¸c sè nµy . 2/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè ch½n gåm cã 5 ch÷ sè ®«i mét  kh¸c nhau . 3/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè lΠgåm cã 5 ch÷ sè ®«i mét  kh¸c nhau . 4/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm cã 3 ch÷ sè ®«i mét kh¸c  nhau sao cho c¸c sè nµy chia hÕt cho 9. Gi¶i  1/  a) Sè c¸c sè cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau lµ : P5 =  A 5  = 120 (sè)  5 b) TÝnh tæng  • NhËn xÐt : Trong 120 sè trªn cã 60 cÆp sè mµ mçi cÆp sè ®Òu cã  tæng b»ng 66666  VÝ dô : (12345 vµ 54321 ; 13254 vµ 53412 ; 43512 vµ 23154 …)  • Do ®ã , tæng cña 120 sè lµ : S = 60.66666 = 3999960  2/  Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3a 4 a 5   . V× N lµ sè ch½n nªn  • Chän a5 cã 3 c¸ch (1 , 3 , 5) • Chän a1 cã 4 c¸ch  • Chän a2 cã 3 c¸ch  • Chän a3 cã 2 c¸ch  Trường THPT Gò Công Đông 3 GV: Trần Duy Thái
  4. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt • Chän a4 cã 1 c¸ch  Theo quy t¾c nh©n cã : 3.4.3.2.1 = 72 (sè lÎ)  3/ T¬ng tù  cã 2.4.3.2.1 = 48 sè ch½n 4/ Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3   . V× N lµ sè chia hÕt cho 9 nªn ta  cã : (a1 + a2 + a3 ) chia hÕt cho 9 . Nªn ta chän bé ba ch÷ sè (a1 ;  a2 ; a3 ) lµ : {(1,3,5) ; (2,3,4)} 3 • Trêng hîp 1 : Chän bé (1,3,5) cã P3 =  A 3  = 6 sè tho¶ m∙n .  3 • Trêng hîp 2 : Chän bé (2,3,4) cã P3 =  A 3  = 6 sè tho¶ m∙n .  Theo quy t¾c céng cã : 6 + 6 = 12 sè tho¶ m∙n . Bµi 4 : Víi c¸c sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù  nhiªn cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã lu«n cã mÆt ch÷ sè 5 .  Gi¶i   Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3a 4    C¸ch 1 :  Bíc 1 : T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau  • Chän a1 cã 6 c¸ch v× a1 ≠ 0 . • Chän a2 cã 6 c¸ch • Chän a3 cã 5 c¸ch • Chän a4 cã 4 c¸ch    ⇒ Theo quy t¾c nh©n cã : 6.6.5.4 = 720 sè . Bíc 2 : T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau nhng kh«ng cã ch÷ sè  5 (bá ch÷ sè 5)                 Cã 5.5.4.3 = 300 sè . Bíc 3 : Sè c¸c sè cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã lu«n cã mÆt  ch÷ sè 5 lµ :                 720 – 300 = 420 sè . C¸ch 2    ­ Chän a1 = 5 ­ Chän a2 = 5 …. ­ Chän a4 = 5  Bµi 5 : Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau t¹o thµnh tõ c¸c ch÷  sè 1,2,3,4,5,6 mµ c¸c sè ®ã nhá h¬n 345 . Gi¶i   Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3   . V× N 
  5. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt ⇒ Cã 5.4 = 20 sè d¹ng  2a 2 a 3   • Trêng hîp  3 : a1 = 3 ⇒ N =  3a 2a 3   * Chän a2 cã 3 c¸ch chän (1 , 2 , 4 ). ­ NÕu a2 = 1 th× a3 cã 4 c¸ch chän (2,4,5,6) ⇒ Cã 4 sè d¹ng  31a 3   tho¶ m∙n  ­ NÕu a2 = 2 th× a3 cã 4 c¸ch chän (1,4,5,6) ⇒ Cã 4 sè d¹ng  32a 3   tho¶ m∙n  ­ NÕu a2 = 4 th× a3 cã 2 c¸ch chän (1,2) ⇒ Cã 2 sè d¹ng  34a 3  tho¶  m∙n    ⇒ Cã 4 + 4 + 2 = 10 sè d¹ng  3a 2a 3  tho¶ m∙n   VËy theo quy t¾c céng cã : 20 + 20 + 10 = 50 sè tho¶ m∙n bµi to¸n . Bµi 6 : Cho c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 . Cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm  8 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 5 lÆp l¹i 3 lÇn , c¸c ch÷ sè cßn l¹i cã mÆt  ®óng 1 lÇn . Gi¶i  Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3a 4 a 5a 6a 7 a 8    . V× trong N ch÷ sè 5 cã mÆt 3  lÇn nªn ta ghi thªm : 0,1,2,3,4,5,5,5 .  • Chän a1 cã 7 c¸ch v× a1 ≠ 0  • Chän a2 cã 7 c¸ch  • Chän a3 cã 6 c¸ch  • Chän a4 cã 5 c¸ch  • Chän a5 cã 4 c¸ch  • Chän a6 cã 3 c¸ch  • Chän a7 cã 2 c¸ch  • Chän a8 cã 1 c¸ch   ⇒ Theo quy t¾c nh©n cã : 7.7.6.5.4.3.2.1 = 35280 sè . * Trong N ch÷ sè 5 cã mÆt 3 lÇn nªn khi ta ho¸n vÞ 3 ch÷ sè 5 nµy  th× N vÉn kh«ng thay ®æi nªn N bÞ lÆp l¹i 3! lÇn .  35280 VËy sè c¸c sè tho¶ m∙n bµi to¸n lµ :   = 5880 sè . 3! VÝ dô : Sè 10355564 th× khi ta ho¸n vÞ 3 ch÷ sè 5 vÉn ®îc sè ®ã . Bµi 7 : Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6 thiÕt lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷  sè kh¸c nhau mµ hai ch÷ sè 1 vµ 6 kh«ng ®øng c¹nh nhau . Gi¶i  6 • Sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau lµ : P6 =  A 6  = 6! = 720 sè  • B©y giê ta t×m sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè mµ hai ch÷ sè 1 vµ 6 ®øng  c¹nh nhau .  ­ Hai ch÷ sè 1 vµ 6 ®øng c¹nh nhau ta xem nh mét sè a thèng nhÊt .  5 VËy b©y giê cßn c¸c ch÷ sè : 2,3,4,5,a ⇒ Cã  A 5  = 5! = 120 sè . ­ Mçi lÇn ta ho¸n vÞ hai ch÷ sè 1 vµ 6 trong a ta ®îc 2! Sè míi .    ⇒ cã c¶ th¶y : 2!.120 = 240 sè mµ cã hai ch÷ sè 1 vµ 6 ®øng c¹nh  nhau . Trường THPT Gò Công Đông 5 GV: Trần Duy Thái
  6. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt VËy sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau mµ hai ch÷ sè 1 vµ 6 kh«ng ®øng  c¹nh nhau lµ :     720 – 240 = 480 sè  Bµi 8 : Tõ 10 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè  cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau sao cho trong c¸c sè ®ã lu«n cã mÆt  ch÷ sè 0 vµ 1 . Gi¶i   Gäi sè cÇn t×m lµ N =  a1a 2a 3a 4 a 5a 6     • Tr    : a1 = 1 ⇒ N = 1a 2a 3a 4 a 5a 6     êng hîp 1 ­ Cã 5 vÞ trÝ cho ch÷ sè 0  4 ­ Cßn 4 vÞ trÝ cßn l¹i cã  A8  c¸ch chän . 4 ⇒ Cã 5.  A8  = 8400 sè d¹ng 1a 2a 3a 4 a 5a 6  tho¶ m∙n bµi to¸n . • Tr    : a2 = 1 ⇒ N =  a11a 3a 4 a 5a 6     êng hîp 2 ­ Cã 4 vÞ trÝ cho ch÷ sè 0 v× a1 ≠ 0   4 ­ Cßn 4 vÞ trÝ cßn l¹i cã  A8  c¸ch chän . 4 ⇒ Cã 4.  A8   sè d¹ng   a11a 3a 4 a 5a 6  tho¶ m∙n bµi to¸n . • NÕu a3 = 1 hoÆc a4 = 1 hoÆc a5 = 1 hoÆc a6 = 1 th× còng t¬ng tù nh a2  = 1 . 4 4 VËy theo quy t¾c céng cã : 5.  A8  + 5.(4.  A8 ) = 8400 + 33600 = 42000  sè tho¶ m∙n bµi to¸n .     Bµi tËp tù gi¶i Bµi 9 : T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn lΠgåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ lín  h¬n 70.000  §¸p sè  • C¸c ch÷ sè lÊy lµ : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . • Cã 4386 sè tho¶ m∙n . Bµi 10 : Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6,7 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã  3 ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét sao cho sè võa t×m ®îc lín h¬n 300 vµ nhá  h¬n 600 . §¸p sè  • a1 chän 3 , 4 , 5  • Cã 90 sè tho¶ m∙n  Bµi 11 : Tõ c¸c sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 5 ch÷  sè kh¸c nhau ®«i mét tho¶ m∙n :  1/ Kh«ng b¾t ®Çu b»ng 123 . 2/ Kh«ng tËn cïng b»ng 4 . §¸p sè  1/ (Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ ) . Cã 594 sè tho¶ m∙n bµi to¸n . 2/ a5 ≠ 4 . Cã 504 sè tho¶ m∙n bµi to¸n . Bµi 12 : Tõ c¸c sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 3 ch÷  sè kh¸c nhau ®«i mét tho¶ m∙n kh«ng chia hÕt cho 3 . §¸p sè • Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ (T×m sè c¸c sè chia hÕt cho 3 tríc ) Trường THPT Gò Công Đông 6 GV: Trần Duy Thái
  7. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt • Cã 60 sè tho¶ m∙n bµi to¸n . Bµi 13 : Tõ c¸c sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 4  ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét tho¶ m∙n :  1/ Lu«n cã mÆt ch÷ sè 6 vµ ch÷ sè hµng tr¨m lµ 4 .  2/ Mét trong hai sè ®Çu tiªn lµ 3 vµ sè ®ã chia hÕt cho 5 . §¸p sè  1/ Cã 52 sè cÇn t×m . 2/ Cã 76 sè cÇn t×m . Bµi 14 :  1/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau  trong ®ã ch÷ sè ®øng ®Çu tiªn lµ sè lΠ. 2/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau  trong ®ã cã ®óng 3 ch÷ sè lΠvµ 3 ch÷ sè ch½n (ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i  kh¸c 0) §¸p sè Ta lÊy c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1/ Cã 42000 sè tho¶ m∙n  2/  3 • Chän bÊt k× 3 sè lΠtrong 5 sè lΠlµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 :  C5 • Chän bÊt k× 3 sè lΠtrong 5 sè ch½n lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 :  C3 5 Mçi lÇn ho¸n vÞ 6 ch÷ sè ®∙ chän ta sÏ cã 6! Sè míi . 3 3 ⇒ Cã  C5 . C5 .6! sè cã 3 ch÷ sè ch½n vµ 3 ch÷ sè lΠ.  • Khi ta ho¸n vÞ nh trªn th× cã trêng hîp cã sè 0 nh¶y lªn ®øng  ®Çu .XÐt trêng hîp nµy cã  C3 . C 2 .5! sè . 5 4 VËy cã :  C3 . C3 .6! ­  C3 . C 2 .5! = 64800 sè tho¶ m∙n bµi to¸n . 5 5 5 4 Bµi 15 : Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 7 ch÷ sè ®ång thêi tho¶ m∙n c¸c  tÝnh chÊt sau :  1/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 3 lµ mét sè ch½n . 2/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ cuèi cïng kh«ng chia hÕt cho 5 . 3/ C¸c ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 4 , thø 5 vµ thø 6 ®«i mét kh¸c nhau . 3 §¸p sè  Cã 10.10.5. A10 .8 = 2.880.000 sè tho¶ m∙n bµi to¸n . D¹ng 2 : Bµi to¸n chän ngêi Bµi 1 : Mét líp häc cã 10 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷ . Hái  1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 12 ngêi . 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ gåm 13 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 10 n÷ vµ  ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ . Gi¶i 1/  • Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 10 + 15 = 25 häc sinh . 12 • Chän 12 ngêi bÊt k× trong 25 ngêi cã  C 25   c¸ch chän . 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau  Trường THPT Gò Công Đông 7 GV: Trần Duy Thái
  8. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 10 3 * Tr    : 10 n÷ vµ 3 nam ⇒ Cã  C15 . C10  c¸ch chän    êng hîp 1 11 2 * Tr    : 11 n÷ vµ 2 nam ⇒ Cã  C15 . C10  c¸ch chän    êng hîp 2 12 1 * Tr    : 12 n÷ vµ 1 nam ⇒ Cã  C15 . C10  c¸ch chän    êng hîp 3 Theo quy t¾c céng cã :  C10 . C10  +  C11 . C10  +  C12 . C1  = 426335 c¸ch chän  15 3 15 2 15 10 Bµi 2 : Mét líp häc cã 8 häc sinh nam vµ 12 häc sinh n÷ . Hái  1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷  . 2/ Chän ra mét nhãm gåm 10 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 nam . Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 20 häc sinh  • C¸ch 1 : Chia ra c¸c trêng hîp  + Cã 1 nam vµ 5 n÷  + Cã 2 nam vµ 4 n÷  + Cã 3 nam vµ 3 n÷  + Cã 4 nam vµ 2 n÷  + Cã 5 nam vµ 1 n÷  ⇒ Dïng quy t¾c céng . • C¸ch 2 : Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ  ­ Chän ra 6 ngêi bÊt k× trong 20 ngêi cã  C6  c¸ch  20 6 ­ Chän ra 6 ngêi toµn lµ nam trong 8 nam cã  C8  c¸ch 6 ­ Chän ra 6 ngêi toµn lµ n÷ trong 12 n÷ cã  C12  c¸ch 6 6 6 ⇒ Sè c¸ch chän 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷ lµ :  C 20 ­  C8  ­  C12  = 37808  c¸ch . 2/ Chia ra c¸c trêng hîp ⇒ cã 183370 c¸ch chän . Bµi 3 : Mét líp häc cã 6 häc sinh nam vµ 9 häc sinh n÷ trong ®ã cã  B×nh . Hái  1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ban ®¹i diÖn gåm 7 ngêi trong  ®ã lu«n cã mÆt cña B×nh .  2/ Chän ra mét nhãm gåm 8 ngêi trong ®ã cã mét tæ trëng cßn l¹i lµ  thµnh viªn biÕt r»ng kh«ng cã B×nh trong ®ã . Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 6 + 9 = 15 häc sinh  • V× ban ®¹i diÖn lu«n cã mÆt cña B×nh nªn ta chØ cÇn chän 6 ngêi  6 trong 14 b¹n cßn l¹i . VËy cã  C14  c¸ch chän ban ®¹i diÖn . 2/ V× kh«ng cã B×nh tham gia nªn chØ cã 14 b¹n .  1 • Chän  mét tæ trëng cã  C14  c¸ch chän . (cßn 13 b¹n ) 7 • Chän 7 b¹n cßn l¹i trong 13 b¹n cã  C13  c¸ch chän . 1 7 ⇒ Theo quy t¾c nh©n cã :  C14 . C13  = 24024 c¸ch chän  Trường THPT Gò Công Đông 8 GV: Trần Duy Thái
  9. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt Bµi 4 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã Nam . 1/ Chän ra mét tæ trùc nhËt cã 8 b¹n , trong ®ã cã mét tæ trëng vµ  cßn l¹i lµ thµnh viªn . Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam lu«n cã  mÆt trong tæ . 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ 10 ngêi trong ®ã cã 1 tæ trëng , 1 th kÝ  vµ c¸c thµnh viªn . Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam nhÊt thiÕt  ph¶i cã mÆt . Gi¶i 1/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  • Tr    êng hîp 1   : Nam lµ tæ trëng ⇒ ChØ cÇn chän 7 b¹n cßn l¹i trong  7 19 ngêi cßn l¹i ⇒ Cã  C19  c¸ch chän . • Tr    êng hîp 2   : Nam kh«ng lµ tæ trëng  ­ Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cßn l¹i cã  C1  c¸ch chän . 19 6 ­ Chän 6 thµnh viªn  trong 18 ngêi cßn l¹i cã  C18  c¸ch chän . 1 6 ⇒ Cã  C19 . C18  c¸ch chän . VËy theo quy t¾c céng cã :  C19  +  C1 . C18  c¸ch chän . 7 19 6 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  • Tr    êng hîp 1   : Nam lµ tæ trëng  ­ Chän mét th kÝ trong 19 ngêi cã  C1  c¸ch chän . 19 8 ­ Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã  C18  c¸ch  1 8 ⇒ Cã  C19 . C18  c¸ch chän . • Tr    êng hîp 2   : Nam lµ th kÝ  ­ Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã  C1  c¸ch chän . 19 8 ­ Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã  C18  c¸ch  1 8 ⇒ Cã  C19 . C18  c¸ch chän  • Tr    êng hîp 3   : Nam lµ thµnh viªn .  ­ Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã  C1  c¸ch chän . 19 ­ Chän mét th kÝ trong 18 ngêi cã  C1  c¸ch chän . 18 7 ­ Chän 7 thµnh viªn trong 17 ngêi cßn l¹i cã  C17  c¸ch  1 1 7 ⇒ Cã  C19 . C18 . C17  c¸ch chän . Bµi 5 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã 2 c¸n bé líp . Hái cã bao  nhiªu c¸ch chän 3 ngêi ®i dù ®¹i héi sinh viªn cña trêng sao cho  trong 3 ngêi ®ã cã Ýt nhÊt mét c¸n bé líp . Gi¶i Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  • Tr    êng hîp 1   : Cã 1 c¸n bé líp  ­ Chän 1 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã  C1  c¸ch chän . 2 2 ­ Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã  C18  c¸ch chän . Trường THPT Gò Công Đông 9 GV: Trần Duy Thái
  10. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1 2 ⇒ Cã  C C2. 18  c¸ch chän .    êng hîp 2 Tr    : Cã 2 c¸n bé líp  ­ Chän 2 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã  C 2  c¸ch chän . 2 2 ­ Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã  C18  c¸ch chän . 2 2 ⇒ Cã  C 2 . C18  c¸ch chän .  VËy theo quy t¾c céng cã :  C1 . C18  +  C 2 . C18  = 324 c¸ch chän . 2 2 2 2 Bµi tËp tù gi¶i Bµi 6 : Mét ®éi v¨n nghÖ cã 20 ngêi trong ®ã cã 10 nam vµ 10 n÷ . Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ra 5 ngêi sao cho :  1/ Cã ®óng 2 nam  2/ Cã Ýt nhÊt 2 nam vµ Ýt nhÊt 1 n÷ trong ®ã .  §¸p sè 2 3 1/  C10 . C10  = 5400 c¸ch  2/  C10 . C10  +  C10 . C10  +  C10 . C1  = 12900 c¸ch  2 3 3 2 4 10 Bµi 7 : Mét tËp thÓ gåm 14 ngêi trong ®ã cã 6 nam vµ 8 n÷ trong ®ã cã  Thanh vµ Th¬ , ngêi ta muèn chän mét tæ c«ng t¸c gåm 6 ngêi . T×m sè  c¸ch chän trong mçi trêng hîp sau :  1/ Trong tæ ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ . 2/ Trong tæ ph¶i cã 1 tæ trëng , 5 tæ viªn h¬n n÷a Thanh vµ Th¬ kh«ng  ®ång thêi cã mÆt trong tæ . §¸p sè 1/ Cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ ⇒ Cã 2974 c¸ch tho¶ m∙n bµi  to¸n . 2/     Híng dÉn   (cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ) ­ Bíc 1 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn  (A)  ­ Bíc 2 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn trong ®ã c¶ Thanh  vµ Th¬ cïng cã mÆt  (B)   KÕt qu¶ : A – B = 15048 c¸ch  Bµi 8 : Mét líp häc cã 30 häc sinh gåm 3 lo¹i : Cã 5 häc sinh giái ,  10 häc sinh trung b×nh vµ 15 häc sinh yÕu . 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 5 häc sinh cã ®ñ c¶ ba lo¹i vµ  kh«ng cã qu¸ 2 häc sinh yÕu . 2/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 7 häc sinh cã ®óng 2 häc sinh  yÕu , cã Ýt nhÊt 1 häc sinh giái vµ cã Ýt nhÊt mét häc sinh trung  b×nh . §¸p sè 1/  C1 . C1 . C10  +  C1 . C5 . C10  +  C1 . C3 . C1  +  C15 . C1 . C10  +  C15 . C5 . C1 15 5 3 15 2 2 15 5 10 2 5 2 2 2 10 2/  C15 . C1 . C10  +  C15 . C5 . C10  +  C15 . C3 . C10  +  C15 . C5 . C1 2 5 4 2 2 3 2 5 2 2 4 10 D¹ng 3 : Bµi to¸n ®Õm sè ®iÓm ,  sè ®a gi¸c , sè c¹nh Trường THPT Gò Công Đông 10 GV: Trần Duy Thái
  11. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt Bµi 1 : TÝnh sè ®êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi n c¹nh . Gi¶i • Nèi hai ®Ønh bÊt k× cña ®a gi¸c ta ®îc mét ®êng chÐo hoÆc mét c¹nh  . 2 • VËy sè ®êng chÐo vµ sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ :  C n   • Sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ n  2 n(n − 3)     ⇒ Sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c lµ :  C n  ­ n =    . 2 Bµi 2 : Trªn mét ®êng trßn cho 10 ®iÓm . Hái cã bao nhiªu tam gi¸c  nhËn c¸c ®iÓm ®ã lµm ®Ønh . • NhËn thÊy 10 ®iÓm trªn mét ®êng  trßn th× kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng  hµng . • Cø 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng t¹o  thµnh mét tam gi¸c .  3 ⇒ Sè tam gi¸c ph¶i t×m lµ :  C10 =  120  Bµi 3 : Cho hai ®êng th¼ng song song . Trªn ®êng thø nhÊt cã 10  ®iÓm , trªn ®êng thø hai cã 15 ®iÓm . Hái cã bao nhiªu tam gi¸c t¹o  bëi c¸c ®iÓm ®∙ cho . • §Ó t¹o mét tam gi¸c cÇn cã 3  ®iÓm kh«ng th¼ng hµng . Do ®ã 3  ®Ønh cña tam gi¸c kh«ng thÓ n»m  trªn mét ®êng th¼ng . • Tr    êng hîp 1   : Tam gi¸c t¹o bëi  mét ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø nhÊt  vµ hai ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø  hai . Ta cã  2 10. C15  tam gi¸c tho¶ m∙n . • Tr    êng hîp 2   : Tam gi¸c t¹o bëi  mét ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø hai  vµ hai ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø  nhÊt . Ta cã  2 15. C10  tam gi¸c tho¶ m∙n . 2 ⇒ Theo quy t¾c céng cã : 10. C15  +  2 15. C10  tam gi¸c . Bµi 4 : Trong mÆt ph¼ng cho ®a gi¸c ®Òu n c¹nh . Hái  1/ Cã bao nhiªu tam gi¸c t¹o thµnh tõ c¸c ®Ønh cña ®a gi¸c ®ã . Trường THPT Gò Công Đông 11 GV: Trần Duy Thái
  12. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 2/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng hai c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . 3/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng mét c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . 4/ Cã bao nhiªu tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña ®a gi¸c . Gi¶i 1/ Ta biÕt n ®Ønh cña ®a gi¸c th×  kh«ng cã 3 ®Ønh nµo th¼ng hµng .  Do ®ã cø 3 ®Ønh cña ®a gi¸c t¹o  thµnh mét tam gi¸c . VËy sè tam  gi¸c lµ :  C3 n 2/ Tam gi¸c cã 3 ®Ønh liªn tiÕp  cña ®a gi¸c lµ tam gi¸c cã chøa  hai c¹nh cña ®a gi¸c . C¸c tam  gi¸c b¾t ®Çu lµ : A1A2A3 , A2A3A4 ,  … , An­2An­1An , An­1AnA1 , AnA1A2 .  ⇒ Cã n tam gi¸c (®Ó ý chØ sè in  ®Ëm ch¹y tõ 1 ®Õn n )  3/ Tam gi¸c chøa ®óng mét c¹nh  cña ®a gi¸c lµ tam gi¸c cã hai  ®Ønh thuéc mét c¹nh cña ®a gi¸c  vµ ®Ønh thø 3 ®èi diÖn víi c¹nh  ®∙ chän . Nh vËy øng víi mét c¹nh  cã n – 4 ®Ønh tho¶ m∙n ( trõ ®i 2  ®Ønh thuéc c¹nh ®ã vµ hai ®Ønh  liÒn kÒ víi hai ®Ønh ®ã ) . §a  gi¸c cã n c¹nh ⇒ Cã n.(n – 4)  tam gi¸c tho¶ m∙n  . 4/ Sè tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo  lµ c¹nh cña ®a gi¸c lµ :  C3  ­ n –  n n(n – 4) Bµi 5 : Trong mÆt ph¼ng cho ®a gi¸c ®Òu 20 c¹nh . XÐt c¸c tam gi¸c cã  3 ®Ønh ®îc lÊy tõ 3 ®Ønh cña ®a gi¸c . Hái  1/ Cã tÊt c¶ bao nhiªu tam gi¸c nh vËy ? Cã bao nhiªu tam gi¸c cã  ®óng 2 c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c .  2/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng 1 c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c ?  Cã bao  nhiªu tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña ®a gi¸c .  §¸p sè 1/  Trường THPT Gò Công Đông 12 GV: Trần Duy Thái
  13. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 3 •  C 20  = 1140 tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ®Ønh cña ®a gi¸c . • Cã 20 tam gi¸c cã ®óng hai c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . 2/  • Cã 16.20 = 320 tam gi¸c cã ®óng mét c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . • Cã 800 tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña ®a gi¸c . Bµi 6 : Cho ®a gi¸c låi n c¹nh . KΠtÊt c¶ c¸c ®êng chÐo cña ®a gi¸c  ®ã biÕt r»ng kh«ng cã 3 ®êng chÐo nµo ®ång quy . Cã bao nhiªu giao  ®iÓm cña hai ®êng chÐo n»m trong ®a gi¸c .  Gi¶i • Mçi giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo t¬ng øng duy nhÊt víi mét tø gi¸c  låi cã c¸c ®Ønh lµ ®Ønh cña ®a gi¸c .  • Do ®ã cã bao nhiªu tø gi¸c låi th× cã bÊy nhiªu giao ®iÓm cña hai  ®êng chÐo n»m trong ®a gi¸c .  4 • VËy sè giao ®iÓm ph¶i t×m lµ :  C n   Bµi 7 : Cho ®a gi¸c ®Òu A1A2…A2n ( n ≥ 3) néi tiÕp trong ®êng trßn (O)  . BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , … , A2n  nhiÒu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 ,  A2 , … , A2n . T×m n . 3 • Sè tam gi¸c lµ :  C 2n • Sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c ®i qua  t©m O lµ n ®êng chÐo . • Ta thÊy cø hai ®êng chÐo ®i qua  O th× t¹o thµnh mét h×nh ch÷ nhËt  . VËy sè h×nh ch÷ nhËt cã 4 ®Ønh  trong 2n ®Ønh cña ®a gi¸c lµ  C 2  . n Theo gi¶ thiÕt ta cã :  C3  = 20 C 2 2n n ⇔ n = 8   PhÇn 4 : X¸c suÊt A . Lý thuyÕt  I / PhÐp thö ngÉu nhiªn vµ kh«ng gian mÉu 1/ PhÐp thö ngÉu nhiªn  1.1. Kh¸i niÖm : PhÐp thö ngÉu nhiªn (phÐp thö ) lµ mét thÝ nghiÖm  hay hµnh ®éng mµ :  ­ KÕt qu¶ cña nã kh«ng ®o¸n tríc ®îc . Trường THPT Gò Công Đông 13 GV: Trần Duy Thái
  14. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt ­ Cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc tËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra cña phÐp thö  ®ã . 1.2. KÝ hiÖu     PhÐp thö ngÉu nhiªn hay kÝ hiÖu lµ : T 1.3. VÝ dô  • VÝ dô 1 :  “ Gieo mét con sóc s¾c ” . Khi ®ã :  ­ Kh«ng ®o¸n ®îc sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn . ­ X¸c ®Þnh ®îc tËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra lµ : XuÊt hiÖn mÆt  1 chÊm , 2 chÊm , 3 chÊm , 4 chÊm , 5 chÊm , 6 chÊm .   VËy hµnh ®éng gieo mét con sóc s¾c trªn lµ mét phÐp thö ngÉu nhiªn  . • VÝ dô 2 :  “ Gieo mét ®ång xu ” . Khi ®ã :  ­ Kh«ng ®o¸n ®îc mÆt xuÊt hiÖn . ­ X¸c ®Þnh ®îc tËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra lµ : §ång xu lËt  ngöa hoÆc lËt sÊp .   VËy hµnh ®éng gieo mét ®ång xu trªn lµ mét phÐp thö ngÉu nhiªn . 2/ Kh«ng gian mÉu cña phÐp thö  2.1. Kh¸i niÖm : TËp hîp tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp  phÐp thö gäi lµ kh«ng gian mÉu cña phÐp thö ®ã .  2.2. KÝ hiÖu      Kh«ng gian mÉu ®îc kÝ hiÖu lµ : Ω ( §äc lµ «mªga) 2.3. VÝ dô : X¸c ®Þnh kh«ng gian mÉu cña phÐp thö ë hai vÝ dô trªn  • VÝ dô 1 :  “ Gieo mét con sóc s¾c ” . Khi ®ã : Ω = {1 , 2 , 3 ,  4 , 5 , 6}  • VÝ dô 2 :  “ Gieo mét ®ång xu  ” . Khi ®ã : Ω = {S , N}  ( N : lËt  ngöa , S : lËt sÊp ) 3/ BiÕn cè cña phÐp thö  3.1. Kh¸i niÖm      Cho phÐp thö T  a/ BiÕn cè A liªn quan ®Õn phÐp thö T lµ mét sù kiÖn mµ viÖc x¶y ra  hay kh«ng x¶y ra cña A phô thuéc vµo kÕt qu¶ cña phÐp thö T .   b/ Mçi kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµm cho A x¶y ra gäi lµ mét kÕt qu¶   thuËn lîi cho A . TËp hîp c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi cho A kÝ hiÖu lµ :  Ω A . Khi ®ã ta nãi biÕn cè A ®îc m« t¶ bëi tËp Ω A .  3.2. Chó ý  ­ BiÕn cè cña mét phÐp thö ta hay kÝ hiÖu lµ : A , B , C , D … hoÆc  A1 , A2 , …  ­ Ta lu«n cã : Ω A ⊂ Ω  ­ BiÕn cè ch¾c ch¾n lµ biÕn cè lu«n x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö  T . BiÕn cè ch¾c ch¾n ®îc m« t¶ bëi tËp Ω lµ kh«ng gian mÉu cña phÐp  thö T .  ­ BiÕn cè kh«ng thÓ lµ biÕn cè kh«ng bao giê x¶y ra khi thùc hiÖn  phÐp thö T . BiÕn cè kh«ng thÓ ®îc m« t¶ bëi tËp rçng ∅ .  3.2. VÝ dô   XÐt phÐp thö T :  “ Gieo mét con sóc s¾c ”  • Kh«ng gian mÉu cña T lµ : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}  Trường THPT Gò Công Đông 14 GV: Trần Duy Thái
  15. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt • XÐt biÕn cè A : “ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè lΠ” . Khi  ®ã :  ­ NÕu kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµ xuÊt hiÖn mÆt 2 chÊm (hoÆc 4 , 6  chÊm ) th× râ rµng biÕn cè A kh«ng x¶y ra .  ­ NÕu kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµ xuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm (hoÆc 3 , 5  chÊm ) th× râ rµng biÕn cè A x¶y ra .  VËy cã 3 kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ : mÆt 1 , 3 , 5 chÊm xuÊt hiÖn .    ⇒ Ω A = {1 ; 3 ; 5}. • XÐt biÕn cè B : “ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn d¬ng  ≤  6 ”    Th× râ rµng biÕn cè B lu«n x¶y ra . Khi ®ã B lµ biÕn cè ch¾c ch¾n  vµ B ®îc m« t¶ bëi kh«ng gian mÉu Ω . • XÐt biÕn cè C : “ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn d¬ng  > 7  ”    Th× râ rµng biÕn cè C kh«ng bao giê x¶y ra v× sè chÊm cña mét con  sóc s¾c nhiÒu nhÊt lµ 6 chÊm . Khi ®ã biÕn cè C lµ biÕn cè kh«ng thÓ  vµ ®îc m« t¶ bëi tËp rçng ∅  . II . X¸c suÊt cña biÕn cè  1/ §Þnh nghÜa  ­ Cho phÐp thö T víi kh«ng gian mÉu  Ω  lµ mét tËp h÷u h¹n phÇn tö  vµ c¸c kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµ ®ång kh¶ n¨ng .  ­ Gäi A lµ mét biÕn cè liªn quan ®Õn phÐp thö T vµ Ω A lµ tËp hîp c¸c  kÕt qu¶ thuËn lîi cho A .  ­ Khi ®ã x¸c suÊt cña A lµ mét sè , kÝ hiÖu P(A) , ®îc x¸c ®Þnh bëi  c«ng thøc :  ΩA       P(A) =    Ω Trong ®ã   +  Ω A   lµ sè phÇn tö cña Ω A .  +  Ω   lµ sè phÇn tö cña Ω   .   VËy ®Ó tÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè A cña phÐp thö T ta lµm theo c¸c b­ íc sau :  ­ X¸c ®Þnh kh«ng gian mÉu Ω  vµ ®Õm sè phÇn tö cña nã ( sè kÕt qu¶ cã  thÓ x¶y ra cña phÐp thö T ) . ­ X¸c ®Þnh sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A ( lµ sè phÇn tö cña Ω A) . ­ ¸p dông c«ng thøc (1) . 2/ Chó ý  • 0 ≤  P(A) ≤  1  • P(Ω) = 1 , P(∅) = 0  • X¸c suÊt lµ mét sè d¬ng nhá h¬n 1 , x¸c suÊt cña biÕn cè ch¾c  ch¾n b»ng 1 , x¸c    suÊt cña biÕn cè kh«ng thÓ b»ng 0 . 3/ VÝ dô  VÝ dô 1 :  Trường THPT Gò Công Đông 15 GV: Trần Duy Thái
  16. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt   “ Gieo mét con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt ”  a/ M« t¶ kh«ng gian mÉu . b/ TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè ch½n . b/ TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn tè .  ( Chó ý : Sè nguyªn tè lµ sè nguyªn d¬ng chØ cã hai íc lµ 1 vµ  chÝnh nã vµ sè 2 lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt ) Gi¶i a/ Kh«ng gian mÉu : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .     ⇒ Sè phÇn tö cña kh«ng gian mÉu :   Ω  = 6 b/  • Gäi A lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè ch½n ” . • TËp m« t¶ A lµ : Ω A = {2 , 4 , 6} ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A  lµ :   Ω A  = 3  3 1     ⇒ X¸c suÊt cña A lµ : P(A) =   =   = 0,5 . 6 2 c/  • Gäi B lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn tè  ” . • TËp m« t¶ B lµ : Ω B = {2 , 3 , 5} ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B  lµ :   Ω B  = 3  3 1     ⇒ X¸c suÊt cña A lµ : P(B) =   =   = 0,5 . 6 2 VÝ dô 2 :    “ Gieo ®ång thêi hai con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt ” . TÝnh x¸c  suÊt ®Ó : a/ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con sóc s¾c lµ nh÷ng sè  ch½n . b/ Tæng sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn cña hai con sóc s¾c lµ mét sè 7 . Gi¶i   Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ :   Ω  = 62 = 36 . a/  • Gäi A lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con  sóc s¾c lµ nh÷ng sè ch½n ” . • TËp m« t¶ A lµ : Ω A = {(2,2) ; (2,4) ; (4,2) ; (2,6) ; (6,2) ;  (4,6) ; (6,4) ; (6,6) }      ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :   Ω A  = 8 .  8 2     ⇒ X¸c suÊt cña A lµ : P(A) =   =    36 9 b/  • Gäi B lµ biÕn cè : “Tæng sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn cña hai con  sóc s¾c lµ mét sè 7 ” . • TËp m« t¶ A lµ : Ω A = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ;  (4,3) }      ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :   Ω A  = 6 .  Trường THPT Gò Công Đông 16 GV: Trần Duy Thái
  17. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 6 1     ⇒ X¸c suÊt cña A lµ : P(A) =   =    36 6 Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Chän ngÉu nhiªn mét sè nguyªn d¬ng nhá h¬n 9 . TÝnh x¸c suÊt  ®Ó :  1/ Sè ®îc chän lµ sè nguyªn tè .  2/ Sè ®îc chän chia hÕt cho 3 . Gi¶i • Kh«ng gian mÉu : Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8}    ⇒ Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ :   Ω  = 8 . 1/  • Gäi A lµ biÕn cè : “sè ®îc chän lµ sè nguyªn tè ”  • TËp m« t¶ A lµ : Ω A = {2,3,5,7}      ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :   Ω A  = 4 .  4 1     ⇒ X¸c suÊt cña A lµ : P(A) =   =   = 0,5 8 2 2/  • Gäi B lµ biÕn cè : “sè ®îc chän chia hÕt cho 3 ”  • TËp m« t¶ A lµ : Ω B = {3,6}      ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B lµ :   Ω B  = 2 .  2 1     ⇒ X¸c suÊt cña B lµ : P(B) =   =   = 0,25 . 8 4 Bµi 2  : “ Gieo ®ång thêi hai con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt ” . TÝnh  x¸c suÊt ®Ó : a/ Tæng sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con sóc s¾c ≤  7 . b/ Cã ®óng mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm . c/ Cã Ýt nhÊt  mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm . Gi¶i   Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ :   Ω  = 62 = 36 . a/  • Gäi A lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con  sóc s¾c lµ nh÷ng sè ch½n ” . • TËp m« t¶ A lµ : Ω A = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ;  (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,1) ; (3,2) ;  (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (5,1) ; (5,2)}      ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :   Ω A  = 21 .  21 7     ⇒ X¸c suÊt cña A lµ : P(A) =   =    36 12 b/  • Gäi B lµ biÕn cè : “Cã ®óng mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6  chÊm” . Trường THPT Gò Công Đông 17 GV: Trần Duy Thái
  18. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt • TËp m« t¶ B lµ :          Ω B = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ;  (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) }      ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B lµ :   Ω B  = 10 .  10 5     ⇒ X¸c suÊt cña B lµ : P(B) =   =   . 36 18 c/  • Gäi C lµ biÕn cè : “Cã Ýt nhÊt mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6  chÊm” . Cã hai kh¶ n¼ng x¶y ra :  + Cã mét con xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm . + C¶ hai con xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm . • TËp m« t¶ C lµ :          Ω C = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ;  (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) ; (6;6) }      ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho C lµ :   Ω C  = 11 .  11     ⇒ X¸c suÊt cña C lµ : P(C) =    . 36 Bµi 3 : Chän ngÉu nhiªn 5 ngêi cã tªn trong danh s¸ch 20 ngêi ®îc  ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 20 . TÝnh x¸c xuÊt ®Ó n¨m ngêi ®îc chän cã sè thø tù  kh«ng lín h¬n 10 . Gi¶i • Sè kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra lµ sè c¸ch chän 5 ngêi bÊt k× trong 20  ngêi .  5     VËy   Ω  =  C 20  . • Gäi A lµ biÕn cè : “ 5 ngêi ®îc chän cã sè thø tù kh«ng lín h¬n 10  ”  ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ sè c¸ch chän 5 trong 10 ngêi cã sè  thø tù tõ 1 ®Õn 10 .   5     VËy   Ω A  =  C10  .  C10 5    Khi ®ã x¸c suÊt cña A lµ : P(A) =  5  . C20 Bµi 4 : Mét hép ®ùng 4 qu¶ cÇu ®á vµ 6 qu¶ cÇu xanh . Chän ngÉu nhiªn  4 qu¶ cÇu . TÝnh x¸c xuÊt ®Ó trong 4 qu¶ ®ã cã c¶ ®á vµ xanh .  Gi¶i • Tæng sè qu¶ cÇu trong hép lµ : 10 qu¶  • Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ sè c¸ch chän ngÉu nhiªn 4  qu¶ trong 10 qu¶ .  4    VËy :   Ω  =  C10 • Gäi A lµ biÕn cè : “ Bèn qu¶ ®îc chän ra cã c¶ ®á vµ xanh ” . Ta t×m sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A tøc lµ sè c¸ch chän ra 4 qu¶ cã c¶  ®á vµ xanh . Trường THPT Gò Công Đông 18 GV: Trần Duy Thái
  19. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1 3 + Tr    : Chän 1 ®á vµ 3 xanh  ⇒ Cã  C 4 . C6  c¸ch chän .    êng hîp 1 2 2 + Tr    : Chän 2 ®á vµ 2 xanh  ⇒ Cã  C 4 . C6  c¸ch chän .    êng hîp 2 3 1 + Tr    : Chän 3 ®á vµ 1 xanh  ⇒ Cã  C 4 . C6  c¸ch chän .    êng hîp 3 1 3 2 2 3 1    ⇒ Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :   Ω A  =  C 4 . C6  +  C 4 . C6  +  C 4 . C6 C1 C3 + C 2C6 + C3 C1 2 97     VËy    P(A) =  4 6 4 4 4 6  =   . C10 105 Bµi 5 :  “ Gieo ®ång thêi ba con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt ” . TÝnh  x¸c suÊt ®Ó tæng sè nót xuÊt hiÖn trªn mÆt ba con lµ 8 .  21 7 §¸p sè  P(A) =  3  =    6 72 Bµi 6 : Ba cöa hµng b¸n xe m¸y nh nhau . Cã 3 ngêi kh¸ch A1 , A2 , A3  ®éc lËp nhau chän ngÉu nhiªn mét cöa hµng ®Ó mua xe . TÝnh x¸c suÊt  ®Ó :  1/ Ba ngêi vµo cïng mét cöa hµng . 2/ Hai ngêi kh¸ch cïng vµo mét cöa hµng , ngêi kia vµo cöa hµng kia .  Gi¶i   Ta ®¸nh sè ba cöa hµng lµ : 1 , 2 , 3 . • Ba ngêi kh¸ch A , B , C ®éc lËp nhau chän ngÉu nhiªn mét cöa hµng  ®Ó mua xe nªn sè kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra lµ : 33 = 27    Cã thÓ liÖt kª nh sau : Ω = {(1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (1,2,1)  , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) , … , (3,3,3)} . 1/ Gäi A lµ biÕn cè : “ Ba ngêi vµo cïng mét cöa hµng ” ⇒ Sè kÕt qu¶  thuËn lîi cho A lµ :   Ω A  = 3  ( Cã 3 kh¶ n¨ng lµ (1,1,1) ; (2,2,2)  ; (3,3,3) ) . 3 1     ⇒ P(A) =   =   . 27 9 2/ Gäi B lµ biÕn cè : “Hai ngêi kh¸ch cïng vµo mét cöa hµng , ngêi  kia vµo cöa hµng kia” . Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B chÝnh lµ sè c¸ch  chän hai ngêi vµo cïng mét cöa hµng vµ ngêi cßn l¹i vµo cöa hµng kia  . Ta chia c¸c trêng hîp sau :  • Tr    êng hîp 1  : (1,1,2) tøc lµ 2 ngêi vµo cöa hµng 1 , mét ngêi vµo  cöa hµng 2 . Cã 3 c¸ch chän trêng hîp nµy . + A1 , A2 vµo cña hµng 1 vµ A3 vµo cöa hµng 2 . + A1 , A3 vµo cña hµng 1 vµ A2 vµo cöa hµng 2 . + A2 , A3 vµo cña hµng 1 vµ A1 vµo cöa hµng 2 . Hoµn toµn t¬ng tù :  • Tr    êng hîp 2  : (1,1,3) cã 3 c¸ch  • Tr    êng hîp 3  : (2,2,1) cã 3 c¸ch • Tr    êng hîp 4  : (2,2,3) cã 3 c¸ch • Tr    êng hîp 5  : (3,3,1) cã 3 c¸ch • Tr    êng hîp 6  : (3,3,2) cã 3 c¸ch  Trường THPT Gò Công Đông 19 GV: Trần Duy Thái
  20. Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt VËy cã c¶ th¶y : 6.3 = 18 c¸ch  18 2     ⇒ P(B) =   =   . 27 3 Bµi 7 : C«ng ty FPT cÇn tuyÓn 2 nh©n viªn . Cã 6 ngêi nép ®¬n ,  trong ®ã cã 4 nam vµ 2 n÷ . Gi¶ sö kh¶ n¨ng øng cö lµ nh nhau . TÝnh  x¸c suÊt ®Ó :  1/ Hai ngêi tróng tuyÓn lµ nam .  2/ Hai ngêi tróng tuyÓn ®Òu lµ n÷ .  3/ Hai ngêi tróng tuyÓn cã Ýt nhÊt 1 n÷ . 2 1 1 §¸p sè : 1/ P(A) =   ; 2/ P(B) =   ; 3/ P(C) =  5 15 5 III.BiÕn cè ®èi  1/ §Þnh nghÜa    Cho A lµ mét biÕn cè . Khi ®ã biÕn cè “ kh«ng x¶y ra A ”, kÝ hiÖu  lµ  A  , ®îc gäi lµ biÕn cè ®èi cña A .  VÝ dô : “ Gieo mét ®ång xu”  ­ XÐt biÕn cè A : “ MÆt ngöa xuÊt hiÖn ”   ⇒ BiÕn cè ®èi cña A lµ : “ MÆt ngöa kh«ng xuÊt hiÖn ”  2/ NhËn xÐt  • Gäi Ω lµ kh«ng gian mÉu  • Gäi Ω A lµ tËp kÕt qu¶ thuËn lîi  ΩA cho A  ΩA Khi ®ã tËp kÕt qu¶ thuËn lîi cho  Ω A  lµ :        ΩA  = Ω \ Ω A IV. Quy t¾c nh©n x¸c suÊt 1/ BiÕn cè giao  a/ Kh¸i niÖm : Cho hai biÕn cè A vµ B . BiÕn cè “ C¶ A vµ B cïng x¶y  ra  ” gäi lµ biÕn cè giao cña hai biÕn cè A vµ B vµ kÝ hiÖu lµ : AB .    VËy AB lµ biÕn cè : “ C¶ A vµ B cïng x¶y ra ” . b/ NhËn xÐt : Gäi Ω A vµ Ω B lÇn lît lµ tËp hîp c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi  cho A vµ B th× tËp hîp c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi cho biÕn cè giao AB  lµ : Ω AB = Ω A ∩ Ω B . c/ VÝ dô   Chän ngÉu nhiªn mét em häc sinh trong líp .  ­ Gäi A lµ biÕn cè : “ B¹n ®ã lµ häc sinh giái To¸n ” . ­ Gäi B lµ biÕn cè : “ B¹n ®ã lµ häc sinh giái V¨n ” .    ⇒ BiÕn cè giao cña A vµ B lµ “ B¹n ®ã häc giái c¶ V¨n vµ To¸n” .  Tæng qu¸t       Cho k biÕn cè A1 , A2 , … , Ak . Khi ®ã biÕn cè giao cña k biÕn   cè lµ : “ TÊt c¶ k biÕn cè  A1 , A2 , … , Ak ®Òu x¶y ra ” , kÝ hiÖu :  A1A2…Ak . 2/ Hai biÕn cè ®éc lËp  Trường THPT Gò Công Đông 20 GV: Trần Duy Thái