Tuyển tập đề thi học sinh giỏi có đáp án: Môn Toán 8 - Trường THCS Thanh Mỹ (Năm học 2011-2012)

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011­2012 ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : A =(2+x 4x2 2 x2 4 +2 2 x):(2x2 3x x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x ­ 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z ­ 6y + 20 = 0. b) Cho x + y + z =1 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 =1. Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x ­2) – (x ­ 2) 0,5 = (x ­ 2)(3x ­ 1). 0,5 b 2,0 Gv: Nguyễn Văn Tú 1 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x ­ a) – (x ­ a) = = (x ­ a)(ax ­ 1). Bài 2: a ĐKXĐ : Năm học: 2011­2012 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 2 x 0 x2 4 0 x 0 2+ x�۹0� x 2 x2 3x 0 x 3 1,0 A= (2+ x 4x2 2 x2 4 +2 2 x):(2x2 2x2 x3 3 =) +(2 0 x+)2 4x2 (2 (2 +x)(2 x) x)2 x2(2 x) x(x 3) 1,0 4x2 +8x x(2 x) (2 x)(2+ x) x 3 0,5 4x(x+2)x(2 x) 4x2 (2 x)(2+ x)(x 3) x 3 0,25 Vậy với x 0,x 2,x 3 thì A= 4x3 . 0,25 b 1,0 Với x �0,x �3,x ��2: A> 0� 4x3 > 0 0,25 � x 3> 0 0,25 � x > 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7= 4 x 7= 4 x 7= 4 0,5 Với x = 11 thì A = 121 Bài 3 a x =11(TMDKXD) x = 3(KTMDKXD) 0,25 0,25 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z ­ 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x ­ 1)2 + (y ­ 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;+(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = ­1 0,25 b Gv: Nguyễn Văn Tú Vậy (x,y,z) = (1,3,­1). 2 0,25 2,5 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011­2012 Từ : a + b +c =0 �ayz+bxz+cxy =0 0,5 ayz + bxz + cxy = 0 0,25 Ta có : x + y + z =1� (x + y + z)2 =1 0,5 � x2 + y2 + z2 +2(xy + xz + yz) =1 0,5 � x2 + y2 + z2 +2cxy+bxz+ayz =1 0,5 � x2 + y2 + z2 =1(dfcm) 0,25 Bài 4 6,0 H B C 0,25 F O E A D a K 2,0 Ta có : BE^ AC (gt); DF^ AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : ΔBEO = ΔDFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ABC = ADC �HBC = KDC 0,5 Chứng minh : ΔCBH ΔCDK(g g) 1,0 � CH = CK �CH.CD =CK.CB 0,5 b, 1,75 Chứng minh : ΔAFD ΔAKC(g g) � AF = AK � AD.AK = AF.AC Chứng minh : ΔCFD ΔAHC(g g) CF AH CD AC 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà : CD = AB � CF = AH � AB.AH = CF.AC 0,5 Gv: Nguyễn Văn Tú 3 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011­2012 Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25 ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: 4 ( x+ 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) 24 b. Giải phương trình: x4 30x2+ 31x 3=0 0 c. Cho b+ c+ c+a+ a+ b =1. Chứng minh rằng: b+ c+ c+a+ a+ b = 0 Câu2. Cho biểu thức: A = x2x 4+ 22x ++x12 : x 2+ a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x =2. c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 10 x2 � +x 2 � Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME^AB, MF^AD. a. Chứng minh: DE= CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 1 1 a b c 9 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu Đáp án Điểm Câu 1 a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 ­ 4x2 (6 điểm) = (x4 + 4x2 + 4) ­ (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 ­ 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) ­ 24 = (x2 + 7x + 11 ­ 1)( x2 + 7x + 11 + 1) ­ 24 = [(x2 + 7x + 11)2 ­ 1] ­ 24 = (x2 + 7x + 11)2 ­ 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) (2 điểm) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b. x4 30x2+ 31x 3=0 0 <=> (2 điểm) x2 x+ 1 (x 5)(+x 6= 0 (*) Gv: Nguyễn Văn Tú 4 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011­2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Vì x2 ­ x + 1 = (x ­ 1)2 + 3 > 0 ∀x (*) <=> (x ­ 5)(x + 6) = 0 x 5= 0 x= 5 x + 6= 0 x = 6 Câu 2 (6 điểm) c. Nhân cả 2 vế của: b+ c+ c+a+ a+ b =1 với a + b + c; rút gọn đpcm Biểu thức: A = x2x 4+ 22x ++x 12 : x 2+ a. Rút gọn được kq: A = x 2 b. x = 1 �x = 1 hoặc x = 1 �A = 4 hoặc A = 4 c. A < 0� x >2 (2 điểm) 10 x2 � +x 2 � (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) d. A�Z � x HV + GT + KL 1 �Z ... �x�1;3 A E (1.5 điểm) B ... - tailieumienphi.vn