of x

Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 4 | Page: 9 | FileSize: 0.42 M | File type: PDF
4 lần xem

Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số. Cùng tham khảo tuyển tập một số bài Toán thi học sinh giỏi môn Toán về dãy số giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.. Giống những giáo án bài giảng khác được thành viên chia sẽ hoặc do tìm kiếm lại và chia sẽ lại cho các bạn với mục đích nghiên cứu , chúng tôi không thu phí từ người dùng ,nếu phát hiện tài liệu phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho website ,Ngoài thư viện tài liệu này, bạn có thể tải bài giảng miễn phí phục vụ nghiên cứu Có tài liệu tải về lỗi font chữ không xem được, có thể máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/tuyen-tap-mot-so-bai-toan-thi-hoc-sinh-gioi-ve-day-so-vwj0tq.html

Nội dung

tailieumienphi xin chia sẽ đến cộng đồng thư viện Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số.Để chia sẽ thêm cho các bạn nguồn thư viện Tài Liệu Phổ Thông,Đề thi - Kiểm tra đưa vào cho công tác giảng dạy.Xin mời bạn đọc quan tâm cùng xem ,Tài liệu Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số thuộc chuyên mục ,Tài Liệu Phổ Thông,Đề thi - Kiểm tra được giới thiệu bởi thành viên dethikiemtra đến mọi người nhằm mục đích nghiên cứu , tài liệu này được đưa vào mục Tài Liệu Phổ Thông,Đề thi - Kiểm tra , có tổng cộng 9 page , thuộc định dạng .PDF, cùng thể loại còn có Dãy số thực, Số hữu tỉ, Bài toán về dãy số, Đề thi học sinh giỏi Toán, Đề thi học sinh giỏi THPT, Đề thi học sinh giỏi ,bạn có thể tải về miễn phí , hãy giới thiệu cho mọi người cùng tham khảo . Để tải file về, các bạn click chuột nút download bên dưới
Cùng tham khảo hợp tuyển một số bài Toán thi học sinh chuyên nghiệp môn Toán về dãy số giúp những em ôn tập lại những kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và sẵn sàng kì thi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn, tiếp theo là Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsg, cho biết thêm Bµi1) TÝnh tæng: S  1  3 5  3  , tiếp theo là  2n  1  , nói thêm là 2 22 2 2n, thêm nữa gi¶i: 1 3 5 2n  1 3 5 7 2n  1, cho biết thêm §Æt Sn   2  3  , bên cạnh đó  n  2Sn  1   2  3  , nói thêm  n 1  2 2 2 2 2 2 2 2  1  1, thêm nữa 1  n 1  1 1 1 2n  1 2  2n  1 2n  3, nói thêm là Sn  1  1   2  , thêm nữa  n 2  1   3 , bên cạnh đó 2 2 2 2n 1 1 2n 2n 2, tiếp theo là VËy S = lim Sn  3 ,còn cho biết thêm n  7 10 13, bên cạnh đó Bµi 2) Cho d·y (un) víi u 1  ; u 2  ; u 3  ;, thêm nữa Chøng minh r»ng khi n  d·y cã giíi 3 5 7 3, tiếp theo là h¹n lµ , nói thêm 2, ngoài ra Gi¶i, tiếp theo là Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d
  1. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsg Bµi1) TÝnh tæng: S  1  3 5  3  ...  2n  1  ... 2 22 2 2n gi¶i: 1 3 5 2n  1 3 5 7 2n  1 §Æt Sn   2  3  ...  n  2Sn  1   2  3  ...  n 1  2 2 2 2 2 2 2 2  1  1.1  n 1  1 1 1 2n  1 2  2n  1 2n  3 Sn  1  1   2  ...  n 2  1   3 . 2 2 2 2n 1 1 2n 2n 2 VËy S = lim Sn  3 . n  7 10 13 Bµi 2) Cho d·y (un) víi u 1  ; u 2  ; u 3  ;... Chøng minh r»ng khi n  d·y cã giíi 3 5 7 3 h¹n lµ . 2 Gi¶i. Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d = 2  sè h¹ng tæng qu¸t wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … c¸c tö thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 7, d = 3  sè h¹ng tæng qu¸t vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, … v 3n  4 3n  4 3 VËy u n  n  , n = 1, 2, … Limu n  lim  . w n 2n  1 2n  1 2 Bµi 3. Cho CSC a1, a2, … vµ CSN b1, b2, … tháa m·n: a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. T×m 2 cÊp sè ®ã. Gi¶i. gt  a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 vµ a1 + a3 = 2a2 nªn 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1  4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*). MÆt kh¸c: b1, b2, … lµ CSN nªn b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vµo (*)  b1(q2 – 5q + 4) = 0  b1 = 0  q = 1  q = 4. Tõ ®ã t×m ®­îc c¸c cÊp sè lµ: CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … HoÆc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,… Bµi 4. Cho 2 d·y sè (un) vµ (vn) tháa m·n: 1 2u n v n u1 = 1995, v1 = 1997, u n 1  (u n  v n ), v n 1  , n = 1, 2, … 2 u n  vn
  2. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 n 22 Chøng minh r»ng: u n 1  v n 1  n , n  1. 2 Gi¶i. gt  un > 0, vn > 0 n = 1, 2, … 1 2u n v n (u n  v n ) 2 Ta cã: un + 1 – vn + 1 = (u n  v n )    0 , n = 1, 2, … 2 u n  v n 2(u n  v n ) u  vn  un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, …  0  n  1 , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) (u n  v n ) 2   u n  v n , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) ( u 1  v1 ) 2 4 1  un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 =    1. 2(u 1  v1 ) 2(1995  1997 ) 1996 n 22 MÆt kh¸c, dÔ thÊy n  1 . Tõ ®ã suy ra ®.p.c.m. 2 Bµi5. Cho d·y sè (un) tháa m·n: u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n  1. T×m c«ng thøc tÝnh un theo n. Gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña d·y sè lµ: x2 = 6x + 2 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt : x 1  3  11, x 2  3  11 . Ta chøng minh: u n  (3  11) n  (3  11) n , n = 0, 1, 2, … ThËy vËy: Víi n = 0: u 0  (3  11) 0  (3  11) 0  2 ®óng Víi n = 1: u 1  (3  11)1  (3  11)1  6 ®óng. n  1, ta cã: 6un + 2un – 1 = 6(3  11) n  6(3  11) n  2(3  11) n 1  2(3  11) n 1 = = (3  11) n 1 (20  6 11)  (3  11) n 1 (20  6 11) = = (3  11) n 1  (3  11) n 1  u n 1 (®.p.c.m). Bµi 6. D·y sè (un) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: a) u1 = a; u2 = b (a, b  R, a < b) 1 b) u n  (u n 1  u n 2 ) . 2 Chøng tá r»ng tån t¹i giíi h¹n cña d·y vµ t×m giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i.
  3. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 1 1 u n  (u n 1  u n 2 )  u n  u n 1   (u n 1  u n 2 ) (1). 2 2 §Æt vn – 1 = un – un –1 , n  2  v1 = u2 – u1 = b – a. 1 1 Tõ (1)  v n 1   v n 2  (vn) lµ CSN cã c«ng béi q   . Do ®ã: 2 2 n 1 n 1  1  1 v n  v1     (b  a )   .  2  2 Ta cã: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =   1  n 1  1      n 1 = vn – 1 + vn – 2 + … + v1 + u1 = v1   2    u  2b  a  2 (b  a )  1  . 1     1  3 3  2  1  2       n 1 V× lim  1     0 nª n lim u n  2b  a .  2 3 Bµi 7. Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi u n  a  a  ...  a víi a > 0. Chøng minh d·y ®· cho cã     n dÊu c¨n giíi h¹n. T×m lim un. Gi¶i. Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh d·y suy ra: u 1  a ; u n  a  u n 1 , n  2. n = 2, 3, … ta cã: u n  a  a  ...  a  a  a  ...  a  u n 1 .         n dÊu c¨n n 1 dÊu c¨n 1  1  4a 1  1  4a MÆt kh¸c: u n  (*) n = 1, 2, … ThËy vËy: u 1  a  . Gi¶ sö (*) ®óng 2 2 1  1  4a 1  1  4a ®Õn n – 1, ta cã: u n  a  u n 1  a   , tøc (*) ®óng n = 1, 2, … 2 2  un t¨ng vµ bÞ chÆn trªn  tån t¹i lim un = L. Khi ®ã: L > 0 vµ L  a  L 1  1  4a 1  1  4a  L . VËy lim un = L  . 2 2 Bµi 8. a) Cho d·y sè u1, u2, …, un, … cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng kh¸c 0 vµ tháa m·n: 1 1 1 k 1   ...   , k  3 (*). u 1u 2 u 2 u 3 u k 1u k u 1u k Chøng minh d·y ®· cho lµ cÊp sè céng.
  4. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 1 b) Cho d·y sè thùc (un) ®­îc x¸c ®Þnh u1 = a, u2 = b, u n  (u n 1  u n 2 ) , n  3. Chøng minh tån 2 t¹i lim un vµ tÝnh giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i. a) ViÕt (*) d­íi d¹ng: 1 1 2 1 1 1 3   ;    ;…; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 2 u 2 u 3 u 3 u 4 u 1u 4 1 1 1 n 1   ...   . u 1u 2 u 2 u 3 u n 1u n u 1u n Hay: 1 1 2 2 1 3   (1) ;   (2) ; … ; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 3 u 3 u 4 u 1u 4 n2 1 n 1   (n – 2). u 1u n 1 u n 1u n u 1u n Tõ (1)  u1 + u3 = 2u1  u1, u2, u3 lËp thµnh CSC, gäi d lµ c«ng sai cña CSC nµy. Tõ (2)  2u4 + u1 = 3u3  2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d)  u4 = u1 + 3d. Suy ra u1, u2, u3, u4 lËp thµnh CSC. Gi¶ sö ®· chøng minh ®­îc: un-1 = u1 + (n – 2)d (**). Tõ (n – 2)  (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kÕt hîp (**)  (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d]  un = u1 + (n – 1)d. VËy theo nguyªn lý qui n¹p suy ra: un = u1 + (n – 1)d n = 2, 3, … §iÒu ®ã chøng tá u1, u2, …, un, …lËp thµnh CSC (®.p.c.m). b) Xem bµi 6 Bµi 9. T×m giíi h¹n cña tæng d·y sè sau: 1 1 1 1 S     ... 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 Gi¶i. a) §Æt Sn     ...  . 1.2 2.3 3.4 n (n  1) 1  1  Ta dÔ d¶ng t×m ®­îc Sn  1  . Tõ ®ã S  lim Sn  lim1    1. n 1  n  1 Bµi 10. Cho sè thùc  > 2 vµ d·y sè thùc d­¬ng a n 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn: n a   a 1  a 2  ...  a n 1 , víi mäi n  2. n  a  Chøng minh d·y  n  cã giíi h¹n khi n   vµ t×m giíi h¹n ®ã.  n  n 1 Gi¶i Ta cã: a 1  a 1  a 2  ...  a n  a   a n  a  hay a2 < a3 < a4 < … n n n
  5. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3    a  an  a n n 1  a 1  a 2  ...  a n  a 1  (n  1)a n hay a   a 1  (n  2)a n (*) n +) NÕu a1 < 1 th× a   a 1  1  a 2  1  a n  1 2 Tõ (*)  a n  a n  (n  2)a n  (n  1)a n  a  1  n  1  n 1 1  1 1 1  1  an  n 1 n . V× lim n  0 nª n lim  a n   0 .  0      1   2   n  n   2  n  n n n  n   +) NÕu a1  1 th× an > 1, n  2  1  an  a1 n2 a n2 Tõ (*) suy ra 0      1   1  11   1 .  n  n an n n n  1  a n  2 a  lim  11   1   0 nª n lim n   0. n  n n  n  n    Bµi 11. Cho d·y sè (u n ) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau:  u1  0   2  u n 1  5u n  24u n  1, n  1, 2...  Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè nguyªn. Gi¶i. 2 Tõ gi¶ thiÕt ta cã: u n 1  5u n  24u n  1 (1) vµ u2 = 1. (1)  u 2 1  25u n 2  10u n .u n 1  24u n  1 n 2 2 2 2  u n 1  u n  10u n 1.u n  1  0 (2) Trong (2) thay n bëi n -1 ta ®­îc: u 2  10u n .u n 1  u n 1  1  0  u n 1  10u n .u n 1  u n  1  0 n 2 2 2 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra un+1 vµ un-1 lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh t 2  10u n t  u 2  1  0 n Theo dông ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã: u n 1  u n 1  10u n hay u n+1  10u n  u n 1 (4) Tõ u1 = 0; u2 = 1 vµ (4) ta suy ra c¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu lµ sè nguyªn Bµi 12. Cho d·y sè (un) víi un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, víi n  N*. T×m sè h¹ng lín nhÊt cña d·y sè ®· cho. Gi¶i. a) XÐt hµm sè f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x  1. Ta cã: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4. NÕu x  6 th× f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;
  6. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 NÕu x  5 th× f’(x) = 4x2(5 – x) + 4x2 – x + 4 > 0 Suy ra b¶ng biÕn thiªn cña f(x): x 1 5 6 + Tõ BBT suy ra un lín nhÊt  n = 5 hoÆc n = 6. Ta cã: u5 = 382,5; u6 = 438. f’(x) + _ VËy sè h¹ng lín nhÊt cña d·y lµ: u6 = 438. f(x) u 1  2 Bµi 13. Cho d·y {un}:   2  un  u n 1  , n  1  1  2u n Chøng minh {un} kh«ng tuÇn hoµn. Gi¶i.  §Æt tg = 2,   (0 ; ). Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc r»ng un = tgn, n  1. 2 Gi¶ sö {un} tuÇn hoµn chu kú T, tøc lµ: un + T = un n  tg(n + T) = tgn, n  sinT = 0  tgT = 0  uT = 0. 2 tgn 2u n n ta cã: u2n = tg2n =  (*) 1  tg 2 n 1  u 2 n V× vËy nÕu u2n = 0 th× un = 0. ViÕt T d­íi d¹ng T = 2k(2s + 1), k, s nguyªn  0. V× uT = 0 nªn sö dông (*) k lÇn ta ®i ®Õn u2s + 1 = 0, mµ 2  us u 2s 1  nªn tõ u2s + 1 = 0  u2s = -2. Sö dông (*) suy ra: 1  2u s us 2 2  1  u s  u s  1  0  us lµ sè v« tØ (v× PT X2 – X – 1 = 0 cã nghiÖm v« tØ). 1  us 2  u2 n MÆt kh¸c, do u1 = 2 vµ tõ u n 1  suy ra mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu h÷u tØ. M©u thuÈn. VËy {u n} 1  2u n kh«ng tuÇn hoµn. Bµi 14. Ký hiÖu [x] lµ phÇn nguyªn cña x vµ {x} = x – [x] lµ phÇn thËp ph©n cña x. T×m lim{(2  2 ) n } . x  Gi¶i.
  7. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 n  N, ta cã: (2  2 ) n  x  y 2 , (2  2 ) n  x  y 2 víi x, y  Z (dÔ dµng chøng minh b»ng qui n¹p) Suy ra: (2  2 ) n  (2  2 ) n  Z n N. MÆt kh¸c: §Ó ý nÕu a Z vµ 0 < d < 1 th× [a + d] = a, ta cã: [(2  2 ) n ]  [(2  2 ) n  (2  2 ) n  1  1  (2  2 ) n ] , V× (2  2 ) n  (2  2 ) n  1  Z vµ 0  1  (2  2 ) n  1 (do 0  (2  2 ) n  1 ) nªn [(2  2 ) n ]  (2  2 ) n  (2  2 ) n  1 . Do ®ã: {(2  2 ) n }  (2  2 ) n  [(2  2 ) n ]  1  (2  2 ) n . V× lim (2  2 ) n  0 nªn lim{(2  2 ) n }  1 . n  n  Bài 15 1 1 1 1 Tính: Sn     ...  a a a a 4 cos 2 4 2 cos 2 43 cos 2 4n cos 2 2 22 23 2n Gi¶i: 1 1 sin 2 x  cos 2 x 4 1 4 1 Ta có 2  2  2 2  2  2  2  2 (1) cos x sin x sin x cos x sin 2 x cos x sin 2 x sin x a a a Thay x trong (1) lần lượt bởi ; 2 ;...; n thì ta có: 2 2 2 1 1 1   4 cos 2 a sin 2 a 4sin 2 a 2 2 1 1 1   a a a 4 2 cos 2 2 4sin 2 42 sin 2 2 2 2 2 ... 1 1 1   a a a 4 n cos 2 n 4n 1 sin 2 n 1 4n sin 2 n 2 2 2 1 1  Sn  2  sin a 4n sin 2 a 2n n   Câu 16. Cho dãy số (Un) xác định bởi Un = 2  3 . Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký hiệu [Un] là phần nguyên của Un).
  8. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 Giải: n n Ta có:  2  3    C 2 ( 3) k 0 k n nk k n n  2  3    (1) C 2 ( k 0 k k n n k 3) k n n n k   2 3    2 3    (1  (1) k )C k 2 n k 3 k 0 n n k   2C n 2 n  k 3  2.m víi m  N k k sè ch¨n, k=0 n Do 0 < 2 - 3 1 0  2  3    1 n  N * n n n n Mặt khác:  2  3    2  3    2  3   1  1   2  3       n Mà 0   1   2  3    1     n n n Suy ra  2  3     2  3    2  3   1  2.m  1 là số lẻ     Bài 17: 1 a Cho dãy số (an) , a1 = 1 và a n 1  a n  . Chứng minh: lim n  2 . an n  n Gi¶i: n n 1 n 1 1 1 a 2 1  a 2  k k 2  2   a i2   a 2   2  2(n  1). j ak i 2 j 1 j1 a j n 1 1  a 2  2n  1   n . V y an > 2n  1 , n  2. j1 a2 j 1 1 1 1 1 1 1  a 2  2k  1 k  2  k 4  2  2     . a k (2k-1) (2k-1)  1 4k(k+1) 4  k  1 k  n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 5  Suy ra:  4  (1  )    4  1  . k 2 a k 4 n 1 4 j1 a j 4 4 n 1 n 1 1 1 5  Suy ra:  2  (n  1) 4  (n  1) (n  2). j1 a j j1 a j 4 5(n  1)  Vậy: a 2  2n  1  n (n  2) . 2
  9. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 5(n-1) 1 a 5(n-1)  Suy ra: n  2; 2n-1
597053

Sponsor Documents


Tài liệu liên quan


Xem thêm