Xem mẫu
- TOÁN TIN NG D NG – Đ I H C BÁCH KHOA HÀ N I
Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2009
MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút
------------------------------------
I - PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I: (2,0 đi m)
m
Cho hàm s y = −x + 1 + ,(Cm)
2−x
1. Kh o sát và v đ th hàm s v i m = 1.
2. Tìm m đ đ th (Cm) có c c đ i t i đi m A sao cho ti p tuy n v i (Cm) t i A c t tr c Oy t i B mà
∆OBA vuông cân.
Câu II (2,0 đi m)
sin 2 x cos 2 x
1. Gi i phương trình: + = tgx − cot gx .
cos x sin x
4
2. Gi i phương trình: (2 − log3 x ) log9 x 3 − = 1.
1 − log3 x
Câu III (1,0 đi m)
Trong m t ph ng t a đ Oxy, tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đư ng y = x2 và y = 2 − x 2 .
Câu IV (1,0 đi m)
Cho lăng tr đ ng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a , AA1 = a 2 . G i M, N l n
lư t là trung đi m c a đo n AA1 và BC1. Ch ng minh MN là đư ng vuông góc chung c a các đư ng th ng
AA1 và BC1. Tính VMA 1BC1 .
Câu V (1 đi m)
Tìm m đ phương trình : 4 x 4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng 1 nghi m
II - PH N RIÊNG (3,0 đi m)
Thí sinh ch đư c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c 2)
1. Theo chương trình Chu n
Câu VI.a (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i B, v i A(1; -1), C(3; 5). Đ nh B n m
trên đư ng th ng d: 2x – y = 0. Vi t phương trình các đư ng th ng AB, BC
2. Trong không gian Oxyz cho đi m M(0,–3,6). Ch ng minh r ng m t ph ng
(P): x + 2y – 9 = 0 ti p xúc v i m t c u tâm M, bán kính MO. Tìm t a đ ti p đi m.
Câu VII.a (1,0 đi m)
Tìm h s c a x8 trong khai tri n (x2 + 2)n, bi t: A 3 − 8C2 + C1 = 49 , v i n là s nguyên dương.
n n n
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng to đ Oxy, vi t phương trình đư ng th ng qua g c to đ và c t đư ng tròn:
2 2
(C): ( x - 1) + ( y + 3) = 25 theo m t dây cung có đ dài là 8.
x − 3 y + 2 z +1
2. Cho đư ng th ng d: = = và m t ph ng (P): x + y + z + 2 = 0 . G i M là giao đi m c a
2 1 −1
d và (P). Vi t phương trình đư ng th ng ∆ n m trong (P) sao cho ∆ ⊥ d và kho ng cách t M đ n ∆
b ng 42 .
Câu VII.b (1 đi m)
Tìm n th a mãn: C1 .2 2n -2.C 2n+1.3.2 2n-1 +3.C3 .32 .22n-2 +...-2n.C2n+1.32n-1.2+(2n+1)C 2n+1.32n =2009
2n+1
2
2n+1
2n 2n+1
- TOÁN TIN NG D NG – Đ I H C BÁCH KHOA HÀ N I
Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2009
MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút
(Đ thi g m 02 trang)
------------------------------------------------
I - PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I: (2,0 đi m)
2x + 1
Cho hàm s y= (C)
1-x
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( C )c a hàm s .
2. G i (∆) là ti p tuy n t i đi m M(0; 1) v i đ th ( C ). Hãy tìm trên ( C )nh ng đi m có hoành
đ x > 1 mà kho ng cách t đó đ n (∆) là ng n nh t.
Câu II (2,0 đi m)
3π π
1. Gi i phương trình: sin + 2x = 2sin - x
5 5
x-1 + y-1 =3
2. Gi i h phương trình :
x+y- ( x-1 )( y-1 ) =5
Câu III (1,0 đi m)
3
x-3
Tính tích phân : I = ∫ dx
-1 3 x + 1 + x + 3
Câu IV (1,0 đi m)
Cho hình nón có đ nh S, đáy là đư ng tròn tâm O, SA và SB là hai đư ng sinh bi t
SO = 3cm , kho ng cách t O đ n m t ph ng SAB b ng 1cm, di n tích tam giác SAB b ng 18cm2.
Tính th tích và di n tích xung quanh c a hình nón đã cho.
Câu V (1 đi m)
Tìm m đ phương trình : m ( )
x - 2 +2 4 x 2 - 4 - x+2 = 2 4 x 2 - 4 có nghi m.
II - PH N RIÊNG (3,0 đi m)
Thí sinh ch đư c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c 2)
1. Theo chương trình Chu n
Câu VI.a (2,0 đi m)
1. Cho đư ng tròn x 2 + y 2 - 2x - 6y + 6 = 0 và đi m M(2; 4). Vi t phương trình đư ng th ng đi qua
M c t đư ng tròn t i hai đi m A,B sao cho M là trung đi m c a đo n AB.
2. Cho hai m t ph ng (P): 2x – y – 2z + 3 = 0 và (Q): 2x – 6y + 3z – 4 = 0. Vi t phương trình m t
x y+ 3 z
c u (S) có tâm n m trên đư ng th ng d : = = đ ng th i ti p xúc v i c hai m t ph ng (P)
1 -1 2
và (Q).
Câu VII.a (1,0 đi m)
4
z + i
Tìm s ph c z th a mãn : =1
z-i
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có c nh AB: x - 2y - 1 = 0 ,
đư ng chéo BD: x - 7y + 14 = 0 và đư ng chéo AC qua đi m M(2 ; 1). Tìm t a đ các đ nh
c a hình ch nh t.
- TOÁN TIN NG D NG – Đ I H C BÁCH KHOA HÀ N I
2. Trong không gian Oxyz cho đi m A(3 ; 1 ; 1) và m t đư ng th ng d có phương trình
mx+ y+ z-1 = 0
(d) : .
x+ (m-1) y+ z-1 = 0
Tìm qu tích hình chi u vuông góc c a A lên (d), khi m thay đ i.
Câu VII.b (1 đi m)
Có 7 cái h p và 10 viên bi (m i h p này đ u có kh năng ch a nhi u hơn 10 viên bi). H i có t t c
bao nhiêu cách đưa 10 viên bi này vào 7 h p đó ?
---------------------------------------------------------------------------------------------
Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2009
MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút
(Đ thi có 02 trang)
------------------------------------
I - PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I: (2,0 đi m)
x+2
Cho hàm s y =
2x - 2
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( C ) c a hàm s .
2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đư ng th ng d : y = x + m c t đ th (C) t i hai đi m
37
phân bi t A, B mà OA2 + OB2 = ( O là g c t a đ ).
2
Câu II (2,0 đi m)
1 2(cosx- sinx)
1. Gi i phương trình: = .
tanx + cot 2 x cotx-1
x 4 − x3 y + x 2 y2 = 1
2. Gi i h phương trình: .
x3y − x 2 + xy = −1
Câu III (1,0 đi m)
π
2
sinx- cosx
Tính tích phân : I = ∫
π 1+ sin 2 x
dx
4
Câu IV (1,0 đi m)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, c nh SA vuông góc v i đáy, ACB =
600, BC= a, SA = a 3 . G i M là trung đi m c nh SB. Ch ng minh r ng (SAB)⊥(SBC). Tính th
tích kh i t di n MABC.
Câu V (1 đi m)
Tìm m đ phương trình : x x + x+12 = m( 5 - x + 4 - x ) có nghi m.
II - PH N RIÊNG (3,0 đi m)
Thí sinh ch đư c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c 2)
1. Theo chương trình Chu n
Câu VI.a (2,0 đi m)
1. Trong (Oxy), cho 2 đư ng th ng d1: 2x + y − 1 = 0, d2: 2x − y + 2 = 0. Vi t phương trình đư ng
tròn (C) có tâm n m trên tr c Ox đ ng th i ti p xúc v i d1 và d2.
- TOÁN TIN NG D NG – Đ I H C BÁCH KHOA HÀ N I
x+1 y-1 z- 2 x- 2 y+ 2 z
2. Trong không gian cho hai đư ng th ng : = = và ∆2: = = và m t
2 3 1 1 5 -2
ph ng P có phương trình : 2x − y − 5z + 1 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng ∆ vuông góc v i
(P), đ ng th i c t c ∆1 và ∆2.
Câu VII.a (1,0 đi m)
Khai tri n bi u th c P(x)=(1 − 2x)n ta đư c P(x)=a0 + a1x + a2x2 + … + anxn. Tìm h s c a x5
bi t:a0 + a1 + a2 = 71.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 đi m)
13 13
1. Trong (Oxy), cho tam giác ABC có tr c tâm H ; , phương trình các đư ng th ng AB và
5 5
AC l n lư t là: 4x − y − 3 = 0, x + y − 7 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng ch a c nh BC.
2. Trong không gian cho 4 ñi m A(0; −1; 1), B(0; −2; 0), C(2; 1; 1), D(1; 2; 1)
Tìm ñi m M thu c ñư ng th ng AD và ñi m N thu c ñư ng th ng ch a tr c Ox sao cho MN là
ño n vuông góc chung c a hai đư ng th ng này.
Câu VII.b (1 đi m)
Tìm các s th c x , y th a mãn đ ng th c :
x (-1 + 4i ) + y ( 1 + 2i )3 = 2 + 9i
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------