Xem mẫu

  1. NGUY N CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đ i H c Sư Ph m Hu Giáo trình đi n t LÍ THUY T M R NG TRƯ NG VÀ GALOIS Hu 12-2006
  2. D˘ ˆ ˜ ¯ AC TÍNH KY THUAT ˙ ˙ ˆ’ • Có the tra cu’u d´ n tu’ng phan cua giáo trình bang cách click vào Bookmarks ` ` ’ ´ ¯e ` ˆ ˆ ˘ ` ’ ˆ bên le trái cua Acrobat Reader. • Có siêu kiên ket tham khao chéo và tham chieu d´ n các tài lieu tham khao ´ ´ ¯e ’ ’ ˆ ˆ ˆ ˆ ˙ (305). • Có siêu liên ket d ˆ’ tra cu’u các thuat ngu’ hoac noi dung cu the bang Chı muc ˆ’ ` ´ ¯e ’ ˆ ´ ˆ ˘ ˆ ˘ ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ’´ ˆ (307) o’ cuoi giáo trình. ˆ’ ´´ ’ ˆ • Có the liên ket vo’i trang web chı ra. • Có siêu liên ket d ˆ’ tham khao nhanh hu’o’ng dan giai cua tu’ng bài tap (250). ´ ¯e ˜ ’ ’’ ˆ ´ ˆ ` ˆ ˙ ˆ’ ¯o ˘ ¯o • Có the d c trên mang, download hoac nhanh chóng in thành giáo trình d c. ˙ ˙ ˙ ˙ • Có the dùng d ˆ’ trình chieu vo’i chu’c nang View|Full Screen. ˆ’ ´ ˆ ´ ´ ˘ ¯e ii
  3. MUC LUC ˙ ˙ ` `’ Dˆ LOI NÓI ¯ AU ix ˜ ’ ´’ ˆ HU’ONG DAN SU’ DUNG xiii ˙ ` ’ ˆ VÀI NÉT VE LICH SU’ 1 ˙ ’ ’ ¯a ´ a) Lich su’ giai phu’o’ng trình d thu’c . .................. 1 ˙ ˆ ¯o ’ b) Cuoc d `’i cua Evariste Galois . . . . .................. 10 ˙ ˆ’ ´ˆ ´ Chu’o’ng 0 KIEN THU’C CHUAN BI 21 ˙ ´ cua tru’o’ng. ’ ` D˘ ˆ ` 0.1 Tru’o’ng. ¯ ac so .................. 22 ˙ ¯a ´ 0.2 Vành d thu’c . . . . . . . .................. 25 iii
  4. ˆ´ ˆ 0.3 Mot so nhóm hu’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ˜ ˙ ˙ 0.4 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ˙ ’’ ˆ `’ Chu’o’ng 1 MO RONG TRU’ONG 45 ˙ ’ˆ ˆ’ ’ˆ ` ` §1 Mo’ rong tru’o’ng. Bac cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . ..... 45 ˙ ˙ ˙ ’ˆ ` 1.1 Mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 45 ˙ ˆ’ ’ˆ ` 1.2 Bac cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . . . . . . ..... 48 ˙ ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 50 ˙ ’’ rong d ’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mo ˆ ¯o §2 ..... 53 ˙ ’ ` ˆˆ 2.1 Vành con và tru’o’ng con sinh ra bo’i mot tap . . . . ..... 53 ˙˙ ´ u trúc cua mo’ rong d ’n . . . . . . . . . . . . . ’ ’ˆ ˆ ¯o 2.2 Ca ..... 55 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 61 ˙ ¯a ´ ’ˆ ’ˆ ˆ §3 Mo’ rong hu’u han và mo’ rong d i so . . . . . . . . . . . ..... 69 ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ¯a ´ ˆ’ ’ˆ ’ˆ ˆ 3.1 Tính chat cua mo’ rong hu’u han và mo’ rong d i so ..... 69 ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ iv
  5. ` ’ ¯a ´ ¯a ´ ` ˆ ˆ ` ˆ ¯óng d i so. Bao d¯óng 3.2 Tru’o’ng con các phan tu’ d i so. Tru’o’ng d ˙ ˙ ¯a ´ ˆ d i so. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 ˙ ` ’ ˘ ´ §4 Du’ng hình bang thu’o’c ke và compa . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ˙ Ba bài toán du’ng hình co d ˆ’ n . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ’ ¯ie 4.1 77 ˙ `u kien can d ˆ’ d giác d ˆ u p canh du’ng d ’o’c bang thu’o’c ` ¯e ¯a ` ` Dˆ ˆ ˆ ˘ ´ ¯e ¯u 4.2 ¯ ie ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ke và compa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 86 ˙ ’ ` ˆ ¯a ´ D ´ ¯u §5 Tru’o’ng phân rã cua mot d thu’c. ¯ a thu’c tách d ’o’c ....... 91 ˙ ˙ ’ `’ng phân rã cua mot d thu’c . . . . . . . . ˆ ¯a ´ 5.1 Tru’o ....... 91 ˙ ´ ¯u 5.2 ¯ a thu’c tách d ’o’c . . . . . . . . . . . . . . . . D ....... 98 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 103 ˙ ´ ˆ Chu’o’ng 2 LÍ THUYET GALOIS 109 ’ ´ ’ ’ˆ Tu’ d ˘ ng cau và tru’o’ng trung gian cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . 109 ˆ ` ` ¯a §6 ˙ ˙ ’ ´ ’ ’ˆ Nhóm các tu’ d ˘ ng cau cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . . . . 110 ˆ ` ¯a 6.1 ˙ ˙ v
  6. ’ ’ˆ ` ` 6.2 Tru’o’ng trung gian cua mo’ rong tru’o’ng . . . . . . ..... 114 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 120 ˙ ˆ’ ˘ ´ ’’ rong tách d ’o’c, chuan tac và Galois . . . . . . . . . Mo ˆ ¯u §7 ..... 124 ˙ ˙ ` ’ˆ ’ ’ ˆ ¯u ¯i 7.1 Mo’ rong tách d ’o’c và d nh lí phan tu’ nguyên thuy ..... 124 ˙ ˙ ˙ ˆ’ ˆ’ ´ ’ ’ˆ ˘ 7.2 Tiêu chuan cua mo’ rong Galois và chuan tac . . . ..... 127 ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 133 ˙ ´ ’ ’ ˆ §8 ¯ ˙nh lí co’ ban cua Lí thuyet Galois . . . . . . . . . . . Di ..... 137 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 151 ˙ Mo ´ ´ ´ ’ ˆ t so u’ng dung cua Lí thuyet Galois . . . . . . . . . . ˆ ˆ §9 ..... 156 ˙ ˙ ` 9.1 Tru’o’ng hu’u han . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 156 ˜ ˙ ` ¯a ´ ¯u ` 9.2 Tru’o’ng và d thu’c chia d ’o’ng tròn . . . . . . . . . ..... 160 ` ` ’ ¯ a giác d ˆ u du’ng d ’o’c bang thu’o’c ke và compa . . ˘ ´ ¯e ¯u 9.3 D ..... 169 ˙ ˙ ’ ¯a ´ ’ ˆ 9.4 ¯ ˙nh lí co’ ban cua d ˙ i so . . . . . . . . . . . . . . Di ..... 171 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 173 ˙ ’ ¯a ´ § 10 Nhóm Galois cua d thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 179 ˆ ´ 10.1 Biet thu’c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 ˙ vi
  7. ’ ¯a ´ ˆ 10.2 Nhóm Galois cua d thu’c bac 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 181 ˙ ´’c bac 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ 10.3 ¯ a thu ˙ D 184 ´ ˆ’ 10.4 ¯ a thu’c tong quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 191 ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 ˙ ˆ’ ` ’ ¯u ’ ¯a ´ ˘ ˘ ´ § 11 Tiêu chuan giai d ’o’c bang can thu’c cua d thu’c . . . . . . . . . 201 ˙ ˆ’ ’ˆ ’ ¯u ˘ 11.1 Mo’ rong can và tiêu chuan giai d ’o’c . . . . . . . . . . . . . 201 ˙ ˙ ´ ’ ¯u ’ ¯a ´ ˆ´ ˆ 11.2 Tính không giai d ’o’c cua d thu’c có bac lo’n ho’n bon . . . . 211 ˙ ˙ ¯a ´ ˆ’ ’ ˆ ˘ ´ ˆ 11.3 Nghiem can thu’c cua các d thu’c tong quát có bac không quá 4213 ˙ ˙ ˆ Bài tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 ˙ PHU LUC 223 ˙ ˙ ’ ¯u ¯o A Nhóm giai d ’o’c và nhóm d ’n . . ............... 223 ˙ B ¯ ˙nh lí Sylow và ¯ ˙nh lí Cauchy Di Di ............... 239 ¯a ´ ’ ˆ ˆ ` ¯óng d i so cua mot tru’o’ng C Bao d ............... 242 ˙ ˙ ` ˆ D So’ lu’o’c ve Maple . . . . . . . . ............... 245 ˙ ˜ ’ ´’ ˆ ˆ HU’ONG DAN GIAI BÀI TAP 250 ˙ vii
  8. ’ ´’ ˆ BANG KÍ HIEU VÀ QUY U’OC 302 ˙ ’ ˆ TÀI LIEU THAM KHAO 305 ˙ ’ CHI MUC 307 ˙ viii
  9. ` `’ Dˆ LOI NÓI ¯ AU ´ ´ ¯e ¯e ´ ’ ¯a ´ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Lí thuyet Galois là mot trong nhu’ng lí thuyet d p d ˜ nhat cua d i so, tap ho’p ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ `u kien thu’c và phu’o’ng pháp cua các lınh vu’c toán hoc khác nhau, nham giai ´ ` ’ ’ ˆ ˆ ´ ˘ nhie ˜ ˙ ˙ quyet các bài toán co d ˆ’ n và nhu’ng van d ˆ quan trong khác cua d i so hien d i. ˆ’ ¯ie ´ ´ ¯e ` ’ ¯a ´ ˆ ¯a ˆ ˆ ˆ ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ’´ ´ ´ ’ ’ ˆ ´ ˆ ˆ ˆ Mot trong nhu’ng u’ng dung chu yeu cua Lí thuyet Galois là giai quyet bài toán ˜ ˙ ˙ ` ’ a phu’o’ng trình d thu’c, d ˘ c biet chı ra rang phu’o’ng trình ’ ˆ ˘ ´ ¯a ´ ¯a ˆ ˘ tìm nghiem can thu’c cu ˙ ˙ ˙ ˆ’ ’ ¯u ´ ` ´ ˆ´ ˆ ˘ ˘ ´ ˘ ˆ bac lo’n ho’n bon không the giai d ’o’c bang can thu’c. Mat khác, Lí thuyet Galois cho ˙ ˙ ˙ ` ` ’ phép xác d nh d giác d ˆ u n canh du’ng d ’o’c bang thu’o’c ke và compa. Bên canh ˘ ´ ¯i ¯a ¯e ¯u ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ’ ´ t Galois lo’i giai cho ba bài toán du’ng hình co ’ ˆ ¯u ` ˆ ` ¯ó, d chúng ta nhan d ’o’c tu’ Lí thuye ˙ ˙ ˙ d ˆ’ n, d là không the (bang thu’o’c ke và compa) chia ba mot góc, gap d hình lap ˆ’ ` ´ ¯ôi ’ ˘ ´ ˆ ˆ ˆ ¯ie ¯ó ˙ ˙ ` u phu’o’ng d ’o’ng tròn. ˘ˆ ¯u ` phu’o’ng hoac ca ˙ ` ´ ’ ˆ ˆ ` `˘ Do tam quan trong cua Lí thuyet Tru’o’ng và Galois mà tu’ nam 1986, môn hoc ˙ ˙ ’ ˆ ´ ¯ã ¯u ¯ào ¯u này d d ’o’c Bo Giáo duc và d tao d ’a vào trong chu’o’ng trình chính thu’c cua ˙ ˙ ˙ ˙ ’ khoa Toán các tru’o’ng ¯ ai hoc và Cao d ˘ ng, d ˘ c biet là cho khoa Toán các Tru’o’ng ` ˆ ` ¯a ¯a D ˙˙ ˙ ˙ ´ ´ ’ ˆ ˆ ´ ¯u Su’ pham. Ho’n the, Lí thuyet Galois cung d ’o’c giang day cho các lo’p Cao Hoc, xem ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ n thu’c co’ ban d ˆ’ tu’ d mo’ rong cho nhu’ng nghiên cu’u lí thuyet và u’ng ´ ’ ¯e ` ¯ó ’ ˆ ˆ ´ ´ ˆ ´ nhu’ kie ˜ ˙ ´ ˘ dung sâu sac ho’n. ix ˙
  10. ’ ’ ’ ’ Giáo trình này ra d `’i trên co’ so’ bài giang cua tác gia cho sinh viên Khoa Toán, ¯o ´ ˆ´ ´ ’ ` ˆ ˘ ˆ Tru’o’ng ¯ ai hoc su’ pham Hue suot ho’n 10 nam tru’c tiep giang day môn hoc này. D ˙˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ’ ¯ó, ’ ’ ¯u ’ ’ ` ´ Trong quá trình d ban thao d ’o’c chınh su’a và bo sung sao cho vu’a phù ho’p vo’i ˙ ˙ ` ’ ’ ˆ ` ¯áp ´ ˆ chu’o’ng trình cua Bo Giáo duc và ¯ ào tao, vu’a d u’ng nhu cau su’ dung các công D ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ’ ˆ’ ´ ’ ¯a ´ ´ ˆ ` ˆ ´ cu mo’i cua d i so tính toán, vu’a bo sung nhu’ng kien thu’c liên quan khó có the ˜ ˙ ˙ ˆ’ ´ ´´ ’ trong mot vài quyen sách tham khao. Vì the, giáo trình ra d `’i, tru’o’c het, ’ ˆ ˆ ˆ ¯u ¯o tìm d ˙ ’ ` ` ’ ’ nham d u’ng nhu cau su’ dung cua sinh viên d i hoc, cao d ˘ ng và hoc viên cao ˘ ¯áp ´ ˆ ¯a ¯a ˙ ˙˙ ˙ ’ là mot tài lieu tham khao bo ích cho ˆ’ ’ ˆ ˆ ˆ ¯ó, hoc ngành toán. Bên canh d giáo trình có the ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ’ ˆ’ ´ ’ ˆ giáo viên pho thông trung hoc và hoc sinh gioi. Ho có the tìm thay trong giáo trình ˙ ˙ ˙ ’ ’ ˘ ˆ ˆ ˘ ´ ¯a này co’ so’ toán hoc chat che cho viec tìm nghiem can thu’c cua phu’o’ng trình d ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ´ ` ’ ’ ´ ˘ ´ ˆ ´ˆ thu’c, cua các bài toán du’ng hình bang thu’o’c ke và compa, nhu’ng kien thu’c ve lich ˜ ˙ ˙ ` ’ ´ ˆ ˆ ˆ su’ toán hoc liên quan. Ngoài ra, giáo trình so’ lu’o’c gio’i thieu ve Maple, mot trong ˙ ˙ ˙ ˙ ’´ ´ ng tính toán d i so manh me và pho bien nhat hien nay. Thông qua ´ ´ ˆˆ ¯a ˆ ˆˆ ˆ ˆ nhu’ng he tho ˜ ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ’˘ ˜’ nhu’ng ví du minh hoa, giáo trình chı ra kha nang tính toán manh me cua Maple ˜ ˙ ˙ ˙ ˆ’ cung nhu’ viec ho tro’ d ´ c lu’c cua phan mem này cho các giáo viên pho thông, cho ` ` ˜ ’ ˆ ˆ ˘ ˆ ˆ ¯a ˜ ˙ ˙ ˙ ’ sinh viên và hoc sinh trong hoat d ˆ ng giang day, nghiên cu’u và hoc tap toán. ´ ˆ ¯o ˙ ˙˙ ˙ ˙˙ x
  11. ´ ¯a ` ´ Giáo trình d ’o’c biên soan trên nguyên tac d ’ m bao d ˆ y d ’ và chat che cua kien ’ ¯a ¯u ˜’ ˘ ˘ ˆ ¯u ˙ ˙ ˙ ´ D ˆ’ ` ˆ´´ ’ ’ˆ ’ ’ ¯a thu’c. ¯ e làm viec vo’i giáo trình này, d ˆ c gia chı can mot so kien thu’c co’ so’ cua d i ˆ´ ˆˆ ´ ¯o ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ´ ¯a ´ ¯a ´ ˆ ˆ ˆ ˘ ´ ˆ ´ ¯ã so tuyen tính, lôgic, d i so d i cu’o’ng nhu’ d hoc trong nam thu’ nhat và thu’ hai ˙ ˙ ˙ ’ ´ ’ a ¯ ai hoc hoac Cao d ˘ ng. Ngoài nhu’ng kien thu’c d nhu’ng khái niem mo’i d ’o’c ˘ ˆ ´ ¯ó, ˆ ´ ¯u ¯a cu D ˜ ˜ ˙˙ ˙ ˙ ˙ ´ ` ` ` ´ d nh nghıa và nhu’ng ket qua mo’i d ˆ u d ’o’c chu’ng minh d ˆ y d ’ . Phan kien thu’c ’ ´ ¯e ¯u ˆ ´ ˆ ˆ ´ ¯i ¯a ¯u ˜ ˜ ˙ ˙ ’ sung, neu chu’a d ’o’c hoc trong nhu’ng nam d ˆ u tiên cua chu’o’ng trình ¯ ai hoc, ´ ` ’ ˆ ˆ ˘ ¯u ¯a bo D ˜ ˙ ˙ ˙˙ ’ ´ ´ ˆ´ ˜ˆ ˘ ng, se d ’o’c gio’i thieu chi tiet trong Phu luc. Cuoi moi tiet (§), giáo trình ´ ˆ ˆ ˆ ¯a ˜ ¯u Cao d ˙ ˙ ˙˙ cung cap mot he thong phong phú các bài tap tu’ de d´ n khó, bat d ˆ u tu’ bài trac ´ ˆˆ´ ´ ¯a ` ` ´ ˜ˆ ˆ ˆ ˆ ` ˆ ¯e ˘ ˘ ˙˙ ˙ ´ ` ’´ ´ ´ nghiem lí thuyet nham giúp d ˆ c gia nam mot cách chac chan nhu’ng khái niem và ˆ ˆ ˘ ˘ ˆ ˘ ˘ ˆ ¯o ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ’´ ` ` ` ` ˜ ’ ’ ¯a ket qua chu yeu. Gan 150 bài tap trong giáo trình d ˆ u có phan hu’o’ng dan giai d ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ¯e ˙ ˆ’ ´’ ` ˜ ’ trong no lu’c giúp d ˆ c gia có the tu’ hoc. Qua thu’c te giang day, tác gia cho rang ’ ’ ˆ ˆ ˘ ¯u ¯o d ˙ ˙ ˙˙ ˙ ˙ ’ ¯a ˆ ˆ ` ` viec day-hoc toán hien nay nói chung, o’ d i hoc nói riêng, ngu’o’i day và ngu’o’i hoc ˙ ˙ ˙ ˙ ˙˙ ˙ ˙ ` ` ` ˜ ˜ ’’ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ can khai thác su’ ho tro’ hieu qua cua các phan mem toán hoc. Có su’ ho tro’ này, ˙ ˙˙ ˙ ˙ ˙ ’ i tích cu’c và chat lu’o’ng giáo duc d ’o’c cai thien rõ ´ ’ viec day-hoc có nhu’ng thay d ˆ ˆ ˆ ˆ ¯o ¯u ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ´ ´ ´ ’˘ ’ ˆ ´ ˆ ˘ ˆ ´ ˆ ˆ ret. Cùng vo’i viec nam vu’ng kien thu’c lí thuyet, có kha nang giai quyet các bài ˜ ˙ ˙ ` ´’ ` ` ˜ ´ ` ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯ích toán u’ng dung, ngu’o’i hoc can biet su’ dung các phan mem ho tro’ cho các muc d ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ xi
  12. ˆ’ ` ´ ’ ˆ ˆ ´ ´ ¯ây tính toán cu the. Có nhieu tính toán rat khó và phu’c tap tru’o’c d nay tro’ nên ˙ ˙ ` ` ` ’ ’ ´ ˆ ˆ ˆ ¯ó, ¯o vô cùng d ’n gian vo’i su’ tro’ giúp cua các phan mem toán hoc. Trên tinh than d ˙˙ ˙ ’ ˆ’ ’’ nhu’ng vi trí thích ho’p, tác gia bo sung các lenh và ví du minh hoa cho viec su’ ’ ˆ ˆ o ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ dung Maple. ˙ D ˆ’ ` ´ˆ ˜ ’ ¯ã ’ ˆ ¯u ˆ ˆ ˆ ¯ e hoàn thành giáo trình này, tác gia d nhan d ’o’c su’ ho tro’ cua nhieu the he ˙ ˙˙ ˙ ˙ ’ ˆ c phát hien, su’a chu’a sai sót trong giáo ˆ sinh viên và hoc viên cao hoc trong vie ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ` ` ` ´ trình. Nhieu thay cô, d ˆ ng nghiep và ban bè cung d d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯o ¯ã ¯óng góp nhieu ý kien quý ˜ ˙ ˙ ` ’ báu trong quá trình biên soan. Nhân dip giáo trình này ra d `’i, tác gia, mot lan ˆˆ ¯o ˙ ˙ ˙ nu’a, go’i lo’i cam o’n sâu sac d´ n các thay cô, d ˆ ng nghiep, ban bè và sinh viên ve ´ ¯e ` ` ` ’`’ ˘ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯o ˜ ˙ ˙ ¯o nhu’ng giúp d ˜’ vô giá trên. ˜ ˆ’ ¯ã ´ ˘ ˆ´ ´ ’ ˘ ˆ Mac dù d co gang, giáo trình này không the tránh khoi nhu’ng thieu sót. Tác ˜ ˙ ´ ´ ´ ¯óng góp, bình luan và nhu’ng ’ ˆ ˆ ˆ ¯u ˆ ˆ gia vô cùng biet o’n neu nhan d ’o’c nhu’ng ý kien d ˜ ˜ ˙ ˙ ˙ ´ ¯óng góp, trao d ˆ’ i ` ˜ ’ ¯o ’ˆ phát hien loi trong giáo trình này cua d ˆ c gia gan xa. Moi ý kien d ˆˆ ˆ ¯o ˙ ˙ ˙ ` ˜ ’ ˆ ¯i ’ ˆ ` xin gu’i ve d a chı : TS. Nguyen Chánh Tú, Khoa Toán, Tru’o’ng ¯ ai hoc su’ pham D ˙ ˙˙ ˙ ´ , 32 Lê Lo’i, Thành pho Hue, email: nctu2000@yahoo.com. ´ ´ ˆ ˆ ˆ Hue ˙ ´ˆ ˘ Hue ngày 25 tháng 4 nam 2007. xii
  13. ˜ ’ ´’ ˆ HU’ONG DAN SU’ DUNG ˙ ´ ` ´ ´ ` ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Lí thuyet Galois có nhieu cách tiep can khác nhau. Mot cách tiep can có nhieu ˙ ˙ ˙ ’ m là trình bày Lí thuyet Galois trên co’ so’ Lí thuyet mo’ rong tru’o’ng. Quan ´ ´ ’ ’ˆ u’u d ˆ ˆ ˆ ` ¯ie ˙ d ˆ’ m d cua Bo Giáo duc và d tao d ’o’c chúng tôi thong nhat trong viec biên ´ ´ ¯ó ’ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯ie ¯ào ¯u ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ t mo’ rong tru’o’ng và ’ˆ ´ ´ ˆ ` soan giáo trình này. Giáo trình có 2 chu’o’ng, u’ng vo’i Lí thuye ˙ ˙ ´ ´ ˜ ˆ ˆ ˆ ´ ´ ` ¯u Lí thuyet Galois. Moi chu’o’ng d ’o’c chia ra thành các tiet (§) tu’o’ng u’ng vo’i 4-5 gio’ ˙ ˆ’ ˆ’ ` ´ ˆ ´ ˆ ˆ ´ hoc tap trên lo’p. Ngoài ra, giáo trình có bo sung phan Kien thu’c chuan bi (Chu’o’ng ˙˙ ˙ ` m nhac lai nhu’ng kien thu’c cu chu yeu có liên quan sau này. Giáo trình co ´ ´ ’´ ´ ˘ ˘ ˆ ´˜ ˆ ˆ 0), nha ˜ ˙ ´ ´ ˆ’ ’ ˘ ´ ˆ ˆ gang trình bày theo thu’ tu’ ho’p lí nhat cua viec giang day-hoc tap môn hoc. Tuy ˙˙ ˙ ˙ ˙˙ ˙ ’’ ’ có the su’ dung theo mot thu’ tu’ phù ho’p khác. ¯ích mà d ˆ c gia ˆ ˆ ´ ¯o nhiên tùy theo muc d ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ´ ´ ¯o ` ´ ˆ’ ’ˆ ’ Sau khi d c xong phan lí thuyet cua tiet, d ˆ c gia can tu’ mình giai quyet các bài ˆ ˆ ˆ ¯o ˙ ˙ ˙ ’ ´ i tiet và tra lo’i bài tap trac nghiem (có the tham khao phan hu’o’ng dan, neu ´ ´ ` ´ ˜ ’` ’ tap cuo ˆ ˆ ˆ ˆ ˘ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ ˆ ˙ ˙ ˙ can). Các bài tap d ’o’c sap xep tu’ de d´ n khó ; nhu’ng bài tap (*) d ho’i su’ tu’ duy ` ´ ´ ˜ˆ ˆ ˆ ¯u ˘ ˆ ` ˆ ¯e ˆ ¯òi ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ` ’ ’ cao ho’n. Nhu’ d trình bày, neu có d ˆ u kien, d ˆ c gia nên khai thác su’ dung Maple ˆ ˆ ¯ã ¯ie ¯o ˙ ˙ ˙ ’ trong giáo trình. ˆ ˆ thông qua các ví du và noi dung cu the ˙ ˙ ˙ ´ ´ ’ ¯a ´ ¯a ’ ` ˆ ´ ˘ ˆ Tu’ (§ 8), giáo trình su’ dung thêm các kien thu’c sâu sac ho’n cua d i so d i cu’o’ng. ˙ ˙ ˙ xiii
  14. ´ ´ ˆ ´ ˆ ¯u Nhu’ng kien thu’c này d ’o’c trình bày chi tiet trong Phu luc. ˜ ˙ ˙˙ ’ ˆ’ ¯e ¯u ¯ánh so theo tu’ng tiet, ví du “Menh d ˆ `, he qua, bo d ˆ d ’o’c d ` ´ ´ ` Các d nh lí, menh d ˆ ˆ ˆ ˆ ` ˆ ˆ ¯i ¯e ¯e ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ` ˜ 2.3” nam trong § 2 và d ’o’c trích dan là “Menh d ˆ 2.3” hoac gon ho’n là “2.3”. Các ˘ ˆ ˆ ˘ ¯u ¯e ˙ ˙ ˙˙ ´ tu’ d ˆ u d´ n cuoi giáo trình ve bên phai, ` ¯e ´ ` ’ ´ ˘ ¯u ¯ánh so ` ¯aˆ ˆ ˆ ˆ công thu’c hoac phu’o’ng trình d ’o’c d ˙ ˙ ví du ˙ Df = −4p3 − 27q 2 (1) ` ` ´ ˜ d ’o’c trích dan là “(1)”. Riêng phan Phu luc, moi d nh lí, menh d ˆ ,...d ’o’c d ˆ ˆ ˆ ˆ ¯u ¯i ¯e ¯u ¯ánh so ˙ ˙˙ ˙˙ ˙ ˙ ` ` ˜ vo’i mot chu’ cái d ´’ng tru’o’c, ví du “Menh d ˆ A.2.” d ’o’c trích dan là “Menh d ˆ A.2.” ´ ˆ ´ ˆ ˆ ˆ ¯u ¯e ¯u ¯e ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ’ ’ ˆ ¯o hay d ’n gian là “A.2.”. Giáo trình có bang các kí hieu su’ dung trong giáo trình và ˙ ˙ ` n Chı Muc (307) (Index) nham giúp d ˆ c gia de dàng tra cu’u d ’o’c noi dung khái ` ˜ ’ ’ˆ ˆ ˘ ´ ¯u ˆ ¯o pha ˙ ˙ ˙˙ ´ ` ´ ˆ ˘ ˆ ´ˆ ˆ niem hoac kien thu’c can thiet. ˙ ˙ xiv
  15. ` ’ ˆ VÀI NÉT VE LICH SU’ 1 ˙ ’ ’ ´ A) LICH SU’ GIAI PHU’ONG TRÌNH ¯ A THU’C ’ D ˙ ` ’ ` ˘ ˆ ¯a ´ ˆ ¯ã ¯u Ngày nay, ngu’o’i ta tin rang, viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac hai d d ’o’c các ˙ ˙ ˙ ˆ’ ¯a nhà toán hoc co d i Babilon quan tâm cách d gan 4000 nam. Nhu’ng tam d ´ t sét ` ´ ¯ây ˆ ˘ ˆ ˆ ¯a ˜ ˙ ˙ ´ ` ’ ˆ ˆ ˘ ˆ ¯a ¯u có niên d i 1600 BC d ’o’c tìm thay cua nen van minh Babilon còn ghi lai viec tìm ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ’ ’ ’ ˆ ˆ ` nghiem cua nhu’ng phu’o’ng trình bac hai cu the. Tuy nhiên, nhu’ng lo’i giai trên ˜ ˜ ˙ ˙ ˙ ` ng phu’o’ng pháp hình hoc và do d chı liên quan d´ n nhu’ng phu’o’ng ’˘ ¯ó ’ ˆ ¯u ¯e d ’o’c mô ta ba ˜ ˙ ˙ ˆ´´ ˆ ˆ trình bac hai có he so lo’n ho’n 0. ˙ ˙ Nhu’ng phu’o’ng pháp hình hoc d ˆ’ giai phu’o’ng trình bac hai tiep tuc d ’o’c nhà ´ ¯e ’ ˆ ˆ ¯u ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ toán hoc vı d i Hy Lap Euclid (325 BC-265 BC) d ˆ cap d´ n. Mãi d´ n the kı thu’ 7, ` ´’ ´ ¯e ˆ ¯e ˆ ˆ ˆ ˜ ¯a ¯e ˙ ˙´ ˙ ˙ ˆ Dˆ ’ ´ ˆ nhà toán hoc An ¯ o Brahmagupta (598-665), mo’i trình bày mot cách giai phu’o’ng ˙ ˙ ˙ ˆ’ ´ ´ ’ ¯a ´ ’ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯ánh dau su’ phát trien cua d i so. trình bac hai có su’ dung so âm và các kí hieu, d ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ` Viec xét mot cách d ˆ y d ’ nghiem cua phu’o’ng trình bac hai bang phu’o’ng pháp ’ ˆ ˆ ˆ ˆ ˘ ¯a ¯u ˙ ˙ ˙ ˙ ˆ’ ¯a ´ ’ ¯u ’ ˆ ˆ d i so chı d ’o’c thu’c hien bo’i các nhà toán hoc Arab, tiêu bieu là al-Khwarizmi ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ` ’´ 1 ’ ˆ ˆ ` ¯u Thông tin trong phan này d ’o’c tham khao chu yeu tu’ [5] và [7]. ˙
  16. ` ’’ ˆ 2 Vài nét ve lich su ˙ (780-880). Tuy nhiên, các nhà toán hoc Arab lai chu’a biet d´ n so âm, do d trong ´ ¯e ´ ˆˆ ˆ ¯ó ˙ ˙ ´ ’ ˆ ¯ã cuon sách cua mình có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”, al-Khwarizmi d phân ´ ˆ ´ ´ ˆ thành 6 loai phu’o’ng trình bac hai, u’ng vo’i 6 chu’o’ng trong cuon sách và trình ˙ ˙ ´ ` ˆ ¯a ´ ` ’ bày cách giai cho tu’ng loai. ¯ ây d ’c xem là cuon sách d ˆ u tiên ve d i so và tu’ ` ˆ ˆ ` ¯uo ¯a D ˙ ˙ ˙ ˆ’ ¯a ´ ´ D´ ´ ’ “Algebra” (d i so) ra d `’i tu’ tên cua cuon sách này. ¯ en nam 1145, cuon sách noi ˆ ¯o ` ˆ ˆ ˘ ˆ ˙ ´ ng cua nhà toán hoc Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136) ’ ˆ tie ˙ ´ t ban o’ châu Âu có tên Latinh là “Liber ambadorum” cung trình bày d ˆ y ` ’’ ˆ ¯u ¯a d ’o’c xua ˜ ˙ d ’ nghiem cua các phu’o’ng trình bac hai. ’ ˆ ˆ ¯u ˙ ˙ ` ´ ’ ¯a ’ ’ Tru’o’ng phái toán hoc Italy kho’i d ˆ u khoang nam 1500 vo’i cuon sách cua Luca ` ˘ ´ ˆ ˙ Pacioli (1445-1517) xuat ban nam 1494, d ’o’c biet d´ n vo’i tên viet tat là “Suma”, ´ ´ ¯e ´´ ’ ˆ ˘ ˆˆ ´ ˆ˘ ¯u ˙ ´˘ ˆ` ’’ ¯ó ` ˆ ¯u ˜ ¯a trong d lo’i giai cua phu’o’ng trình bac hai d ’o’c trình bày chi tiet bang ngôn ngu’ d i ˙ ˙ ˙ so hien d i. Pacioli không d ˆ cap d´ n viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac ba nhu’ng ´ ˆ ¯a ` ’ ˆ ¯e ˆ ¯e ˆ ˆ ¯a ´ ˆ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ´ c d´ n viec giai phu’o’ng trình d thu’c bac bon. Ông viet, theo ngôn ngu’ ´ ´ ’ ˘ ˆ ˆ ¯a ´ ˆˆ ˆ ông lai nha ¯e ˜ ˙ ˙ ˙ ˆ´ ` ’ ¯a ´ cua d i so ngày nay, “phu’o’ng trình bac bon x4 = a + bx2 giai d ’o’c bang phu’o’ng ’ ¯u ˆ ˘ ˆ ˙ ˙ ˙ ´ i vo’i phu’o’ng trình bac hai, nhu’ng các phu’o’ng trình x4 + ax2 = b và pháp nhu’ d ˆ ´ ˆ ¯o ˙ x4 + a = bx2 thì không the’ giai d ’o’c”. ˆ ’ ¯u ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  17. ` ’’ ˆ Vài nét ve lich su 3 ˙ ` ’ Ngu’o’i d ˆ u tiên tìm d ’o’c nghiem cua phu’o’ng trình d thu’c bac ba là Scipione ` ¯a ˆ ¯a ´ ˆ ¯u ˙ ˙ ˙ ’ i tieng cua ¯ ai hoc Bologna, Italy. Ferro tìm ´ ’D del Ferro (1465-1526), mot giáo su’ no ˆ ˆ ˆ ˙ ˙˙ ´ ´ ´ d ’o’c nghiem can thu’c cua phu’o’ng trình x3 + mx = n. Tat nhiên, neu biet su’ ’ ’ ˆ ˘ ´ ˆ ˆ ˆ ¯u ˙ ˙ ´ Dˆ ˆ ´ ’ ˆ ˆ ´ ˆ ¯ó dung khái niem so âm cua các nhà toán hoc An ¯ o, thì công thu’c nghiem d là ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ d ’ d ˆ’ giai tat ca các dang cua phu’o’ng trình bac ba. Tuy nhiên, lúc bay gio’, Ferro ¯u ¯e ’ ´ ’ ´ ’ ˆ ˆ ˆ ` ˙ ˙ ´ ¯ie ¯ó. ` ’ ¯u không biet d ˆ u d Ferro giai d ’o’c phu’o’ng trình bac ba nêu trên vào nam 1515, ˆ ˆ ˘ ˙ ˙ nhu’ng giu’ bí mat cho d´ n tru’o’c lúc qua d `’i nam 1526 mo’i tiet lo cho mot ngu’o’i hoc´´ˆ ˆ ˆ ´ ¯o ˘ ˆ ˆ ` ¯e ˜ ˙ ˙ ˙ ˙ ’ ˆ ` ` ˆ trò cua mình là Antonio Fior. Fior là mot ngu’o’i hoc toán bình thu’o’ng và ngay lap ˙ ˙ ˙ ` ` `` ’ lo’i giai cua thay mình ra ngoài. Tin d ˆ n ve lo’i giai cua phu’o’ng trình ’’ ’’ tu’c làm rò rı ` ´ ˆ ˆ ¯o ´ ˆ ˆ ˘ ˆ ˆ bac ba lan rong khap Bologna và các vùng lân can, kích thích nhà toán hoc nghiep ˙ ˙ ˙ ˙2 ˙ ’ i cua phu’o’ng trình x3 + mx = n ’ ` du’ Niccolo Fontana(1499-1557) tìm ra lo’i gia không lâu sau d N. Fontana (d ’o’c biet d´ n vo’i tên Tartaglia) quyet d nh công ´ ¯e ´ ¯i ˆˆ ´ ˆ ¯ó. ¯u ˙ ˙ ˆ’ bo thành công cua mình. Mot cuoc thách d´ khoa hoc no ra giu’a Tartaglia và Fior ´ ’ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯o ˜ ˙ ˙ ˙ ˜ ’ a cuoc thi d ’n gian là moi ngu’o’i se d ’a ra 30 phu’o’ng trình bac ’ ˘ ˆ ˆ ˆ ` ˜ ¯u ˆ ¯o nam 1535. Luat cu ˙ ˙ ˙ ba cho d´ i thu, hen trong 50 ngày, ai giai d ’o’c nhieu ho’n thì thang. Tat ca các ` ´ ´ ’ ’ ¯u ˆ’ ˆ ˆ ˘ ¯o ˙ ˙ `u có dang x3 + mx = b và Fior tin phu’o’ng trình mà Fior d ’a ra cho Tartaglia d ˆ ¯u ¯e ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  18. ` ’’ ˆ 4 Vài nét ve lich su ˙ Hình 1: Chân dung Tartaglia ˆ’ ’ ¯u ´ ´ ˘ ´ ` ˆ chac là Tartaglia không the giai d ’o’c. Tru’o’c tho’i han cuoi cùng 8 ngày, Tatarlia ˙ ˙ ˆ’ ’´ ˆ’ ˆ ´ ¯ã ¯u d tìm d ’o’c phu’o’ng pháp tong quát giai tat ca phu’o’ng trình bac ba. Tru’o’c công ˙ ˙ ’’ ` ` ˆ ¯u ¯u chúng, Tartaglia d ’a ra lo’i giai cua 30 bài toán trong vòng 2 gio’ và d ’o’c công nhan ˙ ˙ ´ ´` ´ ’ ` ˘ ˆ ˆ ˆ là ngu’o’i thang cuoc. Tuy nhiên, ông không công bo lo’i giai chi tiet. ˙ Chien thang cua Tartaglia lan d´ n Milan, kích thích mot nhà toán hoc nghiep ´ ´ ’ ˆ ˘ ˆ ˆ ˆ ¯e ˙ ˙ ˙ ˆ ´ ` du’ khác, bác sı Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lap tu’c mo’i Tartaglia ˜ ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  19. ` ’’ ˆ Vài nét ve lich su 5 ˙ d´ n tham Milan vào nam 1539 và tìm cách thuyet phuc Tartaglia tiet lo lo’i giai ´ ´ ˆ` ’ ˆ ˘ ˘ ˆ ˆ ¯e ˙ ˙ ` ’ phu’o’ng trình bac ba cho mình. Tartaglia d ˆ ng ý vo’i giao u’o’c Cardano phai giu’ ˆ ´ ´ ¯o ˜ ˙ bí mat ve lo’i giai cho d´ n khi Tartaglia tu’ mình xuat ban công trình d Nhu’ng ` ´ ’ ’ ˆ ˆ` ˆ ˆ ¯e ¯ó. ˙ ˙ ˆ ´ ¯ã ¯u ’’ ´ ` ˆ ˆ Cardano không giu’ giao u’o’c, lo’i giai cua phu’o’ng trình bac ba và bac bon d d ’o’c ˜ ˙ ˙ ˙ ˆ’ ˆ’ ´ ´ ´ ´ ’ ’ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ xuat hien chi tiet trong quyen sách “Ars Magna” noi tieng cua Cardano, xuat ban ˙ ´ ’ ˆ’ ˘ ´ ˆ ˆ nam 1545. Tartaglia vô cùng tu’c gian và trong mot bài báo cua mình xuat ban sau ˙ ˙ ’ ’ ’ ˆ’ ˘ ¯ó, ¯i d Tartaglia khang d nh lai công lao cua mình và lên án su’ phan boi cua Cardano. ˙ ˙ ˙ ˙ ´ ´ ` ´ ´ ˆ ¯a ´ ` Trong “Ars Magna”, cuon sách tieng Latinh d ˆ u tiên trên the gio’i ve d i so, ˆ ˆ ˆ ˆ ¯a ˙ Cardano có d ˆ cap d´ n công lao cua Tartaglia chính là tác gia cua công thu’c ` ’ ’’ ¯e ˆ ¯e ˆ ´ ˙ ` ’ ’ ˆ ˆ ˘ ˆ ´ nghiem cua phu’o’ng trình bac ba, nhu’ng ông cung giai thích thêm rang viec chu’ng ˜ ˙ ˙ ˙ ´ ’ ’ ’ ´˜ ` ˆ minh công thu’c cung nhu’ trình bày lo’i giai chi tiet là cua ông cùng các hoc trò cua ˙ ´ ` ` ’ ’ mình. ¯ ac biet, cuon sách cua Cardano lan d ˆ u tiên trình bày lo’i giai cho 20 loai D˘ ˆ ˆ ˆ ¯a ` ˙ ˙ ˙ ˆ´ ` ’ phu’o’ng trình d thu’c bac bon. Các lo’i giai này d ˆ u có chung phu’o’ng pháp là tìm ¯a ´ ˆ ` ¯e ˙ ’ a mot phu’o’ng trình phu bac ba (ngày nay ta goi là giai thu’c bac ba), ’ ´ ˆ ˆ ˆ ˆ nghiem cu ˙ ˙ ˙˙ ˙ ˙ roi su’ dung nó d ˆ’ giai phu’o’ng trình bac bon d cho. Tác gia cua ket qua này là ` ˆ ´ ¯ã ´ ˆ’ ¯e ’ ’’ ’ ˆ ˆ ˙ ˙  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
  20. ` ’’ ˆ 6 Vài nét ve lich su ˙ Hình 2: Chân dung G. Cardano ´´ ´’ ˆ ˆ˘ ˆ Lodovico Ferari (1522-1565), mot trong nhu’ng hoc trò xuat sac nhat cua Cardano. ˜ ˙ ˙ Mot lí do nu’a d ˆ’ giai thích cho quyet d nh cua Cardano là ông phát hien ra rang ´ ¯i ` ˜ ¯e ’ ’ ˆ ˆ ˆ ˘ ˙ ˙ ˙ ` ¯ã ’ ¯u ˆ ´ ¯ó ˘ Ferro là ngu’o’i d giai d ’o’c các phu’o’ng trình bac ba tru’o’c d 30 nam. ˙ ˙ `n cam hu’ng cho nhieu nhà toán hoc trên the ` ´ ¯o ’ ’ Su’ ra d `’i cua Ars Magna truye ˆ ´ ˆ ˆ ˙ ˙ ´´ ` ˆ ´ ˆ ¯a ´ gio’i tiep tuc nghiên cu’u ve phu’o’ng trình d thu’c nhu’ Bombelli (1526-1572, Italy), ˙ Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh),  Nguyen Chánh Tú ˜ ˆ
nguon tai.lieu . vn