Xem mẫu
- Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên và véctơ ngẫu nhiên.
§1 Kỳ vọng
1. Định nghĩa
Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ Ε ( Χ ) = ∑ xi pi
Định nghĩa 1.1: Giả sử i
Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là
+∞
f X ( x ) ⇒Ε( Χ) = ∫ x. f ( x ) dx
X
−∞
Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X
2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng
số
(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 1
@Copyright 2010
- §2: PHƯƠNG SAI
1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X
( Χ − Ε ( Χ ) ) 2
D( Χ) = Ε
là:
Định lý 2.1 :
()( ) ()∑
D (Χ ) = Ε Χ 2 − Ε ( Χ )
2
vôù Ε Χ 2 = x i2.pi , neá X rôø raï ;
i u ic
i
+∞
()∫ x 2. f Χ ( x ) d x , neá X l ieâ tuï .
Ε Χ2 = u nc
−∞
C 2 .D( Χ )
2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) =
(3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y)
(4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số
3. Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ)
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 2
@Copyright 2010
- §3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1.Mod X (giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)
Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và Ρ ( Χ = xi ) = pi
⇒ M od Χ = x i neá p i = M ax p i
u
0 0
( x ) , ta có
Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm f X
⇒ M od Χ = x 0 neá f X ( x 0 ) = M ax f X ( x )
u
2. Med X(medium – trung vị X)
Định nghĩa 3.3: Med Χ = m ⇔ Ρ Χ < m ≤ 1/ 2, Ρ X > m ≤ 1/ 2
( ) ( )
Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì 1
m
MedX = m ⇔ FX (m) = ∫ f X ( x ) dx =
2
−∞
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 3
@Copyright 2010
- 3.Moment
Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X
đối với số a là : Ε( X −a ) k
a = 0: moment gốc
a = E(X):moment trung tâm.
4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK)
cos x, x ∈ [ 0, π / 2]
Χ ~ fX ( x) =
Ví dụ 3.1:
0, x ∉ [ 0, π / 2]
+∞
π
π/2
Ε( Χ) = ∫ x. f ( x ) dx = ∫ x.cos xdx = −1
X
2
0
−∞
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 4
@Copyright 2010
- 2
π
π /2
D ( X ) = ∫ x cos xdx − − 1÷ = π − 3
2
3 2
1 44 2 4 4
0
()
Ε X2
Mod X =0
m m
f X ( x ) dx = ∫ cos xdx = 1 / 2
⇔∫
Med X = m
−∞ 0
⇔ sin m = 1 / 2 ⇔ m = π / 6
Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau
Χ m −1 m m + 1...
1 2 ... k ...
m− 2 m −1 k −1
Ρ m
p pq ... pq pq pq ... pq ...
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 5
@Copyright 2010
- ∞
1 1
E ( X ) = ∑ kp.q k −1 = p. =
(1− q)
2
p
k =1
2
1
+∞
D ( X ) =∑ pq k−
− ÷2 1
k
p
1 1 2 43
4
k=
() 2
ΕΧ
2
1
1 +q 1 +q 1 q
= p. − ÷ = − 2= 2
(1 −q )3 p p2 p p
Mod X = 1
p (1 +q + +q m − ) ≤ / 2
2
... 1
Med X =m ⇔
p (1 +q + +q +q m − ) ≥ / 2
m− 2 1
... 1
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 6
@Copyright 2010
- 1 − q m −1 m −1 1
≤ 1/ 2
. p.
q ≥ 2
m −1
1 − q ≤ 1/ 2
1− q
⇔ ⇔ ⇔
q m ≤ 1
p. 1 − q ≥ 1/ 2 1 − q ≥ 1/ 2
m m
1− q 2
⇔ m ln q ≤ − ln 2 , ( m −1) ln q ≥ − ln 2
− ln 2 − ln 2
⇔ ≤m≤ +1
ln q ln q
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 7
@Copyright 2010
- .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau:
X 2 5 7
P 0,4 0,3 0,3
Ε ( Χ ) = 2.0, 4 + 5.0,3 + 7.0,3 = 4, 4
D ( Χ ) = 2 .0.4 +4 2 4 + 74.0,3 − ( 4, 4 )
2
2 2 2
1 4 4 4 .0,3 4 4
5 3
()
Ε Χ2
σ ( Χ ) = D( X ) = 2,107
M od X = 2 ; M ed X = 5
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
Khoa Khoa Học và Máy Tính 8
@Copyright 2010
- Cách dùng máy tính bỏ túi ES
• Mở tần số(1 lần): Shift Mode Stat On(Off)
• Nhập: Mode Stat 1-var
xi ni
2 0,4
5 0,3
7 0,3
AC: báo kết thúc nhập dữ liệu
x =→Ε ( Χ) = 4, 4
Cách đọc kết quả: Shift Stat Var
xσ n =→ σ ( Χ) = 2,107
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 9
@Copyright 2010
- Cach dung may tinh bỏ tui MS:Vào Mode chọn SD
́ ̀ ́́ ́
Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =
Cách nhập số liệu :
2; 0,4 M+
5; 0,3 M+
7; 0,3 M+
Cach đoc kêt quả:
́ ̣ ́
x =→ Ε ( Χ ) = 4, 4
SHIFT S – VAR
xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 10
@Copyright 2010
- Ví dụ 3.4:
Tung cung 1 luc 5 con xúc xăc cân đôi,đồng chất .Goị X là
̀ ́ ́ ́
tông số điêm nhân được. Hay tính E(X), D(X)
̉ ̉ ̣ ̃
Giải: Goi Xi là số điêm cua con xuc xăc thứ i
̣ ̉ ̉ ́ ́
Χ = Χ1 + Χ 2 + .... + Χ 5
Ε ( Χ ) = Ε ( Χ1 ) + .... + Ε ( Χ 5 ) = 5Ε ( Χ1 )
Xi đôc lâp ⇒ D ( Χ ) = D ( Χ1 ) + D ( Χ 2 ) + ... + D ( Χ 5 ) = 5D ( Χ1 )
̣ ̣
1 2 ... 6
X1
7 35
1 ⇒ Ε ( Χ1 ) = , D ( Χ1 ) =
11
PX ... 2 12
66 6
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 11
@Copyright 2010
- Y = ϕ ( Χ)
§4: Kỳ vong cua ham
̣ ̉ ̀
Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) .pi
1.Trường hợp rời rac:
̣
i
2.Trường hợp liên tuc:
̣
+∞
Χ : f X ( x ) ⇒Ε( Y ) = ∫ ϕ ( x ) . f X ( x ) dx
−∞
π
Ví dụ 4.1: cos x, x ∈ 0,
2
f X ( x ) =
Cho Χ:
, x ∉ 0, π
0 2
Tim kỳ vong và phương sai cua Y= sinX.
̀ ̣ ̉
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 12
@Copyright 2010
- .
π /2
2
sin x 1
π /2
Ε( Y ) = ∫ sin x cos xdx = =
0
2 2
0
π /2
sin 3 x 1
Ε( Y ) =∫
π /2
sin 2 x cos xdx = =
2
0
3 3
0
11 1
D ( Y ) = Ε( Y ) −( E (Y ) )
2
=−=
2
3 4 12
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 13
@Copyright 2010
- Ζ = ϕ ( Χ, Y )
§5: Kỳ vong cua ham
̣ ̉ ̀
1.Trường hợp rời rac: Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij
̣
⇒ Ε ( Ζ ) = ∑ϕ ( xi , y j ) . pij
Ví dụ 5.1: i, j
Ε( ΧY ) = ∑xi y j pij
i, j
2.Trường hợp liên tuc: (X,Y) liên tuc và có ham mât độ
̣ ̣ ̀ ̣
f(x,y)
⇒ Ε ( Ζ ) = ∫∫ ϕ ( x, y ) . f ( x, y ) dxdy
1 24
43
2
R
Ví dụ 5.2: Z
6 44 7 4 4 8
Ω
f ( x , y ) = 8xy, neá 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, (h ìn h 5.1)
u
0 , neá traù laï .
u ii
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 14
@Copyright 2010
- HÌNH 5.1
y↑
1
Ω
→
0 1 X
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 15
@Copyright 2010
- 1 y
Ε( Χ = ∫∫ x. f
) ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ x.8 xydx
0 0
. R2
1 y
Ε( Y ) = ∫∫ y. f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ y.8 xydx
0 0
R2
Ε( Y 2 ) = ∫∫ y 2 . f ( x, y ) dxdy
R2
Ε( X 2 ) = ∫∫ x 2 . f ( x, y ) dxdy
Ε( X .Y ) = ∫∫ xy. f ( x, y ) dxdy
R2
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 16
@Copyright 2010
- §6: Cac đăc trưng cua vectơ ngâu nhiên
́ ̣ ̉ ̃
1.Kỳ vong: E(X,Y) = (E(X),E(Y))
̣
2. Hiêp phương sai (covarian):
̣
̣ ̃
Đinh nghia 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]
Đinh lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)
̣
Tinh chât: (1) X,Y đôc lâp thì cov(X,Y) = 0
́ ́ ̣ ̣
(2) cov(X,X) = D(X)
m mn
n
(3) cov ∑Χi , ∑Y j ÷= ∑∑cov ( Χi , Y j )
i =1 i =1 j =1
j =1
m m
m
(4) cov ∑Χi , ∑Χk ÷= ∑D ( Χi ) + ∑cov ( Χi , X k )
i =1 i =1
k =1 i ≠k
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 17
@Copyright 2010
- 3. Hệ số tương quan
cov ( Χ Y )
,
̣ ̃
Đinh nghia 6.2: =
RXY
σ ( Χ) .σ ( Y )
Tinh chât: (1) X,Y đôc lâp ⇒ RΧY = 0
́ ́ ̣ ̣
(2) RXY ≤ 1, ∀Χ , Y
(3) RXY = 1 ⇔ ∃ a, b, c : aΧ + bY = c
Ý nghia: Hệ số RXY đăc trưng cho sự rang buôc tuyên tinh
̃ ̣ ̀ ̣ ́́
giưa X và Y: RXY cang gân1, thì X,Y cang gân co ́ quan
̃ ̀ ̀ ̀ ̀
hệ tuyên tinh.
́́
cov ( Χ , Χ ) ,cov ( Χ , Y )
4. Ma trân tương quan: D ( Χ , Y ) =
̣ ÷
cov ( Y , Χ ) ,cov ( Y , Y ) ÷
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 18
@Copyright 2010
- Χ 1 , Χ 2 ,..., Χ m ; Y1 , Y2 ,..., Yn
• Ví dụ 6.1:Cho cac biên ngâu nhiên
́ ́ ̃
có phương sai đêu băng 1 và
̀ ̀
cov ( Χ i , Χ j ) = p1 ;cov ( Yi , Y j ) = p2 ;cov ( Χ i , Y j ) = p3
Tim hệ số tương quan cua 2 biên ngâu nhiên:
̀ ̉ ́ ̃
U = ( Χ 1 + Χ 2 + ..... + Χ m ) và V = ( Y1 + Y2 + ..... + Yn )
̉
Giai: m mn
n
cov ( U , V ) = cov ∑ Χ i , ∑ Yi ÷ = ∑ .∑ cov ( Χ i , Y j ) = m.n. p3
i =1 j =1 i =1 j =1
m m
n
D ( U ) = cov ∑ Χ i , ∑ X k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , Χ k ) = m + m(m − 1). p1
i =1 i =1
k =1 i≠ k
D ( V ) = n + n(n − 1). p2
cov ( U ,V ) m.n. p3
RUV = =
σ ( U ) .σ ( V ) m + m ( m − 1) p1 . n + n ( n − 1) p2
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 19
@Copyright 2010
- 5. Cach dung may tinh bỏ tui
́ ̀ ́́ ́
a)Loại ES: MODE STAT a+bx
xi yi pij
AC
Cách đọc kết quả:
x =→ Ε ( X )
SHIFT STAT VAR
xσ n =→ σ ( X )
SHIFT STAT VAR
y =→ Ε ( Y )
SHIFT STAT VAR
yσ n =→ σ ( Y )
SHIFT STAT VAR
r =→ RXY
SHIFT STAT REG
∑ xy =→ Ε ( XY )
SHIFT STAT SUM
Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 20
@Copyright 2010
nguon tai.lieu . vn
