Xem mẫu
- Đ I S CƠ B N
(ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C)
Bài 15. Ánh x tuy n tính
PGS TS M Vinh Quang
Ngày 28 tháng 2 năm 2006
1 Đ nh nghĩa và ví d
1.1 Đ nh nghĩa
Cho V và U là hai không gian véctơ, ánh x f : V → U là ánh x tuy n tính n u f th a mãn
2 tính ch t sau:
(i) V i m i α, β ∈ V : f (α + β) = f (α) + f (β)
(ii) V i m i a ∈ R, α ∈ V : f (aα) = af (α)
M t ánh x tuy n tính f : V → V g i là m t phép bi n đ i tuy n tính c a V .
Như v y, đ ki m tra ánh x f : V → U có là ánh x tuy n tính không, ta c n ph i ki m
tra f có các tính ch t (i) và (ii) không. B n đ c có th d dàng t ki m tra các ví d sau:
1.2 Các ví d
Ví d 1. Ánh x không:
0 : V −→ U
α −→ 0(α) = 0
là ánh x tuy n tính.
Ví d 2. Ánh x đ ng nh t:
id : V −→ V
α −→ id (α) = α
là ánh x tuy n tính.
Ví d 3. Ánh x đ o hàm:
θ : R[x] −→ R[x]
f (x) −→ θ(f ) = f (x)
là ánh x tuy n tính.
1
- Ví d 4. Phép chi u
p : R3 −→ R2
(x1 , x2 , x3 ) −→ p(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 )
là ánh x tuy n tính.
D ng t ng quát c a m t ánh x tuy n tính f : Rm → Rn đư c cho trong bài t p 1.
2 Các tính ch t cơ b n c a ánh x tuy n tính
Cho U, V là các không gian véctơ, và f : V → U là ánh x tuy n tính. Khi đó:
a. f (0V ) = 0U , f (−α) = −f (α)
b. V i m i a1 , a2 , . . . , an ∈ R, α1 , α2 , . . . , αn ∈ V ta có
f (a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn ) = a1 f (α1 ) + a2 f (α2 ) + . . . + an f (αn )
c. Ánh x tuy n tính bi n h PTTT thành h PTTT. T c là n u α1 , α2 , . . . , αn là h PTTT
trong V thì f (α1 ), f (α2 ), . . . , f (αn ) là h PTTT trong U .
Th t v y, n u α1 , α2 , . . . , αn là h PTTT thì t n t i a1 , a2 , . . . , an ∈ R không đ ng th i
b ng không sao cho a1 α1 +a2 α2 +. . .+an αn = 0. Do đó f (a1 α1 +a2 α2 +. . .+an αn ) = f (0)
suy ra a1 f (α1 ) + a2 f (α2 ) + . . . + an f (αn ) = 0 mà a1 , a2 , . . . , an không đ ng th i b ng
không nên f (α1 ), f (α2 ), . . . , f (αn ) PTTT.
d. Ánh x tuy n tính không làm tăng h ng c a m t h véctơ, t c là v i m i α1 , . . . , αn ∈ V
rank{α1 , . . . , αn } ≥ rank{f (α1 ), . . . , f (αn )}.
Th t v y, gi s f (αi1 , . . . , f (αik ) là m t h con ĐLTT t i đ i c a h {f (α1 ), . . . , f (αn )}
(do đó rank{f (α1 ), . . . , f (αn )} = k), theo tính ch t c., h véctơ αi1 , . . . , αik ĐLTT, do đó
h con ĐLTT t i đ i c a h α1 , . . . , αn có không ít hơn k véctơ, t c là rank{α1 , . . . , αn } ≥ k
= rank{f (α1 ), . . . , f (αn )}.
3 Đ nh lý cơ b n v s xác đ nh c a ánh x tuy n tính
Đ nh lý 3.1. Cho V là không gian véctơ n chi u ( dimV = n), α1 , . . . , αn (α) là cơ s tùy ý
c a V , U là không gian véctơ tùy ý và β1 , . . . , βn là h véctơ tùy ý c a U . Khi đó t n t i duy
nh t m t ánh x tuy n tính f : V → U th a mãn f (αi ) = βi v i m i i = 1, 2, . . . , n.
Ch ng minh. Tính duy nh t. Gi s có 2 ánh x tuy n tính f, g : V → U th a mãn đi u
ki n c a đ nh lý. Khi đó v i m i x ∈ V ⇒ x = a1 α1 + . . . + an αn , ta có
f (x) = f (a1 α1 + . . . + an αn )
= a1 f (α1 ) + . . . + an f (αn )
= a1 g(α1 ) + . . . + an g(αn )
= g(a1 α1 + . . . + an αn ) = g(x)
V y f = g.
2
- S t n t i. V i m i x ∈ V , x = a1 α1 + . . . + an αn , ta đ nh nghĩa ánh x f : V → U , như sau:
f (x) = a1 β1 + . . . + an βn . Rõ ràng f là ánh x tuy n tính th a mãn đi u ki n c a đ nh lý.
T đ nh lý này, ta th y r ng m t ánh x tuy n tính hoàn toàn đư c xác đ nh khi bi t nh
c a m t cơ s , và đ cho m t ánh x tuy n tính, ta ch c n cho nh c a m t cơ s là đ .
4 Ma tr n c a ánh x tuy n tính
4.1 Đ nh nghĩa và ví d
Cho V và U là các không gian véctơ, α1 , . . . , αn (α) là cơ s c a V , β1 , . . . , βm (β) là cơ s c a
U . Vì f (αi ) ∈ U nên f (αi ) bi u th tuy n tính đư c qua cơ s (β) nên ta có:
f (α1 ) = a11 β1 + a12 β2 + . . . + a1m βm
f (α2 ) = a21 β1 + a22 β2 + . . . + a2m βm
··· ··· ························
f (αn ) = an1 β1 + an2 β2 + . . . + anm βm
Ma tr n
a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2
A=
.
. .
. .. .
.
. . . .
a1m a2m . . . anm
g i là ma tr n c a f trong c p cơ s (α), (β) và kí hi u là Af /(α),(β)
Trư ng h p đ c bi t, khi f là phép bi n đ i tuy n tính c a V , f : V → V và (β) ≡ (α) thì
ma tr n c a f trong c p cơ s (α), (α) đư c g i là ma tr n c a f trong cơ s (α) và kí hi u là
Af /(α)
Ví d 1. Cho ánh x tuy n tính f : R2 → R3
f (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , x1 − x2 , −x2 )
Tìm ma tr n c a f trong c p cơ s (α), (β) (ma tr n Af /(α),(β) ) v i các cơ s (α), (β) như
sau:
(α) : α1 = (1, 1), α2 = (1, 0),
(β) : β1 = (1, 1, 1), β2 = (−1, 2, 1), β3 = (1, 3, 2)
Gi i. Gi s
f (α1 ) = a1 β1 + a2 β2 + a3 β3 (1)
f (α2 ) = b1 β1 + b2 β2 + b3 β3 (2)
Khi đó, theo đ nh nghĩa, ma tr n c a f trong c p cơ s (α), (β) là
a1 b1
Af /(α),(β) = a2 b2
a3 b3
3
- Ta c n gi i các phương trình véctơ (1), (2) đ tìm a1 , a2 , a3 và b1 , b2 , b3 . Các phương
trình (1), (2) tương đương v i các h phương trình tuy n tính mà ma tr n các h s m
r ng c a chúng là ma tr n
sau:
1 −1 1 3 1 1 −1 1 3 1
1 2 3 0 1 −→ 0 3 2 −3 0
1 1 2 −1 0 0 2 1 −4 −1
1 −1 1 3 1 1 −1 1 3 1
−→ 0 1 1 1 1 −→ 0 1 1 1 1
0 2 1 −4 −1 0 0 −1 −6 −3
H 1): a3 = 6, a2 = 1 − a3 = −5, a1 = 3 + a2 − a3 = −8
H 2): b3 = 3, b2 = 1 − b3 −2, b1 = 1 + 2 − b3 = −4
= b
a1 b 1 −8 −4
V y Af /(α),(β) = a2 b2 = −5 −2
a3 b 3 6 3
Nh c l i r ng cơ s chính t c c a không gian Rn (ký hi u ( n )) là cơ s :
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) ( n )
B n đ c có th d dàng ki m tra ví d sau:
Ví d 2. Cho ánh x tuy n tính f : Rn → Rm đư c cho b i công th c (xem bài t p 1)
f (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 + . . . + a1n xn , a21 x1 + . . . + a2n xn , . . . , am1 x1 + . . . + amnxn )
Khi đó, ma tr n c a f trong c p cơ s ( n ), ( m ) là:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
Af / n , m = .
. .. .
. . .
. . . .
am1 am2 . . . amn
Ch ng h n, ánh x tuy n tính f : R2 → R3 trong ví d 1 có ma tr n trong c p cơ s
( 2 ), ( 3 ) là
1 2
Af / 2 , 3 = 1 −1
0 −1
4.2 Bi u th c t a đ c a ánh x tuy n tính
Cho U, V là các KGVT, và α1 , . . . , αn (α), β1 , . . . , βm (β) l n lư t là các cơ s c a V và U .
Cho f : V → U là ánh x tuy n tính. A = Af /(α),(β) là ma tr n c a f trong c p cơ s (α), (β).
V i m i véctơ x ∈ V , gi s :
x/(α) = (x1 , x2 , . . . , xn ), f (x)/(β) = (y1 , y2 , . . . , ym )
Khi đó, ta có công th c sau g i là bi u th c t a đ c a ánh x tuy n tính f :
y1 x1
y2 x2
= A. .
.
.
. .
.
ym xn
4
- N u ta ký hi u [x]/(α) là t a đ c a véctơ x trong cơ s (α) vi t theo c t, thì công th c trên có
th vi t l i ng n g n như sau:
[f (x)]/(β) = Af /(α),(β) .[x]/(α)
Trư ng h p đ c bi t, khi f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính, α1 , . . . , αn (α) là cơ s c a
V , ta có:
[f (x)]/(α) = Af /(α) .[x]/(α)
4.3 Ma tr n c a ánh x tuy n tính trong hai c p cơ s khác nhau
Cho V, U là các KGVT, α1 , . . . , αn (α) và α1 , . . . , αn (α ) là các cơ s c a V , β1 , . . . , βm (β) và
β1 , . . . , βm (β ) là các cơ s c a U . Cho ánh x tuy n tính f : V → U . Khi đó, ta có công th c
dư i đây cho th y s liên h gi a ma tr n c a f trong c p cơ s (α ), (β ) v i ma tr n c a f
trong c p cơ s (α), (β):
−1
Af /(α ),(β ) = Tββ .Af /(α),(β) .Tαα
trong đó, Tαα là ký hi u ma tr n đ i cơ s t cơ s (α) sang cơ s (α ).
Trư ng h p đ c bi t, khi f : V → V là phép bi n đ i tuy n tính và α1 , . . . , αn (α) và
α1 , . . . , αn (α ) là hai cơ s c a V , ta có:
−1
Af /(α ) = Tαα .Af /(α) .Tαα
5 H t nhân và nh
5.1 Các khái ni m cơ b n
Cho V, U là các không gian véctơ, f : V → U là ánh x tuy n tính.
• Ký hi u: Kerf = {x ∈ V |f (x) = 0} ⊂ V
Khi đó, d a vào tiêu chu n KGVT con, ta có th ch ng minh đư c Kerf là KGVT con
c a V , g i là h t nhân c a ánh x tuy n tính f .
• Ký hi u Imf = {f (x)|x ∈ V } ⊂ U
Imf cũng là m t KGVT con c a U , g i là nh c a ánh x tuy n tính f .
5.2 Nh n xét
• Đ xác đ nh h t nhân c a ánh x tuy n tính f : V → U , ta s d ng bi u th c t a đ c a
f (xem m c 2), c th :
Ch n cơ s α1 , . . . , αn (α) và β1 , . . . , βm (β) c a V và U . Khi đó, ta có:
[f (x)/(β) = Af /(α),(β) .[x]/(α)
5
- do đó:
x ∈ Kerf ⇐⇒ f (x) = 0
0
0
⇐⇒ [f (x)]/(β) =
.
.
.
0
0
0
⇐⇒ A.[x]/(α) = (∗)
.
.
.
0
Như v y, x ∈ Kerf khi và ch khi t a đ c a x trong cơ s (α) [x]/(α) ) là nghi m c a
h phương trình tuy n tính thu n nh t (∗) (v i A = Af /(α),(β) .)
T đó, đ tìm cơ s c a h t nhân Kerf , ta làm như sau: Tìm ma tr n c a ftrong c p cơ
x1 0
. .
s (α), (β) nào đó, A = Af /(α),(β) . Gi i h phương trình A. . = . (∗), tìm h
. .
xn 0
nghi m c a h (∗). T p t t c các véctơ thu c V sao cho t a đ c a véctơ đó trong cơ s
(α) là nghi m cơ b n c a h (∗) s làm thành m t cơ s c a Kerf . Trư ng h p đ c bi t,
n u f : Rn → Rm là ánh x tuy n tính và A là ma tr n c a f trong c p cơ s chính t c
(A = Af /( n ),( m ) ) thì h t nhân c a f chính là không gian con các nghi m c a h phương
x1 0
. .
trình tuy n tính thu n nh t A. . = . và cơ s c a Kerf chính là h nghi m
. .
xn 0
cơ b n c a h trên.
B n đ c s th y rõ cách tìm Kerf qua ph n bài t p.
• Đ tìm nh c a ánh x tuy n tính f : V → U ta d a vào nh n xét sau:
N u α1 , . . . , αn là h sinh c a V thì f (α1 ), . . . , f (αn ) là h sinh c a Imf . Th t v y, v i
m i y ∈ Imf , t n t i x ∈ V đ y = f (x). Vì x ∈ V nên t n t i a1 , . . . , an ∈ R đ
x = a1 α1 + . . . + an αn . Khi đó
y = f (x) = f (a1 α1 + . . . + an ) = a1 f (α1 ) + . . . + an f (α)
V y, f (α1 ), . . . , f (αn ) là h sinh c a Imf .
Như v y, đ tìm cơ s c a Imf , ta tìm cơ s α1 , . . . , αn c a V , theo nh n xét trên,
Imf = f (α1 ), . . . , f (α) , do đó h con ĐLTT t i đ i c a h f (α1 ), . . . , f (αn ) là cơ s c a
Imf
5.3 M i liên h gi a s chi u c a h t nhân và nh
Đ nh lý 5.1. Cho ánh x tuy n tính f : V → U . Khi đó, ta có: dim Ker f + dim Im f = dim V
Ch ng minh. Gi s dimV = n, dimKerf = k (k ≤ n) và gi s α1 , . . . , αk là cơ s c a Kerf .
Vì α1 , . . . , αk là h véctơ ĐLTT c a V nên ta có th b sung thêm n − k véctơ đ đư c h
α1 , . . . , αk , αk+1 , . . . , αn là cơ s c a V . Ta ch ng minh f (αk+1 ), . . . , f (αn ) là cơ s c a Imf .
6
- Th t v y, v i m i y ∈ Imf , t n t i x ∈ V đ f (x) = y, vì x ∈ V nên x = a1 α1 + . . . +
ak αk + ak+1 αk+1 + . . . + an αn . Do đó,
y = f (x) = a1 f (α1 )+. . .+ak f (αk )+ak+1 f (αk+1 )+. . .+an f (αn ) = ak+1 f (αk+1 )+. . .+an f (αn )
vì f (α1 ) = . . . = f (αk ) = 0. Đi u này ch ng t f (αk+1 ), . . . , f (αn ) là h sinh c a Imf .
Bây gi , gi s
ak+1 f (αk+1 ) + . . . + an f (αn ) = 0
⇒ f (ak+1 αk+1 + . . . + an αn ) = 0
⇒ ak+1 αk+1 + . . . + an αn ∈ Kerf
⇒ ak+1 αk+1 + . . . + an αn = a1 α1 + . . . + ak αk
(vì α1 , . . . , αk là cơ s c a Kerf ). Do đó −a1 α1 − . . . − ak αk + ak+1 αk+1 + . . . + an αn = 0 suy
ra ai = 0 v i m i i.
V y f (αk+1 ), . . . , f (αn ) là cơ s ĐLTT do đó là cơ s c a Im f nên dim Im f = n − k. Ta có
dim Ker f + dim Im f = k + (n − k) = n = dim V .
S chi u c a Im f còn đư c g i là h ng c a ánh x tuy n tính f , ký hi u là rank f . S chi u
c a Ker f còn đư c g i là s khuy t c a ánh x tuy n tính f , ký hi u là def(f ). Như v y, ta
có: rank(f ) = dim Im f, def(f ) = dim Ker f và rank(f ) + def(f ) = dim V
6 Đơn c u, toàn c u, đ ng c u
6.1 Các khái ni m cơ b n
Cho U, V là các KGVT, và f : V → U là ánh x tuy n tính. Khi đó:
• f g i là đơn c u n u f là đơn ánh.
• f g i là toàn c u n u f là toàn ánh.
• f g i là đ ng c u n u f là song ánh.
T đ nh nghĩa, ta có ngay tích c a các đơn c u, toàn c u, đ ng c u l i là các đơn c u, toàn
c u, đ ng c u. N u f : V → U là m t đ ng c u thì f có ánh x ngư c f −1 : U → V cũng là
m t đ ng c u.
Hai không gian véctơ U, V g i là đ ng c u n u t n t i m t đ ng c u f : V → U . D th y
r ng quan h đ ng c u là quan h tương đương.
6.2 Các đ nh lý v đơn c u, toàn c u, đ ng c u
Đ nh lý 6.1. Hai không gian véctơ V, U đ ng c u v i nhau khi và ch khi dim V = dim U
Đ nh lý 6.2. Cho V, U là các không gian véctơ, dim V = dim U và f : V → U là ánh x tuy n
tính. Khi đó, các kh ng đ nh sau là tương đương:
(i) f là đơn c u
(ii) f là toàn c u
(iii) f là đ ng c u
7
- Đ nh lý 6.3. Cho ánh x tuy n tính f : V → U . Khi đó:
(i) f là đơn c u khi và ch khi Ker f = {0}, khi và ch khi dim Im f = dim V
(ii) f là toàn c u khi và ch khi Im f = U , khi và ch khi dim Im f = dim U .
N u f : V → U là ánh x tuy n tính thì dim Im f = rank f = rank A, trong đó A là ma
tr n c a f trong c p cơ s (α), (β) b t kỳ. Do đó, đ ki m tra xem f có là đơn c u, toàn
c u hay không, ta tìm ma tr n c a f trong c p cơ s (α), (β) nào đó r i tìm rank A. N u
rank A = dim V thì f là đơn c u, còn n u rank A = dim U thì f là toàn c u.
6.3 S đ ng c u c a không gian các ánh x tuy n tính và không
gian các ma tr n
Ký hi u Hom(V, U ) là t p các ánh x tuy n tính f : V → U . Trong Hom(V, U ) ta đ nh nghĩa
hai phép toán như sau:
• Phép c ng: ∀f, g ∈ Hom(V, U ), f + g : V −→ U
x −→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
• Phép nhân: ∀a ∈ R, f ∈ Hom(V, U ), (af ) : V −→ U
x −→ (af )(x) = af (x)
khi đó Hom(V, U ) cùng v i 2 phép toán trên làm thành m t KGVT, g i là không gian các ánh
x tuy n tính t V đ n U .
Đi u thú v là không gian Hom(V, U ) đ ng c u v i không gian các ma tr n nh đ ng c u
trong đ nh lý sau:
Đ nh lý 6.4. Cho V, U là các KGVT, dim V = n, dim U = m và cho α1 , . . . , αn (α), β1 , . . . , βm (β)
l n lư t là các cơ s c a V và U . Khi đó, ánh x :
θ : Hom(V, U ) −→ Mm,n (R)
f −→ θ(f ) = Af /(α),(β)
là m t đ ng c u.
Nh đ ng c u này, vi c nghiên c u các ánh x tuy n tính d n đ n vi c nghiên c u các ma
tr n và ngư c l i. B n đ c s th y rõ ph n này qua ph n bài t p. 1
1
Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, Ngày: 22/02/2006
8
nguon tai.lieu . vn
