Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 4 | Page: 9 | FileSize: 0.42 M | File type: PDF
of x

Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số. Cùng tham khảo tuyển tập một số bài Toán thi học sinh giỏi môn Toán về dãy số giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.. Cũng như các thư viện tài liệu khác được thành viên chia sẽ hoặc do sưu tầm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích nâng cao trí thức , chúng tôi không thu tiền từ người dùng ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho website ,Ngoài tài liệu này, bạn có thể download Tải tài liệu luận văn,bài tập phục vụ học tập Một ít tài liệu download thiếu font chữ không xem được, thì do máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn download các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/tuyen-tap-mot-so-bai-toan-thi-hoc-sinh-gioi-ve-day-so-vwj0tq.html

Nội dung


  1. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsg Bµi1) TÝnh tæng: S  1  3 5  3  ...  2n  1  ... 2 22 2 2n gi¶i: 1 3 5 2n  1 3 5 7 2n  1 §Æt Sn   2  3  ...  n  2Sn  1   2  3  ...  n 1  2 2 2 2 2 2 2 2  1  1.1  n 1  1 1 1 2n  1 2  2n  1 2n  3 Sn  1  1   2  ...  n 2  1   3 . 2 2 2 2n 1 1 2n 2n 2 VËy S = lim Sn  3 . n  7 10 13 Bµi 2) Cho d·y (un) víi u 1  ; u 2  ; u 3  ;... Chøng minh r»ng khi n  d·y cã giíi 3 5 7 3 h¹n lµ . 2 Gi¶i. Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d = 2  sè h¹ng tæng qu¸t wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … c¸c tö thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 7, d = 3  sè h¹ng tæng qu¸t vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, … v 3n  4 3n  4 3 VËy u n  n  , n = 1, 2, … Limu n  lim  . w n 2n  1 2n  1 2 Bµi 3. Cho CSC a1, a2, … vµ CSN b1, b2, … tháa m·n: a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. T×m 2 cÊp sè ®ã. Gi¶i. gt  a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 vµ a1 + a3 = 2a2 nªn 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1  4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*). MÆt kh¸c: b1, b2, … lµ CSN nªn b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vµo (*)  b1(q2 – 5q + 4) = 0  b1 = 0  q = 1  q = 4. Tõ ®ã t×m ®­îc c¸c cÊp sè lµ: CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … HoÆc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,… Bµi 4. Cho 2 d·y sè (un) vµ (vn) tháa m·n: 1 2u n v n u1 = 1995, v1 = 1997, u n 1  (u n  v n ), v n 1  , n = 1, 2, … 2 u n  vn
  2. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 n 22 Chøng minh r»ng: u n 1  v n 1  n , n  1. 2 Gi¶i. gt  un > 0, vn > 0 n = 1, 2, … 1 2u n v n (u n  v n ) 2 Ta cã: un + 1 – vn + 1 = (u n  v n )    0 , n = 1, 2, … 2 u n  v n 2(u n  v n ) u  vn  un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, …  0  n  1 , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) (u n  v n ) 2   u n  v n , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) ( u 1  v1 ) 2 4 1  un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 =    1. 2(u 1  v1 ) 2(1995  1997 ) 1996 n 22 MÆt kh¸c, dÔ thÊy n  1 . Tõ ®ã suy ra ®.p.c.m. 2 Bµi5. Cho d·y sè (un) tháa m·n: u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n  1. T×m c«ng thøc tÝnh un theo n. Gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña d·y sè lµ: x2 = 6x + 2 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt : x 1  3  11, x 2  3  11 . Ta chøng minh: u n  (3  11) n  (3  11) n , n = 0, 1, 2, … ThËy vËy: Víi n = 0: u 0  (3  11) 0  (3  11) 0  2 ®óng Víi n = 1: u 1  (3  11)1  (3  11)1  6 ®óng. n  1, ta cã: 6un + 2un – 1 = 6(3  11) n  6(3  11) n  2(3  11) n 1  2(3  11) n 1 = = (3  11) n 1 (20  6 11)  (3  11) n 1 (20  6 11) = = (3  11) n 1  (3  11) n 1  u n 1 (®.p.c.m). Bµi 6. D·y sè (un) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: a) u1 = a; u2 = b (a, b  R, a < b) 1 b) u n  (u n 1  u n 2 ) . 2 Chøng tá r»ng tån t¹i giíi h¹n cña d·y vµ t×m giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i.
  3. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 1 1 u n  (u n 1  u n 2 )  u n  u n 1   (u n 1  u n 2 ) (1). 2 2 §Æt vn – 1 = un – un –1 , n  2  v1 = u2 – u1 = b – a. 1 1 Tõ (1)  v n 1   v n 2  (vn) lµ CSN cã c«ng béi q   . Do ®ã: 2 2 n 1 n 1  1  1 v n  v1     (b  a )   .  2  2 Ta cã: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =   1  n 1  1      n 1 = vn – 1 + vn – 2 + … + v1 + u1 = v1   2    u  2b  a  2 (b  a )  1  . 1     1  3 3  2  1  2       n 1 V× lim  1     0 nª n lim u n  2b  a .  2 3 Bµi 7. Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi u n  a  a  ...  a víi a > 0. Chøng minh d·y ®· cho cã     n dÊu c¨n giíi h¹n. T×m lim un. Gi¶i. Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh d·y suy ra: u 1  a ; u n  a  u n 1 , n  2. n = 2, 3, … ta cã: u n  a  a  ...  a  a  a  ...  a  u n 1 .         n dÊu c¨n n 1 dÊu c¨n 1  1  4a 1  1  4a MÆt kh¸c: u n  (*) n = 1, 2, … ThËy vËy: u 1  a  . Gi¶ sö (*) ®óng 2 2 1  1  4a 1  1  4a ®Õn n – 1, ta cã: u n  a  u n 1  a   , tøc (*) ®óng n = 1, 2, … 2 2  un t¨ng vµ bÞ chÆn trªn  tån t¹i lim un = L. Khi ®ã: L > 0 vµ L  a  L 1  1  4a 1  1  4a  L . VËy lim un = L  . 2 2 Bµi 8. a) Cho d·y sè u1, u2, …, un, … cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng kh¸c 0 vµ tháa m·n: 1 1 1 k 1   ...   , k  3 (*). u 1u 2 u 2 u 3 u k 1u k u 1u k Chøng minh d·y ®· cho lµ cÊp sè céng.
  4. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 1 b) Cho d·y sè thùc (un) ®­îc x¸c ®Þnh u1 = a, u2 = b, u n  (u n 1  u n 2 ) , n  3. Chøng minh tån 2 t¹i lim un vµ tÝnh giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i. a) ViÕt (*) d­íi d¹ng: 1 1 2 1 1 1 3   ;    ;…; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 2 u 2 u 3 u 3 u 4 u 1u 4 1 1 1 n 1   ...   . u 1u 2 u 2 u 3 u n 1u n u 1u n Hay: 1 1 2 2 1 3   (1) ;   (2) ; … ; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 3 u 3 u 4 u 1u 4 n2 1 n 1   (n – 2). u 1u n 1 u n 1u n u 1u n Tõ (1)  u1 + u3 = 2u1  u1, u2, u3 lËp thµnh CSC, gäi d lµ c«ng sai cña CSC nµy. Tõ (2)  2u4 + u1 = 3u3  2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d)  u4 = u1 + 3d. Suy ra u1, u2, u3, u4 lËp thµnh CSC. Gi¶ sö ®· chøng minh ®­îc: un-1 = u1 + (n – 2)d (**). Tõ (n – 2)  (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kÕt hîp (**)  (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d]  un = u1 + (n – 1)d. VËy theo nguyªn lý qui n¹p suy ra: un = u1 + (n – 1)d n = 2, 3, … §iÒu ®ã chøng tá u1, u2, …, un, …lËp thµnh CSC (®.p.c.m). b) Xem bµi 6 Bµi 9. T×m giíi h¹n cña tæng d·y sè sau: 1 1 1 1 S     ... 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 Gi¶i. a) §Æt Sn     ...  . 1.2 2.3 3.4 n (n  1) 1  1  Ta dÔ d¶ng t×m ®­îc Sn  1  . Tõ ®ã S  lim Sn  lim1    1. n 1  n  1 Bµi 10. Cho sè thùc  > 2 vµ d·y sè thùc d­¬ng a n 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn: n a   a 1  a 2  ...  a n 1 , víi mäi n  2. n  a  Chøng minh d·y  n  cã giíi h¹n khi n   vµ t×m giíi h¹n ®ã.  n  n 1 Gi¶i Ta cã: a 1  a 1  a 2  ...  a n  a   a n  a  hay a2 < a3 < a4 < … n n n
  5. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3    a  an  a n n 1  a 1  a 2  ...  a n  a 1  (n  1)a n hay a   a 1  (n  2)a n (*) n +) NÕu a1 < 1 th× a   a 1  1  a 2  1  a n  1 2 Tõ (*)  a n  a n  (n  2)a n  (n  1)a n  a  1  n  1  n 1 1  1 1 1  1  an  n 1 n . V× lim n  0 nª n lim  a n   0 .  0      1   2   n  n   2  n  n n n  n   +) NÕu a1  1 th× an > 1, n  2  1  an  a1 n2 a n2 Tõ (*) suy ra 0      1   1  11   1 .  n  n an n n n  1  a n  2 a  lim  11   1   0 nª n lim n   0. n  n n  n  n    Bµi 11. Cho d·y sè (u n ) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau:  u1  0   2  u n 1  5u n  24u n  1, n  1, 2...  Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè nguyªn. Gi¶i. 2 Tõ gi¶ thiÕt ta cã: u n 1  5u n  24u n  1 (1) vµ u2 = 1. (1)  u 2 1  25u n 2  10u n .u n 1  24u n  1 n 2 2 2 2  u n 1  u n  10u n 1.u n  1  0 (2) Trong (2) thay n bëi n -1 ta ®­îc: u 2  10u n .u n 1  u n 1  1  0  u n 1  10u n .u n 1  u n  1  0 n 2 2 2 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra un+1 vµ un-1 lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh t 2  10u n t  u 2  1  0 n Theo dông ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã: u n 1  u n 1  10u n hay u n+1  10u n  u n 1 (4) Tõ u1 = 0; u2 = 1 vµ (4) ta suy ra c¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu lµ sè nguyªn Bµi 12. Cho d·y sè (un) víi un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, víi n  N*. T×m sè h¹ng lín nhÊt cña d·y sè ®· cho. Gi¶i. a) XÐt hµm sè f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x  1. Ta cã: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4. NÕu x  6 th× f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;
  6. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 NÕu x  5 th× f’(x) = 4x2(5 – x) + 4x2 – x + 4 > 0 Suy ra b¶ng biÕn thiªn cña f(x): x 1 5 6 + Tõ BBT suy ra un lín nhÊt  n = 5 hoÆc n = 6. Ta cã: u5 = 382,5; u6 = 438. f’(x) + _ VËy sè h¹ng lín nhÊt cña d·y lµ: u6 = 438. f(x) u 1  2 Bµi 13. Cho d·y {un}:   2  un  u n 1  , n  1  1  2u n Chøng minh {un} kh«ng tuÇn hoµn. Gi¶i.  §Æt tg = 2,   (0 ; ). Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc r»ng un = tgn, n  1. 2 Gi¶ sö {un} tuÇn hoµn chu kú T, tøc lµ: un + T = un n  tg(n + T) = tgn, n  sinT = 0  tgT = 0  uT = 0. 2 tgn 2u n n ta cã: u2n = tg2n =  (*) 1  tg 2 n 1  u 2 n V× vËy nÕu u2n = 0 th× un = 0. ViÕt T d­íi d¹ng T = 2k(2s + 1), k, s nguyªn  0. V× uT = 0 nªn sö dông (*) k lÇn ta ®i ®Õn u2s + 1 = 0, mµ 2  us u 2s 1  nªn tõ u2s + 1 = 0  u2s = -2. Sö dông (*) suy ra: 1  2u s us 2 2  1  u s  u s  1  0  us lµ sè v« tØ (v× PT X2 – X – 1 = 0 cã nghiÖm v« tØ). 1  us 2  u2 n MÆt kh¸c, do u1 = 2 vµ tõ u n 1  suy ra mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu h÷u tØ. M©u thuÈn. VËy {u n} 1  2u n kh«ng tuÇn hoµn. Bµi 14. Ký hiÖu [x] lµ phÇn nguyªn cña x vµ {x} = x – [x] lµ phÇn thËp ph©n cña x. T×m lim{(2  2 ) n } . x  Gi¶i.
  7. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 n  N, ta cã: (2  2 ) n  x  y 2 , (2  2 ) n  x  y 2 víi x, y  Z (dÔ dµng chøng minh b»ng qui n¹p) Suy ra: (2  2 ) n  (2  2 ) n  Z n N. MÆt kh¸c: §Ó ý nÕu a Z vµ 0 < d < 1 th× [a + d] = a, ta cã: [(2  2 ) n ]  [(2  2 ) n  (2  2 ) n  1  1  (2  2 ) n ] , V× (2  2 ) n  (2  2 ) n  1  Z vµ 0  1  (2  2 ) n  1 (do 0  (2  2 ) n  1 ) nªn [(2  2 ) n ]  (2  2 ) n  (2  2 ) n  1 . Do ®ã: {(2  2 ) n }  (2  2 ) n  [(2  2 ) n ]  1  (2  2 ) n . V× lim (2  2 ) n  0 nªn lim{(2  2 ) n }  1 . n  n  Bài 15 1 1 1 1 Tính: Sn     ...  a a a a 4 cos 2 4 2 cos 2 43 cos 2 4n cos 2 2 22 23 2n Gi¶i: 1 1 sin 2 x  cos 2 x 4 1 4 1 Ta có 2  2  2 2  2  2  2  2 (1) cos x sin x sin x cos x sin 2 x cos x sin 2 x sin x a a a Thay x trong (1) lần lượt bởi ; 2 ;...; n thì ta có: 2 2 2 1 1 1   4 cos 2 a sin 2 a 4sin 2 a 2 2 1 1 1   a a a 4 2 cos 2 2 4sin 2 42 sin 2 2 2 2 2 ... 1 1 1   a a a 4 n cos 2 n 4n 1 sin 2 n 1 4n sin 2 n 2 2 2 1 1  Sn  2  sin a 4n sin 2 a 2n n   Câu 16. Cho dãy số (Un) xác định bởi Un = 2  3 . Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký hiệu [Un] là phần nguyên của Un).
  8. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 Giải: n n Ta có:  2  3    C 2 ( 3) k 0 k n nk k n n  2  3    (1) C 2 ( k 0 k k n n k 3) k n n n k   2 3    2 3    (1  (1) k )C k 2 n k 3 k 0 n n k   2C n 2 n  k 3  2.m víi m  N k k sè ch¨n, k=0 n Do 0 < 2 - 3 1 0  2  3    1 n  N * n n n n Mặt khác:  2  3    2  3    2  3   1  1   2  3       n Mà 0   1   2  3    1     n n n Suy ra  2  3     2  3    2  3   1  2.m  1 là số lẻ     Bài 17: 1 a Cho dãy số (an) , a1 = 1 và a n 1  a n  . Chứng minh: lim n  2 . an n  n Gi¶i: n n 1 n 1 1 1 a 2 1  a 2  k k 2  2   a i2   a 2   2  2(n  1). j ak i 2 j 1 j1 a j n 1 1  a 2  2n  1   n . V y an > 2n  1 , n  2. j1 a2 j 1 1 1 1 1 1 1  a 2  2k  1 k  2  k 4  2  2     . a k (2k-1) (2k-1)  1 4k(k+1) 4  k  1 k  n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 5  Suy ra:  4  (1  )    4  1  . k 2 a k 4 n 1 4 j1 a j 4 4 n 1 n 1 1 1 5  Suy ra:  2  (n  1) 4  (n  1) (n  2). j1 a j j1 a j 4 5(n  1)  Vậy: a 2  2n  1  n (n  2) . 2
  9. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 5(n-1) 1 a 5(n-1)  Suy ra: n  2; 2n-1
597053

Tài liệu liên quan


Xem thêm