Xem mẫu
- NGUY N CHÁNH TÚ
Khoa Toán, Đ i H c Sư Ph m Hu
Giáo trình đi n t
LÍ THUY T M R NG TRƯ NG VÀ
GALOIS
Hu 12-2006
- D˘ ˆ
˜
¯ AC TÍNH KY THUAT
˙ ˙
ˆ’
• Có the tra cu’u d´ n tu’ng phan cua giáo trình bang cách click vào Bookmarks
` `
’
´ ¯e `
ˆ ˆ ˘
` ’
ˆ
bên le trái cua Acrobat Reader.
• Có siêu kiên ket tham khao chéo và tham chieu d´ n các tài lieu tham khao
´ ´ ¯e
’ ’
ˆ ˆ ˆ ˆ
˙
(305).
• Có siêu liên ket d ˆ’ tra cu’u các thuat ngu’ hoac noi dung cu the bang Chı muc
ˆ’ `
´ ¯e ’
ˆ ´ ˆ ˘ ˆ ˘
˜
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
’´ ˆ
(307) o’ cuoi giáo trình.
ˆ’ ´´ ’
ˆ
• Có the liên ket vo’i trang web chı ra.
• Có siêu liên ket d ˆ’ tham khao nhanh hu’o’ng dan giai cua tu’ng bài tap (250).
´ ¯e ˜
’ ’’
ˆ ´ ˆ ` ˆ
˙
ˆ’ ¯o ˘ ¯o
• Có the d c trên mang, download hoac nhanh chóng in thành giáo trình d c.
˙ ˙ ˙ ˙
• Có the dùng d ˆ’ trình chieu vo’i chu’c nang View|Full Screen.
ˆ’ ´
ˆ ´ ´ ˘
¯e
ii
- MUC LUC
˙ ˙
`
`’ Dˆ
LOI NÓI ¯ AU ix
˜ ’
´’ ˆ
HU’ONG DAN SU’ DUNG xiii
˙
` ’
ˆ
VÀI NÉT VE LICH SU’ 1
˙
’ ’ ¯a ´
a) Lich su’ giai phu’o’ng trình d thu’c . .................. 1
˙
ˆ ¯o ’
b) Cuoc d `’i cua Evariste Galois . . . . .................. 10
˙
ˆ’
´ˆ ´
Chu’o’ng 0 KIEN THU’C CHUAN BI 21
˙
´ cua tru’o’ng.
’
` D˘ ˆ `
0.1 Tru’o’ng. ¯ ac so .................. 22
˙
¯a ´
0.2 Vành d thu’c . . . . . . . .................. 25
iii
- ˆ´ ˆ
0.3 Mot so nhóm hu’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
˜
˙ ˙
0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
˙
’’ ˆ `’
Chu’o’ng 1 MO RONG TRU’ONG 45
˙
’ˆ ˆ’ ’ˆ
` `
§1 Mo’ rong tru’o’ng. Bac cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . ..... 45
˙ ˙ ˙
’ˆ `
1.1 Mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 45
˙
ˆ’ ’ˆ `
1.2 Bac cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . ..... 48
˙ ˙
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 50
˙
’’ rong d ’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mo ˆ ¯o
§2 ..... 53
˙
’
` ˆˆ
2.1 Vành con và tru’o’ng con sinh ra bo’i mot tap . . . . ..... 53
˙˙
´ u trúc cua mo’ rong d ’n . . . . . . . . . . . . .
’ ’ˆ
ˆ ¯o
2.2 Ca ..... 55
˙
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 61
˙
¯a ´
’ˆ ’ˆ ˆ
§3 Mo’ rong hu’u han và mo’ rong d i so . . . . . . . . . . . ..... 69
˜
˙ ˙ ˙ ˙
´ ¯a ´
ˆ’ ’ˆ ’ˆ ˆ
3.1 Tính chat cua mo’ rong hu’u han và mo’ rong d i so ..... 69
˜
˙ ˙ ˙ ˙
iv
- ` ’ ¯a ´ ¯a ´
` ˆ ˆ ` ˆ
¯óng d i so. Bao d¯óng
3.2 Tru’o’ng con các phan tu’ d i so. Tru’o’ng d
˙ ˙
¯a ´ ˆ
d i so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
˙
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
˙
` ’
˘ ´
§4 Du’ng hình bang thu’o’c ke và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77
˙
Ba bài toán du’ng hình co d ˆ’ n . . . . . . . . . . . . . . . .
ˆ’ ¯ie
4.1 77
˙
`u kien can d ˆ’ d giác d ˆ u p canh du’ng d ’o’c bang thu’o’c
` ¯e ¯a ` `
Dˆ ˆ ˆ ˘ ´
¯e ¯u
4.2 ¯ ie ˙ ˙ ˙ ˙
’
ke và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 86
˙
’
` ˆ ¯a ´ D ´ ¯u
§5 Tru’o’ng phân rã cua mot d thu’c. ¯ a thu’c tách d ’o’c ....... 91
˙ ˙
’
`’ng phân rã cua mot d thu’c . . . . . . . .
ˆ ¯a ´
5.1 Tru’o ....... 91
˙
´ ¯u
5.2 ¯ a thu’c tách d ’o’c . . . . . . . . . . . . . . . .
D ....... 98
˙
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 103
˙
´
ˆ
Chu’o’ng 2 LÍ THUYET GALOIS 109
’ ´ ’ ’ˆ
Tu’ d ˘ ng cau và tru’o’ng trung gian cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . 109
ˆ ` `
¯a
§6
˙ ˙
’ ´ ’ ’ˆ
Nhóm các tu’ d ˘ ng cau cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . 110
ˆ `
¯a
6.1
˙ ˙
v
- ’ ’ˆ
` `
6.2 Tru’o’ng trung gian cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . ..... 114
˙
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 120
˙
ˆ’ ˘ ´
’’ rong tách d ’o’c, chuan tac và Galois . . . . . . . . .
Mo ˆ ¯u
§7 ..... 124
˙ ˙
`
’ˆ ’ ’
ˆ
¯u ¯i
7.1 Mo’ rong tách d ’o’c và d nh lí phan tu’ nguyên thuy ..... 124
˙ ˙ ˙
ˆ’ ˆ’ ´
’ ’ˆ ˘
7.2 Tiêu chuan cua mo’ rong Galois và chuan tac . . . ..... 127
˙
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 133
˙
´
’ ’ ˆ
§8 ¯ ˙nh lí co’ ban cua Lí thuyet Galois . . . . . . . . . . .
Di ..... 137
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 151
˙
Mo ´ ´ ´
’
ˆ t so u’ng dung cua Lí thuyet Galois . . . . . . . . . .
ˆ ˆ
§9 ..... 156
˙ ˙
`
9.1 Tru’o’ng hu’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 156
˜
˙
` ¯a ´ ¯u `
9.2 Tru’o’ng và d thu’c chia d ’o’ng tròn . . . . . . . . . ..... 160
` ` ’
¯ a giác d ˆ u du’ng d ’o’c bang thu’o’c ke và compa . .
˘ ´
¯e ¯u
9.3 D ..... 169
˙ ˙
’ ¯a ´
’ ˆ
9.4 ¯ ˙nh lí co’ ban cua d ˙ i so . . . . . . . . . . . . . .
Di ..... 171
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 173
˙
’ ¯a ´
§ 10 Nhóm Galois cua d thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 179
ˆ ´
10.1 Biet thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
˙
vi
- ’ ¯a ´ ˆ
10.2 Nhóm Galois cua d thu’c bac 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181
˙
´’c bac 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˆ
10.3 ¯ a thu ˙
D 184
´ ˆ’
10.4 ¯ a thu’c tong quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 191
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
˙
ˆ’ `
’ ¯u ’ ¯a ´
˘ ˘ ´
§ 11 Tiêu chuan giai d ’o’c bang can thu’c cua d thu’c . . . . . . . . . 201
˙
ˆ’
’ˆ ’ ¯u
˘
11.1 Mo’ rong can và tiêu chuan giai d ’o’c . . . . . . . . . . . . . 201
˙ ˙
´
’ ¯u ’ ¯a ´ ˆ´ ˆ
11.2 Tính không giai d ’o’c cua d thu’c có bac lo’n ho’n bon . . . . 211
˙ ˙
¯a ´ ˆ’
’
ˆ ˘ ´ ˆ
11.3 Nghiem can thu’c cua các d thu’c tong quát có bac không quá 4213
˙ ˙
ˆ
Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
˙
PHU LUC 223
˙ ˙
’ ¯u ¯o
A Nhóm giai d ’o’c và nhóm d ’n . . ............... 223
˙
B ¯ ˙nh lí Sylow và ¯ ˙nh lí Cauchy
Di Di ............... 239
¯a ´ ’
ˆ ˆ `
¯óng d i so cua mot tru’o’ng
C Bao d ............... 242
˙ ˙
`
ˆ
D So’ lu’o’c ve Maple . . . . . . . . ............... 245
˙
˜ ’
´’ ˆ ˆ
HU’ONG DAN GIAI BÀI TAP 250
˙
vii
- ’ ´’
ˆ
BANG KÍ HIEU VÀ QUY U’OC 302
˙
’
ˆ
TÀI LIEU THAM KHAO 305
˙
’
CHI MUC 307
˙
viii
- `
`’ Dˆ
LOI NÓI ¯ AU
´ ´ ¯e ¯e ´ ’ ¯a ´ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Lí thuyet Galois là mot trong nhu’ng lí thuyet d p d ˜ nhat cua d i so, tap ho’p
˜
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
`u kien thu’c và phu’o’ng pháp cua các lınh vu’c toán hoc khác nhau, nham giai
´ `
’ ’
ˆ ˆ ´ ˘
nhie ˜
˙ ˙
quyet các bài toán co d ˆ’ n và nhu’ng van d ˆ quan trong khác cua d i so hien d i.
ˆ’ ¯ie
´ ´ ¯e ` ’ ¯a ´ ˆ ¯a
ˆ ˆ ˆ
˜
˙ ˙ ˙ ˙
’´ ´ ´
’ ’
ˆ ´ ˆ ˆ ˆ
Mot trong nhu’ng u’ng dung chu yeu cua Lí thuyet Galois là giai quyet bài toán
˜
˙ ˙
`
’ a phu’o’ng trình d thu’c, d ˘ c biet chı ra rang phu’o’ng trình ’
ˆ ˘ ´ ¯a ´ ¯a ˆ ˘
tìm nghiem can thu’c cu
˙ ˙ ˙
ˆ’ ’ ¯u
´ ` ´
ˆ´ ˆ ˘ ˘ ´ ˘ ˆ
bac lo’n ho’n bon không the giai d ’o’c bang can thu’c. Mat khác, Lí thuyet Galois cho
˙ ˙ ˙
` ` ’
phép xác d nh d giác d ˆ u n canh du’ng d ’o’c bang thu’o’c ke và compa. Bên canh ˘ ´
¯i ¯a ¯e ¯u
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
ˆ’
´ t Galois lo’i giai cho ba bài toán du’ng hình co
’
ˆ ¯u ` ˆ `
¯ó,
d chúng ta nhan d ’o’c tu’ Lí thuye
˙ ˙ ˙
d ˆ’ n, d là không the (bang thu’o’c ke và compa) chia ba mot góc, gap d hình lap
ˆ’ ` ´ ¯ôi
’
˘ ´ ˆ ˆ ˆ
¯ie ¯ó
˙ ˙
` u phu’o’ng d ’o’ng tròn.
˘ˆ ¯u `
phu’o’ng hoac ca
˙
` ´
’
ˆ ˆ ` `˘
Do tam quan trong cua Lí thuyet Tru’o’ng và Galois mà tu’ nam 1986, môn hoc
˙ ˙
’
ˆ ´
¯ã ¯u ¯ào ¯u
này d d ’o’c Bo Giáo duc và d tao d ’a vào trong chu’o’ng trình chính thu’c cua
˙ ˙ ˙ ˙
’
khoa Toán các tru’o’ng ¯ ai hoc và Cao d ˘ ng, d ˘ c biet là cho khoa Toán các Tru’o’ng
` ˆ `
¯a ¯a
D
˙˙ ˙ ˙
´ ´ ’
ˆ ˆ ´
¯u
Su’ pham. Ho’n the, Lí thuyet Galois cung d ’o’c giang day cho các lo’p Cao Hoc, xem
˜
˙ ˙ ˙ ˙
´ n thu’c co’ ban d ˆ’ tu’ d mo’ rong cho nhu’ng nghiên cu’u lí thuyet và u’ng ´
’ ¯e ` ¯ó ’ ˆ
ˆ ´ ´ ˆ ´
nhu’ kie ˜
˙
´
˘
dung sâu sac ho’n. ix
˙
- ’ ’ ’ ’
Giáo trình này ra d `’i trên co’ so’ bài giang cua tác gia cho sinh viên Khoa Toán,
¯o
´
ˆ´ ´ ’
` ˆ ˘ ˆ
Tru’o’ng ¯ ai hoc su’ pham Hue suot ho’n 10 nam tru’c tiep giang day môn hoc này.
D
˙˙ ˙ ˙ ˙ ˙
ˆ’
¯ó, ’ ’ ¯u ’ ’ ` ´
Trong quá trình d ban thao d ’o’c chınh su’a và bo sung sao cho vu’a phù ho’p vo’i
˙ ˙
`
’ ’
ˆ ` ¯áp ´ ˆ
chu’o’ng trình cua Bo Giáo duc và ¯ ào tao, vu’a d u’ng nhu cau su’ dung các công
D
˙ ˙ ˙ ˙
ˆ’ ˆ’
´ ’ ¯a ´ ´
ˆ ` ˆ ´
cu mo’i cua d i so tính toán, vu’a bo sung nhu’ng kien thu’c liên quan khó có the ˜
˙ ˙
ˆ’ ´ ´´
’ trong mot vài quyen sách tham khao. Vì the, giáo trình ra d `’i, tru’o’c het,
’
ˆ ˆ ˆ
¯u ¯o
tìm d
˙
’
` ` ’ ’
nham d u’ng nhu cau su’ dung cua sinh viên d i hoc, cao d ˘ ng và hoc viên cao
˘ ¯áp ´ ˆ ¯a ¯a
˙ ˙˙ ˙
’ là mot tài lieu tham khao bo ích cho ˆ’
’
ˆ ˆ ˆ
¯ó,
hoc ngành toán. Bên canh d giáo trình có the
˙ ˙ ˙ ˙
ˆ’ ˆ’ ´
’ ˆ
giáo viên pho thông trung hoc và hoc sinh gioi. Ho có the tìm thay trong giáo trình
˙ ˙ ˙
’ ’
˘ ˆ ˆ ˘ ´ ¯a
này co’ so’ toán hoc chat che cho viec tìm nghiem can thu’c cua phu’o’ng trình d
˜
˙ ˙ ˙ ˙
` ´ `
’ ’
´ ˘ ´ ˆ ´ˆ
thu’c, cua các bài toán du’ng hình bang thu’o’c ke và compa, nhu’ng kien thu’c ve lich ˜
˙ ˙
`
’ ´ ˆ ˆ ˆ
su’ toán hoc liên quan. Ngoài ra, giáo trình so’ lu’o’c gio’i thieu ve Maple, mot trong
˙ ˙ ˙ ˙
’´
´ ng tính toán d i so manh me và pho bien nhat hien nay. Thông qua
´ ´
ˆˆ ¯a ˆ ˆˆ ˆ ˆ
nhu’ng he tho
˜ ˜
˙ ˙ ˙ ˙
’ ’˘ ˜’
nhu’ng ví du minh hoa, giáo trình chı ra kha nang tính toán manh me cua Maple
˜
˙ ˙ ˙
ˆ’
cung nhu’ viec ho tro’ d ´ c lu’c cua phan mem này cho các giáo viên pho thông, cho
` `
˜ ’
ˆ ˆ ˘ ˆ ˆ
¯a
˜
˙ ˙ ˙
’
sinh viên và hoc sinh trong hoat d ˆ ng giang day, nghiên cu’u và hoc tap toán. ´ ˆ
¯o
˙ ˙˙ ˙ ˙˙
x
- ´ ¯a ` ´
Giáo trình d ’o’c biên soan trên nguyên tac d ’ m bao d ˆ y d ’ và chat che cua kien
’ ¯a ¯u ˜’
˘ ˘ ˆ
¯u
˙ ˙ ˙
´ D ˆ’ ` ˆ´´
’ ’ˆ ’ ’ ¯a
thu’c. ¯ e làm viec vo’i giáo trình này, d ˆ c gia chı can mot so kien thu’c co’ so’ cua d i
ˆ´ ˆˆ ´
¯o
˙ ˙ ˙ ˙
´ ´ ¯a ´ ¯a ´
ˆ ˆ ˆ ˘ ´ ˆ ´
¯ã
so tuyen tính, lôgic, d i so d i cu’o’ng nhu’ d hoc trong nam thu’ nhat và thu’ hai
˙ ˙ ˙
’ ´
’ a ¯ ai hoc hoac Cao d ˘ ng. Ngoài nhu’ng kien thu’c d nhu’ng khái niem mo’i d ’o’c
˘ ˆ ´ ¯ó, ˆ ´ ¯u
¯a
cu D ˜ ˜
˙˙ ˙ ˙ ˙
´ ` ` ` ´
d nh nghıa và nhu’ng ket qua mo’i d ˆ u d ’o’c chu’ng minh d ˆ y d ’ . Phan kien thu’c
’ ´ ¯e ¯u
ˆ ´ ˆ ˆ ´
¯i ¯a ¯u
˜ ˜
˙ ˙
’ sung, neu chu’a d ’o’c hoc trong nhu’ng nam d ˆ u tiên cua chu’o’ng trình ¯ ai hoc,
´ ` ’
ˆ ˆ ˘
¯u ¯a
bo D
˜
˙ ˙ ˙˙
’ ´ ´ ˆ´
˜ˆ
˘ ng, se d ’o’c gio’i thieu chi tiet trong Phu luc. Cuoi moi tiet (§), giáo trình
´ ˆ ˆ ˆ
¯a ˜ ¯u
Cao d
˙ ˙ ˙˙
cung cap mot he thong phong phú các bài tap tu’ de d´ n khó, bat d ˆ u tu’ bài trac
´ ˆˆ´ ´ ¯a ` ` ´
˜ˆ
ˆ ˆ ˆ ` ˆ ¯e ˘ ˘
˙˙ ˙
´ ` ’´ ´ ´
nghiem lí thuyet nham giúp d ˆ c gia nam mot cách chac chan nhu’ng khái niem và
ˆ ˆ ˘ ˘ ˆ ˘ ˘ ˆ
¯o ˜
˙ ˙ ˙ ˙
´ ’´ ` ` ` `
˜
’ ’ ¯a
ket qua chu yeu. Gan 150 bài tap trong giáo trình d ˆ u có phan hu’o’ng dan giai d ˆ y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ
¯e
˙
ˆ’ ´’ `
˜
’ trong no lu’c giúp d ˆ c gia có the tu’ hoc. Qua thu’c te giang day, tác gia cho rang
’ ’
ˆ ˆ ˘
¯u ¯o
d
˙ ˙ ˙˙ ˙ ˙
’ ¯a
ˆ ˆ ` `
viec day-hoc toán hien nay nói chung, o’ d i hoc nói riêng, ngu’o’i day và ngu’o’i hoc
˙ ˙ ˙ ˙ ˙˙ ˙ ˙
` ` `
˜ ˜
’’
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
can khai thác su’ ho tro’ hieu qua cua các phan mem toán hoc. Có su’ ho tro’ này,
˙ ˙˙ ˙ ˙ ˙
’ i tích cu’c và chat lu’o’ng giáo duc d ’o’c cai thien rõ
´ ’
viec day-hoc có nhu’ng thay d ˆ
ˆ ˆ ˆ
¯o ¯u
˜
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
´ ´ ´ ´
’˘ ’
ˆ ´ ˆ ˘ ˆ ´ ˆ ˆ
ret. Cùng vo’i viec nam vu’ng kien thu’c lí thuyet, có kha nang giai quyet các bài
˜
˙ ˙
` ´’ ` ` ˜
´ ` ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯ích
toán u’ng dung, ngu’o’i hoc can biet su’ dung các phan mem ho tro’ cho các muc d
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
xi
- ˆ’ ` ´ ’
ˆ ˆ ´ ´ ¯ây
tính toán cu the. Có nhieu tính toán rat khó và phu’c tap tru’o’c d nay tro’ nên
˙ ˙
` ` `
’ ’
´ ˆ ˆ ˆ ¯ó,
¯o
vô cùng d ’n gian vo’i su’ tro’ giúp cua các phan mem toán hoc. Trên tinh than d
˙˙ ˙
’ ˆ’
’’ nhu’ng vi trí thích ho’p, tác gia bo sung các lenh và ví du minh hoa cho viec su’ ’
ˆ ˆ
o ˜
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
dung Maple.
˙
D ˆ’ ` ´ˆ
˜
’ ¯ã ’
ˆ ¯u ˆ ˆ ˆ
¯ e hoàn thành giáo trình này, tác gia d nhan d ’o’c su’ ho tro’ cua nhieu the he
˙ ˙˙ ˙ ˙
’
ˆ c phát hien, su’a chu’a sai sót trong giáo
ˆ
sinh viên và hoc viên cao hoc trong vie ˜
˙ ˙ ˙ ˙
` ` ` ` ´
trình. Nhieu thay cô, d ˆ ng nghiep và ban bè cung d d
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
¯o ¯ã ¯óng góp nhieu ý kien quý
˜
˙ ˙
`
’
báu trong quá trình biên soan. Nhân dip giáo trình này ra d `’i, tác gia, mot lan ˆˆ
¯o
˙ ˙ ˙
nu’a, go’i lo’i cam o’n sâu sac d´ n các thay cô, d ˆ ng nghiep, ban bè và sinh viên ve
´ ¯e ` ` `
’`’ ˘ ˆ ˆ ˆ ˆ
¯o
˜
˙ ˙
¯o
nhu’ng giúp d ˜’ vô giá trên.
˜
ˆ’
¯ã ´ ˘ ˆ´ ´
’
˘ ˆ
Mac dù d co gang, giáo trình này không the tránh khoi nhu’ng thieu sót. Tác ˜
˙
´ ´ ´ ¯óng góp, bình luan và nhu’ng
’ ˆ ˆ ˆ ¯u ˆ ˆ
gia vô cùng biet o’n neu nhan d ’o’c nhu’ng ý kien d ˜ ˜
˙ ˙ ˙
´ ¯óng góp, trao d ˆ’ i
`
˜ ’ ¯o ’ˆ
phát hien loi trong giáo trình này cua d ˆ c gia gan xa. Moi ý kien d
ˆˆ ˆ ¯o
˙ ˙ ˙
` ˜
’ ˆ ¯i ’ ˆ `
xin gu’i ve d a chı : TS. Nguyen Chánh Tú, Khoa Toán, Tru’o’ng ¯ ai hoc su’ pham D
˙ ˙˙ ˙
´ , 32 Lê Lo’i, Thành pho Hue, email: nctu2000@yahoo.com.
´ ´
ˆ ˆ ˆ
Hue
˙
´ˆ ˘
Hue ngày 25 tháng 4 nam 2007.
xii
- ˜ ’
´’ ˆ
HU’ONG DAN SU’ DUNG
˙
´ ` ´ ´ `
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Lí thuyet Galois có nhieu cách tiep can khác nhau. Mot cách tiep can có nhieu
˙ ˙ ˙
’ m là trình bày Lí thuyet Galois trên co’ so’ Lí thuyet mo’ rong tru’o’ng. Quan
´ ´
’ ’ˆ
u’u d ˆ ˆ ˆ `
¯ie
˙
d ˆ’ m d cua Bo Giáo duc và d tao d ’o’c chúng tôi thong nhat trong viec biên ´ ´
¯ó ’ ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ie ¯ào ¯u
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
´ t mo’ rong tru’o’ng và
’ˆ
´ ´ ˆ `
soan giáo trình này. Giáo trình có 2 chu’o’ng, u’ng vo’i Lí thuye
˙ ˙
´ ´
˜
ˆ ˆ ˆ ´ ´ `
¯u
Lí thuyet Galois. Moi chu’o’ng d ’o’c chia ra thành các tiet (§) tu’o’ng u’ng vo’i 4-5 gio’
˙
ˆ’ ˆ’
` ´
ˆ ´ ˆ ˆ ´
hoc tap trên lo’p. Ngoài ra, giáo trình có bo sung phan Kien thu’c chuan bi (Chu’o’ng
˙˙ ˙
` m nhac lai nhu’ng kien thu’c cu chu yeu có liên quan sau này. Giáo trình co
´ ´ ’´ ´
˘ ˘ ˆ ´˜ ˆ ˆ
0), nha ˜
˙
´ ´
ˆ’ ’
˘ ´ ˆ ˆ
gang trình bày theo thu’ tu’ ho’p lí nhat cua viec giang day-hoc tap môn hoc. Tuy
˙˙ ˙ ˙ ˙˙ ˙
’’
’ có the su’ dung theo mot thu’ tu’ phù ho’p khác.
¯ích mà d ˆ c gia ˆ ˆ ´
¯o
nhiên tùy theo muc d
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
` ´ ´ ¯o ` ´
ˆ’ ’ˆ ’
Sau khi d c xong phan lí thuyet cua tiet, d ˆ c gia can tu’ mình giai quyet các bài
ˆ ˆ ˆ
¯o
˙ ˙ ˙
’
´ i tiet và tra lo’i bài tap trac nghiem (có the tham khao phan hu’o’ng dan, neu
´ ´ ` ´
˜
’` ’
tap cuo ˆ
ˆ ˆ ˆ ˘ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ˆ
˙ ˙ ˙
can). Các bài tap d ’o’c sap xep tu’ de d´ n khó ; nhu’ng bài tap (*) d ho’i su’ tu’ duy
` ´ ´ ˜ˆ
ˆ ˆ ¯u ˘ ˆ ` ˆ ¯e ˆ ¯òi
˜
˙ ˙ ˙ ˙
´ ` ’ ’
cao ho’n. Nhu’ d trình bày, neu có d ˆ u kien, d ˆ c gia nên khai thác su’ dung Maple
ˆ ˆ
¯ã ¯ie ¯o
˙ ˙ ˙
’ trong giáo trình.
ˆ ˆ
thông qua các ví du và noi dung cu the
˙ ˙ ˙
´ ´ ’ ¯a ´ ¯a
’
` ˆ ´ ˘ ˆ
Tu’ (§ 8), giáo trình su’ dung thêm các kien thu’c sâu sac ho’n cua d i so d i cu’o’ng.
˙ ˙ ˙
xiii
- ´ ´
ˆ ´ ˆ
¯u
Nhu’ng kien thu’c này d ’o’c trình bày chi tiet trong Phu luc.
˜
˙ ˙˙
’ ˆ’ ¯e ¯u ¯ánh so theo tu’ng tiet, ví du “Menh d ˆ
`, he qua, bo d ˆ d ’o’c d
` ´ ´ `
Các d nh lí, menh d ˆ ˆ
ˆ ˆ ` ˆ ˆ
¯i ¯e ¯e
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
` `
˜
2.3” nam trong § 2 và d ’o’c trích dan là “Menh d ˆ 2.3” hoac gon ho’n là “2.3”. Các
˘ ˆ ˆ ˘
¯u ¯e
˙ ˙ ˙˙
´ tu’ d ˆ u d´ n cuoi giáo trình ve bên phai,
` ¯e ´ ` ’
´ ˘ ¯u ¯ánh so ` ¯aˆ ˆ ˆ ˆ
công thu’c hoac phu’o’ng trình d ’o’c d
˙ ˙
ví du
˙
Df = −4p3 − 27q 2 (1)
` ` ´
˜
d ’o’c trích dan là “(1)”. Riêng phan Phu luc, moi d nh lí, menh d ˆ ,...d ’o’c d
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯u ¯i ¯e ¯u ¯ánh so
˙ ˙˙ ˙˙ ˙ ˙
` `
˜
vo’i mot chu’ cái d ´’ng tru’o’c, ví du “Menh d ˆ A.2.” d ’o’c trích dan là “Menh d ˆ A.2.”
´ ˆ ´ ˆ ˆ ˆ
¯u ¯e ¯u ¯e
˜
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
’ ’ ’
ˆ
¯o
hay d ’n gian là “A.2.”. Giáo trình có bang các kí hieu su’ dung trong giáo trình và
˙ ˙
` n Chı Muc (307) (Index) nham giúp d ˆ c gia de dàng tra cu’u d ’o’c noi dung khái
` ˜
’ ’ˆ
ˆ ˘ ´ ¯u ˆ
¯o
pha
˙ ˙ ˙˙
´ ` ´
ˆ ˘ ˆ ´ˆ ˆ
niem hoac kien thu’c can thiet.
˙ ˙
xiv
- ` ’
ˆ
VÀI NÉT VE LICH SU’ 1
˙
’ ’ ´
A) LICH SU’ GIAI PHU’ONG TRÌNH ¯ A THU’C ’ D
˙
` ’
` ˘ ˆ ¯a ´ ˆ ¯ã ¯u
Ngày nay, ngu’o’i ta tin rang, viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac hai d d ’o’c các
˙ ˙ ˙
ˆ’ ¯a
nhà toán hoc co d i Babilon quan tâm cách d gan 4000 nam. Nhu’ng tam d ´ t sét ` ´
¯ây ˆ ˘ ˆ ˆ
¯a
˜
˙ ˙
´ `
’
ˆ ˆ ˘ ˆ
¯a ¯u
có niên d i 1600 BC d ’o’c tìm thay cua nen van minh Babilon còn ghi lai viec tìm
˙ ˙ ˙ ˙
ˆ’
’ ’
ˆ ˆ `
nghiem cua nhu’ng phu’o’ng trình bac hai cu the. Tuy nhiên, nhu’ng lo’i giai trên
˜ ˜
˙ ˙ ˙
` ng phu’o’ng pháp hình hoc và do d chı liên quan d´ n nhu’ng phu’o’ng
’˘ ¯ó ’ ˆ
¯u ¯e
d ’o’c mô ta ba ˜
˙ ˙
ˆ´´
ˆ ˆ
trình bac hai có he so lo’n ho’n 0.
˙ ˙
Nhu’ng phu’o’ng pháp hình hoc d ˆ’ giai phu’o’ng trình bac hai tiep tuc d ’o’c nhà ´
¯e ’ ˆ ˆ ¯u
˜
˙ ˙ ˙ ˙
toán hoc vı d i Hy Lap Euclid (325 BC-265 BC) d ˆ cap d´ n. Mãi d´ n the kı thu’ 7, ` ´’ ´
¯e ˆ ¯e ˆ ˆ ˆ
˜ ¯a ¯e
˙ ˙´ ˙ ˙
ˆ Dˆ ’
´ ˆ
nhà toán hoc An ¯ o Brahmagupta (598-665), mo’i trình bày mot cách giai phu’o’ng
˙ ˙ ˙
ˆ’
´ ´ ’ ¯a ´
’
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
¯ánh dau su’ phát trien cua d i so.
trình bac hai có su’ dung so âm và các kí hieu, d
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
` `
Viec xét mot cách d ˆ y d ’ nghiem cua phu’o’ng trình bac hai bang phu’o’ng pháp
’
ˆ ˆ ˆ ˆ ˘
¯a ¯u
˙ ˙ ˙ ˙
ˆ’
¯a ´ ’ ¯u ’
ˆ ˆ
d i so chı d ’o’c thu’c hien bo’i các nhà toán hoc Arab, tiêu bieu là al-Khwarizmi
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
` ’´
1 ’
ˆ ˆ `
¯u
Thông tin trong phan này d ’o’c tham khao chu yeu tu’ [5] và [7].
˙
- ` ’’
ˆ
2 Vài nét ve lich su
˙
(780-880). Tuy nhiên, các nhà toán hoc Arab lai chu’a biet d´ n so âm, do d trong
´ ¯e ´
ˆˆ ˆ ¯ó
˙ ˙
´ ’
ˆ ¯ã
cuon sách cua mình có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”, al-Khwarizmi d phân
´
ˆ ´ ´ ˆ
thành 6 loai phu’o’ng trình bac hai, u’ng vo’i 6 chu’o’ng trong cuon sách và trình
˙ ˙
´ ` ˆ ¯a ´
`
’
bày cách giai cho tu’ng loai. ¯ ây d ’c xem là cuon sách d ˆ u tiên ve d i so và tu’
` ˆ ˆ `
¯uo ¯a
D
˙ ˙ ˙
ˆ’
¯a ´ ´ D´ ´
’
“Algebra” (d i so) ra d `’i tu’ tên cua cuon sách này. ¯ en nam 1145, cuon sách noi
ˆ ¯o ` ˆ ˆ ˘ ˆ
˙
´ ng cua nhà toán hoc Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136)
’
ˆ
tie
˙
´ t ban o’ châu Âu có tên Latinh là “Liber ambadorum” cung trình bày d ˆ y `
’’
ˆ
¯u ¯a
d ’o’c xua ˜
˙
d ’ nghiem cua các phu’o’ng trình bac hai.
’
ˆ ˆ
¯u
˙ ˙
` ´
’ ¯a ’ ’
Tru’o’ng phái toán hoc Italy kho’i d ˆ u khoang nam 1500 vo’i cuon sách cua Luca
` ˘ ´ ˆ
˙
Pacioli (1445-1517) xuat ban nam 1494, d ’o’c biet d´ n vo’i tên viet tat là “Suma”,
´ ´ ¯e ´´
’
ˆ ˘ ˆˆ ´ ˆ˘
¯u
˙
´˘
ˆ`
’’
¯ó ` ˆ ¯u ˜ ¯a
trong d lo’i giai cua phu’o’ng trình bac hai d ’o’c trình bày chi tiet bang ngôn ngu’ d i
˙ ˙ ˙
so hien d i. Pacioli không d ˆ cap d´ n viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac ba nhu’ng
´ ˆ ¯a ` ’
ˆ ¯e ˆ ¯e ˆ ˆ ¯a ´ ˆ
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
´ c d´ n viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac bon. Ông viet, theo ngôn ngu’
´ ´
’
˘ ˆ ˆ ¯a ´ ˆˆ ˆ
ông lai nha ¯e ˜
˙ ˙ ˙
ˆ´ `
’ ¯a ´
cua d i so ngày nay, “phu’o’ng trình bac bon x4 = a + bx2 giai d ’o’c bang phu’o’ng ’ ¯u
ˆ ˘
ˆ
˙ ˙ ˙
´ i vo’i phu’o’ng trình bac hai, nhu’ng các phu’o’ng trình x4 + ax2 = b và
pháp nhu’ d ˆ ´ ˆ
¯o
˙
x4 + a = bx2 thì không the’ giai d ’o’c”. ˆ ’ ¯u
˙
Nguyen Chánh Tú
˜
ˆ
- ` ’’
ˆ
Vài nét ve lich su 3
˙
` ’
Ngu’o’i d ˆ u tiên tìm d ’o’c nghiem cua phu’o’ng trình d thu’c bac ba là Scipione
` ¯a ˆ ¯a ´ ˆ
¯u
˙ ˙ ˙
’ i tieng cua ¯ ai hoc Bologna, Italy. Ferro tìm
´ ’D
del Ferro (1465-1526), mot giáo su’ no ˆ
ˆ ˆ
˙ ˙˙
´ ´ ´
d ’o’c nghiem can thu’c cua phu’o’ng trình x3 + mx = n. Tat nhiên, neu biet su’
’ ’
ˆ ˘ ´ ˆ ˆ ˆ
¯u
˙ ˙ ´ Dˆ
ˆ
´ ’
ˆ ˆ ´ ˆ ¯ó
dung khái niem so âm cua các nhà toán hoc An ¯ o, thì công thu’c nghiem d là
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
d ’ d ˆ’ giai tat ca các dang cua phu’o’ng trình bac ba. Tuy nhiên, lúc bay gio’, Ferro
¯u ¯e ’ ´ ’ ´
’
ˆ ˆ ˆ `
˙ ˙
´ ¯ie ¯ó.
` ’ ¯u
không biet d ˆ u d Ferro giai d ’o’c phu’o’ng trình bac ba nêu trên vào nam 1515,
ˆ ˆ ˘
˙ ˙
nhu’ng giu’ bí mat cho d´ n tru’o’c lúc qua d `’i nam 1526 mo’i tiet lo cho mot ngu’o’i hoc´´ˆ
ˆ ˆ ´ ¯o ˘ ˆ ˆ `
¯e
˜
˙ ˙ ˙ ˙
’ ˆ ` ` ˆ
trò cua mình là Antonio Fior. Fior là mot ngu’o’i hoc toán bình thu’o’ng và ngay lap
˙ ˙ ˙
` ` ``
’ lo’i giai cua thay mình ra ngoài. Tin d ˆ n ve lo’i giai cua phu’o’ng trình
’’ ’’
tu’c làm rò rı `
´ ˆ ˆ
¯o
´
ˆ ˆ ˘ ˆ ˆ
bac ba lan rong khap Bologna và các vùng lân can, kích thích nhà toán hoc nghiep
˙ ˙ ˙ ˙2 ˙
’ i cua phu’o’ng trình x3 + mx = n
’
`
du’ Niccolo Fontana(1499-1557) tìm ra lo’i gia
không lâu sau d N. Fontana (d ’o’c biet d´ n vo’i tên Tartaglia) quyet d nh công
´ ¯e ´ ¯i
ˆˆ ´ ˆ
¯ó. ¯u
˙ ˙
ˆ’
bo thành công cua mình. Mot cuoc thách d´ khoa hoc no ra giu’a Tartaglia và Fior
´ ’
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯o ˜
˙ ˙ ˙
˜
’ a cuoc thi d ’n gian là moi ngu’o’i se d ’a ra 30 phu’o’ng trình bac
’
˘ ˆ ˆ ˆ ` ˜ ¯u ˆ
¯o
nam 1535. Luat cu
˙ ˙ ˙
ba cho d´ i thu, hen trong 50 ngày, ai giai d ’o’c nhieu ho’n thì thang. Tat ca các ` ´ ´
’ ’ ¯u ˆ’
ˆ ˆ ˘
¯o
˙ ˙
`u có dang x3 + mx = b và Fior tin
phu’o’ng trình mà Fior d ’a ra cho Tartaglia d ˆ
¯u ¯e
˙
Nguyen Chánh Tú
˜
ˆ
- ` ’’
ˆ
4 Vài nét ve lich su
˙
Hình 1: Chân dung Tartaglia
ˆ’ ’ ¯u
´ ´
˘ ´ ` ˆ
chac là Tartaglia không the giai d ’o’c. Tru’o’c tho’i han cuoi cùng 8 ngày, Tatarlia
˙ ˙
ˆ’ ’´ ˆ’ ˆ ´
¯ã ¯u
d tìm d ’o’c phu’o’ng pháp tong quát giai tat ca phu’o’ng trình bac ba. Tru’o’c công
˙ ˙
’’
` ` ˆ
¯u ¯u
chúng, Tartaglia d ’a ra lo’i giai cua 30 bài toán trong vòng 2 gio’ và d ’o’c công nhan
˙ ˙
´ ´` ´
’
` ˘ ˆ ˆ ˆ
là ngu’o’i thang cuoc. Tuy nhiên, ông không công bo lo’i giai chi tiet.
˙
Chien thang cua Tartaglia lan d´ n Milan, kích thích mot nhà toán hoc nghiep
´ ´ ’
ˆ ˘ ˆ ˆ ˆ
¯e
˙ ˙ ˙
ˆ ´ `
du’ khác, bác sı Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lap tu’c mo’i Tartaglia
˜
˙
Nguyen Chánh Tú
˜
ˆ
- ` ’’
ˆ
Vài nét ve lich su 5
˙
d´ n tham Milan vào nam 1539 và tìm cách thuyet phuc Tartaglia tiet lo lo’i giai
´ ´ ˆ` ’
ˆ ˘ ˘ ˆ ˆ
¯e
˙ ˙
` ’
phu’o’ng trình bac ba cho mình. Tartaglia d ˆ ng ý vo’i giao u’o’c Cardano phai giu’
ˆ ´ ´
¯o ˜
˙
bí mat ve lo’i giai cho d´ n khi Tartaglia tu’ mình xuat ban công trình d Nhu’ng
` ´
’ ’
ˆ ˆ` ˆ ˆ
¯e ¯ó.
˙ ˙
ˆ ´ ¯ã ¯u
’’
´ ` ˆ ˆ
Cardano không giu’ giao u’o’c, lo’i giai cua phu’o’ng trình bac ba và bac bon d d ’o’c
˜
˙ ˙ ˙
ˆ’ ˆ’ ´
´ ´ ´
’ ’
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
xuat hien chi tiet trong quyen sách “Ars Magna” noi tieng cua Cardano, xuat ban
˙
´
’ ˆ’
˘ ´ ˆ ˆ
nam 1545. Tartaglia vô cùng tu’c gian và trong mot bài báo cua mình xuat ban sau
˙ ˙
’ ’ ’ ˆ’
˘
¯ó, ¯i
d Tartaglia khang d nh lai công lao cua mình và lên án su’ phan boi cua Cardano.
˙ ˙ ˙ ˙
´ ´ ` ´ ´ ˆ ¯a ´ `
Trong “Ars Magna”, cuon sách tieng Latinh d ˆ u tiên trên the gio’i ve d i so,
ˆ ˆ ˆ ˆ
¯a
˙
Cardano có d ˆ cap d´ n công lao cua Tartaglia chính là tác gia cua công thu’c
` ’ ’’
¯e ˆ ¯e ˆ ´
˙
`
’ ’
ˆ ˆ ˘ ˆ ´
nghiem cua phu’o’ng trình bac ba, nhu’ng ông cung giai thích thêm rang viec chu’ng
˜
˙ ˙ ˙
´
’ ’ ’
´˜ ` ˆ
minh công thu’c cung nhu’ trình bày lo’i giai chi tiet là cua ông cùng các hoc trò cua
˙
´ ` `
’ ’
mình. ¯ ac biet, cuon sách cua Cardano lan d ˆ u tiên trình bày lo’i giai cho 20 loai
D˘ ˆ ˆ ˆ ¯a `
˙ ˙ ˙
ˆ´ `
’
phu’o’ng trình d thu’c bac bon. Các lo’i giai này d ˆ u có chung phu’o’ng pháp là tìm
¯a ´ ˆ ` ¯e
˙
’ a mot phu’o’ng trình phu bac ba (ngày nay ta goi là giai thu’c bac ba),
’ ´ ˆ
ˆ ˆ ˆ
nghiem cu
˙ ˙ ˙˙ ˙ ˙
roi su’ dung nó d ˆ’ giai phu’o’ng trình bac bon d cho. Tác gia cua ket qua này là
` ˆ ´ ¯ã ´
ˆ’ ¯e ’ ’’ ’
ˆ ˆ
˙ ˙
Nguyen Chánh Tú
˜
ˆ
- ` ’’
ˆ
6 Vài nét ve lich su
˙
Hình 2: Chân dung G. Cardano
´´ ´’
ˆ ˆ˘ ˆ
Lodovico Ferari (1522-1565), mot trong nhu’ng hoc trò xuat sac nhat cua Cardano.
˜
˙ ˙
Mot lí do nu’a d ˆ’ giai thích cho quyet d nh cua Cardano là ông phát hien ra rang
´ ¯i `
˜ ¯e ’ ’
ˆ ˆ ˆ ˘
˙ ˙ ˙
` ¯ã ’ ¯u ˆ ´ ¯ó ˘
Ferro là ngu’o’i d giai d ’o’c các phu’o’ng trình bac ba tru’o’c d 30 nam.
˙ ˙
`n cam hu’ng cho nhieu nhà toán hoc trên the
` ´
¯o ’ ’
Su’ ra d `’i cua Ars Magna truye ˆ ´ ˆ ˆ
˙ ˙
´´ `
ˆ ´ ˆ ¯a ´
gio’i tiep tuc nghiên cu’u ve phu’o’ng trình d thu’c nhu’ Bombelli (1526-1572, Italy),
˙
Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh),
Nguyen Chánh Tú
˜
ˆ
nguon tai.lieu . vn