1. Trang Chủ
  2. Trung học cơ sở
  3. Xác định số hạng tổng quát của dãy số - Huỳnh Thanh Luân

Xác định số hạng tổng quát của dãy số - Huỳnh Thanh Luân

Một số bài tập và đáp án đại số chọn lọc, tài liệu giúp các bạn tham khảo cách giải bài tập.Qua đó một phần giúp các bạn ôn lại những công thức đại số đã học , làm quen với những đề toán nâng cao ,đề thi học kì, thi học sinh giỏi .Chúc các bạn ôn tập và làm bài với kết quả thật cao www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 1. D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè. 1. D·y 1.1 Bµi tËp cô thÓ. u0 = 1 → CSC 1;  un = un −1 − 2, ∀n ≥ 1. u0 = 3 → CSN 2;  un = 2un −1 ,

Thể loại Tài liệu miễn phí Trung học cơ sở

Số trang 33

Ngày tạo 8/30/2018 1:13:41 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.73 M

Tên tệp

Tải Xác định số hạng tổng quát của dãy số - Huỳnh Than... (.pdf)

Xem mẫu

  1. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 1. D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè. 1. D·y 1.1 Bµi tËp cô thÓ. u0 = 1 → CSC 1;  un = un −1 − 2, ∀n ≥ 1. u0 = 3 → CSN 2;  un = 2un −1 , ∀n ≥ 1 u0 = −2 31 → −1 = − + 3;  un = 3un −1 − 1, ∀n ≥ 1 22 u0 = 2 → 3n = − [3n + 6] + 2 3 ( n − 1) + 6  4;    un = 2un −1 + 3n, ∀n ≥ 1 kh¸c hÖ sè nªn ta vÉn gi÷ nguyªn bËc: 3n = g ( n ) − 2 g ( n − 1) , g ( n ) = an + b. u0 = 2 → 2n + 1 =  n 2 + 2n  − ( n − 1) + 2 ( n − 1)  2 5;     un = un −1 + 2n + 1, ∀n ≥ 1 cïng hÖ sè nªn ph¶i n©ng bËc: 2n + 1 = g ( n ) − g ( n − 1) , g ( n ) = an 2 + bn. u0 = 1  → 2n = −2.2 n + 3.2.2n −1 6;  un = 3un −1 + 2 , ∀n ≥ 1 n  2n = a 2 n − 3a 2 n −1 u0 = 1  7;  un = 2un −1 + 2 , ∀n ≥ 1 n  2n = n 2n + ( n − 1) 2n −1 u0 = 1; u1 = 2 8;  un − 5un −1 + 6un − 2 = 0, ∀n ≥ 2 u = 1; u1 = 3 9;  0 un − 4un −1 + 4un − 2 = 0, ∀n ≥ 2 u0 = −1; u1 = 3  → 2n 2 + 2n + 1 = g ( n ) − 5 g ( n − 1) + 6 g ( n − 2 ) , g ( n ) = an 2 + bn −1 + c 10;  un − 5un −1 + 6un − 2 = 2n + 2n + 1, ∀n ≥ 2 2  u0 = 1; u1 = 4 11;  un − 3un −1 + 2un − 2 = 2n + 1, ∀n ≥ 2 u0 = 1; u1 = 4 12;  un − 2un −1 + un − 2 = 2n + 1, ∀n ≥ 2 u0 = −1; u1 = 3  13;  un − 5un −1 + 6un − 2 = 2.5 , ∀n ≥ 2 n  u0 = −1; u1 = 3  14;  un − 5un −1 + 6un − 2 = 2.3 , ∀n ≥ 2 n  u0 = 1; u1 = 4  15;  un − 4un −1 + 4un − 2 = 2 , ∀n ≥ 2 n  Trang 1
  2. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 1.2 X¸c lËp ph−¬ng ph¸p (Ph−¬ng ph¸p sai ph©n).  x1 , x2 ,..., x k  1.2.1 Lo¹i thuÇn nhÊt:  (1)   a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = 0, ∀n ≥ 1  §Çu tiªn gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng: a0λ k + a1λ k−1 + ... + ak = 0,(*) C¸c tr−êng hîp x¶y ra lµ: (i) NÕu (*) cã k nghiÖm thùc ph©n biÖt λ1 , λ2 ,..., λk th× nghiÖm cña (1) lµ xn = c1λ1n + c2λ2n + ...ckλkn , ∀n = 1,2,... ( víi c1 , c2 ,..., ck lµ c¸c h»ng sè ). (ii) NÕu (*) ®−îc viÕt l¹i nh− sau s h a0λ k + a1λ k −1 + ... + ak = a0 (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) (λ − λ3 )...(λ − λq ) = 0 , víi c¸c λ1 , λ2 , λ3 ,..., λq lµ kh¸c nhau ®«i mét. Tøc lµ (*) cã λ1 lµ nghiÖm béi s, vµ λ2 lµ nghiÖm béi h, vµ λ3 ,..., λq lµ c¸c nghiÖm ®¬n, vµ s + h + (q − 2) = k , th× (1) cã nghiÖm lµ xn = c3λ3n + ... + cqλq + (c11 + c12 n + ... + c1s n s−1 )λ1n + n + (c21 + c22 n + ... + c2 h n h−1 )λ2n , ∀n = 1, 2,... ( víi c11 , c12 ,..., c1s , c21 , c22 ,..., c2 h , c3 ,..., cq lµ h»ng sè) (iii) NÕu (*) cã k-2 nghiÖm ph©n biÖt λ1 , λ2 ,..., λk−2 vµ λk = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (víi r = λk = a 2 + b 2 , ϕ = Argλk ) lµ nghiÖm phøc th× sè phøc liªn hîp λk = a − bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) còng lµ nghiÖm cña (*) . Khi ®ã (1) cã nghiÖm lµ xn = c1λ1n + c2λ2n + ...ck−2λkn−2 + r n ( A cos nϕ + B sin nϕ) , ∀n = 1,2,... ( víi c1 , c2 ,..., ck−2 , A, B lµ c¸c h»ng sè ). (4i) NÕu (*) cã s nghiÖm thùc ph©n biÖt λ1 , λ2 ,..., λs vµ λq = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (víi r = λq = a 2 + b 2 , ϕ = Argλq ) lµ nghiÖm phøc béi h, th× sè phøc liªn hîp λq = a − bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) còng lµ nghiÖm phøc béi h cña (*) . Khi ®ã (1) cã nghiÖm tæng qu¸t lµ xn = c1λ1n + c2λ2n + ...csλsn + +r n ( A1 + A2 n + ... + Ah n h−1 ) cos nϕ + ( B1 + B2 n + ... + Bh n h−1 ) sin nϕ  , ∀n = 1, 2,...   ( víi c1 , c2 ,..., ck−1 , A1 , A2 ,..., Ah , B1 , B2 ,..., Bh lµ c¸c h»ng sè ). Tøc lµ cÇn ph¶i biÕt c¸ch ghi nghiÖm ®¬n thùc, nghiÖm béi thùc, nghiÖm ®¬n phøc, nghiÖm béi phøc trong c«ng thøc nghiÖm cña (1). VD: Gi¶i l¹i c¸c bµi tËp trong phÇn tr−íc.  x1 , x2 ,..., x k  1.2.2 Lo¹i kh«ng thuÇn nhÊt:  (2)   a0 xn+k + a1 x n+k−1 + ... + ak xn = fn , ∀n ≥ 1  xn = c1λ1n + c2λ2n + ...ckλkn , ∀n = 1,2,... B1: T×m nghiÖm cña lo¹i thuÇn nhÊt t−¬ng øng. Gs: B2: Ta thay xn* = c1 (n)λ1n + c2 (n)λ2n + ...ck (n)λkn , ∀n = 1,2,... vµo (2) ®Ó x® c¸c hµm ci ( n ) . Trang 2
  3. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè B3: NghiÖm cña (2) lµ: xn = xn + xn* §Ó theo §Ó kh«ng sö dông kiÕn thøc ngoµi ch−¬ng tr×nh th× ta nªn lµm theo h−íng: Lµm nh¸p b»ng ph−¬ng ph¸p sai ph©n ®Ó t×m nghiÖm råi ta sÏ chøng minh b»ng qui n¹p. VD: T×m { xn }n =1 sao cho x1 = 0, xn +1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2,... +∞ Nh¸p: Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng λ − 1 = 0 t×m ®−îc λ = 1 . VËy sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè ®· cho cã d¹ng xn = xn + xn . Trong ®ã xn = cλ n = c, ∀n = 1, 2,... ( c lµ h»ng sè * * sÏ t×m sau), vµ xn ®−îc t×m nh− sau: Ta xem c lµ mét hµm theo n vµ t×m xn = cn . Thay xn = cn vµo xn +1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2,... , ta ®−îc * * cn +1 = cn + sin nx, ∀n = 1, 2,... ⇔ cn +1 − cn = sin nx, ∀n = 1, 2,... Suy ra c2 − c1 = sin x , c3 − c2 = sin 2 x , ........... cn − cn −1 = sin(n − 1) x Céng l¹i ta ®−îc cn − c1 = sin x + sin 2 x + ... + sin(n − 1) x VËy x = cn = [ c1 + sin x + sin 2 x + ... + sin(n − 1) x ] , ∀n = 1, 2,... * n V× x = cn thâa xn +1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2,... nªn c1 = x1 = 0 . VËy * n xn = [sin x + sin 2 x + ... + sin(n − 1) x ] , ∀n = 1, 2,... * x x = 0 th× xn = 0 ⇒ xn = 0, ∀n = 1, 2,... . Cßn nÕu sin ≠ 0 th× víi mäi n = 1, 2,... , ta cã * NÕu sin 2 2 1 x  x x xn = sin 2 sin x + sin 2 sin 2 x + ... + sin 2 sin(n − 1) x  = * x sin   2 (n − 2) x (n − 1) x   3x   5x   x 3x  cos − cos  +  cos − cos  +  cos − cos   2  2  2 2 2 2 = x 2sin 2 (n − 2) x nx sin sin (n − 1) x  1 x 4 4 =  cos − cos = . x x 2 2 2sin sin 2 2 VËy (n − 2) x nx sin sin 4 4 xn = c + , ∀n = 1, 2,... x sin 2 x x x − sin sin sin 4 ⇒ c = 1 tan x . Bëi vËy 4 4 =c− V× x1 = 0 nªn 0 = c + x x 2 4 sin 2 cos 2 4 Trang 3
  4. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè (n − 2) x nx sin sin 1 x 4 4 xn = tan + , ∀n = 1, 2,... x 2 4 sin 2 Lêi gi¶i: Ta sÏ chøng minh víi mäi n = 1, 2,... th× (n − 2) x nx sin sin 1 x 4 4 xn = tan + (1) x 2 4 sin 2 b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p. Theo gi¶ thiÕt ta cã x x x x sin sin sin sin 1 x 4 = 1 tan x − 4 4 4 x1 = 0 = tan − x x2 x 2 4 2 sin cos 4 sin 4 4 2 vËy (1) ®óng khi n=1. Gi¶ sö (1) ®óng khi n=k, tøc lµ (k − 2) x kx sin sin 1 x 4 4 xk = tan + x 2 4 sin 2 khi ®ã (k − 2) x kx sin sin 1 x 4 4 xk +1 = xk + sin kx = tan + + sin kx = x 2 4 sin 2 (k − 2) x kx x + sin sin kx sin sin 1 x 4 4 2 = tan + = x 2 4 sin 2 (k + 1) x (k − 1) x sin sin 1 x 4 4 = tan + x 2 4 sin 2 Bµi to¸n ®−îc gi¶i xong. Gi¶i l¹i c¸c bµi phÇn tr−íc. 1.3 Ta sÏ gi¶i mét sè d·y ®Æc biÖt gäi lµ d·y sè tuÇn hoµn. §Þnh nghÜa. D·y sè { xn }n =1 ®−îc gäi lµ d·y sè tuÇn hoµn nÕu tån t¹i sè k ∈ N sao cho +∞ xn + k = xn , ∀n = 1,2,... . (1) Sè k bÐ nhÊt tháa m·n (1) ®−îc gäi lµ chu kú cña d·y sè tuÇn hoµn { xn }n =1 . +∞ Sö dông ph−¬ng tr×nh sai ph©n ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc c¸c d·y sè tuÇn hoµn. Bµi to¸n 1. (d·y sè tuÇn hoµn chu kú 2)  x = α , x2 = β  T×m d·y sè { x n } biÕt  1 +∞  xn + 2 = xn , ∀n = 1,2,... n =1  Lêi gi¶i Trang 4
  5. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña d·y sè ®· cho lµ λ 2 = 1 ⇔ λ ∈ {−1,1} . Do ®ã xn = A.1n + B(−1)n , ∀n = 1,2,... . Bëi vËy tõ gi¶ thiÕt x1 = α , x2 = β , ta cã α +β  A = 2 A − B = α  ⇔ .  A + B = β B = β − α  2  Do ®ã α + β β −α (−1)n , ∀n = 1,2,... xn = + 2 2 Bµi to¸n 2. (d·y sè tuÇn hoµn chu kú 3) T×m d·y sè { x n } +∞ biÕt xn+ 3 = xn , ∀n = 1,2,... vµ x1 , x2 , x3 cho tr−íc. n =1 Lêi gi¶i Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng λ = 1 cña d·y sè ®· cho cã c¸c nghiÖm lµ 3 −1 − i 3 −1 + i 3 2π 2π 2π 2π 1, , ( hay 1, cos − i sin , cos + i sin ) 2 2 3 3 3 3 Do ®ã n2π n2 π xn = A + B cos+ C sin , ∀n = 1,2,... , 3 3 trong ®ã c¸c h»ng sè A, B, C sÏ ®−îc x¸c ®Þnh khi biÕt x1 , x2 , x3 . Ta còng cã thÓ tr×nh bµy nh− sau: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng λ 3 = 1 cña d·y sè ®· cho cã c¸c nghiÖm lµ h 2π h 2π + i sin , víi h = 0,1, 2 cos 3 3 Hay viÕt cô thÓ lµ 2π 2π 4π 4π 1, cos + i sin , cos + i sin 3 3 3 3 Do ®ã  2nπ   4nπ  2nπ 4nπ    xn = c1 +  A1 cos + B1 sin  +  A2 cos + B2 sin  , ∀n = 1, 2,...     3  3 3 3 2nπ 4nπ 2nπ 4nπ Mµ cos nªn ta viÕt l¹i nh− sau: = cos = sin ,sin 3 3 3 3 n2π n2 π xn = A + B cos + C sin , ∀n = 1,2,... , 3 3 trong ®ã c¸c h»ng sè A, B, C sÏ ®−îc x¸c ®Þnh khi biÕt x1 , x2 , x3 . Bµi to¸n 3. (d·y sè tuÇn hoµn chu kú k ∈ ℕ bÊt kú) T×m d·y sè { x n } +∞ biÕt xn+ k = xn , ∀n = 1,2,... vµ x1 , x2 ,..., xk cho tr−íc. n =1 Lêi gi¶i Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng λ = 1 cña d·y sè ®· cho cã c¸c nghiÖm lµ k h 2π h 2π + i sin , víi h = 0,1, 2,..., k − 1 cos k k Hay viÕt cô thÓ lµ 2π 2π 4π 4π 2(k −1)π 2(k −1)π 1, cos + i sin , cos + i sin ,...,cos + i sin k k k k k k Do ®ã Trang 5
  6. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè  2π   4π  2π 4π + B1 sin  +  A2 cos + B2 sin  + xn = c +  A1 cos       k   k k k  2(k −1)π  2(k −1)π   + ... +  Ak−1 cos + Bk−1 sin  , ∀k = 1,2,...    k k  Mµ 2(k −1)π 2(k − 2)π 2π 4π = cos = cos cos , cos ,... k k k k vµ 2(k −1)π 2(k − 2)π 2π 4π = sin = sin sin ,sin ,... k k k k nªn ta cã thÓ viÕt l¹i nh− sau k−1  h2π  h2 π , ∀n = 1,2,... ,  xn = ∑ βh cos + sin     k k h =0 trong ®ã c¸c h»ng sè β0 , β1 ,..., βk−1 sÏ ®−îc x¸c ®Þnh khi biÕt x1 , x2 ,..., xk . 2. D·y ph©n tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè. 2. D·y 2.1. §Þnh nghÜa. Cho a, b, c, d ∈ ℝ sao cho ad − bc ≠ 0 vµ c ≠ 0 . XÐt d·y sè ( xn ) nh− sau: x1 ∈ R vµ víi mäi axn + b n = 1, 2,... th× xn +1 = +∞ , nÕu nã tån t¹i. Khi ®ã d·y sè ( xn )n =1 gäi lµ d·y ph©n tuyÕn tÝnh. cxn + d Chó ý r»ng nÕu cho ( xn )n =1 lµ d·y ph©n tuyÕn tÝnh th× ta hiÓu r»ng víi mäi n=1,2,… lu«n tån t¹i xn . +∞ 2.2. NhËn xÐt  x1 = p  a) XÐt d·y ph©n tuyÕn tÝnh { xn } x¸c ®Þnh bëi  axn + b , trong ®ã a, b, c, d, vµ p lµ c¸c h»ng  xn +1 = cx + d , ∀n ≥ 1  n sè cho tr−íc. y a n +b ax + b ay + bzn y y zn y Gi¶ sö xn = n . Khi ®ã: xn +1 = n ⇔ n +1 = ⇔ n +1 = n cxn + d zn +1 cyn + dzn zn +1 c yn + d zn zn  y1 = p, z1 = 1  ( yn ) , ( z n ) :  yn +1 = ayn + bzn , ∀n ≥ 1 th× coi nh− ®· x¸c ®Þnh Nh− vËy, nÕu ta x¸c ®Þnh ®−îc hai d·y  z = cy + dz , ∀n ≥ 1  n +1 n n ®−îc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y ph©n tuyÕn tÝnh.  y1 = p, z1 = 1  b)Ta xÐt ( yn ) , ( zn ) :  yn +1 = ayn + bzn , ∀n ≥ 1 .  z = cy + dz , ∀n ≥ 1  n +1 n n C¸ch 1: yn + 2 = ayn +1 + bzn +1 = ayn +1 + b ( cyn + dzn ) = ayn +1 + bcyn + bdzn = ayn +1 + bcyn + d ( yn +1 − ayn ) = ( a + d ) yn +1 + ( bc − ad ) yn ⇔ yn + 2 = ( a + d ) yn +1 + ( bc − ad ) yn T×m ®−îc yn ⇒ zn Trang 6
  7. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè C¸ch 2:  yn +1 = ayn + bzn  yn +1 = ayn + bzn ⇒ yn +1 − λ zn +1 = ( a − λ c ) yn + ( b − λ d ) zn ⇒ *)  λ zn +1 = λ cyn + λ dzn  zn +1 = cyn + dzn b − λd  b − λd  yn +1 − λ zn +1 = ( a − λ c )  yn − zn  → chän λ = λc − a  λc − a   yn +1 = ayn + bzn  yn +1 = ayn + bzn ⇒ yn +1 + β zn +1 = ( a + β c ) yn + ( b + β d ) zn ⇒ *)   β zn +1 = β cyn + β dzn  zn +1 = cyn + dzn b + βd  b + βd  yn +1 + β zn +1 = ( a + β c )  yn + zn  → chän β = a + βc  a + βc  yn c) Theo trªn, ta cã thÓ xÐt sù héi tô vµ t×m giíi h¹n cña d·y sè ( xn ) , víi xn = , y1 vµ z1 cho tr−íc vµ zn yn +1 = ayn + bzn , zn +1 = cyn + dzn 2.3. Bµi tËp u0 = 2; v0 = 1  1; un = 2un −1 + vn −1 , ∀n ≥ 1 v = u + 2v , ∀n ≥ 1 n n −1 n −1 u0 = 1  2;  2un −1 un = 3u + 4 , ∀n ≥ 1  n −1 u0 = 2  −9un −1 − 24 3;  un = 5u + 13 , ∀n ≥ 1  n −1 Tuy nhiªn ta cã mét c¸ch kh¸c ®Ó t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y ph©n tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n nh− sau: u0 = 1  1;  2un −1 un = 3u + 4 , ∀n ≥ 1  n −1 1 3un −1 + 4 1 3 1 = = 2. +⇒ *) un 2un −1 un −1 2 un u0 = 2  −9un −1 − 24 2;  un = 5u + 13 , ∀n ≥ 1  n −1 ( −9 − 5t ) xn −1 − 5t 2 − 22t − 24 −9 xn −1 − 9t − 24 *)§Æt un = xn + t → xn + t = ⇔ xn = 5 xn −1 + 5t + 13 5 xn −1 + 5t + 13 *)Chän t : −5t 2 − 22t − 24 = 0 → t = −2 xn −1 1 1 *) xn = = 3. +5 ⇒ 5 xn −1 + 3 xn xn −1 Sau ®©y ta xÐt thªm mét sè tÝnh chÊt cña d·y nµy. 2.4. TÝnh chÊt. Trang 7
  8. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè axn + b §Þnh lÝ 1. Cho a, b, c, d ∈ R sao cho ad − bc ≠ 0, c ≠ 0 . Cho x1 ∈ ℝ vµ víi mäi n = 1, 2,... , ®Æt = xn +1 , cxn + d nÕu nã tån t¹i. XÐt hµm sè f(x) nh− sau:  −d  a  f : ℝ\  → ℝ\  c c  ax + b x֏ cx + d a) Chøng minh f lµ song ¸nh. −d  t1 = b) Cho d·y sè ( tn ) ®−îc ®Þnh nghÜa bëi:  c t = f −1 (t ), ∀n = 1, 2,...  n +1 n (D·y nµy cã thÓ kh«ng x¸c ®Þnh kÓ tõ mét thø tù nµo ®ã.) Chøng minh r»ng ( xn )+∞1 lµ d·y ph©n tuyÕn tÝnh khi vµ n= chØ khi x1 ≠ tn , ∀n = 1, 2,... Chøng minh. d a Víi mäi x, y ∈ ℝ , x ≠ − , y ≠ ta cã c c ax + b b − dy y= ⇔ cyx + dy = ax + b ⇔ x = cx + d cy − a VËy f lµ song ¸nh. { xn }n=1 lµ d·y ph©n tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi +∞ b)  x1 ≠ t1  ∃x2 ∈ R, x2 ≠ t1  ∃x3 ∈ R, x3 ≠ t1 ⋮  §iÒu nµy quy vÒ x1 ≠ tn víi mäi n mµ tn x¸c ®Þnh. axn + b Cho (xn) lµ d·y ph©n tuyÕn tÝnh nh− sau xn +1 = , ∀n = 1, 2,... Khi ®ã ta cã c¸c ®Þnh lÝ sau: cxn + d §Þnh lÝ 2. NÕu d·y { xn } héi tô ®Õn L th× cL2 + (d − a ) L − b = 0 Chøng minh axn + b Tõ xn +1 = , ∀n = 1, 2,... cho n → +∞ ta ®−îc cxn + d aL + b L= ⇔ cL2 + (d − a ) L − b = 0 cL + d §Þnh lÝ 3. Khi ∆ = (d − a ) 2 + 4bc 0. Gäi α , β lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (Èn lµ x) §Þnh lÝ 4. Gi¶ sö cx 2 + (d − a ) x − b = 0 . Khi ®ã: a) x1 = α ⇔ xn = α , ∀n = 1, 2,... x −β cα + d , ∀n ∈ N * , λ = b) Gi¶ thiÕt x1 ≠ α , ®Æt X n = n . Khi ®ã: xn − α cβ + d X n +1 = λ X n , ∀n = 1, 2,... cα + d c) NÕu λ = < 1 th× lim xn = β . cβ + d n →∞ Trang 8
  9. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè cα + d NÕu λ = > 1 th× lim xn = α cβ + d n →∞ NÕu λ = −1 vµ x1 = β th× lim xn = β n →∞ NÕu λ = −1 vµ x1 ≠ β th× d·y { xn } ph©n kú víi c¸c gi¸ trÞ x1 vµ xn xen kÏ. Tr−êng hîp λ = 1 kh«ng thÓ x¶y ra. Chøng minh aL + b V× α , β lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh L = nªn cL + d aα + b aβ + b α= ,β = cα + d cβ + d a) Ta chØ cÇn chøng minh nÕu x1 = α th× xn = α , ∀n = 1, 2,... v× chiÒu ng−îc l¹i lµ hiÓn nhiªn. Ta dïng ph−¬ng ph¸p quy n¹p. Gi¶ sö x1 = α . Khi ®ã ax1 + b aα + b =α . x2 = = cx1 + d cα + d ax + b aα + b Gi¶ sö xn = α . Khi ®ã xn +1 = n = α . VËy theo nguyªn lý quy n¹p suy ra nÕu x1 = α th× = cxn + d cα + d xn = α , ∀n = 1, 2,... b)Ta cã x − β  axn + b a β + b   axn + b aα + b  X n +1 = n +1 = − − , : xn +1 − α  cxn + d cβ + d   cxn + d cα + d  cα + d xn − β = λ X n , ∀n = 1, 2,... X n +1 = . cβ + d xn − α c) Theo kÕt qu¶ c©u (b) suy ra X n = λ n −1 X 1 , ∀n = 1, 2,... xn − β NÕu λ < 1 th× lim λ n −1 = 0 . Do ®ã lim X n = lim λ n −1 X 1 = 0 . Tõ X n = ta cã xn − α n →∞ n →∞ n →∞ α Xn − β α Xn − β =β. xn = ⇒ lim xn = lim X n −1 X n −1 n →∞ n →∞ NÕu λ > 1 th× lim λ n −1 = ∞ . Do ®ã lim X n = lim λ n −1 X 1 = ∞ . Do ®ã n →∞ n →∞ n →∞ β α− α Xn − β Xn α − 0 1 =α . = 0 ⇒ lim xn = lim = lim = lim n →∞ X − 1 1− 0 1 n →∞ n →∞ x →∞ Xn 1− n Xn x1 − β . Do ®ã nÕu x1 = β th× X 1 = 0 . Theo kÕt qu¶ c©u (b) suy ra X n = 0, ∀n = 1, 2,... Suy ra Ta cã X 1 = x1 − α lim X n = 0 . T−¬ng tù nh− trªn suy ra lim xn = β . n →∞ n →∞ ( yn ) NÕu λ = −1 vµ x1 ≠ β th× X 1 ≠ 0 vµ X n +1 = (−1) n X 1 , ∀n = 1, 2,... . Ta sÏ chøng minh d·y sè víi yn = (−1) n , víi mäi n=1, 2,…, kh«ng héi tô (ph©n kú). ( yn ) ( yn ) Ta cã lim y2 n −1 = lim(−1) = −1 ≠ 1 = lim y2 n . VËy d·y ph©n kú. D·y kh«ng héi tô mµ n →∞ n →∞ n →∞ X n +1 = yn X 1 , ∀n = 1, 2,... nªn d·y { X n } còng kh«ng héi tô. Trang 9
  10. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè xn − β v−β suy ra d·y { xn } kh«ng héi tô ( v× nÕu lim xn = v ∈ ℝ th× lim X n = Tõ X n = , nghÜa lµ d·y xn − α v −α n →∞ n →∞ {X n} héi tô, ®Õn ®©y ta gÆp m©u thuÉn). cα + d λ =1 λ =1 = 1. Tr−êng hîp kh«ng thÓ x¶y ra bëi v× nÕu th× Suy ra cβ + d cα + d = cβ + d ⇒ cα = cβ ⇒ α = β . Mµ ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra ®−îc do ∆ = (d − b)2 + 4bc >0. a−d §Þnh lÝ 5. Gi¶ thiÕt ∆ = (d − a ) 2 + 4bc = 0 vµ ®Æt g = . Khi ®ã 2c a) x1 = g khi vµ chØ khi xn = g , ∀n = 1, 2,... 1 2c , ∀n = 1, 2,... , ®Æt µ = b) Gi¶ thiÕt x1 ≠ g , ®Æt X n = . Khi ®ã xn − g a+d X n +1 = X n + µ , ∀n = 1, 2,... c) lim xn = g . n →∞ Chøng minh aL + b a) V× ∆ =0 nªn ph−¬ng tr×nh cL2 + (d − a ) L − b = 0 ( tøc lµ ph−¬ng tr×nh L = ) cã nghiÖm kÐp lµ cL + d a−d g= . TiÕp theo ta lµm t−¬ng tù nh− ®· lµm ë ®Þnh lý (4a) 2c b) Víi mäi n = 1, 2, ... , ta cã  ax + b a − d  2c(cxn + d ) 1 X n +1 = = 1:  n − = xn +1 − g  cxn + d 2c  c(a + d ) xn + 2bc − ad + d 2 (d − a) 2 V× ∆ = (d − a ) 2 + 4bc =0, nªn 2bc = − . Do ®ã 2 (d − a) 2 − ad + d 2 = ( −d 2 + 2ad − a 2 − 2ad + 2d 2 ) = 1 2bc − ad + d = − 2 2 2 1 1 1 = (d 2 − a 2 ) = − (a − d )(a + d ) = − .2 gc(a + d ) = −c(a + d ) g 2 2 2 Tõ ®ã 2c(cxn + d ) 2(cxn + d ) X n +1 = = c(a + d ) xn − c(a + d ) g (a + d )( xn − g ) 2c( xn − g ) + 2cg + 2d 2c( xn − g ) 2(cg + d ) = = + (a + d )( xn − g ) (a + d )( xn − g ) (a + d )( xn − g ) (a + d ) 2c 2c 1 = µ + Xn = + = + a + d (a + d )( xn − g ) a + d xn − g ( 2(cg + d ) = a + d V× 2 ( cg + d ) = 2cg + 2d = a − d + 2d = a + d ) c) NÕu x1 = g th× theo ®Þnh lý (5a) suy ra xn = g , ∀n = 1, 2,... do ®ã lim xn = g . NÕu x1 ≠ g th× theo ®Þnh n →∞ lý (5b) ta cã X n +1 = X n + µ , ∀n = 1, 2,... suy ra { X n } lµ cÊp sè céng cã c«ng sai lµ µ vµ sè h¹ng ®Çu lµ X 1 . Do ®ã X n = X 1 + (n − 1) µ , ∀n = 1, 2,... Trang 10
  11. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 2c ≠ 0 nªn lim X n = lim [ X 1 + (n − 1) µ ] = ∞ . Do ®ã lim xn = g . VËy trong mäi tr−êng hîp ta ®Òu cã V× µ = a+d n →∞ n →∞ n →∞ lim xn = g . n →∞ 2.5. C¸c bµi tËp. Bµi tËp 1. −1 ( vn ) x¸c ®Þnh bëi v0 = 1 vµ vn = , ∀n = 1, 2,... .Chøng minh r»ng d·y ®· cho cã giíi h¹n XÐt d·y 3 + vn −1 vµ t×m giíi h¹n ®ã. Lêi gi¶i avn + b ( vn ) , víi a = 0 , b = −1 , c = 1 vµ d = 3 lµ d·y ph©n tuyÕn tÝnh, vn +1 = C¸ch 1. cvn + d −3 − 5 ( ad − bc = 1 ≠ 0, c ≠ 0 ). Ph−¬ng tr×nh x 2 + 3 x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 = β = vµ 2 −3 + 5 x2 = α = . 2 Ta cã cα + d 14 + 6 5 −3 + 5 , λ= >1⇒ λ >1 v0 ≠ x2 = = cβ + d 2 4 −3 + 5 VËy theo ®Þnh lý (4c) d·y ®· cho héi tô vµ lim vn = α = . n →∞ 2 Bµi tËp 2 sau ®©y lµ tæng qu¸t cña bµi tËp 1. Bµi tËp 2. −a {vn } nh− sau: v1 = α vµ vn +1 = , ∀n = 1, 2,... (víi a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng, Cho d·y b + cvn −b + ∆ ∆ = b 2 − 4ac > 0, α ≥ ). Chøng minh r»ng d·y sè ®· cho héi tô vµ tÝnh lim vn . n →∞ 2c Lêi gi¶i −b + ∆ −b − ∆ −b − ∆ C¸ch 2. Ta cã α ≥ ⇒α ≠ > 2c 2c 2c Ta cã −b − ∆ b+c b− ∆ b− ∆ 2c = =
  12. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè XÐt hai d·y sè ( yn ) vµ ( zn ) thâa m·n ®iÒu kiÖn sau:  yn +1 = zn , y1 = x1 , z1 = 1 .   zn +1 = −3 yn + 4 zn = zn +1 = −3 yn + 4 zn = −3 yn + 4 yn +1 . VËy ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña d·y sè { yn } lµ Khi ®ã yn + 2 λ = 1 λ 2 − 4λ + 3 = 0 ⇔  λ = 3 VËy sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè { yn } lµ: yn = A + B.3n , ∀n = 1, 2,... ( A vµ B lµ c¸c h»ng sè sÏ t×m sau ) n +1 V× zn = yn +1 nªn zn = A + B.3 , ∀n = 1, 2,... . V× z1 = 1 nªn 1 = A + 9 B . V× y1 = x1 nªn x1 = A + 3B . 3 x1 − 1  A = 2  A + 3B = x1  Tõ hÖ  ta cã . VËy víi mäi n = 1, 2,..., ta cã  1 − x1  A + 9B = 1 B =   6 3 x − 1 1 − x1 n 3 x − 1 1 − x1 n +1 yn = 1 + .3 , zn = 1 + .3 2 6 2 6 y y1 = x1 . Gi¶ sö n = xn , khi ®ã Ta cã z1 zn yn +1 zn 1 1 = = = = xn +1 zn +1 −3 yn + 4 zn 4 − 3 yn 4 − 3 xn zn VËy theo nguyªn lý quy n¹p suy ra 3 x1 − 1 1 − x1 n + .3 yn 2 6 xn = = , ∀n = 1, 2,... zn 3 x1 − 1 + 1 − x1 .3n +1 2 6 Tøc lµ 9 x1 − 3 + (1 − x1 )3n xn = , ∀n = 1, 2,... 9 x1 − 3 + (1 − x1 )3n +1 VËy xn kh«ng x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi 1 − 3n n +1 n +1 n +1 9 x1 − 3 + (1 − x1 )3 = 0 ⇔ (9 − 3 ) x1 = 3 − 3 ⇔ x1 = . 3 − 3n VËy ta cã kÕt qu¶ nh− sau: 1 − 3n +) Khi x1 = , (n = 2, 3,...) th× d·y kh«ng x¸c ®Þnh 3 − 3n +) Khi x1 = 1 th× xn = 1, ∀n = 1, 2,... , do ®ã lim xn = 1 n →∞ +) Víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c cña x1 th× xn x¸c ®Þnh víi mäi n = 1, 2, ... vµ 9 x1 − 3 + (1 − x1 )3n xn = , ∀n = 1, 2,... 9 x1 − 3 + (1 − x1 )3n +1 do ®ã Trang 12
  13. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 9 x1 − 3 + (1 − x1 ) 1 − x1 1 3n lim xn = lim = =. n →∞ 9 x − 3 + (1 − x1 )3 (1 − x1 )3 3 n →∞ 1 n 3 NhËn xÐt. §Ó cho lêi gi¶i ®−îc ng¾n gän th× viÖc t×m ra c«ng thøc tæng qu¸t xn cña d·y { xn } ®−îc lµm ë ngoµi 9 x1 − 3 + (1 − x1 )3n giÊy nh¸p, cßn khi tr×nh bµy lêi gi¶i ta chØ cÇn nªu c«ng thøc xn = , ∀n = 1, 2,... , råi chøng 9 x1 − 3 + (1 − x1 )3n +1 minh c«ng thøc nµy b»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p. Ngoµi c¸ch gi¶i trªn, sö dông ®Þnh lý 1 vµ ®Þnh lý 4 ta còng suy ra ®−îc kÕt qu¶. Bµi tËp 6 ( ®Ò thi häc sinh giái quèc gia, b¶ng B, n¨m häc 2002-2003) Cho sè thùc α ≠ 0 vµ d·y sè thùc { xn } , n = 1, 2,3,... , x¸c ®Þnh bëi: x1 = 0, xn +1 ( xn + α ) = α + 1 ( ∀n = 1, 2,...) a) H·y t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè ®· cho. b) Chøng minh d·y sè ( xn ) cã giíi h¹n h÷u h¹n khi n → +∞ . H·y t×m giíi h¹n ®ã. Lêi gi¶i Tr−êng hîp 1: α = −1 . Khi ®ã xn = 0, ∀n = 1, 2,... Tr−êng hîp 2: α ≠ −1 . Khi ®ã xn ≠ −α , ∀n = 1, 2,... . Do ®ã ta cã α +1 xn +1 = , ∀n = 1, 2,... (1) xn + α ax + b , víi a = 0 , b = α + 1 , c = 1 , d = α , c ≠ 0 vµ VËy xn +1 cã d¹ng xn +1 = n cxn + d ad − bc = α + 1 ≠ 0 ( do α ≠ −1) XÐt hai d·y sè ( yn ) vµ ( zn ) thâa m·n ®iÒu kiÖn sau:  yn +1 = (α + 1) zn  , y1 = x1 = 0, z1 = 1 .   zn +1 = yn + α zn  Khi ®ã yn + 2 = (α + 1) zn +1 = (α + 1) ( yn + α zn ) = (α + 1) yn + α (α + 1) zn = (α + 1) yn + α yn +1 . VËy ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cña d·y sè { yn } lµ  λ = −1 λ 2 − αλ − (α + 1) = 0 ⇔  λ = α + 1 Tr−êng hîp 2a: α = −2 . Khi ®ã ph−¬ng tr×nh λ 2 − αλ − (α + 1) = 0 cã nghiÖm kÐp λ1 = λ2 = −1 . Suy ra yn = ( C + Dn )( −1) , ∀n = 1, 2,... ( víi C vµ D lµ c¸c h»ng sè sÏ t×m sau ) n V× y1 = 0 nªn C + D = 0 . V× y2 = (α + 1) z1 = α + 1 = −1 nªn C + 2 D = −1 . C + D = 0  D = −1 Tõ hÖ  ta cã  . C + 2 D = −1 C = 1 yn +1 VËy yn = (1 − n )( −1) , ∀n = 1, 2,... vµ zn = = n ( −1) , ∀n = 1, 2,... n +1 n α +1 Ta cã Trang 13
  14. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè yn n − 1 xn = = , ∀n = 1, 2,... zn n Tr−êng hîp 2b: α ≠ −2 . Khi ®ã sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè { yn } lµ: yn = A ( −1) + B. (α + 1) , ∀n = 1, 2,... n n ( A vµ B lµ c¸c h»ng sè sÏ t×m sau ) V× y1 = 0 nªn − A + B. (α + 1) = 0 . V× y2 = (α + 1) z1 = α + 1 nªn A + B. (α + 1) = α + 1 2 α +1  A = α + 2 − A + B. (α + 1) = 0   Tõ  ta cã . VËy víi mäi n=1, 2,... ta cã  A + B. (α + 1) = α + 1 2 1  B =   α +2  α +1 1 ( −1) + (α + 1) , ∀n = 1, 2,... yn = n n α +2 α +2 ( −1) + (α + 1) , ∀n = 1, 2,... n +1 n y zn = n +1 = α +1 α + 2 α +2 T−¬ng tù tr−êng hîp 2a, b»ng quy n¹p ta chøng minh ®−îc: (α + 1) ( −1) + (α + 1)  n −1   n yn (α + 1)( −1) + (α + 1) n n xn = = = , ∀n = 1, 2,... ( −1) + (α + 1) ( −1) + (α + 1) n +1 n +1 n n zn c) Theo kÕt qu¶ c©u (a) suy ra: NÕu α = −1 th× xn = 0, ∀n = 1, 2,... . Do ®ã lim xn = 0 n →∞ n −1 NÕu α = −2 th× xn = , ∀n = 1, 2,... . Do ®ã n n −1  1 lim xn = lim = lim 1 −  = 1  n n →∞ n →∞ n n →∞ (α + 1) ( −1) + (α + 1) n −1  n   , ∀n = 1, 2,... NÕu α ≠ −2 th× xn = ( −1) + (α + 1) n +1 n Ta cã 1 1+ (α + 1) − (α + 1) = (α + 1) 2 n −1 2 n−2 x2 n −1 = , ∀n = 1, 2,... 1 + (α + 1) 2 n −1 1 +1 (α + 1) 2 n −1 1 +1 α + 1 + (α + 1) (α + 1) 2 n −1 2n x2 n = = , ∀n = 1, 2,... (α + 1) −1 2n 1 1− (α + 1) 2n α +1 > 1 α +1 < 1 lim x2 n = lim x2 n −1 = 1 ⇒ lim xn = 1 . Do ®ã nÕu th× NÕu th× n →∞ n →∞ n →∞ lim x2 n = − (α + 1) = lim x2 n −1 ⇒ lim xn = − (α + 1) . n →∞ n →∞ n →∞ Bµi tËp 7 ( ®Ò thi häc sinh giái quèc gia, b¶ng A, n¨m 2004) Trang 14
  15. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè ( 2 + cos 2α ) xn + cos 2 α , trong XÐt d·y sè { xn }n =1 nh− sau: x1 = 1 vµ víi mäi n = 1, 2 ,…, th× xn +1 = +∞ ( 2 − 2 cos 2α ) xn + 2 − cos 2α n 1 ®ã α lµ mét tham sè thùc. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña α ®Ó d·y sè { yn } , víi yn = ∑ , ∀n = 1, 2,... cã giíi 2 xk + 1 k =1 h¹n h÷u h¹n khi n → +∞ . H·y t×m giíi h¹n cña d·y sè { yn } trong c¸c tr−êng hîp ®ã. H−íng dÉn gi¶i C¸ch 1: T−¬ng tù nh− bµi tËp 4, bµi tËp 6, ta t×m ®−îc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè ( xn ) . Tõ ®ã t×m ®−îc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè { yn } . Tuy nhiªn, gi¶i theo c¸ch nµy sÏ gÆp ph¶i nh÷ng tÝnh to¸n kh«ng ®¬n gi¶n, dÔ g©y nhÇm lÉn nÕu kü n¨ng tÝnh to¸n kh«ng thËt v÷ng. C¸ch 2: DÔ chøng minh xn > 0, ∀n = 1, 2,... . Víi mäi n = 1, 2, …, ta cã: 2 ( 2 + cos 2α ) xn + 2cos 2 α 2 xn +1 + 1 = +1 = ( 2 − 2 cos 2α ) xn + 2 − cos 2α 2 ( 2 + cos 2α ) xn + 2 cos 2 α + ( 2 − 2 cos 2α ) xn + 2 − cos 2α = = ( 2 − 2 cos 2α ) xn + 2 − cos 2α 6 xn + 2 cos 2 α + 2 − ( 2 cos 2 α − 1) 3 ( 2 xn + 1) = = ( 2 − 2 cos 2α ) xn + 2 − cos 2α ( 2 − 2 cos 2α ) xn + 2 − cos 2α Do ®ã ( 2 − 2 cos 2α ) xn + 2 − cos 2α 1 = = 3 ( 2 xn + 1) 2 xn +1 + 1 (2 xn + 1) − 1 − 2 cos 2α .xn + 2 − cos 2α (1 − cos 2α )(2 xn + 1) + 1 = = 3 ( 2 xn + 1) 3 ( 2 xn + 1) 1 2sin α ( 2 xn + 1) + 1 1  1 2 1 =  2sin 2 α + =.  , ∀n = 1, 2,... Bëi vËy 2 xn +1 + 1 3 2 xn + 1 2 xn + 1  3 1 1  1 − sin 2 α =  − sin 2 α  , ∀n = 1, 2,... Suy ra 2 xn +1 + 1 3  2 xn + 1  1 1 − sin 2 α , ∀n = 1, 2,... . Khi ®ã un +1 = un , ∀n = 1, 2,... . Nh− thÕ ( un ) lµ mét cÊp sè nh©n Gäi un = 2 xn + 1 3 1 1− n 1  31  1 n 1 1 víi sè h¹ng ®Çu u1 = − sin 2 α vµ c«ng béi q = . Do ®ã ∑ uk =  − sin 2 α . 3 =  − sin 2 α 1 − n  .  1− 1 2  3 3  3  3 3 k =1 3 Suy ra 31  1 n n 1 ∑ 2 x + 1 k =1 = ∑ (un + sin 2 α ) =  − sin 2 α 1 − n  + n sin 2 α . 23  3  k =1 n 1 V× d·y sè  n  héi tô nªn d·y sè ( yn ) héi tô ⇔ d·y sè {n sin 2 α } +∞ héi tô n =1 3  ⇔ sin 2 α = 0 ⇔ α = kπ , k ∈ Z . Khi ®ã: 31  1 3 1 1 lim yn = lim  − 0  1 − n  = . = .   3  2 3 2 n →∞ n →∞ 2 3 Trang 15
  16. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè 2(2 xn + 1) Bµi tËp 8: Cho d·y { xn }n =1 nh− sau: x1 = 1, xn +1 = +∞ , ∀n = 1, 2,... . Chøng minh r»ng d·y sè ®· cho héi tô xn + 3 vµ t×m giíi h¹n cña d·y sè ®ã. §¸p sè lim xn = 2 n →∞ Bµi tËp 9 ( §Ò thi v« ®Þch sinh viªn Moskva, 1982 ). 1 Cho d·y { xn } nh− sau: x0 = 1982, xn +1 = (n = 0,1,...) . H·y t×m lim xn . 4 − 3 xn n →∞ Bµi tËp 10 ( §Ò thi v« ®Þch TiÖp ). Cho d·y sè ( an ) ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: 3 a1 = 2, an +1 = 4 − (∀n = 1, 2,...) . an Chøng minh r»ng d·y sè ®· cho cã giíi h¹n vµ tÝnh giíi h¹n cña d·y sè ®ã. §¸p sè: lim an = 3 . n →∞ Bµi tËp 11 Cho d·y sè { xn } nh− sau: ( ) n +1 2 +1 xn + 1 x0 = 2 − 1, xn +1 = , ∀n = 0,1, 2,... . ( ) ( ) 2 n+3 n+2 2 +1 xn + 3 2 +1 Chøng minh r»ng d·y { xn } héi tô vµ t×m lim xn . n →∞ H−íng dÉn gi¶i u +1 ( ) n +1 2 +1 xn = un . Khi ®ã u0 = 1, un +1 = n , ∀n = 0,1, 2,... §Æt un + 3 Ta chøng minh ®−îc ( )( ) n n 2 +1 + 2 −1 = , ∀n = 0,1, 2,... un ( 2 + 1) − ( 2 − 1) n +1 n +1 VËy un lim xn = lim = 2 −1 ( ) n +1 n →∞ n →∞ 2 +1 ph−¬ng 3. ph−¬ng ph¸p quy n¹p ViÖc dù ®o¸n c«ng thøc råi dïng ph−¬ng ph¸p qui n¹p ®Ó chøng minh còng lµ mét ph−¬ng ph¸p m¹nh cho d·y sè v× c¸c c«ng thøc trong phÇn d·y sè ®Òu phô thuéc vµo c¸c sè tù nhiªn. u1 = u2 = 1  1; ( un ) :  u 2 n −1 + 2 un = u , ∀n ≥ 3  n−2 Ta hy väng r»ng sÏ ®−a ®−îc vÒ d·y tuyÕn tÝnh: un + aun −1 + bun − 2 + c = 0, ∀n ≥ 3 n = 3, 4,5 ⇒ a = −4; b = 1; c = 0 → un = 4un −1 − un − 2 , ∀n ≥ 3 Ta dïng qui n¹p ®Ó chøng minh c«ng thøc võa dù ®o¸n. Trang 16
  17. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè u1 = a; u2 = b  Tæng qu¸t d·y sè cã d¹ng ( un ) :  un −1 + c cã thÓ tuyÕn tÝnh hãa. 2 un = u  n−2 u0 = 1  2; ( un ) :  3 + un un +1 = , ∀n = 0,1, 2,... 1 − 3un  T×m u1997 . HD: Ta hy väng r»ng d·y nµy sÏ tuÇn hoµn. TÝnh trùc tiÕp ta thÊy u3 = u0 . Do ®ã ta dù ®o¸n: u3 n = u0 , ∀n = 0,1, 2,.... B»ng quy n¹p ta chøng minh ®iÒu ®ã. ⇒ u1997 = 3 − 2 . u0 = 3  3;  un +1 = un − 3un , ∀n = 0,1, 2,... 3  *)XÐt un d¹ng: un = a 3 + b3 . Khi ®ã, n n ( ) − 3( a ) (a )( ) 3 + b3 = a 3 + b3 + 3 ( ab ) 3n n +1 n+1 un − 3un = a 3 + b3 + b3 − 3 a 3 + b3 n n 3n n 3n n n n 3 (a )( ) = un +1 + 3 ( ab ) 3n + b3 − 3 a 3 + b3 3n n n n *)Nh− vËy, nÕu ta chän ab = 1 th× ®· tháa c«ng thøc truy håi. u0 = 3 ⇔ a + b = 3. 3n 3n a + b = 3  3+ 5   3− 5  → un =   +   . *)    ab = 1 2 2 u0 = 3  4;  un +1 = un + 3un , ∀n = 0,1, 2,... 3  *)XÐt un d¹ng: un = a 3 + b 3 . Khi ®ã, n n ( )( ) (a )( ) 3 + 3 a 3 + b3 = a 3 + b 3 + 3 ( ab ) 3n n +1 n+1 un + 3un = a 3 + b3 + b3 + 3 a 3 + b3 n n n n 3n n n n 3 (a )( ) = un +1 + 3 ( ab ) n + b 3 + 3 a 3 + b3 3n n n n 3 *)Nh− vËy, nÕu ta chän ab = −1 th× ®· tháa c«ng thøc truy håi. u0 = 3 ⇔ a + b = 3. 3n 3n a + b = 3  3 + 13   3 − 13  → un =   +  2 . *)  2  ab = −1     L−u ý: Mäi ®a thøc bËc ba ta ®Òu cã thÓ ®−a vÒ hai d¹ng trªn. u1 = 2 5;  un +1 = un + 3un − 3, ∀n = 1, 2,... 3 2 v1 = 3 §Æt vn = un + 1 (n = 1, 2,...) →  vn +1 = vn − 3vn , ∀n = 1, 2,... 3 L−u ý: Ch¾c b¹n ®äc ®ang b¨n kho¨n t¹i sao l¹i ®Æt vn = un + 1 (n = 1, 2,...) . §iÒu nµy ®−îc lÝ gi¶i nh− sau: XÐt hµm sè f ( x) = x3 + 3 x 2 − 3 . Khi ®ã un +1 = f (un ), ∀n = 1, 2,... Trang 17
  18. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè Ta cã f(x) lµ ®a thøc bËc 3 vµ f '( x) = 3 x 2 + 6 x, f ''( x) = 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1 . VËy ®iÓm uèn cña ®å thÞ cña hµm sè f(x) lµ A(−1, −1) . Ta biÕt r»ng ®å thÞ hµm sè f(x) nhËn ®iÓm uèn A(−1, −1) lµm t©m ®èi xøng. Do ®ã  X = x +1 ta th−êng ®æi hÖ trôc täa ®é theo c«ng thøc ®æi trôc sau:  . Nh− vËy ë bµi tËp trªn ta ph¶i ®Æt Y = y + 1 vn = un + 1 (n = 1, 2,...) . B¹n ®äc nªn ghi nhí mét sè phÐp ®æi biÕn rÊt th−êng dïng sau ®©y (kh«ng nh÷ng th−êng dïng trong d·y sè mµ nh÷ng phÐp ®æi biÕn nµy cßn hay dïng khi gi¶i ph−¬ng tr×nh, chøng minh bÊt ®¼ng thøc,… ) b b +) NÕu ta gÆp hµm ®a thøc bËc hai f ( x) = ax 2 + bx + c th× ta dêi gèc täa ®é vÒ ®Ønh A(− , f (− )) 2a 2a b cña Parabol. Tøc lµ ta ®æi biÕn X = x + . 2a +) NÕu ta gÆp hµm ®a thøc bËc ba f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d th× ta dêi gèc täa ®é vÒ ®iÓm uèn b b b A(− , f (− )) cña ®å thÞ cña f(x). Tøc lµ ta ®æi biÕn X = x + . 3a 3a 3a +) NÕu ta gÆp hµm sè tæng qu¸t th× ta ®æi biÕn sao cho hµm sè ®ã trë thµnh hµm sè lÎ hoÆc hµm sè ch½n.  3 u1 = 6;  6 u = 24u 3 − 12 6u 2 + 15u − 6, ∀n ≥ 1  n +1 n n n v1 = 2 §Æt vn = 6un − 1 ⇒  (§©y lµ ta míi lµ mÊt bËc ch½n, gièng chøng minh hµm vn +1 = 4vn + 3vn (n = 1, 2,...) 3 lÎ ®ã mµ) TiÕp theo ta lµm mÊt hÖ sè cña v3n . 1 → avn +1 = 4a 3vn + 3avn → vn +1 = vn + 3vn → 4a 2 = 1 → a = 3 3 2 §Æt  x1 = 4 1 vn = axn = xn →   xn +1 = x n + 3 xn 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3n−1 3n −1 3n−1 3n −1 3n−1 3n−1 1  1 1 → xn = 2 + 5 + 2− 5 → vn = 2+ 5 + 2− 5  → un = 2 6  2 + 5 + 2− 5 + 6 2     u1 = 2 (®Ò nghÞ thi OLYMPIC 30/04/1999) 7;  un +1 = 9un + 3un , ∀n = 1, 2,... 3 v1 = 6 HD:§Æt 3un = vn ⇒  vn +1 = vn + 3vn 3 ph−¬ng 4. ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c Khi c«ng thøc truy håi xuÊt hiÖn nh÷ng yÕu tè gîi ®Õn c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c th× ta cã thÓ thö víi phÐp thÕ l−îng gi¸c. Trang 18
  19. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè  1 u1 = 1;  2 u = 2u 2 − 1, ∀n ≥ 2 n n −1 *)un −1 = cos α ⇒ un = cos 2α π 1 *)u1 = = cos 2 3 2πn −1 *)un = cos , ∀n ≥ 1. Chøng minh b»ng qui n¹p 3 u1 2;  un = 2u n −1 − 1, ∀n ≥ 2 2 *) u1 ≤ 1 → u1 = cos α → un = cos 2n −1α 1  n−1 1 1 1 *) u1 > 1 → u1 =  a +  → un =  a 2 + 2n−1  2 a 2 a u0 = c  , ab = 2 TQ:  un +1 = au n − b, ∀n ≥ 0 2  *)un = bvn → vn +1 = 2v 2 n − 1 Vµ ta còng biÕt r»ng mäi tam thøc bËc hai bÊt kú ta ®Òu cã thÓ ®æi biÕn vÒ ®Ønh cña nã ®Ó ta ®−îc hµm ch½n, tøc lµ mÊt ®i bËc nhÊt: ax 2 + b . Tuy nhiªn, nã cã thá tÝnh chÊt trªn hay kh«ng th× ta cÇn ph¶i kiÓm tra cô thÓ. u1 3;  un = 4u n −1 − 3un −1 , ∀n ≥ 2 3 *) u1 ≤ 1 → u1 = cos α → un = cos 3n −1α 1 1 1 1 *) u1 > 1 → u1 =  a +  → un =  a n −1 + n −1  2 a 2 a u1 4;  un = 4u n −1 + 3un −1 , ∀n ≥ 2 3 1 1 1 1 *)u1 =  a −  → un =  a n −1 − n −1  2 a 2 a u1 5;  un = au n −1 + bu n −1 + cun −1 + d , ∀n ≥ 2 3 2 §−a vÒ hai d¹ng trªn. Trang 19
  20. www.VNMATH.com Huúnh Huúnh Thanh Lu©n X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè  1 u1 = 2  → un −1 = sin α 6;  2 − 2 1 − u 2 n −1  un = , ∀n ≥ 2  2 a+b  u1 = 2 ; v1 = bu1  ;0 < a < b 7;  u = un −1 + vn −1 ; v = u v n n −1 n  n 2 α α a *) = cos α → u1 = b cos 2 ; v1 = b cos b 2 2 α α α α *)u2 = b cos ; v2 = b cos .cos 2 .cos 2 2 22 2 2 2 α α α *)un = vn = b cos .cos 2 ...cos 2 2 2n 2 2 u1 = 3   un + 2 − 1 8;  un +1 = 1 + 1 − 2 u , ∀n = 1, 2,... ( )   n T×m u2003 ( §Ò thi chÝnh thøc OLYMPIC 30/04/2006 ). π un + tan π 8 , ∀n = 1, 2,... = 2 − 1 ⇒ un +1 = *)tg π 8 1 − un .tan HD: 8 π  *)un = tan α → un +1 = tan  + α  8   3 u1 = 3  9;  u +2− 3 un +1 = n , ∀n = 1, 2,... ( )  1 − 3 − 2 un  π π §S: un = tg  + (n − 1)  , ∀n = 1, 2,... 6 12  u1  un −1 + b 10;  un = 1 − bu , ∀n ≥ 2  n −1 u1 = 3  11;  un −1 un = , ∀n ≥ 2 1 + 1 + u 2 n −1  un −1 1 1 1 *)un = → = + 1 + 2 → xn = xn −1 + 1 + x 2 n −1 1 + 1 + u 2 n −1 un un −1 u n −1 cos α + 1 α 1 *) xn −1 = cotα → xn = cotα + 1 + cot 2α = cotα + = = cot sin α sin α 2 Trang 20
nguon tai.lieu . vn
Trung học phổ thông Ôn thi ĐH-CĐ Đề thi - Kiểm tra Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học Mầm non - Mẫu giáo Giáo án điện tử Trung học cơ sở Bài giảng điện tử Bài văn mẫu Vật lý Bài tập SGK Khoa học xã hội Tiếng Anh phổ thông