Xem mẫu
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsg
Bµi1) TÝnh tæng: S 1 3 5
3 ...
2n 1
...
2 22 2 2n
gi¶i:
1 3 5 2n 1 3 5 7 2n 1
§Æt Sn 2 3 ... n
2Sn 1 2 3 ... n 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1
1.1 n 1
1 1 1 2n 1 2 2n 1 2n 3
Sn 1 1 2 ... n 2 1 3 .
2 2 2 2n 1
1 2n 2n
2
VËy S = lim Sn 3 .
n
7 10 13
Bµi 2) Cho d·y (un) víi u 1 ; u 2 ; u 3 ;... Chøng minh r»ng khi n d·y cã giíi
3 5 7
3
h¹n lµ .
2
Gi¶i.
Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d = 2 sè h¹ng
tæng qu¸t wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … c¸c tö thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 7, d = 3
sè h¹ng tæng qu¸t vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, …
v 3n 4 3n 4 3
VËy u n n , n = 1, 2, … Limu n lim .
w n 2n 1 2n 1 2
Bµi 3. Cho CSC a1, a2, … vµ CSN b1, b2, … tháa m·n:
a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. T×m 2 cÊp sè ®ã.
Gi¶i. gt a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 vµ a1 + a3 = 2a2 nªn 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1
4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*).
MÆt kh¸c: b1, b2, … lµ CSN nªn b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vµo (*)
b1(q2 – 5q + 4) = 0 b1 = 0 q = 1 q = 4. Tõ ®ã t×m ®îc c¸c cÊp sè lµ:
CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … HoÆc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,…
Bµi 4. Cho 2 d·y sè (un) vµ (vn) tháa m·n:
1 2u n v n
u1 = 1995, v1 = 1997, u n 1 (u n v n ), v n 1 , n = 1, 2, …
2 u n vn
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
n
22
Chøng minh r»ng: u n 1 v n 1 n , n 1.
2
Gi¶i. gt un > 0, vn > 0 n = 1, 2, …
1 2u n v n (u n v n ) 2
Ta cã: un + 1 – vn + 1 = (u n v n ) 0 , n = 1, 2, …
2 u n v n 2(u n v n )
u vn
un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, … 0 n 1 , n = 2, 3,…
2(u n v n )
(u n v n ) 2
u n v n , n = 2, 3,…
2(u n v n )
( u 1 v1 ) 2 4 1
un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 = 1.
2(u 1 v1 ) 2(1995 1997 ) 1996
n
22
MÆt kh¸c, dÔ thÊy n 1 . Tõ ®ã suy ra ®.p.c.m.
2
Bµi5. Cho d·y sè (un) tháa m·n:
u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n 1.
T×m c«ng thøc tÝnh un theo n.
Gi¶i
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña d·y sè lµ: x2 = 6x + 2 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt :
x 1 3 11, x 2 3 11 . Ta chøng minh:
u n (3 11) n (3 11) n , n = 0, 1, 2, …
ThËy vËy: Víi n = 0: u 0 (3 11) 0 (3 11) 0 2 ®óng
Víi n = 1: u 1 (3 11)1 (3 11)1 6 ®óng.
n 1, ta cã:
6un + 2un – 1 = 6(3 11) n 6(3 11) n 2(3 11) n 1 2(3 11) n 1 =
= (3 11) n 1 (20 6 11) (3 11) n 1 (20 6 11) =
= (3 11) n 1 (3 11) n 1 u n 1 (®.p.c.m).
Bµi 6. D·y sè (un) ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
a) u1 = a; u2 = b (a, b R, a < b)
1
b) u n (u n 1 u n 2 ) .
2
Chøng tá r»ng tån t¹i giíi h¹n cña d·y vµ t×m giíi h¹n ®ã theo a, b.
Gi¶i.
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
1 1
u n (u n 1 u n 2 ) u n u n 1 (u n 1 u n 2 ) (1).
2 2
§Æt vn – 1 = un – un –1 , n 2 v1 = u2 – u1 = b – a.
1 1
Tõ (1) v n 1 v n 2 (vn) lµ CSN cã c«ng béi q . Do ®ã:
2 2
n 1 n 1
1 1
v n v1 (b a ) .
2 2
Ta cã: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =
1 n 1
1 n 1
= vn – 1 + vn – 2 + … + v1 + u1 = v1 2 u 2b a 2 (b a ) 1 .
1
1 3 3 2
1 2
n 1
V× lim 1
0 nª n lim u n
2b a .
2 3
Bµi 7. Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi u n a a ... a víi a > 0. Chøng minh d·y ®· cho cã
n dÊu c¨n
giíi h¹n. T×m lim un.
Gi¶i.
Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh d·y suy ra: u 1 a ; u n a u n 1 , n 2.
n = 2, 3, … ta cã: u n a a ... a a a ... a u n 1 .
n dÊu c¨n n 1 dÊu c¨n
1 1 4a 1 1 4a
MÆt kh¸c: u n (*) n = 1, 2, … ThËy vËy: u 1 a . Gi¶ sö (*) ®óng
2 2
1 1 4a 1 1 4a
®Õn n – 1, ta cã: u n a u n 1 a , tøc (*) ®óng n = 1, 2, …
2 2
un t¨ng vµ bÞ chÆn trªn tån t¹i lim un = L. Khi ®ã: L > 0 vµ L a L
1 1 4a 1 1 4a
L . VËy lim un = L .
2 2
Bµi 8. a) Cho d·y sè u1, u2, …, un, … cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng kh¸c 0 vµ tháa m·n:
1 1 1 k 1
... , k 3 (*).
u 1u 2 u 2 u 3 u k 1u k u 1u k
Chøng minh d·y ®· cho lµ cÊp sè céng.
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
1
b) Cho d·y sè thùc (un) ®îc x¸c ®Þnh u1 = a, u2 = b, u n (u n 1 u n 2 ) , n 3. Chøng minh tån
2
t¹i lim un vµ tÝnh giíi h¹n ®ã theo a, b.
Gi¶i.
a) ViÕt (*) díi d¹ng:
1 1 2 1 1 1 3
; ;…;
u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 2 u 2 u 3 u 3 u 4 u 1u 4
1 1 1 n 1
... .
u 1u 2 u 2 u 3 u n 1u n u 1u n
Hay:
1 1 2 2 1 3
(1) ; (2) ; … ;
u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 3 u 3 u 4 u 1u 4
n2 1 n 1
(n – 2).
u 1u n 1 u n 1u n u 1u n
Tõ (1) u1 + u3 = 2u1 u1, u2, u3 lËp thµnh CSC, gäi d lµ c«ng sai cña CSC nµy. Tõ (2) 2u4
+ u1 = 3u3 2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d) u4 = u1 + 3d. Suy ra u1, u2, u3, u4 lËp thµnh
CSC.
Gi¶ sö ®· chøng minh ®îc: un-1 = u1 + (n – 2)d (**).
Tõ (n – 2) (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kÕt hîp (**) (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d] un
= u1 + (n – 1)d. VËy theo nguyªn lý qui n¹p suy ra: un = u1 + (n – 1)d n = 2, 3, … §iÒu ®ã
chøng tá u1, u2, …, un, …lËp thµnh CSC (®.p.c.m).
b) Xem bµi 6
Bµi 9. T×m giíi h¹n cña tæng d·y sè sau:
1 1 1 1
S ...
1.2 2.3 3.4 4.5
1 1 1 1
Gi¶i. a) §Æt Sn ... .
1.2 2.3 3.4 n (n 1)
1 1
Ta dÔ d¶ng t×m ®îc Sn 1 . Tõ ®ã S lim Sn lim1 1.
n 1 n 1
Bµi 10. Cho sè thùc > 2 vµ d·y sè thùc d¬ng a n 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn:
n
a a 1 a 2 ... a n 1 , víi mäi n 2.
n
a
Chøng minh d·y n cã giíi h¹n khi n vµ t×m giíi h¹n ®ã.
n n 1
Gi¶i
Ta cã: a 1 a 1 a 2 ... a n a a n a hay a2 < a3 < a4 < …
n n n
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
a an a
n n 1 a 1 a 2 ... a n a 1 (n 1)a n hay a a 1 (n 2)a n (*)
n
+) NÕu a1 < 1 th× a a 1 1 a 2 1 a n 1
2
Tõ (*) a n a n (n 2)a n (n 1)a n a 1 n 1
n
1 1
1 1 1 1
an n 1 n . V× lim n 0 nª n lim a n 0 .
0 1 2
n n 2
n n n n n
+) NÕu a1 1 th× an > 1, n 2
1
an a1 n2 a n2
Tõ (*) suy ra 0 1 1 11 1 .
n n an n n n
1
a n 2 a
lim 11 1 0 nª n lim n 0.
n n n n n
Bµi 11. Cho d·y sè (u n ) ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
u1 0
2
u n 1 5u n 24u n 1, n 1, 2...
Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè nguyªn.
Gi¶i.
2
Tõ gi¶ thiÕt ta cã: u n 1 5u n 24u n 1 (1) vµ u2 = 1.
(1) u 2 1 25u n 2 10u n .u n 1 24u n 1
n
2 2 2 2
u n 1 u n 10u n 1.u n 1 0 (2)
Trong (2) thay n bëi n -1 ta ®îc:
u 2 10u n .u n 1 u n 1 1 0 u n 1 10u n .u n 1 u n 1 0
n
2 2 2
(3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra un+1 vµ un-1 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t 2 10u n t u 2 1 0
n
Theo dông ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã: u n 1 u n 1 10u n hay u n+1 10u n u n 1 (4)
Tõ u1 = 0; u2 = 1 vµ (4) ta suy ra c¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu lµ sè nguyªn
Bµi 12. Cho d·y sè (un) víi un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, víi n N*. T×m sè h¹ng lín nhÊt cña d·y sè
®· cho.
Gi¶i.
a) XÐt hµm sè f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x 1.
Ta cã: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4.
NÕu x 6 th× f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
NÕu x 5 th× f’(x) = 4x2(5 – x) + 4x2 – x + 4 > 0
Suy ra b¶ng biÕn thiªn cña f(x):
x 1 5 6 +
Tõ BBT suy ra un lín nhÊt n = 5 hoÆc n = 6.
Ta cã: u5 = 382,5; u6 = 438. f’(x) + _
VËy sè h¹ng lín nhÊt cña d·y lµ:
u6 = 438.
f(x)
u 1 2
Bµi 13. Cho d·y {un}:
2 un
u n 1 , n 1
1 2u n
Chøng minh {un} kh«ng tuÇn hoµn.
Gi¶i.
§Æt tg = 2, (0 ; ). Ta dÔ dµng chøng minh ®îc r»ng un = tgn, n 1.
2
Gi¶ sö {un} tuÇn hoµn chu kú T, tøc lµ: un + T = un n tg(n + T) = tgn, n sinT = 0 tgT =
0 uT = 0.
2 tgn 2u n
n ta cã: u2n = tg2n = (*)
1 tg 2 n 1 u 2
n
V× vËy nÕu u2n = 0 th× un = 0.
ViÕt T díi d¹ng T = 2k(2s + 1), k, s nguyªn 0. V× uT = 0 nªn sö dông (*) k lÇn ta ®i ®Õn u2s + 1 = 0, mµ
2 us
u 2s 1 nªn tõ u2s + 1 = 0 u2s = -2. Sö dông (*) suy ra:
1 2u s
us 2
2
1 u s u s 1 0 us lµ sè v« tØ (v× PT X2 – X – 1 = 0 cã nghiÖm v« tØ).
1 us
2 u2
n
MÆt kh¸c, do u1 = 2 vµ tõ u n 1 suy ra mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu h÷u tØ. M©u thuÈn. VËy {u n}
1 2u n
kh«ng tuÇn hoµn.
Bµi 14. Ký hiÖu [x] lµ phÇn nguyªn cña x vµ {x} = x – [x] lµ phÇn thËp ph©n cña x.
T×m lim{(2 2 ) n } .
x
Gi¶i.
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
n N, ta cã: (2 2 ) n x y 2 , (2 2 ) n x y 2 víi x, y Z (dÔ dµng chøng minh
b»ng qui n¹p)
Suy ra: (2 2 ) n (2 2 ) n Z n N.
MÆt kh¸c: §Ó ý nÕu a Z vµ 0 < d < 1 th× [a + d] = a, ta cã:
[(2 2 ) n ] [(2 2 ) n (2 2 ) n 1 1 (2 2 ) n ] ,
V× (2 2 ) n (2 2 ) n 1 Z vµ 0 1 (2 2 ) n 1 (do 0 (2 2 ) n 1 ) nªn
[(2 2 ) n ] (2 2 ) n (2 2 ) n 1 .
Do ®ã: {(2 2 ) n } (2 2 ) n [(2 2 ) n ] 1 (2 2 ) n .
V× lim (2 2 ) n 0 nªn lim{(2 2 ) n } 1 .
n n
Bài 15
1 1 1 1
Tính: Sn ...
a a a a
4 cos 2 4 2 cos 2 43 cos 2 4n cos 2
2 22 23 2n
Gi¶i:
1 1 sin 2 x cos 2 x 4 1 4 1
Ta có 2
2 2 2
2
2
2
2 (1)
cos x sin x sin x cos x sin 2 x cos x sin 2 x sin x
a a a
Thay x trong (1) lần lượt bởi ; 2 ;...; n thì ta có:
2 2 2
1 1 1
4 cos 2 a sin 2 a 4sin 2 a
2 2
1 1 1
a a a
4 2 cos 2 2 4sin 2 42 sin 2 2
2 2 2
...
1 1 1
a a a
4 n cos 2 n 4n 1 sin 2 n 1 4n sin 2 n
2 2 2
1 1
Sn 2
sin a 4n sin 2 a
2n
n
Câu 16. Cho dãy số (Un) xác định bởi Un = 2 3 . Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký
hiệu [Un] là phần nguyên của Un).
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
Giải:
n n
Ta có: 2 3 C 2 ( 3) k 0
k
n
nk k
n n
2 3 (1) C 2 (
k 0
k k
n
n k
3)
k
n n n k
2 3 2 3 (1 (1) k )C k 2 n k 3
k 0
n
n k
2C n 2 n k 3 2.m víi m N
k
k sè ch¨n, k=0
n
Do 0 < 2 - 3 1 0 2 3 1 n N *
n n n n
Mặt khác: 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3
n
Mà 0 1 2 3 1
n n n
Suy ra 2 3 2 3 2 3 1 2.m 1 là số lẻ
Bài 17:
1 a
Cho dãy số (an) , a1 = 1 và a n 1 a n . Chứng minh: lim n 2 .
an n
n
Gi¶i:
n n 1 n 1
1 1
a 2 1 a 2
k k 2
2 a i2 a 2 2 2(n 1).
j
ak i 2 j 1 j1 a j
n 1
1
a 2 2n 1
n . V y an > 2n 1 , n 2.
j1 a2
j
1 1 1 1 1 1 1
a 2 2k 1 k 2
k 4
2
2
.
a k (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k
n 1 n 1
1 1 1 1 1 1 5
Suy ra: 4 (1 ) 4 1 .
k 2 a k 4 n 1 4 j1 a j 4 4
n 1 n 1
1 1 5
Suy ra: 2 (n 1) 4 (n 1) (n 2).
j1 a j j1 a j 4
5(n 1)
Vậy: a 2 2n 1
n (n 2) .
2
- Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
5(n-1) 1 a 5(n-1)
Suy ra: n 2; 2n-1
nguon tai.lieu . vn