Xem mẫu

  1. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 TuyÓn tËp mét sè bµi to¸n d·y sè thi hsg Bµi1) TÝnh tæng: S  1  3 5  3  ...  2n  1  ... 2 22 2 2n gi¶i: 1 3 5 2n  1 3 5 7 2n  1 §Æt Sn   2  3  ...  n  2Sn  1   2  3  ...  n 1  2 2 2 2 2 2 2 2  1  1.1  n 1  1 1 1 2n  1 2  2n  1 2n  3 Sn  1  1   2  ...  n 2  1   3 . 2 2 2 2n 1 1 2n 2n 2 VËy S = lim Sn  3 . n  7 10 13 Bµi 2) Cho d·y (un) víi u 1  ; u 2  ; u 3  ;... Chøng minh r»ng khi n  d·y cã giíi 3 5 7 3 h¹n lµ . 2 Gi¶i. Mçi sè h¹ng cña d·y lµ mét ph©n thøc, c¸c mÉu thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 3, d = 2  sè h¹ng tæng qu¸t wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … c¸c tö thøc lËp thµnh CSC cã u1 = 7, d = 3  sè h¹ng tæng qu¸t vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, … v 3n  4 3n  4 3 VËy u n  n  , n = 1, 2, … Limu n  lim  . w n 2n  1 2n  1 2 Bµi 3. Cho CSC a1, a2, … vµ CSN b1, b2, … tháa m·n: a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. T×m 2 cÊp sè ®ã. Gi¶i. gt  a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 vµ a1 + a3 = 2a2 nªn 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1  4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*). MÆt kh¸c: b1, b2, … lµ CSN nªn b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vµo (*)  b1(q2 – 5q + 4) = 0  b1 = 0  q = 1  q = 4. Tõ ®ã t×m ®­îc c¸c cÊp sè lµ: CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … HoÆc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,… Bµi 4. Cho 2 d·y sè (un) vµ (vn) tháa m·n: 1 2u n v n u1 = 1995, v1 = 1997, u n 1  (u n  v n ), v n 1  , n = 1, 2, … 2 u n  vn
  2. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 n 22 Chøng minh r»ng: u n 1  v n 1  n , n  1. 2 Gi¶i. gt  un > 0, vn > 0 n = 1, 2, … 1 2u n v n (u n  v n ) 2 Ta cã: un + 1 – vn + 1 = (u n  v n )    0 , n = 1, 2, … 2 u n  v n 2(u n  v n ) u  vn  un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, …  0  n  1 , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) (u n  v n ) 2   u n  v n , n = 2, 3,… 2(u n  v n ) ( u 1  v1 ) 2 4 1  un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 =    1. 2(u 1  v1 ) 2(1995  1997 ) 1996 n 22 MÆt kh¸c, dÔ thÊy n  1 . Tõ ®ã suy ra ®.p.c.m. 2 Bµi5. Cho d·y sè (un) tháa m·n: u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n  1. T×m c«ng thøc tÝnh un theo n. Gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña d·y sè lµ: x2 = 6x + 2 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt : x 1  3  11, x 2  3  11 . Ta chøng minh: u n  (3  11) n  (3  11) n , n = 0, 1, 2, … ThËy vËy: Víi n = 0: u 0  (3  11) 0  (3  11) 0  2 ®óng Víi n = 1: u 1  (3  11)1  (3  11)1  6 ®óng. n  1, ta cã: 6un + 2un – 1 = 6(3  11) n  6(3  11) n  2(3  11) n 1  2(3  11) n 1 = = (3  11) n 1 (20  6 11)  (3  11) n 1 (20  6 11) = = (3  11) n 1  (3  11) n 1  u n 1 (®.p.c.m). Bµi 6. D·y sè (un) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: a) u1 = a; u2 = b (a, b  R, a < b) 1 b) u n  (u n 1  u n 2 ) . 2 Chøng tá r»ng tån t¹i giíi h¹n cña d·y vµ t×m giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i.
  3. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 1 1 u n  (u n 1  u n 2 )  u n  u n 1   (u n 1  u n 2 ) (1). 2 2 §Æt vn – 1 = un – un –1 , n  2  v1 = u2 – u1 = b – a. 1 1 Tõ (1)  v n 1   v n 2  (vn) lµ CSN cã c«ng béi q   . Do ®ã: 2 2 n 1 n 1  1  1 v n  v1     (b  a )   .  2  2 Ta cã: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =   1  n 1  1      n 1 = vn – 1 + vn – 2 + … + v1 + u1 = v1   2    u  2b  a  2 (b  a )  1  . 1     1  3 3  2  1  2       n 1 V× lim  1     0 nª n lim u n  2b  a .  2 3 Bµi 7. Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi u n  a  a  ...  a víi a > 0. Chøng minh d·y ®· cho cã     n dÊu c¨n giíi h¹n. T×m lim un. Gi¶i. Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh d·y suy ra: u 1  a ; u n  a  u n 1 , n  2. n = 2, 3, … ta cã: u n  a  a  ...  a  a  a  ...  a  u n 1 .         n dÊu c¨n n 1 dÊu c¨n 1  1  4a 1  1  4a MÆt kh¸c: u n  (*) n = 1, 2, … ThËy vËy: u 1  a  . Gi¶ sö (*) ®óng 2 2 1  1  4a 1  1  4a ®Õn n – 1, ta cã: u n  a  u n 1  a   , tøc (*) ®óng n = 1, 2, … 2 2  un t¨ng vµ bÞ chÆn trªn  tån t¹i lim un = L. Khi ®ã: L > 0 vµ L  a  L 1  1  4a 1  1  4a  L . VËy lim un = L  . 2 2 Bµi 8. a) Cho d·y sè u1, u2, …, un, … cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng kh¸c 0 vµ tháa m·n: 1 1 1 k 1   ...   , k  3 (*). u 1u 2 u 2 u 3 u k 1u k u 1u k Chøng minh d·y ®· cho lµ cÊp sè céng.
  4. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 1 b) Cho d·y sè thùc (un) ®­îc x¸c ®Þnh u1 = a, u2 = b, u n  (u n 1  u n 2 ) , n  3. Chøng minh tån 2 t¹i lim un vµ tÝnh giíi h¹n ®ã theo a, b. Gi¶i. a) ViÕt (*) d­íi d¹ng: 1 1 2 1 1 1 3   ;    ;…; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 2 u 2 u 3 u 3 u 4 u 1u 4 1 1 1 n 1   ...   . u 1u 2 u 2 u 3 u n 1u n u 1u n Hay: 1 1 2 2 1 3   (1) ;   (2) ; … ; u 1u 2 u 2 u 3 u 1u 3 u 1u 3 u 3 u 4 u 1u 4 n2 1 n 1   (n – 2). u 1u n 1 u n 1u n u 1u n Tõ (1)  u1 + u3 = 2u1  u1, u2, u3 lËp thµnh CSC, gäi d lµ c«ng sai cña CSC nµy. Tõ (2)  2u4 + u1 = 3u3  2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d)  u4 = u1 + 3d. Suy ra u1, u2, u3, u4 lËp thµnh CSC. Gi¶ sö ®· chøng minh ®­îc: un-1 = u1 + (n – 2)d (**). Tõ (n – 2)  (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kÕt hîp (**)  (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d]  un = u1 + (n – 1)d. VËy theo nguyªn lý qui n¹p suy ra: un = u1 + (n – 1)d n = 2, 3, … §iÒu ®ã chøng tá u1, u2, …, un, …lËp thµnh CSC (®.p.c.m). b) Xem bµi 6 Bµi 9. T×m giíi h¹n cña tæng d·y sè sau: 1 1 1 1 S     ... 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 Gi¶i. a) §Æt Sn     ...  . 1.2 2.3 3.4 n (n  1) 1  1  Ta dÔ d¶ng t×m ®­îc Sn  1  . Tõ ®ã S  lim Sn  lim1    1. n 1  n  1 Bµi 10. Cho sè thùc  > 2 vµ d·y sè thùc d­¬ng a n 1 tháa m·n ®iÒu kiÖn: n a   a 1  a 2  ...  a n 1 , víi mäi n  2. n  a  Chøng minh d·y  n  cã giíi h¹n khi n   vµ t×m giíi h¹n ®ã.  n  n 1 Gi¶i Ta cã: a 1  a 1  a 2  ...  a n  a   a n  a  hay a2 < a3 < a4 < … n n n
  5. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3    a  an  a n n 1  a 1  a 2  ...  a n  a 1  (n  1)a n hay a   a 1  (n  2)a n (*) n +) NÕu a1 < 1 th× a   a 1  1  a 2  1  a n  1 2 Tõ (*)  a n  a n  (n  2)a n  (n  1)a n  a  1  n  1  n 1 1  1 1 1  1  an  n 1 n . V× lim n  0 nª n lim  a n   0 .  0      1   2   n  n   2  n  n n n  n   +) NÕu a1  1 th× an > 1, n  2  1  an  a1 n2 a n2 Tõ (*) suy ra 0      1   1  11   1 .  n  n an n n n  1  a n  2 a  lim  11   1   0 nª n lim n   0. n  n n  n  n    Bµi 11. Cho d·y sè (u n ) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau:  u1  0   2  u n 1  5u n  24u n  1, n  1, 2...  Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè nguyªn. Gi¶i. 2 Tõ gi¶ thiÕt ta cã: u n 1  5u n  24u n  1 (1) vµ u2 = 1. (1)  u 2 1  25u n 2  10u n .u n 1  24u n  1 n 2 2 2 2  u n 1  u n  10u n 1.u n  1  0 (2) Trong (2) thay n bëi n -1 ta ®­îc: u 2  10u n .u n 1  u n 1  1  0  u n 1  10u n .u n 1  u n  1  0 n 2 2 2 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra un+1 vµ un-1 lµ 2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh t 2  10u n t  u 2  1  0 n Theo dông ®Þnh lÝ Vi-et, ta cã: u n 1  u n 1  10u n hay u n+1  10u n  u n 1 (4) Tõ u1 = 0; u2 = 1 vµ (4) ta suy ra c¸c sè h¹ng cña d·y ®· cho ®Òu lµ sè nguyªn Bµi 12. Cho d·y sè (un) víi un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, víi n  N*. T×m sè h¹ng lín nhÊt cña d·y sè ®· cho. Gi¶i. a) XÐt hµm sè f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x  1. Ta cã: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4. NÕu x  6 th× f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;
  6. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 NÕu x  5 th× f’(x) = 4x2(5 – x) + 4x2 – x + 4 > 0 Suy ra b¶ng biÕn thiªn cña f(x): x 1 5 6 + Tõ BBT suy ra un lín nhÊt  n = 5 hoÆc n = 6. Ta cã: u5 = 382,5; u6 = 438. f’(x) + _ VËy sè h¹ng lín nhÊt cña d·y lµ: u6 = 438. f(x) u 1  2 Bµi 13. Cho d·y {un}:   2  un  u n 1  , n  1  1  2u n Chøng minh {un} kh«ng tuÇn hoµn. Gi¶i.  §Æt tg = 2,   (0 ; ). Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc r»ng un = tgn, n  1. 2 Gi¶ sö {un} tuÇn hoµn chu kú T, tøc lµ: un + T = un n  tg(n + T) = tgn, n  sinT = 0  tgT = 0  uT = 0. 2 tgn 2u n n ta cã: u2n = tg2n =  (*) 1  tg 2 n 1  u 2 n V× vËy nÕu u2n = 0 th× un = 0. ViÕt T d­íi d¹ng T = 2k(2s + 1), k, s nguyªn  0. V× uT = 0 nªn sö dông (*) k lÇn ta ®i ®Õn u2s + 1 = 0, mµ 2  us u 2s 1  nªn tõ u2s + 1 = 0  u2s = -2. Sö dông (*) suy ra: 1  2u s us 2 2  1  u s  u s  1  0  us lµ sè v« tØ (v× PT X2 – X – 1 = 0 cã nghiÖm v« tØ). 1  us 2  u2 n MÆt kh¸c, do u1 = 2 vµ tõ u n 1  suy ra mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu h÷u tØ. M©u thuÈn. VËy {u n} 1  2u n kh«ng tuÇn hoµn. Bµi 14. Ký hiÖu [x] lµ phÇn nguyªn cña x vµ {x} = x – [x] lµ phÇn thËp ph©n cña x. T×m lim{(2  2 ) n } . x  Gi¶i.
  7. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 n  N, ta cã: (2  2 ) n  x  y 2 , (2  2 ) n  x  y 2 víi x, y  Z (dÔ dµng chøng minh b»ng qui n¹p) Suy ra: (2  2 ) n  (2  2 ) n  Z n N. MÆt kh¸c: §Ó ý nÕu a Z vµ 0 < d < 1 th× [a + d] = a, ta cã: [(2  2 ) n ]  [(2  2 ) n  (2  2 ) n  1  1  (2  2 ) n ] , V× (2  2 ) n  (2  2 ) n  1  Z vµ 0  1  (2  2 ) n  1 (do 0  (2  2 ) n  1 ) nªn [(2  2 ) n ]  (2  2 ) n  (2  2 ) n  1 . Do ®ã: {(2  2 ) n }  (2  2 ) n  [(2  2 ) n ]  1  (2  2 ) n . V× lim (2  2 ) n  0 nªn lim{(2  2 ) n }  1 . n  n  Bài 15 1 1 1 1 Tính: Sn     ...  a a a a 4 cos 2 4 2 cos 2 43 cos 2 4n cos 2 2 22 23 2n Gi¶i: 1 1 sin 2 x  cos 2 x 4 1 4 1 Ta có 2  2  2 2  2  2  2  2 (1) cos x sin x sin x cos x sin 2 x cos x sin 2 x sin x a a a Thay x trong (1) lần lượt bởi ; 2 ;...; n thì ta có: 2 2 2 1 1 1   4 cos 2 a sin 2 a 4sin 2 a 2 2 1 1 1   a a a 4 2 cos 2 2 4sin 2 42 sin 2 2 2 2 2 ... 1 1 1   a a a 4 n cos 2 n 4n 1 sin 2 n 1 4n sin 2 n 2 2 2 1 1  Sn  2  sin a 4n sin 2 a 2n n   Câu 16. Cho dãy số (Un) xác định bởi Un = 2  3 . Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký hiệu [Un] là phần nguyên của Un).
  8. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 Giải: n n Ta có:  2  3    C 2 ( 3) k 0 k n nk k n n  2  3    (1) C 2 ( k 0 k k n n k 3) k n n n k   2 3    2 3    (1  (1) k )C k 2 n k 3 k 0 n n k   2C n 2 n  k 3  2.m víi m  N k k sè ch¨n, k=0 n Do 0 < 2 - 3 1 0  2  3    1 n  N * n n n n Mặt khác:  2  3    2  3    2  3   1  1   2  3       n Mà 0   1   2  3    1     n n n Suy ra  2  3     2  3    2  3   1  2.m  1 là số lẻ     Bài 17: 1 a Cho dãy số (an) , a1 = 1 và a n 1  a n  . Chứng minh: lim n  2 . an n  n Gi¶i: n n 1 n 1 1 1 a 2 1  a 2  k k 2  2   a i2   a 2   2  2(n  1). j ak i 2 j 1 j1 a j n 1 1  a 2  2n  1   n . V y an > 2n  1 , n  2. j1 a2 j 1 1 1 1 1 1 1  a 2  2k  1 k  2  k 4  2  2     . a k (2k-1) (2k-1)  1 4k(k+1) 4  k  1 k  n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 5  Suy ra:  4  (1  )    4  1  . k 2 a k 4 n 1 4 j1 a j 4 4 n 1 n 1 1 1 5  Suy ra:  2  (n  1) 4  (n  1) (n  2). j1 a j j1 a j 4 5(n  1)  Vậy: a 2  2n  1  n (n  2) . 2
  9. Gv: NguyÔn NhuËn Tr­êng THPT Yªn Thµnh 3 5(n-1) 1 a 5(n-1)  Suy ra: n  2; 2n-1
nguon tai.lieu . vn