Xem mẫu

  1. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH TOÁN CAO C P A2 ð I H C Tài li u tham kh o 1. Giáo trình Toán cao c p A2 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – ðHCN TP.HCM. 3. Toán cao c p A2 – ð Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM. 4. Toán cao c p A2 – Nguy n ðình Trí – NXB Giáo d c. 5. Toán cao c p A2 – Nguy n Vi t ðông – NXB Giáo d c. 6. Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c. 7. Bài t p Toán cao c p ð i s Tuy n tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo d c. 8. ð i s tuy n tính – Bùi Xuân H i (ch biên) – ðHKHTN TP. HCM. Chương 1. MA TR N – ð NH TH C – H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH §1. MA TR N 1.1. ð nh nghĩa • Khi m = 1, A = (a11 a12 … a1n) là ma tr n dòng; n = 1, a) Ma tr n A c p m × n trên ℝ là 1 h th ng g m m.n s  a11  ( ) aij ∈ ℝ i = 1, m; j = 1, n và ñư c s p x p thành b ng: A =  ...  là ma tr n c t; m = n = 1, A = (a11) (1 ph n t ).   a   a11 a12 ... a1n   m1  a  • T p h p các ma tr n A là M m ,n (ℝ ) , ñ cho g n ta vi t A=  21 a22 ... a2 n  (g m m dòng và n c t).  ... ... ... ...  A = ( aij )m×n .    am1 am 2 ... amn  • aij là các ph n t c a A dòng th i và c t th j. b) Hai ma tr n A và B b ng nhau, ký hi u A = B khi và ch • C p s (m, n) là kích thư c c a A. khi chúng cùng kích thư c và aij = bij. VD 1. Các ma tr n vuông ñ c bi t: 1 x y   1 0 −1  • ðư ng chéo ch a a11, a22, …, ann là ñư ng chéo chính c a z 2 =  ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 . A, ñư ng chéo còn l i là ñư ng chéo ph .  t  2 u 3  • Ma tr n vuông có t t c các ph n t n m ngoài ñư ng chéo chính ñ u b ng 0 là ma tr n chéo. c) Ma tr n Ο = (0ij )m×n g m t t c các ph n t ñ u b ng 0 là • Ma tr n chéo c p n g m t t c các ph n t trên ñư ng ma tr n không. chéo chính ñ u b ng 1 là ma tr n ñơn v c p n, ký hi u In.  1 0 0 d) Khi m = n: A là ma tr n vuông c p n, ký hi u A = ( aij ) n . 1 0   VD 2. I 2 =   , I3 =  0 1 0  . 0 1 0 0 1   • Ma tr n tam giác trên (dư i) c p n là ma tr n có các ph n • Ma tr n ph n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i t n m phía dư i (trên) ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. x ng qua ñư ng chéo chính ñ i nhau (aij = –aji) và t t c các  1 0 −2  ph n t trên ñư ng chéo chính ñ u b ng 0. VD 3. A =  0 −1 1  là ma tr n tam giác trên;   0 0 0  3 4 −1    VD 4. A =  4  1 0  là ma tr n ñ i x ng;   3 0 0  −1   0 2 B =  4 1 0  là ma tr n tam giác dư i.    −1 5 2  0 −4 1    B= 4  0 0  là ma tr n ph n ñ i x ng.  • Ma tr n ñ i x ng c p n là ma tr n có các ph n t ñ i x ng  −1  qua ñư ng chéo chính b ng nhau (aij = aji).  0 0 1.2. Các phép toán trên ma tr n b) Nhân vô hư ng a) Phép c ng và tr Cho A = ( aij )m×n , λ ∈ ℝ ta có: Cho A = ( aij )m×n , B = (bij ) m×n ta có: λ A = (λ aij ) m×n . A ± B = ( aij ± bij )m×n .  −1 1 0   3 −3 0  VD 6. −3  = ;  −1 0 2  2 0 2 1 0 4  −2 0 −4   6 0 12  VD 5.  + = 3 −4   5 −3 1   7 ; 0 −3  2  2 6 4  1 3 2  −1 0 2   2 0 2   −3 0 0  −4 0 8  = 2  −2 0 4  . 2 − = .      3 −4   5 −3 1   −3 6 −5  • Phép nhân vô hư ng có tính phân ph i ñ i v i phép c ng ma tr n. • Phép c ng ma tr n có tính giao hoán và k t h p. • Ma tr n –A là ma tr n ñ i c a A. Trang 1
  2. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH c) Nhân hai ma tr n • Phép nhân ma tr n có các tính ch t: • Cho A = ( aij )m×n , B = (b jk )n× p ta có: 1) (AB)C = A(BC); ( ) n AB = ( cik )m× p , cik = ∑ aij b jk i = 1, m; k = 1, p . 2) A(B + C) = AB + AC; j =1 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);  −1   1 0 0 0 5) AI n = A = I m A , v i A ∈ M m ,n (ℝ ) . VD 7. Tính a) (1 2 3)  2  ; b)     ;  −5   4 0   −3 2    VD 8. Tính 2 0 1  1 −1 2   0 1 3   2 −1 2   −1   1 1 −1    2 −3 0   −1 −2 1   1 0 −2   1  ; c)   1 −1 2  . −2 0 3   a)        −1 3 −2   −1 1 4   2 −1 −3   3 1 0   −2          1 0 −1   −1 −2 1   1 −1 VD 9. a) Cho A =  2009  , tính A ; b)  2 −2 0   0 −3 1  và     0 1  3 0 −3   2 −1 0      2 0 b) Cho B =  2009  , tính (I2 – B) .  −1 −2 1   1 0 −1   1 2  0 −3 1   2 −2 0  . VD 10. Cho A = (aij) là ma tr n vuông c p 100 có các ph n    dòng th i là (–1)i. Tìm ph n t a36 c a A2.  2 −1 0   3 0 −3  t    d) Phép chuy n v • Phép nhân ma tr n không có tính giao hoán. • Cho A = ( aij )m×n , ma tr n chuy n v c a A là: • ð c bi t, khi A = ( aij ) n và p ∈ ℕ* ta có: AT = (a ji )n ×m (chuy n t t c dòng thành c t). A0 = In; Ap = Ap–1A (lũy th a ma tr n). • Tính ch t: – (e1): Hoán v hai dòng cho nhau A  A′ . di ↔ d k → 1) (A + B)T = AT + BT; di → λ di 2) (λA)T = λAT; – (e2): Nhân 1 dòng v i s λ ≠ 0 , A → A′′ . 3) (AT)T = A; – (e3): Thay 1 dòng b i t ng c a dòng ñó v i tích λ dòng di → di + λ d k 4) (AB)T = BTAT; khác A → A′′′ . 5) AT = A ⇔ A ñ i x ng; Chú ý 6) AT = − A ⇔ A ph n x ng. di → µ d i + λ d k 1) Trong th c hành ta thư ng làm A  B . → 1.3. Phép bi n ñ i sơ c p trên dòng c a ma tr n 2) Sau 1 s h u h n các PBðSC dòng ta ñư c ma tr n a) ð nh nghĩa B tương ñương v i A, ký hi u B ∼ A . • Cho A = ( aij )m×n (m ≥ 2) . Các phép bi n ñ i sơ c p dòng 3) Tương t , ta cũng có các phép bi n ñ i sơ c p trên c t c a ma tr n. e trên A là:  1 −2 3   1 −2 3  1.4. Ma tr n b c thang và ma tr n b c thang rút g n VD 11. Cho A =  2 1 −1 và B =  0 1 −7 / 5  .    a) Ma tr n b c thang  3 −1 2  0 0 0      • Hàng có t t c các ph n t ñ u b ng 0 ñư c g i là hàng Ch ng t A ∼ B . b ng 0. b) Ma tr n sơ c p • Ph n t khác 0 ñ u tiên tính t trái sang c a 1 hàng ñư c • Ma tr n thu ñư c t In b i ñúng 1 phép bi n ñ i sơ c p g i là ph n t cơ s c a hàng ñó. dòng (c t) là ma tr n sơ c p. 0 0 1 1 0 0  1 0 0 • Ma tr n b c thang là ma tr n khác 0 c p m × n (m, n ≥ 2) VD 12.   0 1 0  ,  0 −5 0  và  2 1 0  là các ma th a:      1) Các hàng b ng 0 dư i các hàng khác 0; 1 0 0 0 0 1 0 0 1       2) Ph n t cơ s c a 1 hàng b t kỳ n m bên ph i tr n sơ c p. ph n t cơ s c a hàng trên nó. Trang 2
  3. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH VD 13. b) Ma tr n b c thang rút g n 1 0 2 0 1 2 3 +  0 0 3 ,  0 0 4 5  và In là các ma tr n b c thang; • Ma tr n b c thang rút g n là ma tr n b c thang có ph n t     cơ s c a m t dòng b t kỳ ñ u b ng 1 và là ph n t khác 0 0 0 0 0 0 0 1     duy nh t c a c t ch a nó. 0 2 7 2 3 5 + 0 3 4  và  0 0 0  không là ma tr n b c thang. VD 14.    1 3 0 0  0 1 0 3 0 0 5 0  I n,  0 0  và  0 0 1 2  là các ma tr n b c    1 3  1 0   0 0  0 1 0 0 0 0 ð nh lý    • M i ma tr n ñ u có th ñưa v b c thang b ng h u h n thang rút g n. phép bi n ñ i sơ c p trên dòng. 1.5. Ma tr n kh ngh ch VD 15.  2 5  3 −5  a) ð nh nghĩa A=  và B =  −1 2  là ngh ch ñ o c a nhau vì  1 3   • Ma tr n A ∈ M n (ℝ ) ñư c g i là kh ngh ch n u t n t i AB = BA = I2. B ∈ M n ( ℝ ) sao cho AB = BA = In. Nh n xét Ma tr n B là duy nh t và ñư c g i là ma tr n ngh ch ñ o 1) N u ma tr n vuông A có 1 dòng (ho c 1 c t) c a A, ký hi u A–1. Khi ñó: b ng 0 thì không kh ngh ch. A–1A = AA–1 = In; (A–1)–1 = A. 2) M i ma tr n sơ c p ñ u kh ngh ch và ma tr n ngh ch ñ o cũng là ma tr n sơ c p. • N u B là ma tr n ngh ch ñ o c a A thì A cũng là ma tr n 3) (AB)–1 = B–1A–1. ngh ch ñ o c a B. b) Tìm ma tr n ngh ch ñ o b ng phép bi n ñ i sơ c p 1) N u A′ có 1 dòng (c t) b ng 0 ho c A′ ≠ I n thì A dòng không kh ngh ch. • Cho A ∈ M n (ℝ ) , ta tìm A–1 như sau: 2) N u A′ = I n thì A kh ngh ch và A–1 = B. Bư c 1. L p ma tr n ( A I n ) (ma tr n chia kh i) b ng cách ghép In VD 16. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a: vào bên ph i A.  1 −1 0 1   0 −1 1 0   1 1 −1  Bư c 2. A=  và B =  1 0 1  . Dùng phép bi n ñ i sơ c p dòng ñ ñưa ( A I n ) v d ng 0 0 1 1   2 1 0      ( A′ B ) ( A′ là ma tr n b c thang dòng rút g n). 0 0 0 1 §2. ð NH TH C 2.1. ð nh nghĩa b) ð nh th c a) Ma tr n con c p k • ð nh th c c p n c a ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , n • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) . Ma tr n vuông ký hi u detA hay A , là 1 s th c ñư c ñ nh nghĩa: n c p k ñư c l p t các ph n t n m trên giao k dòng và k c t 1) A c p 1: A = ( a11 ) ⇒ det A = a11 ; c a A ñư c g i là ma tr n con c p k c a A. a a12  2) A c p 2: A =  11  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21 ; • Ma tr n Mij c p n–1 thu ñư c t A b ng cách b ñi dòng  a21 a22  th i và c t th j là ma tr n con c a A ng v i ph n t aij. 3) A c p n: det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n, trong ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là ph n bù ñ i s c a ph n t aij. Trang 3
  4. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH Chú ý 2.2. Các tính ch t cơ b n c a ñ nh th c a11 a12 a13 • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các tính n • a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 ch t cơ b n sau: a31 a32 a33 Tính ch t 1 −a31a22 a13 − a12 a21a33 − a23a32 a11 (quy t c 6 ñư ng chéo). det ( AT ) = det A . ð c bi t. 1 3 2 1 2 −1 det In = 1, det 0n = 0. VD 2. 2 −2 1 = 3 −2 1 ; VD 1. Tính các ñ nh th c c a: 1 0 2 0  −1 1 1 2 1 1  1 2 −1   4 1 2 −1   3 −2  1 3 2 1 0 0 A=  , B =  3 −2 1  và C =    . 1 4  2 1 1  3 1 0 2  0 −2 1 = 3 −2 0 .     0 0 1 2 1 1 2 3 3 5  Tính ch t 2. Hoán v hai dòng (c t) cho nhau thì ñ nh th c Tính ch t 3. Nhân 1 dòng (c t) v i s th c λ thì ñ nh th c ñ i d u. tăng lên λ l n. VD 3. 3 0 −3 1 0 −1 1 3 2 −1 1 1 1 −1 1 VD 5. 2 1 −2 = 3 2 1 −2 ; 2 −2 1 = − 2 −2 1 = −2 2 1 . 3 1 7 3 1 7 −1 1 1 1 3 2 3 1 2 1 x x 3 x +1 x x3 H qu ( x + 1) 1 y y3 = x +1 y y3 . • ð nh th c có ít nh t 2 dòng (c t) gi ng nhau thì b ng 0. VD 4. 1 z z3 x +1 z z3 3 3 1 x x2 x3 1 y2 y5 H qu 2 2 1 =0; 1 y 2 y =0; 1 y 5 2 y =0. 5 1) ð nh th c có ít nh t 1 dòng (c t) b ng 0 thì b ng 0. 2) ð nh th c có 2 dòng (c t) t l v i nhau thì ñ nh th c 1 1 7 1 y2 y5 1 y2 y5 b ng 0. Tính ch t 4 Chú ý • N u ñ nh th c có 1 dòng (c t) mà m i ph n t là t ng c a 1 5 d1 →d 2 − 2 d1 0 −7 2 s h ng thì có th tách thành t ng 2 ñ nh th c. • Phép bi n ñ i = là sai do dòng 1 ñã 2 3 1 3 x + 1 x x3 x x x3 1 x x3 nhân v i s –2. VD 6. x + 1 y y3 = x y y3 + 1 y y3 . x −1 z z3 x z z3 −1 z z3 2.3. ð nh lý Laplace Tính ch t 5 • Cho ma tr n vuông A = ( aij ) ∈ M n ( ℝ ) , ta có các khai n • ð nh th c s không ñ i n u ta c ng vào 1 dòng (c t) v i λ tri n det A sau: l n dòng (c t) khác. a) Khai tri n theo dòng th i 1 2 3 x 1 1 det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain VD 7. Tính các ñ nh th c: −1 2 −1 ; 1 x 1 . n . = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) 2 3 4 1 1 x j =1 b) Khai tri n theo c t th j VD 9. Áp d ng tính ch t và ñ nh lý Laplace, tính ñ nh th c: det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj 1 1 1 2 n . 2 −1 1 3 = ∑ aij Aij , Aij = ( −1)i + j det( M ij ) . i =1 1 2 −1 2 3 3 2 1 1 0 0 2 Các k t qu ñ c bi t: 2 1 1 2 VD 8. Tính ñ nh th c a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0 1 2 2 3 3 0 2 1 0 a22 ... a2 n a21 a22 ... 0 1) = = a11a22 ...ann b ng cách khai tri n theo dòng 1; c t 2. ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ann an1 an 2 ... ann (d ng tam giác). Trang 4
  5. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 2) det(AB) = detA.detB (ñ nh th c c a tích hai ma tr n).  1 1 −1   2 1 4   −3 1 4  T c)  2 0 3   2 1 3   0 1 2  = A B 3) = det A.det C , v i A, B, C ∈ M n ( ℝ)     0n C  1 2 −3   1 2 1   1 2 1  (ñ nh th c chia kh i).     1 2 3 4 1 1 −1 2 1 4 −3 1 4 0 −2 7 19 1 2 3 0 =2 0 3 2 1 3 0 1 2 . VD 10. a) = ; 0 0 3 0 0 −2 0 −1 1 2 −3 1 2 1 1 2 1 0 0 0 −1 2.4. ng d ng ñ nh th c tìm ma tr n ngh ch ñ o  1 1 −1   2 1 4  1 1 −1 2 1 4 a) ð nh lý b)  2 0 3   2 1 3  = 2 0 3 2 1 3 ;    • Ma tr n vuông A kh ngh ch khi và ch khi det A khác 0.  1 2 −3   1 2 1  1 2 −3 1 2 1    b) Thu t toán tìm A–1 VD 11. Tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a: 1 2 1 1 2 1 • Bư c 1 A=  1 1 2  và B =  0 1 1 . Tính det A. N u det A = 0 thì k t lu n A không kh ngh ch,    3 5 4 1 2 3 ngư c l i làm ti p bư c 2.    • Bư c 2 Nh n xét L p ma tr n ( Aij ) ⇒ A = ( Aij ) (ma tr n ph h p c a A). T T n n • N u ac − bd ≠ 0 thì: −1  a b 1  c −b  d c = • Bư c 3. Ma tr n ngh ch ñ o là:  −d .   ac − bd  a  1 T A−1 = .A . det A 2.5. H ng c a ma tr n c) Phương pháp tìm h ng c a ma tr n a) ð nh th c con c p k ð nh lý • Cho ma tr n A = ( aij ) . ð nh th c c a ma tr n con c p • H ng c a ma tr n b c thang (dòng) b ng s dòng khác 0 m×n c a ma tr n ñó. k c a A ñư c g i là ñ nh th c con c p k c a A. • Cho A là ma vuông c p n, r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . ð nh lý Phương pháp • N u trong ma tr n A t t c các ñ nh th c con c p k ñ u • Bư c 1. Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n A v b c thang. b ng 0 thì các ñ nh th c con c p k + 1 cũng b ng 0. • Bư c 2. S dòng khác 0 c a A sau bi n ñ i là r(A). b) H ng c a ma tr n  2 1 −1 3   0 −1 0 0  • H ng c a ma tr n A là c p cao nh t c a ñ nh th c con VD 12. Tìm h ng c a ma tr n A =  . khác 0 c a A, ký hi u r(A). Ta có: 0 1 2 0  1 ≤ r ( A) ≤ min{m, n} .    0 −1 1 −4  • N u A là ma tr n không thì ta quy ư c r(A) = 0. VD 13. Tìm h ng c a ma tr n 1 −3 4 2  A = 2  −5 1 4  .  3  −8 5 6   VD 14. Tùy theo giá tr m, tìm h ng c a ma tr n  −1 2 1 −1 1   m −1 1 −1 −1 A= . 1 m 0 1 1   1 2 2 −1 1  Trang 5
  6. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH 3.1. ð nh nghĩa  b1  B =  ...  = ( b1 ... bm ) (ma tr n c t t do) • H phương trình tuy n tính g m n n và m phương trình T có d ng:   b  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  m a x + a x + ... + a x = b  x1   21 1 22 2 và X =  ...  = ( x1 ... xn ) là ma tr n c t n. 2n n 2  (1). T .................................................   x  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm   n Khi ñó, h (1) tr thành AX = B .  a11 ... a1n  ð t A =  ... ... ...  = ( aij ) (ma tr n h s ),   • B s α = (α1 ... α n ) ñư c g i là nghi m c a (1) n u T m×n a   m1 ... amn  Aα = B .  x1 − x2 + 2 x3 + 4 x4 = 4 3.2. ð nh lý Crocneker – Capelli  VD 1. Cho h phương trình: 2 x1 + x2 + 4 x3 = −3 • Cho h phương trình tuy n tính AX = B. Xét ma tr n m 2 x − 7 x = 5  2 3  a11 a12 ... a1n b1    r ng A = ( A B ) =  ... ðưa h v d ng ma tr n: ... ... ... ...  .  x1  a   1 −1 2 4     4   m1 am 2 ... amn bm   2 1 4 0   x2  =  − 3  .    0 2 −7 0   x3   5    ( ) H có nghi m khi và ch khi r A = r ( A) = r .   x     4 Khi ñó: Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghi m c a h . 1) r = n: H phương trình tuy n tính có nghi m duy nh t; 2) r < n: H phương trình tuy n tính có vô s nghi m ph thu c vào n – r tham s . 3.3. Phương pháp gi i h phương trình tuy n tính a11 ... b j ... a1n a) Phương pháp ma tr n ngh ch ñ o • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n kh ngh ch. ∆ j = ... ... ... ... ... , j = 1, n (thay c t j trong A b i Ta có AX = B ⇔ X = A−1 B . an1 ... b j ... ann 2 x + y − z = 1 c t t do).  VD 2. Gi i h phương trình  y + 3z = 3 . Khi ñó, ta có các trư ng h p:   2 x + y + z = −1 ∆j b) Phương pháp ñ nh th c (Cramer) 1) N u ∆ ≠ 0 thì h có nghi m duy nh t x j = , ∀j = 1, n . ∆ • Cho h pttt AX = B, A là ma tr n vuông c p n. 2) N u ∆ = ∆ j = 0, ∀j = 1, n thì h có vô s nghi m (thay a11 ... a1 j ... a1n tham s vào h và tính tr c ti p). ð t ∆ = det A = ... ... ... ... ... , 3) N u ∆ = 0 và ∃∆ j ≠ 0, j = 1, n thì h vô nghi m. an1 ... anj ... ann c) Phương pháp Gauss VD 3. Gi i h phương trình sau b ng ñ nh th c: • Bư c 1. ðưa ma tr n m r ng ( A B ) v d ng b c thang 2 x + y − z = 1 b i PBðSC trên dòng.   y + 3z = 3 . • Bư c 2. Gi i ngư c t dòng cu i cùng lên trên.  2 x + y + z = −1  Chú ý Trong quá trình th c hi n bư c 1, n u: VD 4. Tùy theo tham s m, gi i và bi n lu n h phương trình: 1) Có 2 dòng t l thì xóa ñi 1 dòng; 2) Có dòng nào b ng 0 thì xóa dòng ñó; mx + y + z = 1  3) Có 1 dòng d ng ( 0 ... 0 b ) , b ≠ 0 thì k t lu n h vô  x + my + z = m .  x + y + mz = m 2 nghi m.  4) G p h gi i ngay ñư c thì không c n ph i ñưa ( A B ) v b c thang. Trang 6
  7. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 3.4. H phương trình tuy n tính thu n nh t VD 5. Gi i h phương trình: a) ð nh nghĩa  x1 + 6 x2 + 2 x3 − 5 x4 − 2 x5 = −4 • H pttt thu n nh t là h pttt có d ng:  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 2 x1 + 12 x2 + 6 x3 − 18 x4 − 5 x5 = −5 . 3x + 18 x + 8 x − 23x − 6 x = −2 a x + a x + ... + a x = 0  1  21 1 22 2 2 3 4 5  2n n ⇔ AX = θ (2). ............................................. VD 6. Gi i h phương trình: am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0  5x1 − 2 x2 + 5 x3 − 3x4 = 3 Nh n xét  4 x1 + x2 + 3x3 − 2 x4 = 1 . 2 x + 7 x − x ( ) • Do r A = r ( A) nên h pttt thu n nh t luôn có nghi m.  1 2 3 = −1 Nghi m (0; 0;…; 0) ñư c g i là nghi m t m thư ng. b) ð nh lý • H (2) ch có nghi m t m thư ng ⇔ r ( A) = n ⇔ det A ≠ 0 . c) Liên h v i h pttt t ng quát ð nh lý • Xét h pttt t ng quát AX = B (1) và h pttt thu n nh t AX = θ (2). Khi ñó: 1) Hi u hai nghi m b t kỳ c a (1) là nghi m c a (2); 2) T ng 1 nghi m b t kỳ c a (1) và 1 nghi m b t kỳ c a (2) là nghi m c a (1). Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NI M KHÔNG GIAN VECTOR VD 1. T p nghi m c a h phương trình tuy n tính thu n 1.1. ð nh nghĩa nh t là không gian vector. • Không gian vector V trên ℝ là c p (V, ℝ ) trang b hai T p V = { A ∈ M n (ℝ )} các ma tr n vuông c p n là kgvt. phép toán V ×V → V ℝ ×V → V th a 8 tính ch t sau: { } V = u = ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i ∈1, n là kgvt Euclide ℝ n . ( x, y ) ֏ x + y (λ , y ) ֏ λ x 1.2. Không gian con c a kgvt 1) x + y = y + x; • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u (W, ℝ ) 2) (x + y) + z = x + (y + z); cũng là m t kgvt. 3) ∃!θ ∈V : x + θ = θ + x = x ; • Cho kgvt V, t p W ⊂ V là kgvt con c a V n u: 4) ∃( − x ) ∈V : ( − x ) + x = x + ( − x ) = θ ; ( x + λ y ) ∈ W , ∀x , y ∈ W , ∀λ ∈ ℝ . 5) (λ1λ2 ) x = λ1 (λ2 x ) ; 6) λ ( x + y ) = λ x + λ y ; VD 2. T p W = {θ } là kgvt con c a m i kgvt V. 7) (λ1 + λ2 )x = λ1 x + λ2 x ; 8) 1.x = x. Trong ℝ n , t p W = {u = ( x1 ,0,...,0) x1 ∈ ℝ} là kgvt con. §2. S ð C L P TUY N TÍNH VÀ PH THU C TUY N TÍNH 2.1. ð nh nghĩa ð nh lý Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,…, n). • H n vector ph thu c tuy n tính ⇔ ∃ 1 vector là t h p n tuy n tính c a n – 1 vector còn l i. • T ng ∑λ u ,λ ∈ℝ i =1 i i i ñư c g i là m t t h p tuy n tính c a VD 2. N u x1 = 2x2 – 3x3 thì h {x1, x2, x3} là ph thu c tuy n tính. n vector ui. • H n vector {u1, u2,…, un} ñư c g i là ñ c l p tuy n tính H qu n • H có 1 vector không thì ph thu c tuy n tính. n u có ∑λ u i i = θ thì λi = 0, ∀i = 1, n . • N u có 1 b ph n c a h ph thu c tuy n tính thì h ph i =1 thu c tuy n tính. • H n vector {u1, u2,…, un} không là ñ c l p tuy n tính thì ñư c g i là ph thu c tuy n tính. 2.2. H vector trong ℝ n VD 1. Trong ℝ 2 , h {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là ñltt. ð nh nghĩa Trong ℝ n , h {ui = (0; 0;…; 1; 0;…; 0)} (v trí th i là 1) • Trong ℝ n cho m vector ui = ( ai1 , ai 2 ,..., ain ), i = 1, m . Ta g i A = ( aij ) là ñltt. là ma tr n dòng c a m vector ui. Trong ℝ3 , h {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt. m×n Trang 7
  8. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §3. CƠ S – S CHI U – T A ð ð nh lý 3.1. Cơ s c a kgvt • Trong ℝ n , h {u1 , u2 ,..., um } ñ c l p tuy n tính khi và ch ð nh nghĩa khi r(A) = m (b ng s ph n t c a h ). • Trong kgvt V, h B = {u1, u2,…, un} ñư c g i là m t cơ s • Trong ℝ n , h {u1 , u2 ,..., um } ph thu c tuy n tính khi và c a V n u h B ñltt và m i vector c a V ñ u bi u di n tuy n ch khi r(A) < m. tính qua B. VD 3. Xét s ñltt hay pttt c a các h : B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. VD 1. – Trong ℝ n , h H qu E = {e1 = (1; 0;…; 0), e2 = (0; 1;…; 0), …, en = (0;…; 0; 1)} • Trong ℝ n , h có nhi u hơn n vector thì ph thu c tuy n là cơ s chính t c. tính. – Trong ℝ 2 , h B = {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ s . • Trong ℝ n , h n vector ñ c l p tuy n tính ⇔ det A ≠ 0 . 3.2. S chi u c a kgvt 3.3. T a ñ a) ð nh nghĩa ð nh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ s B = {u1, u2,…, un}. Khi ñó, m i • Kgvt V ñư c g i là có n chi u, ký hi u dimV = n, n u x ∈V có bi u di n tuy n tính duy nh t x = x1u1+…+xnun. trong V có ít nh t 1 h g m n vector ñltt và m i h g m n+1 Ta nói x có t a ñ ñ i v i B là (x1,…, xn). vector ñ u pttt.  x1  Ký hi u [ x ]B =  ...  .   ð nh lý x  • dimV = n khi và ch khi trong V t n t i 1 cơ s g m n  n vector. • ð c bi t, t a ñ c a vector x ñ i v i cơ s chính t c E là [x]E = [x] (t a ñ c t thông thư ng c a x). H qu VD 2. Trong ℝ 2 cho cơ s B = {u1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và • Trong ℝ n , m i h g m n vector ñltt ñ u là cơ s . x = (3;–5). Tìm [x]B. b) ð i cơ s VD 3. Trong ℝ 2 cho 2 cơ s B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)}, • Ma tr n chuy n cơ s 1 – Trong kgvt V cho 2 cơ s B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ x ]B =   . B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vn}. 2  2 Ma tr n ([ v ] 1 B1 [v2 ]B ... [vn ]B ) 1 1 ñư c g i là ma tr n chuy n a) Tìm PB1 → B2 ; b) Tìm [ x ]B . 1 cơ s t B1 sang B2. Ký hi u PB1 → B2 . ð nh lý Trong kgvt ℝ n cho 3 cơ s B1, B2 và B3. Khi ñó: – ð c bi t, n u E là cơ s chính t c thì: 1) PBi → Bi = I n (i = 1, 2, 3); PE → B1 = ([u1 ][u2 ] ... [un ]) . 2) PB1 → B3 = PB1 → B2 .PB2 → B3 ; ( ) −1 • Công th c ñ i t a ñ 3) PB1 → B2 = PB2 → B1 . [ x ]B1 = PB1 → B2 [ x ]B2 . H qu • Trong kgvt ℝ n , ta có: ( ) u1 , u2 ,..., um = {x ∈ ℝ n : x = λ1u1 + λ2 u2 + ... + λm um , λi ∈ ℝ} . −1 PB1 → B2 = PB1 → E PE → B2 = PE → B1 PE → B2 . VD 4. Gi i l i VD 3. Khi ñó: 1) dim = r(S) (h ng ma tr n dòng m vector c a S); 3.4. Không gian con sinh b i 1 h vector 2) N u dim = r thì m i h con g m r vector ñltt c a S ñ u là cơ s c a spanS. • Trong kgvt V cho h m vector S = {u1,…, um}. T p t t c các t h p tuy n tính c a S ñư c g i là không gian con sinh VD 5. b i S trên ℝ . Ký hi u spanS ho c . Trong ℝ 4 cho h vector S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)}. Tìm 1 cơ s và dimspanS. Trang 8
  9. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §4. ÁNH X TUY N TÍNH 4.1. ð nh nghĩa f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) không là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . • Ánh x f : ℝ n → ℝ m th a  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) Chú ý  ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ  f ( x + y) = f ( x) + f ( y)  f (λ x ) = λ f ( x ) ði u ki n  ñư c g i là ánh x tuy n tính.  f (λ x ) = λ f ( x ) • Ánh x f : ℝ n → ℝ n th a ⇔ f ( x + λ y ) = f ( x ) + λ f ( y ) ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ .  f ( x + y) = f ( x) + f ( y) VD 2. Các PBðTT thư ng g p trong m t ph ng:  ∀x , y ∈ ℝ n , ∀λ ∈ ℝ 1) Phép chi u vuông góc xu ng tr c Ox, Oy:  f (λ x ) = λ f ( x ) f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y). ñư c g i là phép bi n ñ i tuy n tính. 2) Phép ñ i x ng qua Ox, Oy: VD 1. f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y). f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT t ℝ 3 → ℝ 2 . 3) Phép quay góc φ quanh g c t a ñ O: f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT t ℝ 2 → ℝ 2 . f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ). 4.2. Ma tr n c a ánh x tuy n tính  a11 a12 ...an 1  a) ð nh nghĩa a a22 ... an 2  • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là [ f ]B12 =  21 . B  ... ... ... ...  B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}.   ([ f (u ) ] ) ñư c  a m1 am 2 ... amn  Ma tr n c p m × n [ f (u2 )]B ... [ f (un )]B • Cho PBðTT f : ℝ → ℝ n 1 B2 n 2 2 và cơ s B = {u1, u2,…, un}. g i là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2. Ký hi u [ f ]B12 ho c A. B Ma tr n vuông c p n ([ f (u )] [ f (u )] ... [ f (u )] ) 1 B 2 B n B ñư c g i là ma tr n c a PBðTT f trong cơ s B.  f ( u1 ) = a11v1 + a21v2 + a31v3 + ... + am1vm  Ký hi u [ f ]B ho c [f] ho c A.  f ( u2 ) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + ... + am 2 vm Chú ý C th , n u  thì .................................................................... • N u A là ma tr n c a AXTT f trong c p cơ s B1, B2 thì  f ( u ) = a v + a v + a v + ... + a v f ( x1 , x2 ,..., xn ) = A( x1 x2 ... xn )T .  n 1n 1 2n 2 3n 3 mn m VD 3. a) Cho AXTT b) Ma tr n ñ ng d ng f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t). Tìm [ f ]E3 . E4 ð nh nghĩa E3 • Hai ma tr n vuông A, B c p n ñư c g i là ñ ng d ng v i b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm [ f ] . E2 nhau n u t n t i ma tr n kh ngh ch P th a B = P–1AP. c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z). Tìm [ f ]E3 . ð nh lý • N u AXTT f : ℝ n → ℝ m có ma tr n trong các c p cơ s VD 4. Cho AXTT f : ℝ 2 → ℝ 3 có ma tr n c a f trong hai  1 −3  (B , B ) , (B , B ) 1 / 1 2 / 2 tương ng là A1, A2 và P = PB1 → B2 , cơ s chính t c E2 và E3 là A =  0 2  . P′ = PB / → B / thì A2 = ( P ′) A1 P . −1   1 2 4 3    • ð c bi t, n u PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong hai Tìm ma tr n f trong hai cơ s B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} cơ s B1, B2 l n lư t là A, B và P = PB1 → B2 thì B = P–1AP. và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}. c) Thu t toán tìm ma tr n c a AXTT VD 5. • Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m và hai cơ s l n lư t là Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma tr n c a f B1 = {u1, u2,…, un} và B2 = {v1, v2,…, vm}. trong cơ s chính t c E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}. – Ký hi u: VD 6. Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma tr n S = ([ v1 ][ v2 ] ... [vm ]) (ma tr n c t các vector c a B2), c a f trong c p cơ s : Q = ([ f (u1 ) ][ f (u2 ) ] ... [ f (un )]) . B = {u1 = (1;1;0), u2 = (0;1;1), u3 = (1;0;1)} và B′ = {u1/ = (2;1), u2 = (1;1)} . ( ) / – Dùng PBðSC dòng ñưa ma tr n ( S Q ) → I [ f ]B2 . B 1 VD 7. Tìm l i các ma tr n f trong VD 4 và VD 6. Trang 9
  10. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH §5. CHÉO HÓA MA TR N 5.1. Giá tr riêng, vector riêng c a PBðTT Cách tìm giá tr riêng và vector riêng: a) ð nh nghĩa Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n có ma tr n trong cơ s • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng A − λ I = 0 ñ tìm B = {u1, u2,…, un} là A. giá tr riêng λ. • S λ ∈ ℝ ñư c g i là giá tr riêng c a A (hay f) n u: • Bư c 2. Gi i h phương trình ( A − λ I ) x = θ , nghi m ∃x ∈ ℝ n , x ≠ θ : Ax = λ x . không t m thư ng là vector riêng.  0 0 1 VD 1. Cho A =  0 1 0  . • Vector x ñư c g i là vector riêng c a A (hay f) ng v i giá tr riêng λ .   1 0 0 • ða th c PA(λ) = det(A – λI) ñư c g i là ña th c ñ c trưng   c a A (hay f) và λ là nghi m c a pt ñ c trưng PA(λ) = 0. Tìm giá tr riêng và vector riêng c a A. 1 3 3 5.2. Chéo hóa ma tr n VD 2. Cho B =  −3 −5 −3  .   a) ð nh nghĩa  3 3 1   Tìm giá tr riêng và vector riêng c a B. • Cho PBðTT f : ℝ n → ℝ n , n u có m t cơ s sao cho ma tr n c a f là ma tr n ñư ng chéo thì ta nói f chéo hóa ñư c. b) Tính ch t • Các vector riêng ng v i giá tr riêng λ cùng v i vector • Ma tr n vuông A là chéo hóa ñư c n u nó ñ ng d ng v i không t o thành 1 không gian vector con riêng E(λ) c a ma tr n ñư ng chéo D, nghĩa là P–1AP = D. ℝn . Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A. • Các vector riêng ng v i giá tr riêng khác nhau thì ñ c l p tuy n tính.  0 0 0 b) ði u ki n chéo hóa ñư c VD 3. Cho A =  0 1 0  , xét ma tr n: ð nh lý   • N u A có n giá tr riêng ñôi phân bi t thì A chéo hóa ñư c. 1 0 1   • A chéo hóa ñư c khi và ch khi A có n giá tr riêng k c  1 0 0 1 0 0 b i và s chi u c a t t c không gian con riêng b ng s b i P=  0 1 0  ⇒ P −1 =  0 1 0  . c a giá tr riêng tương ng.     −1 0 1      1 0 1 c) Thu t toán chéo hóa ma tr n  0 0 0  0 0 0 • Bư c 1. Gi i phương trình ñ c trưng ñ tìm các giá tr riêng c a A. Khi ñó: P −1 AP =  0 1 0  ⇒ A = P  0 1 0  P −1 .     1) N u A không có giá tr riêng nào thì A không chéo  0 0 1 0 0 1     hóa ñư c. • Bư c 3. L p ma tr n P có các c t là các vector cơ s c a 2) Gi s A có k giá tr riêng phân bi t λ1, λ2,…, λk v i s E(λi). Khi ñó, P–1AP = D v i D là ma tr n ñư ng chéo có b i tương ng n1, n2,…, nk. Khi ñó: các ph n t trên ñư ng chéo chính l n lư t là λi (xu t hi n a) n1 + n2 +…+ nk < n thì A không chéo hóa ñư c. liên ti p ni l n). b) n1 + n2 +…+ nk = n thì ta làm ti p bư c 2. VD 4. Chéo hóa các ma tr n: 3 0  1 0  • Bư c 2. V i m i λi tính r(A – λiI) = ri. A=  , B =  6 −1  .  8 −1    Khi ñó dimE(λi) = n – ri. 1) N u có m t λi mà dimE(λi) < ni thì A không chéo hóa VD 5. Chéo hóa các ma tr n : ñư c.  0 0 0 1 3 3 2) N u dimE(λi) = ni v i m i λi thì k t lu n A chéo hóa A=  0 1 0  , B =  −3 −5 −3  .    ñư c. Ta làm ti p bư c 3. 1 0 1  3 3 1     Trang 10
  11. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH Chương 3. D NG TOÀN PHƯƠNG §1. KHÁI NI M D NG TOÀN PHƯƠNG 1.1. D ng toàn phương t ng quát VD 1. Tìm d ng toàn phương Q(x) hai bi n x1, x2. ð nh nghĩa  1 −1  • Hàm s n bi n s x = (x1, x2,…, xn) Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .  −1 2  Q : ℝ n → ℝ cho b i bi u th c n n Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = ∑∑ aij xi x j (A là ma tr n ñ i x ng) T i =1 j =1 VD 2. Cho d ng toàn phương 3 bi n ñư c g i là d ng toàn phương trong ℝ . n Q ( x ) = 2 x12 + 3x2 − x3 − x1 x2 + 6 x2 x3 . 2 2 Tìm ma tr n A. • Ma tr n A và r(A) ñư c g i là ma tr n và h ng c a d ng toàn phương Q. 1.2. D ng chính t c c a d ng toàn phương 1.3. D ng toàn phương xác ñ nh d u ð nh nghĩa • D ng chính t c là d ng toàn phương trong ℝ n ch ch a a) ð nh nghĩa n • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh dương n u: bình phương c a các bi n Q ( x ) = ∑ aii xi2 . Q ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . i =1 • Ma tr n A c a d ng chính t c là ma tr n ñư ng chéo. • D ng toàn phương Q(x) là xác ñ nh âm n u: VD 3. Tìm d ng chính t c Q(x) hai bi n x1, x2. Q ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ n ( x ≠ θ ) . 1 0  • D ng toàn phương Q(x) là n a xác ñ nh dương (âm) n u: Bi t ma tr n c a Q(x) là A =  .  0 −2  Q ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ n (Q ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ n ) . VD 4. Cho d ng chính t c 3 bi n Q ( x ) = x12 − 5 x2 − 3x3 . 2 2 • D ng toàn phương Q(x) là không xác ñ nh n u nó nh n c Tìm ma tr n A. giá tr dương l n âm. b) các tiêu chu n xác ñ nh d u ð nh lý 2 (Sylvester) ð nh lý 1 Cho ma tr n vuông c p n A = ( aij ) . ð nh th c: n n • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ xác ñ nh dương khi và a11 ... a1k ch khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u dương. Dk = ... ... ... (1 ≤ k ≤ n ) ñư c g i là ñ nh th c con ak 1 ... akk • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch chính c a A (A có n ñ nh th c con chính). khi t t c các h s d ng chính t c c a nó ñ u âm. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh dương khi và ch khi t t c các ñ nh th c con chính Dk > 0. • D ng toàn phương Q(x) c a ℝ n xác ñ nh âm khi và ch khi các ñ nh th c con chính c p ch n dương, c p l âm. §2. ðƯA D NG TOÀN PHƯƠNG V D NG CHÍNH T C Phương pháp chung a) Trư ng h p 1 (có 1 h s aii ≠ 0) ð i bi n x ∈ ℝ n b ng bi n • Bư c 1. Gi s a11 ≠ 0 , ta tách t t c các s h ng ch a x1 y ∈ ℝ n : [ x ] = P [ y ] ⇔ [ y ] = P −1 [ x ] trong Q(x) và thêm (b t) ñ có d ng: 1 (P là ma tr n vuông không suy bi n, det P ≠ 0 ) sao cho Q( x) = ( a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) + Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) , 2 D = PTAP có d ng chéo. Khi ñó: a11 Q ( x ) = [ x ] A [ x ] = [ y ] D [ y ] (d ng chính t c theo bi n y). Q1 ( x2 , x3 ,..., xn ) có n – 1 bi n. T T ( ð i bi n y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , yi = xi i = 2, n . ) 2.1. Thu t toán Lagrange 1 Cho d ng toàn phương ð i bi n ngư c x1 = ( y1 − a12 y2 − ... − a1n yn ) , n n n a11 Q ( x ) = ∑∑ aij xi x j = ∑ aii xi2 + 2 ∑ ( ) aij xi x j (aij = aji). i =1 j =1 i =1 1≤ i < j ≤ n xi = yi i = 2, n . 1 2 V i bi n m i thì Q ( y ) = y1 + Q1 ( y2 ,..., yn ) . a11 Trang 11
  12. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH • Bư c 2. Ti p t c làm như bư c 1 cho Q1(y2,…, yn), sau 1 2.2. Thu t toán Jacobi s h u h n bư c thì Q(x) có d ng chính t c. Cho d ng toàn phương Q ( x ) có ma tr n A = ( aij ) th a n b) Trư ng h p 2 (các h s aii = 0)  x1 = y1 + y2 Dk ≠ 0, ∀k ∈1, n . V i j > i, ta ñ t Dj–1,i là ñ nh th c c a ma  Gi s a12 ≠ 0 , ta ñ i bi n  x2 = y1 − y2 . Khi ñó, tr n có các ph n t n m trên giao c a các dòng 1, 2,…, j–1  x = y (i = 3,..., n ) và các c t 1, 2, …, i–1, i+1,…, j (b c t i) c a A.  i i Q = 2a12 y1 − 2a12 y2 + ... có h s c a y12 là a12 ≠ 0 . 2 2 • ð i bi n theo công th c: Tr l i trư ng h p 1.  x1 = y1 + b21 y2 + b31 y3 + b41 y4 + ... + bn1 yn VD 1. ðưa d ng toàn phương x = y2 + b32 y3 + b42 y4 + ... + bn 2 yn  2 Q = − x2 + 4 x3 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. 2 2  , ............................................................ VD 2. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 v  xn = yn  d ng chính t c. Tìm P. D j −1,i 2.3. Thu t toán chéo hóa tr c giao v i b ji = ( −1)i + j . D j −1 a) ð nh nghĩa • Ma tr n vuông P ñư c g i là ma tr n tr c giao n u: D2 2 D3 2 D PT = P–1 hay PTP = In. • Khi ñó, Q = D1 y12 + y2 + y3 + ... + n yn . 2 D1 D2 Dn −1 • N u có ma tr n tr c giao P làm chéo hóa ma tr n A thì ta g i P chéo hóa tr c giao ma tr n A. VD 3. ðưa d ng toàn phương Chú ý Q = 2 x12 + x2 + x3 + 3x1 x2 + 4 x1 x3 v d ng chính t c. Tìm P. 2 2 – N u P = ( aij ) là ma tr n tr c giao thì : n n ∑a i =1 2 ij = 1 (t ng bình phương c t). b) ð nh lý u3 v1 u3 v2 • M i d ng toàn phương Q(x) c a ℝ n ñ u ñưa ñư c v v3 = u3 − v1 − v2 ,… v1 v1 v2 v2 d ng chính t c Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn b ng phép ñ i 2 2 bi n [x] = P[y], v i P là ma tr n làm chéo hóa tr c giao A (ký hi u u v là tích vô hư ng c a u và v). và các λi là các giá tr riêng c a A. vi 2) Chu n hóa wi = , v i vi là ñ dài vector vi. vi c) Thu t toán • Bư c 3. • Bư c 1. Ma tr n P = ([w1] [w2] … [wn]). Tìm các giá tr riêng λi và vector riêng ui (i = 1,…,n). • Bư c 2. Tr c chu n hóa ui như sau: VD 4. ðưa d ng toàn phương 1) ð t Q = 6 x12 + 6 x2 + 5 x3 − 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 v d ng chính 2 2 v1 = u1 , v2 = u2 − u2 v1 v1 , t c. Tìm P. Cho bi t A có λ1 = 3, u1 = (1;1;1); v1 v1 λ2 = 6, u2 = ( −1; −1; 2); λ3 = 8, u3 = ( −1;1;0) . §3. RÚT G N QUADRIC 2.4. Thu t toán bi n ñ i sơ c p ma tr n ñ i x ng 3.1. ðư ng b c hai trên m t ph ng t a ñ Oxy • Bư c 1. Bi n ñ i sơ c p dòng ( A I ) và ñ ng th i l p l i a) ð nh nghĩa • Trên mpOxy, ñư ng b c hai là t p h p t t c các ñi m các bi n ñ i cùng ki u trên các c t c a ( A I ) ñ ñưa A v M(x; y) có t a ñ th a phương trình: d ng chéo. Khi ñó, I s tr thành PT và Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1). Trong ñó, A2 + B2 + C2 > 0.  λ1 0 ... 0   0 λ ... 0  • Các d ng chính t c c a ñư ng b c hai: P AP =  T 2 . x2 y2 1) 2 + 2 = 1 (ñư ng elip);  ... ... ... ...    a b  0 0 0 λn  x2 y2 • Bư c 2. ð i bi n [x] = P[y] ta có 2) 2 − 2 = 1 (ñư ng hyperbol); a b Q = λ1 y12 + λ2 y2 + ... + λn yn . 2 2 3) y 2 = 2 px (parabol); VD 5. ðưa d ng toàn phương Q = 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + 6 x2 x3 v 4) x 2 − y 2 = 0 (c p ñư ng th ng c t nhau); d ng chính t c. Tìm P. Trang 12
  13. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH 5) y 2 = a , a > 0 (c p ñư ng th ng song song); • Cho (C) là ñư ng b c hai không suy bi n (Conic) có phương trình (1). 6) y = 0 (c p ñư ng th ng trùng nhau). 2  A B • Các ñư ng b c hai có phương trình d ng 1), 2) và 3) ñư c ð t Q=  , khi ñó: g i là không suy bi n. B C 1) (C) là ñư ng elip ⇔ det Q > 0 ; b) Nh n bi t các ñư ng Conic 2) (C) là ñư ng hyperbol ⇔ det Q < 0 ; • Cho (C) là ñư ng b c hai có phương trình (1). 3) (C) là ñư ng parabol ⇔ det Q = 0 ;  A B D 4) (C) là ñư ng tròn ⇔ A = C ≠ 0, B = 0 . ð t Q =  B C E  , khi ñó:   c) Phương pháp l p phương trình chính t c c a ñư ng D E F   b c hai ( ) • Gi s ñư ng b c hai (C) có phương trình (1) trong Oxy. (C) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 3 . Xét d ng toàn phương: Q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 xác ñ nh b i ph n ñ ng c p trong (1). • Bư c 1. Chính t c hóa tr c giao Q(x, y) nh phép quay VD 2. L p phương trình chính t c c a thích h p trong h t a ñ ñang xét. (C): 5x2 + 4xy + 8y2 – 32x – 56y + 80 = 0 trong Oxy. • Bư c 2. T nh ti n h t a ñ m t cách thích h p ñ phương Gi i. Xét d ng toàn phương Q(x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2. trình (C) có d ng chính t c. 5 2 VD 1. Xác ñ nh d ng c a ñư ng b c hai Ta có Q =   (C): x2 – 4xy + 4y2 + 4x – 3y – 7 = 0. 2 8  1 −2 2   2 1  − Ta có Q =  −2 4 −3 / 2  ⇒ r Q = 3 ( ) 5 5   ⇒P=  là ma tr n tr c giao chéo hóa Q.  −3 / 2 E −7   1  2    ⇒ (C) không suy bi n.  5  5  1 −2   cos ϕ sin ϕ  Q= Quay quanh O m t góc ϕ sao cho P =  ,  ⇒ det Q = 0 ⇒ (C) là ñư ng parabol.  − sin ϕ cos ϕ   −2 4   1 2  x = 5 x′ −  5 y′  8   2 1  2 nghĩa là ta ñ i t a ñ :  .  x′ −   y′ +   y = 2 x′ + 1 ⇔  5  + 5 =1. y′   5 5 4 9 Khi ñó, (C) có phương trình:  8 144 8  X = x′ −  5 9 x ′2 + 4 y ′2 − x′ + y ′ + 80 = 0 Dùng phép t nh ti n h t a ñ :  thì 5 5 Y = y ′ + 1 2 2   5  8   1  ⇔ 9  x′ −  + 4  y′ +  = 36 2 2  5  5 X Y (C ) : + = 1 (elip). 4 9 3.2. M t b c hai trong không gian t a ñ Oxyz x2 y 2 z2 a) ð nh nghĩa 4) + − = 0 (nón eliptic); a2 b2 c 2 • Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y2 ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: 5) + 2 = 2 z (parabolit eliptic); Ax2 + 2Bxy + 2Cxz + Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy + a2 b 2Kz + L = 0(2). x2 y2 Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. 6) − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a); a2 b • Các d ng chính t c c a m t b c hai: x2 y2 x2 y2 z2 7) + 2 = 1 (m t tr eliptic); 1) 2 + 2 + 2 = 1 (m t elipxoit); a2 b a b c x2 y2 x 2 y 2 z2 8) − 2 = 1 (m t tr hyperbolic); 2) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); a2 b a b c 2 2 9) y2 = 2 px (m t tr parabolic). x y z2 3) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng); a b c Trang 13
  14. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A2ðH b) Nh n bi t các m t b c hai 22x2 + 8xy + 28y2 + 15z2 – 112x – 184y – 30z + 343 = 0. • Cho (S) là m t b c hai có phương trình (2). Gi i. A B C G Ta có  A B C B D E H  22 4 0 −56  ð t Q =  B D E  và Q =     , ta có:  22 4 0   4 28 0 −92  C E F  C E F K  Q =  4 28 0  và Q =    .      0 0 15 −15  G H K L   0 0 15       −56 −92 −15 343  ( ) (S) không suy bi n ⇔ det Q ≠ 0 ⇔ r Q = 4 . Khi ñó: 1) (S) là m t elipxoit ⇔ Q xác ñ nh dương ho c xác ñ nh ( ) Do r Q = 4 nên (S) không suy bi n. âm. 2) (S) là m t parabolic ⇔ det Q = 0 . Theo ñ nh lý Sylvester, Q có D1 = 22 > 0; D2 = 600 > 0; D3 = 9000 > 0 nên Q xác ñ nh VD 3. Xác ñ nh d ng c a m t b c hai sau ñây r i l p dương. V y (S) là m t elipxoit. phương trình chính t c (S):  1 2  480 40 − 0 30 x ′2 + 20 y ′2 + 15z ′2 − x′ − y ′ − 30 z ′ + 343 = 0  5 5 5 5  22 4 0    2 2 Ta có: Q =   4 28 0  ⇒ P =  2 1   8   1   0  là ma  x′ −   y′ −   5  ( z ′ − 1) 2  0 0 15   5 5  ⇔  5  + + =1.    0 0 1 2 3 4      8 tr n tr c giao chéo hóa Q.  X = x′ − 5   1 2  1  x = 5 x′ − 5 y ′ Dùng phép t nh ti n h t a ñ : Y = y ′ −   5  2 1 Z = z′ − 1 ð i t a ñ : y = x′ + y′ .   5 5   z = z′ X 2 Y 2 Z2  thì ( S ) : + + = 1 (m t elipxoit).  2 3 4 Khi ñó, (S) có phương trình: ……………………………H t……………………………. Trang 14