Xem mẫu
- Sôû Giaùo duïc & Ñaøo taïo Caø Mau KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG BAÈNG
SOÂNG CÖÛU LONG
Tröôøng THPT Chuyeân Phan Ngoïc Hieån Năm học 2005 – 2006
MOÂN TOAÙN
BAØI 1: (4ñ)
Giaûi phöông trình: x3 (1 x2 )3 x 2(1 x2 ) .
BAØI 2: (4ñ)
Tìm taát caû caùc soá nguyeân döông n sao cho:
3
2 n 3 2 n laø soá nguyeân döông.
BAØI 3: (4ñ)
Cho a1 0 . Xeùt daõy soá (an ) cho bôûi: an1 ln(1 an ), n .
n(nan 2) 2
Chöùng minh raèng: lim
n
.
ln n 3
BAØI 4: (4ñ)
Cho tam dieän vuoâng Oxyz vaø ñieåm A coá ñònh naèm trong tam dieän. Khoaûn g
caùch töø A ñeán ba maët (Oyz), (Ozx) vaø (Oxy) laàn löôït laø a, b vaø c. Goïi laø maët
phaúng di ñoäng qua A caét Ox taïi M, caét Oy taïi N vaø caét Oz taïi P.
Trong tröôøng hôïp theå tích töù dieän OMNP ñaït giaù trò nhoû nhaát thì A laø ñieåm
gì trong tam giaùc MNP?
BAØI 5: (4ñ)
Trong ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 1 noäi tieáp moät hình vuoâng; trong hình
vuoâng naøy laïi noäi tieáp moät ñöôøng troøn nöõa, trong ñöôøng troøn naøy laïi noäi tieáp moät
- baùt giaùc ñeàu, trong baùt giaùc ñeàu laïi noäi tieáp moät ñöôøng troøn, trong ñöôøng troøn
naøy laïi noäi tieáp moät ña giaùc ñeàu 16 caïnh, cöù nhö theá …
2
Chöùng minh baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn keå treân ñeàu lôùn hôn .
ĐÁP ÁN
BAØI 1: (4ñ)
x3 (1 x 2 )3 x 2(1 x 2 ) (1)
Ñieàu kieän: 1 x2 0 x 1 .
Ñaët: x cos vôùi 0; 1 x2 1 cos2 sin .
(0,5ñ)
Phöông trình (1) trôû thaønh:
cos3 sin3 2 sin cos (2) (0,5ñ)
Ñaët t cos sin 2.cos( ) .
4
Vì 0; t 1; 2 .
(0,5ñ)
Phöông trình (2) trôû thaønh:
3t t 3 t 2 1
2( ) t 3 2t 2 3t 2 0 (0,5ñ)
2 2
t 2
(choïn)
t 1 2
t 1 2 (loaïi)
1
sin cos 2
Vôùi t 2 2 x sin cos . (0,5ñ)
sin cos 2 2
sin cos 1 2
Vôùi t 1 2
sin cos 1 2
(0,5ñ)
sin ,cos laø hai nghieäm cuûa phöông trình:
- 1 2 2 2 1
X 2 (1 2) X 1 2 0 x cos (0,5ñ)
2
(vì sin cos 1 2 0,sin 0 x cos 0) (0,5ñ)
BAØI 2: (4ñ)
Ñaët: x 3 2 n 3 2 n (1)
Ñieàu kieän caàn:
(1) x3 4 3x. 3 4 n (2)
(2): 4 3x. 3 4 n x3 1 ( x nguyeân döông)
1
3 4n (*) (0,5)
x
x3 4 3
Maët khaùc töø (2) 4 n 3 3 (**) (0,5)
3x
1 x3 4
x 3x x 1
x 1
Töø (*) vaø (**) ta coù: 3
3 .
x 4 3 x 3 3 3.x 4 x 2
3
3x
(0,5) (0,5) (0,5)
Ñieàu kieän ñuû:
2 8 100
+ Khi x = 2 thì töø (**) ta coù: 3 4 n 4 n n
3 27 27
(0,5)
(loaïi x = 2).
+ Khi x = 1, thì töø (**) ta coù: 3 4 n 1 n 5 (nhaän x = 1).
(0,5)
Keát luaän: Vaäy vôùi n = 5
thì 3
2 n 3 2 n laø soá nguyeân döông vaø 3
2 n 3 2 n 1.
(0,5)
- BAØI 3: (4ñ)
2
n
n(nan 2) an
+ lim lim nan (0,5ñ)
n ln n n ln n
+ Chöùng minh: lim nan 2 (vì lim an 0 do: an 0 vaø an1 an )
n n
(0,5+0,5)
2
n
an
+ Chöùng minh: lim toàn taïi.
n ln n
(0,5)
x 2 x3 x 4 x 2 x3
+ Chöùng minh BÑT: x ln(1 x) x , x 0 (0,5)
2 3 4 2 3
1 3 1 4 1 5 1 3 1 4
an an an 2an 1 2an an 1an an an (0,5)
6 6 4 6 3
2an 1 an an an 1 1
lim 3
(0,5)
n an 6
n(nan 2) 2
lim
n
(0,5)
ln n 3
2
n
an n(2an1 an an an 1 ) na (2a a a a ) 1 1
(vì lim
n ln n
= lim 2
lim n n 1 3 n n n 1 2. ).
n an n an 6 3
BAØI 4: (4ñ)
Ta coù: VOMNP VA.OPN VA.OPM VA.OMN (0,5)
- a b c abc
1 33 (BÑT Cauchy) (0,5+0,5)
OM ON OP OM .ON .OP
27 abc 27
1 . VOMNP abc (0,5)
6 VOMNP 6
27 a b c 1
VOMNP(min) abc (0,5).
6 OM ON OP 3
Khi ñoù, tam giaùc POK (K = PA MN) coù OP // AH (H laø hình chieáu
vuoâng goùc cuûa A leân (Oxy)) neân:
c KA 1
OP KP 3 A laø troïng taâm tam giaùc MNP. (0,5+0,5+0,5)
a b 1
Töông töï:
OM ON 3
BAØI 5: (4ñ)
Goïi R1 = 1: laø baùn kính ñöôøng troøn ban ñaàu (böôùc thöù 1).
R2 : laø baùn kính ñöôøng troøn ôû böôùc thöù 2 R2 R1 cos .
4
(0,5)
R3 : laø baùn kính ñöôøng troøn ôû böôùc thöù 3 R3 R2 cos R2 cos .
8 23
(0,5)
R4 : laø baùn kính ñöôøng troøn ôû böôùc thöù 4 R4 R3 cos R3 cos .
16 24
(0,5)
......
Rn : laø baùn kính ñöôøng troøn ôû böôùc thöù n Rn Rn1 cos .
2n 1
(0,5)
Rn cos 2
.cos 3
.cos 4
...cos
2n
2 2 2
(0,5+0,5)
n 1
2 .sin .Rn sin 1
2n 2
- 1 1 2
Rn (vì sin x x, x 0 ) (0,5+0,5).
n 1 n 1
2 .sin 2 .
2n 2n
- S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH
B C GIANG NĂM H C 2010 - 2011
Đ THI MÔN: TOÁN L P 12
Ngày thi: 02/4/2011
Đ CHÍNH TH C
Th i gian làm bài: 180 phút
(không k th i gian giao ñ )
Câu 1: ( 5 ñi m) Cho hàm s y = x4 – 2mx2 + 2 (Cm) (v i m là tham s ).
1. Tìm m ñ kho ng cách t g c t a ñ ñ n ti p tuy n c a ñ th hàm s (Cm) t i ñi m có hoành
3
ñ b ng 1 là .
17
2. Tìm m ñ ñ th hàm s (Cm) có ba ñi m c c tr A, B, C sao cho ñư ng tròn ngo i ti p tam giác
3 9
ABC ñi qua ñi m M( ; ).
5 5
Câu 2: (4 ñi m)
2
dx
1. Tính tích phân: ∫ x+
0 4 − x2
.
−2 x − 2 x +1
+ 2.3x − 2m + 4 ≤ 0 .
2 2
2. Tìm m ñ b t phương trình sau có nghi m th c: 9 x
Câu 3: ( 4 ñi m )
1. Gi i phương trình sau:
2 ( sin x − cos x ) + 2sin 2 x
2
+ sin x + π + cos 3 x − π = 2 + 2cos 2x.
1 + tan x2
4 4
x3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy
2. Gi i h phương trình sau: ( x, y ∈ ℝ ) .
2 x − 2 y − 3 + 3 y − 26 = x − 2
2 3
Câu 4: (4 ñi m)
1. Trong h t a ñ Oxy, cho hình ch nh t ABCD. Các ñư ng th ng AB và BD l n lư t có phương
x = −1 + 3t
trình là: x – 2y + 2 = 0 và . Đi m C thu c ñư ng tròn có phương trình là: (x - 2)2 + y2 = 1.
y = −2 + 4t
Tìm t a ñ các ñ nh c a hình ch nh t ABCD.
x −1 y + 1 z − 2
2. Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho hai ñư ng th ng (d): = = ;
1 3 4
x y−2 z+2
(∆) : = = và m t ph ng (P): 2x + 2 y - z = 0. L p phương trình m t c u có tâm thu c ñư ng
1 1 1
th ng ( ∆ ), ti p xúc v i ñư ng th ng (d) và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là m t ñư ng tròn có bán
kính b ng 4.
Câu 5: (2 ñi m) Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và ASB =60o , BSC =90o , CSA=120o .
Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a, b và c.
Câu 6: (1 ñi m)
Cho ba s dương a, b, c th a mãn a + b + c = 3. Ch ng minh r ng:
1 1 1
2
+ 2 + 2 ≥ a2 + b2 + c2 .
a b c
----------------------------- H t -----------------------------
Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
H và tên thí sinh:.................................................. S báo danh: ..............................
- SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
1.1. Cho hàm số (C). Cho điểm A (0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến
tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.
1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:
3
x6 z 3 15x 2z 3x 2 y 2z y2 5
Câu 2: (3.0 điểm)
sin 2 x sin 2 2 x
2.1. Giải phương trình: 2
sin 2 2 x sin 2 x
2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
A B C A B C
tg 3 tg 3 tg 3 4 tg tg tg 3
3 3 3 3 3 3
Câu 3: (3.0 điểm)
3.1. Giải bất phương trình x2 3x 2 2x 2 3x 1 x 1
3.2. Tìm m để phương trình: m x2 2x 2 1 x(2 x) 0 (2) có nghiệm x 0; 1 3
Câu 4: (3.0 điểm)
4.1. Cho đa thức P (x) = x5 + x4 – 9x3 + ax2 +bx + c.
Biết rằng P (x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3). Hãy tìm đa thức ấy.
1 2
4.2. Cho dãy số (un) xác định bởi:
3
với 1
1
1 3.
Xác định số hạng tổng quát (un) theo n.
Câu 5: (3.0 điểm)
5.1. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sáu đường
thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao
nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
1 2 2 2 n 2 n n
5.2. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: C n 2 Cn ... n C n C2n
2
Câu 6: (2.0 điểm)
1 a b c 7
Cho a, b, c ;3 . Chứng minh rằng:
3 a b b c c a 5
Câu 7: (3.0 điểm)
7.1. Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng
d1 : 3 x y 4 0; d 2 : x y 6 0; d 3 : x 3 0 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết
rằng A và C thuộc d3, B thuộc d1, D thuộc d2.
7.2. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 .
Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán
kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó./.Hết.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
- SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Ngày 21-9-2009
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang)
Điểm Đáp án
3.0 Câu 1
2.0 1.1. Phương trình tiếp tuyến.
0.25 Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1)
0.25 Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: có nghiệm
0.25 Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:
Để (4) có 2 nghiệm là:
0.25
0.25 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của (4) . Tung độ tiếp điểm là ,
0.5 Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là :
0.25 . Vậy thoả mãn đkiện bài toán
1.0 1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương.
3 3
0.25 (1) x2 y2 5 x3 3x 2 z 5 y 2
0.25 Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược: VT VP . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x 2 y2 5 z
2 2
0.25 Từ phương trình: x y 5 x y x y 5
0.25 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: x, y, z 3, 2,9
3.0 Câu 2
2.0 2.1. Giải phương trình lượng giác.
sin 2 x 0
sin 2 x sin 2 2 x 2
0.5 PT 2 sin x sin 2 x
sin 2 2 x sin 2 x 0
sin 2 x sin x
sin 2 x 0
sin 2 x 0 sin 2 x 0
1.0 1
sin 2 x sin 2 2 x sin 2 x sin 2 2 x cos 2 x
4
x 2k
3
0.5
2
x 2k , k Z
3
1.0 2.2. CMR
B C A B C A
0.25 tan tan
3 3 3 3 3 3 3 3
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2
- B C A
tg tg 3 tg
0.25 3 3 3
B C A
1 tg .tg 1 3.tg
3 3 3
A B C A B C
0.25 tg tg tg 3 tg .tg .tg
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
0.25 tg 3 tg 3 tg 3 4 tg tg tg 3
3 3 3 3 3 3
3.0 Câu 3
1.5 3.1. Giải bất phương trình x2 3x 2 2x 2 3x 1 x 1
ĐS *BPT có tập nghiệm S=(- ;1/2] {1}
1.5 3.2. Tìm tham số m.
t2 2 2 2
ĐS Do đó, ycbt bpt m có nghiệm t [1,2] m max g(t) g(2) Vậy m
t 1 t 1;2 3 3
3.0 Câu 4
1.5 4.1. Tìm đa thức.
ĐS Vậy đa thức phải tìm là P (x) = x5 + x4 – 9x3 - x2 +20x - 12.
1.5 4.2. CMR
Suy ra: 2 3
ĐS 2008 tan 2007 tan 502 tan
3 3 3 1 6
3.0 Câu 5
1.0 5.1.
0.5 Số hình bình hành là: C 52 .C 62 C 52 .C 72 C 62 .C 72 675 (hình).
0.5 Số hình thang là: C 52 .C 6 .C 7 C 62 .C 5 .C 7 C 72 .C 6 .C 5 1575 (hìnhh)
1 1 1 1 1 1
2.0 5.2. CMR
0 n k n k
0.5 Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý C n C n 1 và C n C n
1 2 2 2 n 1 2 n 2
0.5 Ta thấy: 2 S n Cn n Cn .... n C n n Cn 1
n n 2n n
Từ 1 x 1 x 1 x , x R . So sánh hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của
0.75 n n 1 2 2n 2 2 n 2 n
1 x 1 x và 1 x ta suy ra: C n Cn ... Cn C2n 2
0.25 Từ (1) và (2) có đpcm.
2.0 Câu 6
a b c
0.25 Đặt F a, b, c Giả sử a max a, b, c .
a b b c c a
2
a b c 2 b a b ab c
0.5 Ta có: F a, b, c F a, b, ab 0 1
a b b c c a a b a c b c a b
7 1 2 7 . Đặt x a
Để ý rằng F a, b, ab 3 , ta thấy
0.5 5 b a 5 b
1 1
a b
1 2 7 x2 2 7 1 2
2
0 3 x 2x 1 1 0 2
0.5 b a 5 x 1 x 1 5 2
1 1
a b
BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0.25 1
a , b, c 3;1; và các hoán vị.
3
3.0 Câu 7
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3
- 1.5 7.1. Tìm tọa độ.
0.5 Ta có: B (b;3b 4) d1 ; D d ;6 d d 2 . Vì A, C d 3 // Oy nên B và D đối xứng nhau qua d3
0.5 Suy ra b d 6 b 2. Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vuông ABCD là I (3; 2).
3b 4 6 d d 4
2
0.25 Mặt khác A(3; a ) d 3 và IA 2 IB 2 nên a 2 1 a 3 hoặc a = 1.
0.25 Bài toán có hai nghiệm hình: A (3; 3), B(2; 2), C(1; 3), D(4; 2); A 3), B 2), C 3 D 2)
(1; (2; (3; ), (4;
1.5 7.2. Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp.
1 3
0.5 * Ta có: VSAMN SO.S AMN
3 2
0.5 * Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN. Sử dụng công thức:
1 3
0.5 S SAMN r S AMN S ASN S SMN , ta tính được: r
3 4 2 2
Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 4
- S GIÁO D C & ÀO T O THI CH N H C SINH GI I T NH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM H C 2008 – 2009
MÔN TOÁN – L p 12
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao )
a) Gi i b t phương trình: ( x − 3) .log 2 ( x 2 − 2 ) < ( x − 3) . log 2 ( x + 11) + 2
Câu 1: (3,0 i m).
2009 x + 2 = cos y + cos z
b) Gi i h phương trình: 2009 y + 2 = cos z + cos x
2009 z + 2 = cos x + cos y
Câu 2: (2,5 i m).
a) Tìm t t c các giá tr c a m phương trình sau có nghi m:
4 + 2 − 4cos x − 1 = m , v i m là tham s .
cos x
b) Cho a, b, c là các s th c dương tùy ý th a mãn i u ki n a + b + c = 2. Tìm giá
ab bc ca
tr l n nh t c a bi u th c: M = + + .
2c + ab 2a + bc 2b + ca
Câu 3: (3,5 i m).
a) Trong không gian Oxyz tìm phương trình m t ph ng (R) i qua hai i m
M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và c t các tr c Oy, Oz l n lư t t i hai i m B, C sao cho
OB – 1 = OC (B, C không trùng v i g c t a O).
b) Gi s t n t i hình nón ( ) th a mãn các i u ki n sau:
Thi t di n qua tr c là tam giác u c nh a.
Hình c u S1 n i ti p hình nón có bán kính r1.
Hình c u S2 n m trong hình nón, ti p xúc v i t t c các ư ng sinh và ti p
xúc v i hình c u S1; hình c u S3 n m trong trong hình nón, ti p xúc v i t t
c các ư ng sinh và ti p xúc v i hình c u S2; … hình c u S2009 n m trong
hình nón, ti p xúc v i t t c các ư ng sinh và ti p xúc v i hình c u S2008.
G i Vk là th tích c a hình c u Sk ( k ∈ N ,1 ≤ k ≤ 2009 ) và V là th tích c a hình nón .
V1
i) Tính r1 theo a và t s .
V
∑V
2009
ii) Tính k theo a.
k =1
Câu 4: (1,0 i m).
Trong b ng hình vuông g m 10 x 10 ô vuông (10 hàng, 10 c t), ngư i ta vi t vào các ô
v ông các s t nhiên t 1 n 100 theo cách như sau: hàng th nh t, t trái sang ph i,
vi t các s t 1 n 10; hàng th hai, t trái sang ph i, vi t các s t 11 n 20; c như
v y cho n h t hàng th 10. Sau ó c t b ng hình vuông thành nh ng hình ch nh t c
1 x 2 ho c 2 x 1. Tính tích s c a hai s trong m i hình ch nh t r i c ng 50 tích l i.
C n ph i c t b ng hình vuông như th nào t ng tìm ư c nh nh t?
………………….H t………………….
H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:………Phòng thi:………..
Ch ký giám th s 1:…………………………………
Ch ký giám th s 2:…………………………………
1
- S GIÁO D C & ÀO T O THI CH N H C SINH GI I T NH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM H C 2007 – 2008
MÔN TOÁN – L p 12
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao )
Câu 1: (2,5 i m).
e x − e y = x − y
a/ Gi i h phương trình:
log 2 + log 2 4 y = 10
x
3
2
b/ Hãy xác nh s nghi m c a phương trình ( n x) sau:
x − 2008 + x − 2007 = x − 2006
Câu 2: (3,5 i m).
a/ Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các ư ng phân giác trong các góc B,C l n lư t
có phương trình: x – 2y + 1 = 0; x + y + 3 = 0. L p phương trình ư ng th ng ch a
BC.
b/ Trong không gian Oxyz cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0),
( )
B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gi i s M, N là hai i m di ng l n lư t trên o n
th ng AB’ và BD sao cho AM = BN = a 0 < a < 2 .
+) Tính to c a vectơ MN theo a.
+) Tìm a sao cho ư ng th ng ch a MN là ư ng vuông góc chung c a hai
ư ng th ng AB’ và BD.
Câu 3: (2,0 i m).
a/ Tìm nghi m nguyên c a phương trình: 5 x 2 + 2 y 2 + 10 x + 4 y = 6
b/ Các s th c dương x, y, z tho mãn i u ki n: x 2 + y 2 + z 2 = 3 .
xy yz zx
Ch ng minh r ng: + + ≥3
z x y
Câu 4: (2,0 i m).
a/ Cho phương trình: x n + x n+1 + ... + x − 1 = 0, ( x ∈ N * ) . Ch ng minh r ng phương trình
có nghi m dương duy nh t và g i nghi m ó là xn. Tìm limxn khi n → ∞
b/ Trên m t m t cái bánh c m (màu xanh) hình vuông có c nh 7 cm có 51 h i v ng.
Ch ng minh r ng có th v m t ư ng tròn màu bán kính 1 cm trên m t cái bánh
c m ch a ít nh t 3 h t v ng bên trong.
………………….H t………………….
H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:………Phòng thi:………..
Ch ký giám th s 1:…………………………………
Ch ký giám th s 2:…………………………………
2
- S GIÁO D C & ÀO T O THI CH N H C SINH GI I T NH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM H C 2006 – 2007
MÔN TOÁN – L p 12
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao )
Câu 1: (1,5 i m).
( Cm ) .
x 2 + mx − m + 8
Cho hàm s y =
x −1
Tìm trên ư ng th ng i qua i m c c i, i m c c ti u c a th hàm s (Cm) ti p
xúc v i ư ng tròn có phương trình: x 2 + y 2 − 6 x + 2my − 3m 2 + 4m + 5 = 0 .
Câu 2: (1,0 i m).
T nh A có 4 khu công nghi p khác nhau và có 7 doanh nghi p khác nhau m n vào
u tư trong các khu công nghi p ó. T nh A mu n ch n t ó 3 khu công nghi p, 3
doanh nghi p và s p x p m i doanh nghi p vào u tư m t khu công nghi p. (M i
khu công nghi p có úng m t doanh nghi p vào u tư). H i có bao nhiêu cách s p
x p như v y?
Câu 3: (2,0 i m).
x.2 x − 2
a/ Tính gi i h n: lim
x →1 x −1
∫
200π
b/ Tính tích phân: 1 + cos x .dx
0
Câu 4: (2,0 i m).
a/ Tìm t t c các nghi m nguyên (x; y) c a phương trình: 2 x 2 − xy − 7 x + 3 y + 7 = 0
b/ Gi i phương trình: t g (π sinx ) = 3
( x − 1) ( y 2 + 6 ) = y ( x 2 + 1)
c/ Gi i h phương trình:
( y − 1) ( x + 6 ) = x ( y + 1)
2 2
Câu 5: (1,0 i m). M t con ki n xu t phát t nh A mu n leo n nh C’ c a hình l p
phương ABCD.A’B’C’D’. H i con ki n ph i leo theo ư ng nào là ng n nh t; và có
m y ư ng ng n nh t như v y. (Hình l p phương áy ABCD có các m t kín b ng nh a
t trên m t bàn ph ng).
Câu 6: (2,0 i m). Cho t di n OABC có các góc tam di n vuông nh O, P là m t i m
chuy n ng trên áy ABC. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
PA2 PB 2 PC 2
T= + +
OA2 OB 2 OC 2
………………….H t………………….
H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:………Phòng thi:………..
Ch ký giám th s 1:…………………………………
Ch ký giám th s 2:…………………………………
3
- S GIÁO D C & ÀO T O THI CH N H C SINH GI I T NH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM H C 2005 – 2006
MÔN TOÁN – L p 12
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao )
Câu 1: (3,0 i m).
a/ Gi i b t phương trình: x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 5 x + 4 ≥ 2 x 2 − 7 x + 6
b/ Cho Pn ( x ) = x n .sin α − x.sin ( nα ) + sin ( n − 1) α ; Q ( x ) = x 2 − 2 x.cosα + 1. Ch ng minh
r ng Pn(x) chia h t cho Q(x) v i ∀α ∈ R và ∀n ∈ N , n ≥ 2 .
Câu 2: (2,0 i m).
a/ Gi i phương trình: x! + y! + z! = t! (v i x, y, z, t là các s t nhiên)
x π
− 3sinx −1 = −4sin 4 −
2
2 4
b/ Gi i phương trình: 3sin x − sinx
Câu 3: (1,0 i m).
Cho dãy s nguyên dương {an} tho mãn i u ki n: an > an−1.an +1 , ∀n ∈ N * .
11 2 n
2
+ + ... + .
a1 a2 an
Tính gi i h n: lim
x →∞ n
∑ i + 1 Cn = n + 1 . Trong ó ký hi u
n
1 i 2n +1 − 1
Câu 4: (1,5 i m). Ch ng minh r ng:
i =0
∑a
n
i = a1 + a2 + ... + an
Câu 5: (1,0 i m). Cho ư ng tròn tâm O c t ba c nh BC, CA, AB c a tam giác ABC
i =0
tương ng t i A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2. G i x, y, z tương ng là các ư ng th ng i
qua A1, B1, C1 và l n lư t vuông góc v i BC, CA, AB; g i x’, y’, z’ tương ng là các
ư ng th ng i qua A2, B2, C2 và l n lư t vuông góc v i BC, CA, AB. Ch ng minh r ng
n u x, y, z ng quy thì x’, y’, z’ cũng ng quy.
Câu 6: (1,5 i m). Trong m t ph ng to cho ư ng tròn (C) có phương trình:
x 2 + y 2 = 9 . Tìm m trên ư ng th ng y = m có úng 4 i m sao cho t m i i m ó
k ư c úng 2 ti p tuy n n (C) và m i c p ti p tuy n ó t o thành m t góc 450.
………………….H t………………….
H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:………Phòng thi:………..
Ch ký giám th s 1:…………………………………
Ch ký giám th s 2:…………………………………
4
- S GIÁO D C & ÀO T O THI CH N H C SINH GI I T NH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM H C 2004 – 2005
MÔN TOÁN – L p 12
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao )
Câu 1: (2,0 i m).
(C )
1
Cho hàm s y = x +
x
a/ Tìm 2 i m A, B tương ng thu c 2 nhánh c a th (C) sao cho AB ng n nh t.
b/ G i d1, d 2 là c p ti p tuy n song song c a th hàm s (C). Hãy tìm c p ti p tuy n
ó sao cho kho ng cách gi a chúng là l n nh t.
Câu 2: (1,0 i m). Cho I n = ∫ x 2 (1 − x 2 ) .dx, n ∈ N * . Hãy tính lim
1
n I n +1
x →∞ I
0 n
Câu 3: (2,0 i m). Gi s phương trình x 3 − x 2 + ax + b = 0 có 3 nghi m th c phân bi t.
Ch ng minh r ng a 2 + 3b > 0 .
Câu 4: (3,0 i m). Cho t di n SABC. Hai i m I, J th t chuy n ng trên AB, AC
= 3 . Ch ng minh r ng m t ph ng (SIJ) luôn i qua m t ư ng th ng
AB AC
sao cho: +
AI AJ
c nh.
U1 ∈ R
nh như sau:
U n +1 = ln (1 + U n ) − 2005
Câu 5: (2,0 i m). Cho dãy s {Un} xác 1 v i
2
2
n ∈ N * . Ch ng minh r ng dãy s {Un} có gi i h n h u h n.
………………….H t………………….
H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:………Phòng thi:………..
Ch ký giám th s 1:…………………………………
Ch ký giám th s 2:…………………………………
5
- S GIÁO D C & ÀO T O THI CH N H C SINH GI I T NH HƯNG YÊN
HƯNG YÊN NĂM H C 2003 – 2004
MÔN TOÁN – L p 12
Th i gian 180 phút (không k th i gian giao )
Câu 1: (3,0 i m).
ax + b
Cho hàm s y =
x + x +1
2
a/ Tìm a, b hàm s có c c tr .
b/ Tìm a, b hàm s ch có 1 c c i và 1 c c ti u.
c/ V i a = 1, ch ng minh r ng: ∀b ∈ R , th hàm s có 3 i m u n th ng hàng. L p
phương trình ư ng th ng này.
Câu 2: (2,0 i m).
a/ Bi t cos2α = ∫
3π
3
ln 8 2
1− x
.dx . Hãy tìm sinα khi π < α < .
2
2 2
b/ Cho s nguyên m ≥ 2 và cho n ∈ N * . Ch ng minh r ng:
∫ ∑ (cos x ) + n s inx .dx < 4
n
1
n
km 5
0 k =1
Câu 3: (2,0 i m).
a/ Gi i phương trình lư ng giác:
sinx+ sin 2 x + s in 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x
b/ Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta luôn có:
1 C
+ + = t g + tg + tg + cot g .cot g .cot g
1 1 1 A B C A B
sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2
Câu 4: (2,0 i m). Trong không gian v i h to -Các tr c chu n Oxyz cho ư ng
th ng (d) và m t ph ng (P) có phương trình là:
(d ) :
x +1 y −1 z − 3
= =
1 2 −2
( P ) :2 x − 2 y + z − 3 = 0
a/ Tìm to giao i m A c a ư ng th ng (d) v i m t ph ng (P). Tính góc gi a
ư ng th ng (d) và m t ph ng (P).
b/ Vi t phương trình hình chi u vuông góc (d’), c a ư ng th ng (d) trên m t ph ng
(P). L y i m B n m trên ư ng th ng (d) sao cho AB = a, v i a là s dương cho
AB + AM
trư c. Xét ti s v i i m M di ng trên m t ph ng (P). Ch ng t r ng,
BM
t n t i m t v trí M t s ó t giá tr l n nh t và giá tr nh nh t
Câu 5: (1,0 i m). Cho 2 s x, y dương. Ch ng minh r ng:
2001x 2003x
+ ≥ 2001x − y + 2003x − y
2004 y 2000 y
………………….H t………………….
H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:………Phòng thi:………..
Ch ký giám th s 1:…………………………………
Ch ký giám th s 2:…………………………………
6
- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
( Thời gian 180 phút)
Giáo viên:Lê Việt Cường
Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x3 -(3+2m)x2 +5mx
+2m
a). khảo sát hàm số khi m=-1
b) Tìm m để phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m =
0
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2:(5 điểm) Cho phương trình
x x x 12 m 5 x 4 x
a) Giải phương trình khi m = 12
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
2005
1 10 x .2006 1 100 x 1
Bài 3: (4 điểm) Tính Lim
x 0 x
Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình
- log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2
Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD,
ACD, ABD, ABC.
Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4.
CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi
m1+m2+m3+m4 = 16R
3
nguon tai.lieu . vn
