Xem mẫu
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 4 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 1 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000) Phaàn 1. BAØI TOAÙN ÑEÁM
Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 8 chöõ soá töø caùc chöõ soá: 1, 2, 3, 4,
5, 6 trong ñoù caùc chöõ soá 1 vaø 6 ñeàu coù maët 2 laàn, caùc chöõ soá khaùc 1. (ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999)
coù maët 1 laàn. Cho taäp hôïp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000) 1. Coù bao nhieâu taäp con X cuûa taäp A thoaû ñieàu kieän X chöùa 1 vaø
Coù bao nhieâu soá khaùc nhau goàm 7 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá khoâng chöùa 2.
cuûa moãi soá laø moät soá chaün. 2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau
24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000) laáy töø taäp A vaø khoâng baét ñaàu bôûi 123.
Tìm taát caû caùc soá töï nhieân coù ñuùng 5 chöõ soá sao cho trong moãi soá ñoù 2. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999)
chöõ soá ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá ñöùng lieàn tröôùc. Moät hoïc sinh coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau, trong ñoù coù 2 cuoán
25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) saùch Toaùn, 4 cuoán saùch Vaên vaø 6 cuoán saùch Anh. Hoûi coù bao nhieâu
Moät ñoàn caûnh saùt khu vöïc coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy, caàn cöû 3 ngöôøi caùch xeáp taát caû caùc cuoán saùch leân moät keä saùch daøi, neáu caùc cuoán
laøm nhieäm vuï ôû ñòa ñieåm A, 2 ngöôøi ôû ñòa ñieåm B, coøn 4 ngöôøi saùch cuøng moân ñöôïc xeáp keà nhau?
thöôøng tröïc taïi ñoàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng? 3. (ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999)
26. (ÑH GTVT 2000) Moät baøn daøi coù hai daõy gheá ñoái dieän nhau, moãi daõy coù 6 gheá. Ngöôøi
Moät lôùp hoïc coù 20 hoïc sinh, trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp. Hoûi coù bao ta muoán xeáp choã ngoài cho 6 hoïc sinh tröôøng A vaø 6 hoïc sinh tröôøng
nhieâu caùch cöû 3 ngöôøi ñi döï hoäi nghò Hoäi sinh vieân cuûa tröôøng sao B vaøo baøn noùi treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp trong moãi tröôøng hôïp
cho trong 3 ngöôøi ñoù coù ít nhaát moät caùn boä lôùp. sau:
27. (HV Quaân y 2000) 1. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài caïnh nhau hoaëc ñoái dieän nhau thì khaùc
Xeáp 3 vieân bi ñoû coù baùn kính khaùc nhau vaø 3 vieân bi xanh gioáng nhau tröôøng vôùi nhau.
vaøo moät daõy 7 oâ troáng. Hoûi: 2. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng vôùi nhau.
1. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau? 4. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999)
2. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau sao cho 3 vieân bi ñoû xeáp caïnh Cho taäp X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá n goàm 5
nhau vaø 3 vieân bi xanh xeáp caïnh nhau? chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät töø X (chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc 0) trong
28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000) moãi tröôøng hôïp sau:
Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9? 1. n laø soá chaün.
29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000) 2. Moät trong ba chöõ soá ñaàu tieân phaûi baèng 1.
Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá khaùc nhau lôùn hôn 500000? 5. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999)
30. (CÑSP Nha Trang 2000) Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû, 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng. Ngöôøi ta
Vôùi caùc soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá
nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 0. bi laáy ra khoâng coù ñuû caû 3 maøu?
31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000) 6. (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999)
Moät lôùp hoïc sinh maãu giaùo goàm 15 em, trong ñoù coù 9 em nam, 6 em Ngöôøi ta xeáp ngaãu nhieân 5 laù phieáu coù ghi soá thöù töï töø 1 ñeán 5 caïnh
nöõ. Coâ giaùo chuû nhieäm muoán choïn moät nhoùm 5 em ñeå tham döï troø nhau.
chôi goàm 3 em nam vaø 2 em nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn? 1. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu soá chaün luoân ôû caïnh nhau?
32. (ÑH An ninh khoái D 2001) 2. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu phaân thaønh hai nhoùm chaün leû
Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4. Hoûi coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá rieâng bieät (chaúng haïn 2, 4, 1, 3, 5)?
coù baûy chöõ soá töø nhöõng chöõ soá treân, trong ñoù chöõ soá 4 coù maët ñuùng 7. (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999)
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 2 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 3 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Ngöôøi ta vieát caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 leân caùc taám phieáu, sau ñoù xeáp ñöôïc:
thöù töï ngaãu nhieân thaønh moät haøng. 1. Bao nhieâu soá chaün coù boán chöõ soá vaø boán chöõ soá ñoù khaùc nhau
1. Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh? töøng ñoâi moät.
2. Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh? 2. Bao nhieâu soá chia heát cho 5, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc
8. (HV Ngaân haøng TPHCM 1999) nhau töøng ñoâi moät.
Xeùt nhöõng soá goàm 9 chöõ soá, trong ñoù coù naêm chöõ soá 1 vaø boán chöõ soá 3. Bao nhieâu soá chia heát cho 9, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc
coøn laø 2, 3, 4, 5. Hoûi coù bao nhieâu soá nhö theá, neáu: nhau töøng ñoâi moät.
1. Naêm chöõ soá 1 ñöôïc xeáp keà nhau. 15. (ÑH Y HN 2000)
2. Caùc chöõ soá ñöôïc xeáp tuyø yù. Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam, 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lí nam. Laäp
9. (ÑH Haøng haûi 1999) moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn coù caû nam vaø nöõ, caàn coù caû nhaø toaùn
Coù bao nhieâu caùch saép xeáp naêm baïn hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo moät hoïc vaø nhaø vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch?
chieác gheá daøi sao cho: 16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000)
1. Baïn C ngoài chính giöõa. Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta laäp caùc soá maø moãi soá coù naêm chöõ soá
2. Hai baïn A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá. trong ñoù caùc chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät. Hoûi
10. (HV BCVT 1999) 1. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 2.
Hoûi töø 10 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu 2. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët hai chöõ soá 1 vaø 6.
soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000)
0 vaø 1. Moät ñoäi vaên ngheä coù 20 ngöôøi, trong ñoù coù 10 nam vaø 10 nöõ. Hoûi coù
11. (ÑHQG HN khoái B 2000) bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi sao cho:
Töø 5 chöõ soá 0, 1, 3, 5, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 4 chöõ soá 1. Coù ñuùng 2 nam trong 5 ngöôøi ñoù.
khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5. 2. Coù ít nhaát 2 nam vaø ít nhaát 1 nöõ trong 5 ngöôøi ñoù.
12. (ÑHQG TPHCM khoái A 2000) 18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000)
Moät thaày giaùo coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 5 cuoán Töø 3 chöõ soá 2, 3, 4 coù theå taïo ra ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5
saùch Vaên, 4 cuoán saùch Nhaïc vaø 3 cuoán saùch Hoaï. OÂng muoán laáy ra chöõ soá, trong ñoù coù maët ñuû 3 chöõ soá treân.
6 cuoán vaø taëng cho 6 hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em moät cuoán. 19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000)
1. Giaû söû thaày giaùo chæ muoán taëng cho caùc hoïc sinh treân nhöõng cuoán Coù bao nhieâu soá goàm 5 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi soá
saùch thuoäc 2 theå loaïi Vaên vaø Nhaïc. Hoûi coù bao nhieâu caùch taëng? laø moät soá leû.
2. Giaû söû thaày giaùo muoán raèng sau khi taëng saùch xong, moãi moät trong 20. (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000)
ba loaïi saùch treân ñeàu coøn laïi ít nhaát moät cuoán. Hoûi coù bao nhieâu caùch Coù 9 vieân bi xanh, 5 vieân bi ñoû, 4 vieân bi vaøng coù kích thöôùc ñoâi moät
choïn? khaùc nhau.
13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000) 1. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi
Moät lôùp coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc ñoû.
choïn ra ñeå laäp moät toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau 2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù soá bi xanh baèng soá
neáu: bi ñoû.
1) phaûi coù ít nhaát laø 2 nöõ. 21. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000)
2) choïn tuyø yù. Coù 5 theû traéng vaø 5 theû ñen, ñaùnh daáu moãi loaïi theo caùc soá 1, 2, 3, 4,
14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000) 5. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp taát caû caùc theû naøy thaønh moät haøng sao
Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5. Töø caùc chöõ soá ñaõ cho ta coù theå laäp cho hai theû cuøng maøu khoâng naèm lieàn nhau.
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 8 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 5 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Moät ñoäi thanh nieân tình nguyeän coù 15 ngöôøi, goàm 12 nam vaø 3 nöõ. 3 laàn, coøn caùc chöõ soá khaùc coù maït ñuùng 1 laàn.
Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng ñoäi thanh nieân tình nguyeän ñoù veà 33. (ÑH Caàn Thô 2001)
giuùp ñôõ 3 tænh mieàn nuùi, sao cho moãi tænh coù 4 nam vaø 1 nöõ. Moät nhoùm goàm 10 hoïc sinh, trong ñoù coù 7 nam vaø 3 nöõ. Hoûi coù bao
61. (ÑH khoái A 2005 döï bò 1) nhieâu caùch saép xeáp 10 hoïc sinh treân thaønh moät haøng daøi sao cho 7
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï hoïc sinh nam phaûi ñöùng lieàn nhau.
nhieân, moãi soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau vaø toång caùc chöõ soá haøng 34. (HV Chính trò quoác gia 2001)
chuïc, haøng traêm, haøng ngaøn baèng 8. Moät ñoäi vaên ngheä coù 10 ngöôøi, trong ñoù coù 6 nöõ vaø 4 nam.
62. (ÑH khoái B 2005 döï bò 1) 1. Coù bao nhieâu caùch chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi
Moät ñoäi vaên ngheä coù 15 ngöôøi goàm 10 nam vaø 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ nhö nhau.
caùch laäp moät nhoùm ñoàng ca goàm 8 ngöôøi, bieát raèng trong nhoùm ñoù 2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi maø trong ñoù khoâng coù quaù 1
phaûi coù ít nhaát 3 nöõ. nam.
63. (ÑH khoái B 2005 döï bò 2) 35. (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001)
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï Cho 8 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá
nhieân, moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø nhaát thieát phaûi coù 2 chöõ goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 4.
soá 1, 5. 36. (ÑH Hueá khoái ABV 2001)
64. (ÑH khoái D 2006) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá sao cho khoâng coù chöõ soá
Ñoäi thanh nieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh, naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn?
goàm 5 hoïc sinh lôùp A, 4 hoïc sinh lôùp B vaø 3 hoïc sinh lôùp C. Caàn 37. (ÑH Hueá khoái DHT 2001)
choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc Töø moät nhoùm hoïc sinh goàm 7 nam vaø 6 nöõ, thaày giaùo caàn choïn ra 5
khoâng quaù 2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy? em tham döï leã mittinh taïi tröôøng vôùi yeâu caàu coù caû nam vaø nöõ. Hoûi coù
65. (CÑ GTVT III khoái A 2006) bao nhieâu caùch choïn?
Töø moät nhoùm goàm 15 hoïc sinh khoái A, 10 hoïc sinh khoái B, 5 hoïc sinh 38. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001)
khoái C, choïn ra 15 hoïc sinh sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A vaø Trong soá 16 hoïc sinh coù 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao
ñuùng 2 hoïc sinh khoái C. Tính soá caùch choïn. nhieâu caùch chia soá hoïc sinh ñoù thaønh 2 toå, moãi toå coù 8 ngöôøi sao cho
66. (CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006) ôû moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø moãi toå coù ít nhaát 2 hoïc sinh khaù.
Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, trong ñoù chöõ soá 0 coù maët 39. (ÑH Kinh teá quoác daân 2001)
ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng 1 laàn vaø hai chöõ soá coøn laïi phaân Vôùi caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï
bieät? nhieân maø moãi soá coù 5 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù chöõ soá
67. (CÑ Xaây döïng soá 3 khoái A 2006) 5.
Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm hai chöõ soá khaùc nhau? Tính toång 40. (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001)
cuûa taát caû caùc soá ñoù. 1. Coù theå tìm ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät?
68. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) 2. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá
Cho 2 ñöôøng thaúng d1, d2 song song vôùi nhau. Treân ñöôøng thaúng d1 chaün coù 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau?
cho 10 ñieåm phaân bieät, treân ñöôøng thaúng d2 cho 8 ñieåm phaân bieät. 41. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001)
Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu tam giaùc maø 3 ñænh cuûa moãi tam giaùc Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thieát laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 6
laáy töø 18 ñieåm ñaõ cho. chöõ soá khaùc nhau maø hai chöõ soá 1 vaø 6 khoâng ñöùng caïnh nhau?
42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001)
Coù 6 hoïc sinh nam vaø 3 hoïc sinh nöõ xeáp thaønh moät haøng doïc. Hoûi coù
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 6 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 7 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
bao nhieâu caùch xeáp ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ 3 hoïc ít nhaát moät em ñöôïc choïn.
sinh nöõ. (Khi ñoåi choã 2 hoïc sinh baát kì cho nhau ta ñöôïc moät caùch 51. (ÑH khoái A 2003 döï bò 2)
xeáp môùi). Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân
43. (HV Quan heä quoác teá 2001) maø moãi soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø chöõ soá 2 ñöùng caïnh chöõ soá 3.
Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 52. (ÑH khoái B 2003 döï bò 1)
9 chöõ soá maø chöõ soá 9 ñöùng ôû vò trí chính giöõa? Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5,6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân
44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001) maø moãi soá coù 6 chöõ soá vaø thoaû maõn ñieàu kieän: saùu chöõ soá cuûa moãi
1. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau, trong soá laø khaùc nhau vaø trong moãi soá ñoù toång cuûa 3 chöõ soá ñaàu nhoû hôn
ñoù coù maët chöõ soá 0 nhöng khoâng coù maët chöõ soá 1. toång cuûa 3 chöõ soá cuoái moät ñôn vò.
2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá, bieát raèng chöõ soá 2 coù maët 53. (ÑH khoái B 2003 döï bò 2)
ñuùng 2 laàn, chöõ soá 3 coù maët ñuùng 3 laàn vaø caùc chöõ soá coøn laïi coù maët Töø moät toå goàm 7 hoïc sinh nöõ vaø 5 hoïc sinh nam caàn choïn ra 6 em
khoâng quaù moät laàn. trong ñoù soá hoïc sinh nöõ phaûi nhoû hôn 4. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn
45. (ÑHSP HN II 2001) nhö vaäy?
Tính toång taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät 54. (ÑH khoái D 2003 döï bò 1)
ñöôïc laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï
46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001) nhieân chaün maø moãi soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau?
Cho A laø moät hôïp coù 20 phaàn töû. 55. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002)
1. Coù bao nhieâu taäp hôïp con cuûa A? 1. Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa:
2. Coù bao nhieâu taäp hôïp con khaùc roãng cuûa A maø coù soá phaàn töû laø soá a) 10 ñöôøng thaúng phaân bieät.
chaün? b) 6 ñöôøng troøn phaân bieät.
47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001) 2. Töø keát quaû cuûa caâu 1) haõy suy ra soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp
1. Coù bao nhieâu soá chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc ñöôøng noùi treân.
caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5. 56. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò)
2. Coù bao nhieâu soá coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc Cho ña giaùc loài n caïnh. Xaùc ñònh n ñeå ña giaùc coù soá ñöôøng cheùo gaáp
chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 maø caùc soá ñoù nhoû hôn soá 345. ñoâi soá caïnh.
48. (ÑH Vaên Lang 2001) 57. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Moät lôùp coù 10 hoïc sinh nam vaø 10 hoïc sinh nöõ. Caàn choïn ra 5 hoïc Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ
sinh ñeå ñi laøm coâng taùc “Muøa heø xanh”. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn soá khaùc nhau vaø nhoû hôn 245.
neáu trong 5 hoïc sinh ñoù phaûi coù ít nhaát: 58. (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002)
1. Hai hoïc sinh nöõ vaø hai hoïc sinh nam. Töø 5 chöõ soá 0, 1, 2, 5, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá leû, moãi soá goàm
2. Moät hoïc sinh nöõ vaø moät hoïc sinh nam. 4 chöõ soá khaùc nhau.
49. (ÑH Y HN 2001) 59. (ÑH khoái B 2004)
Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu
chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng lôùn hôn 789? hoûi khoù, 10 caâu hoûi trung bình, 15 caâu hoûi deã. Töø 30 caâu hoûi ñoù coù
50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002) theå laäp ñöôïc bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu hoûi khaùc nhau
Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa moät tröôøng goàm 18 em, trong ñoù coù 7 hoïc vaø nhaát thieát phaûi coù ñuû 3 loaïi caâu hoûi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu
sinh khoái 12, 6 hoïc sinh khoái 11, 5 hoïc sinh khoái 10. Hoûi coù bao hoûi deã khoâng ít hôn 2.
nhieâu caùch cöû 8 hoïc sinh trong ñoäi ñi döï traïi heø sao cho moãi khoái coù 60. (ÑH khoái B 2005)
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 12 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 9 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
2. Laäp moät soá coù 9 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu; thöïc chaát laø vieäc xeáp BAØI GIAÛI
caùc soá 2, 3, 4, 5 vaøo 4 vò trí tuyø yù trong 9 vò trí (5 vò trí coøn laïi ñöông
nhieân daønh cho chöõ soá 1 laëp 5 laàn). 1. (ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999)
4 9!
Vaäy: coù taát caû A9 = = 6.7.8.9 = 3024 soá. ìX Ì A
5! ï ì X = {1 È Y
ï }
1. í1Î X Û í .
9. (ÑH Haøng haûi 1999) ï2 Ï X ï Y Ì {3,4,5,6,7,8}
î
1. Xeáp C ngoài chính giöõa: coù 1 caùch. î
Xeáp A, B, D, E vaøo 4 choã coøn laïi: coù 4! = 24 caùch. Do ñoù soá caùc taäp X baèng soá caùc taäp con Y cuûa taäp hôïp {3,4,5,6,7,8}
Vaäy: coù 24 caùch xeáp thoaû yeâu caàu. Maø soá caùc taäp con Y cuûa {3,4,5,6,7,8} laø: 26 = 64.
2. Xeáp A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá: coù 2! = 2 caùch. Vaäy coù 64 taäp con X cuûa A chöùa 1 vaø khoâng chöùa 2.
Xeáp B, C, D vaøo 3 choã coøn laïi: coù 3! = 6 caùch. 2. Goïi * m laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc
Vaäy: coù 2.6 = 12 caùch xeáp thoaû yeâu caàu. nhau laáy töø A.
10. (HV BCVT 1999) * n laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø: nhau laáy töø A vaø baét ñaàu bôûi 123.
6 5 * p laø soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi.
A10 - A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080
Ta caàn tính p. Hieån nhieân p = m – n
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø:
· Tính m: Laäp moät soá chaün a5a4a3a2a1 goàm 5 chöõ soá khaùc nhau a1,
A6 = 9.8.7.6.5.4 = 60480
9 a2, a3, a4, a5 Î A, coù nghóa laø:
* Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø: Laáy a1 töø {2, 4, 6, 8} ® coù 4 caùch
A6 - A5 = 8.8.7.6.5.4 = 53760
9 9
4
Laáy a2, a3, a4, a5 töø 7 soá coøn laïi cuûa A ® coù A7 = 7.6.5.4 = 840 caùch
Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø: Do ñoù: m = 4.840 = 3360.
136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá. · Tính n: Laäp moät soá chaün 123a2a1 baét ñaàu bôûi 123; a1,a2Î A; a1 ≠ a2
11. (ÑHQG HN khoái B 2000)
Laáy a1 töø {4,6,8} ® coù 3 caùch
* Tröôùc heát ta tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau:
Laáy a2 töø A \ {1,2,3,a1} ® coù 4 caùch
Coù 4 khaû naêng choïn chöõ soá haøng ngaøn (khoâng choïn chöõ soá 0)
Do ñoù: n = 3.4 = 12
Coù A3 khaû naêng choïn 3 chöõ soá cuoái.
4 Vaäy: soá p caàn tìm laø: p = 3360 – 12 = 3348.
Þ Coù 4. A3 = 4.4! = 96 soá.
4 2. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999)
* Tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5: Böôùc 1: Ñaët 3 nhoùm saùch leân keä daøi: 3! caùch
Neáu chöõ soá taän cuøng laø 0: coù A3 = 24 soá Böôùc 2: Trong moãi nhoùm ta coù theå thay ñoåi caùch xeáp ñaët saùch:
4
Nhoùm saùch Toaùn: 2! caùch
Neáu chöõ soá taän cuøng laø 5: coù 3 khaû naêng choïn chöõ soá haøng nghìn,
2
Nhoùm saùch Vaên: 4! caùch
coù A3 = 6 khaû naêng choïn 2 chöõ soá cuoái. Vaäy coù 3.6 = 18 soá Nhoùm saùch Anh: 6! caùch
Do ñoù coù 24 + 18 = 42 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5. Keát luaän: coù 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 caùch.
Vaäy coù: 96 – 42 = 54 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát 3. (ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999)
cho 5. 1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù 2 caùch xeáp:
12. (ÑHQG TPHCM khoái A 2000) A B A B A B B A B A B A
1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï.
Vaäy soá caùch taëng laø A6 = 60480
9 B A B A B A A B A B A B
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 10 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 11 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Giai ñoaïn 2: Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù 6! caùch xeáp caùc * 1 ñoû + 1 traéng + 2 vaøng: coù C1 C1 C6
4 5
2
= 300
em vaøo 6 choã. Do ñoù soá caùch choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: 180 + 240 + 300 = 720
Töôïng töï, coù 6! caùch xeáp 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo 6 choã. Vaäy soá caùch choïn ñeå 4 bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu laø: 1365 – 720 =
Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch 645.
2. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 12 caùch choïn gheá ñeå
6. (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999)
ngoài.
1. * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, 5 coù 4! = 24 caùch.
Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát
* Sau ñoù xeáp phieáu soá 4 vaøo caïnh phieáu soá 2 coù 2 caùch.
tröôøng A: coù 6 caùch choïn hoïc sinh tröôøng B.
Vaäy: coù 2.24 = 48 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi.
Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh
2. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho
tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù 5 caùch choïn,
2 soá chaün laø 2! caùch. Soá caùch xeáp cho 3 soá leû laø: 3! caùch.
v.v…
Vaäy coù 2.6 = 12 caùch.
Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch.
* Töông töï cuõng coù 12 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû
4. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999) ôû beân traùi.
1. Xem caùc soá chaén hình thöùc abcde (keå caû a = 0), coù 4 caùch choïn e Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch.
Î {0,2,4,6}, vì laø soá chaün. 7. (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999)
4
Sau ñoù choïn a, b, c, d töø X \ {e}, soá caùch choïn laø: A7 = 840 Soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abcdef vôùi a ≠ 0
Vaäy: coù 4.840 = 3360 soá chaün hình thöùc. 1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f Î {1, 3, 5}.
Ta loaïi nhöõng soá coù daïng 0bcde . Coù 3 caùch choïn e, vaø A3 caùch
6
Do ñoù: f coù 3 caùch choïn
a coù 4 caùch choïn (tröø 0 vaø f)
choïn b, c, d töø X \ {0,e}. Vaäy coù 3. A3 = 360 soá chaün coù daïng 0bcde .
6
b coù 4 caùch choïn (tröø a vaø f)
Keát luaän: coù 3360 – 360 = 3000 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
c coù 3 caùch choïn (tröø a, b, f)
2. n = abcde d coù 2 caùch choïn (tröø a, b, c, f)
* Xem caùc soá hình thöùc abcde (keå caû a = 0). Coù 3 caùch choïn vò trí e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f)
cho 1. Sau ñoù choïn chöõ soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {1}: coù Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá
4
A7 caùch. 2. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f Î {0, 2, 4}.
4
Nhö theá: coù 3. A7 = 2520 soá hình thöùc thoaû yeâu caàu ñeà baøi. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,2,3,4,5). Do ñoù coù 5! soá
* Khi f Î {2, 4} thì:
* Xem caùc soá hình thöùc 0bcde . Coù 2 caùch choïn vò trí cho 1. Choïn chöõ
f coù 2 caùch choïn
soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {0,1}, soá caùch choïn laø A3 .
6 a coù 4 caùch choïn
Nhö theá: coù 2. A3 = 240 soá hình thöùc daïng 0bcde .
6
b coù 4 caùch choïn
Keát luaän: soá caùc soá n thoaû yeâu caàu ñeà baøi laø: 2520 – 240 = 2280 soá. c coù 3 caùch choïn
5. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999) d coù 2 caùch choïn
4 e coù 1 caùch choïn
Soá caùch choïn 4 bi trong soá 15 bi laø: C15 = 1365.
Do ñoù coù 2.4.4.3.2.1 = 192 soá.
Caùc tröôøng hôïp choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün.
* 2 ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù C2C1 C1 = 180
4 5 6 8. (HV Ngaân haøng TPHCM 1999)
* 1 ñoû + 2 traéng + 1 vaøng: coù C1 C5C1
4
2
6 = 240 1. Goïi 11111 laø soá a. Vaäy ta caàn saép caùc soá a, 2, 3, 4, 5. Do ñoù soá coù
9 chöõ soá trong ñoù coù 5 chöõ soá 1 ñöùng lieàn nhau laø: 5! = 120 soá.
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 16 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 13 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
a1a2a3a4a5a6a7 maø toång caùc chöõ soá laø moät soá chaün. 2. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát 2 loaïi saùch.
6
5
Vaäy coù taát caû: 9.10 .5 = 45.10 soá. 5 Soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 12 cuoán saùch laø: A12 = 665280
24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000) Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø: A5 .7 = 5040
6
Theo yeâu caàu cuûa baøi toaùn vaø soá 0 khoâng ñöùng tröôùc baát kì soá naøo 4 2
Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: A6 .A8 = 20160
neân caùc soá coù 5 chöõ soá chæ coù theå taïo thaønh töø caùc soá {1, 2, 3, 4, …,
8, 9} = T. ÖÙng vôùi moãi boä 5 chöõ soá phaân bieät baát kì trong T chæ coù 1 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø: A3 .A3 = 60480
6 9
caùch saép xeáp duy nhaát thoaû maõn ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá lieàn tröôùc. Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
9! 13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000)
Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: C5 =
9 = 126.
5!4! 1. Ñeå coù ít nhaát laø 2 nöõ thì ta phaûi choïn:
25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) * 2 nöõ, 4 nam ® 2 4
coù C15 .C30 caùch
Coù taát caû: C3 .C6 = C9 .C5 = C9 .C7 = 1260 caùch
9
2 4 2 2 4
hoaëc * 3 nöõ, 3 nam ® coù C15 .C3 caùch
3
30
26. (ÑH GTVT 2000) 4 2
hoaëc * 4 nöõ, 2 nam ® coù C15 .C30 caùch
Coù 2 khaû naêng:
hoaëc * 5 nöõ, 1 nam ® coù C15 .C1 caùch
5
* 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù C1 .C18
2
2 30
6
hoaëc * 6 nöõ ® coù C15 caùch
* 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù C2 .C1
2 18
Vaäy: coù C15 .C30 + C15 .C3 + C15 .C30 + C15 .C1 + C15 caùch
2 4 3 4 2 5 6
Vaäy soá choïn laø: C1 .C18 + C2 .C1 = 324 caùch.
2
2
2 18
30 30
27. (HV Quaân y 2000) 2. Neáu choïn tuyø yù thì soá caùch choïn laø: C6 .
45
1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc 14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000)
nhau neân soá caùch xeáp laø A3 . 1. Soá chaün goàm boán chöõ soá khaùc nhau coù daïng:
7
Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng abc0 hoaëc abc2 hoaëc abc4
nhau neân soá caùch xeáp laø C3 . * Vôùi soá abc0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c.
4
Þ Coù 5.4.3 = 60 soá
Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: A3 . C3 = 840 caùch.
7 4 * Vôùi soá abc2 hoaëc abc4 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3
2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh caùch choïn c.
ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp. Þ Coù 4.4.3 = 48 soá abc2 vaø 48 soá abc4
Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû
Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün.
vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3!
2. Soá chia heát cho 5 vaø goàm ba chöõ soá coù daïng ab0 hoaëc ab5 .
Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø
* Vôùi soá ab0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b.
caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch.
Þ Coù 5.4 = 20 soá
28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000)
* Vôùi soá ab5 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b.
Caùc soá coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, vieát theo thöù töï taêng laø:
100008, 100017, 100035, …, 999999 Þ Coù 4.4 = 16 soá
Caùc soá leû coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, laäp thaønh moät caáp soá coäng: Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm.
u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 3. Goïi abc laø soá chia heát cho 9 goàm ba chöõ soá khaùc nhau. Khi ñoù
vôùi coâng sai d = 18. Do ñoù: {a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000 * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540
Vaäy taát caû coù 50000 soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9. ® coù 4 soá
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 14 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 15 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì soá phaûi tìm laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn 19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000)
töû ® coù 3! = 6 soá. Xeùt moät soá coù 4 chöõ soá tuyø yù ñaõ cho a1a2a3a4 . Coù hai khaû naêng:
Vaäy coù: 4 + 6 + 6 = 16 soá caàn tìm. 1. Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá chaün thì coù theå laáy a5 Î {1, 3, 5, 7, 9} vaø
15. (ÑH Y HN 2000) laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá a1a2a3a4a5 vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá
Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí
leû.
nam laø: C1 .C1 .C1 = 5.3.4 = 60
5 3 4 2. . Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá leû thì coù theå laáy a5 Î {0, 2, 4, 6, 8} vaø
Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: C1 .C4 = 18
3
2
laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá a1a2a3a4a5 vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá
Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C3 .C1 = 12
2
4 leû.
Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn Vì coù taát ca 9.10.10.10 = 9000 soá coù 4 chöõ soá, moãi soá coù 4 chöõ soá
16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000) naøy laïi sinh ra 5 soá coù 5 chöõ soá coù toång caùc chöõ soá laø moät soá leû, neân
Xeùt soá naêm chöõ soá a1a2a3a4a5 coù taát caû 9000.5 = 45000 soá coù 5 chöõ soá maø toång caùc chöõ soá laø moät
soá leû.
1. Xeáp chöõ soá 2 vaøo moät trong naêm vò trí: coù 5 caùch xeáp
4
20. (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000)
Sau ñoù xeáp 5 chöõ soá coøn laïi vaøo 4 vò trí coøn laïi: coù A5 = 120 caùch. 2
1. Coù: C5 caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû.
Vaäy coù 5.120 = 600 soá. 4
2 C13 caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi.
2. Xeáp caùc chöõ soá 1 vaø 6 vaøo 5 vò trí: coù A5 caùch.
2 4
Vaäy coù: C5 . C13 = 7150 caùch choïn
Xeáp 4 chöõ soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi: coù A3 = 24 caùch.
4
2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra:
Vaäy coù A5 . A3 = 480 soá.
2
4
* 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng ® coù C3 .C3 caùch
9 5
17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000) 2 2 2
2 3 * 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng ® coù C9 .C5 .C4 caùch
1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch.
* 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng ® coù C1 .C1 .C4 caùch
4
2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau: 9 5
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch Vaäy coù taát caû: C3 .C3 + C9 .C5 .C2 + C1 .C1 .C4 = 3045 caùch.
9 5
2 2
4 9 5
4
3 2
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch 21. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000)
* 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10 .C1
4
= 2100 caùch Coù 2 khaû naêng:
10
1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün ® coù 5!5! caùch
Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch.
2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû ® coù 5!5! caùch
18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000)
Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch.
Taát caû coù 9.10.10.10.10 = 90000 soá töï nhieân coù 5 chöõ soá. Trong caùc
22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000)
soá coù 5 chöõ soá naøy, xeùt caùc soá khoâng coù maët caùc chöõ soá 2, 3, 4. Loaïi
Coù 8 oâ troáng, caàn choïn ra 1 oâ ñieàn chöõ soá 2, 1 oâ ñieàn chöõ soá 3, 1 oâ
naøy coù: 6 caùch choïn chöõ soá haøng vaïn
ñieàn chöõ soá 4, 1 oâ ñieàn chöõ soá 5. Sau ñoù trong 4 oâ coøn laïi, caàn choïn
7 caùch choïn chöõ soá haøng nghìn
2 oâ ñieàn chöõ soá 1, cuoái cuøng coøn laïi 2 oâ ñieàn chöõ soá 6.
7 caùch choïn chöõ soá haøng traêm
7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc Vaäy coù taát caû coù: 8.7.6.5. C2 .1 = 10080 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
4
7 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò 23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000)
Do ñoù coù 6.7.7.7.7 = 14406 soá. Soá caùc soá coù 6 chöõ soá a1a2a3a4a5a6 laø 9.105 soá
Vaäy taát caû coù: 90000 – 14406 = 75594 soá coù 5 chöõ soá, trong ñoù coù Vôùi moãi soá coù 6 chöõ soá a1a2a3a4a5a6 ta laäp ñöôïc 5 soá coù 7 chöõ soá
maët ñuû caùc chöõ soá 2, 3, 4.
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 20 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 17 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
· Tröôøng hôïp 2: Soá taïo thaønh khoâng chöùa soá 0: 29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000)
Coù 5 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Xeùt soá leû coù 6 chöõ soá khaùc nhau, lôùn hôn 500000:
4
Soá caùch choïn 4 chöõ soá coøn laïi laø: A5 x = a1a2a3a4a5a6
4
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 5. A5 = 600 soá. Töø giaû thieát Þ a1 Î {5,6,7,8,9}, a6 Î {1,3,5,7,9}
Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá. Coù 2 khaû naêng:
1. a1 leû:
40. (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001)
* a1 coù 6 caùch choïn
1. Coù 9 caùch choïn chöõ soá haøng traêm, 9 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc,
* a6 coù 4 caùch choïn
8 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. Vaäy coù 9.9.8 = 648 soá.
2. · Tröôøng hôïp 1: Chöõ soá taän cuøng baèng 0. Boán chöõ soá ñöùng ñaàu * sau khi choïn a1, a6, caàn choïn a2a3a4a5 , moãi caùch choïn öùng vôùi
ñöôïc choïn tuyø yù trong 7 chöõ soá coøn laïi neân soá caùc soá taïo thaønh laø: moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 8 phaàn töû.
4
4
A7 = 840 Vaäy khaû naêng thöù nhaát coù: 6.4. A8 = 40320 soá
· Tröôøng hôïp 2: Chöõ soá taän cuøng khaùc 0. 2. a1 chaün:
* Chöõ soá taän cuøng coù 3 caùch choïn (töø 2, 4, 6) * a1 coù 2 caùch choïn
* Chöõ soá ñöùng ñaàu coù 6 caùch choïn * a6 coù 5 caùch choïn
4
* 3 chöõ soá coøn laïi ñöôïc choïn tuyø yù trong 6 chöõ soá coøn laïi. * a2a3a4a5 coù A8 caùch choïn
Þ Soá caùc soá taïo thaønh: 3.6. A3
6 = 2160 4
Vaäy khaû naêng thöù hai coù: 2.5. A8 = 16800 soá
Vaäy coù taát caû: 840 + 2160 = 3000 soá. Keát luaän: Taát caû coù: 40320 + 16800 = 57120 soá caàn tìm.
41. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001) 30. (CÑSP Nha Trang 2000)
Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6! = 720 Soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát töø 6 chöõ soá: 0,
Trong ñoù, soá caùc soá coù chöùa 16 laø 5! = 120 1, 2, 3, 4, 5 laø: 5. A3 = 300
5
soá caùc soá coù chöùa 61 laø 5! = 120
Trong caùc soá noùi treân, soá caùc soá töï nhieân khoâng coù maët chöõ soá 0 laø:
Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá. 4
A5 = 120
42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001)
Ñaùnh soá vò trí ñöùng töø 1 ñeán 9. Vaäy soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu laø: 300 – 120 = 180 soá.
Ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ thì moãi 31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000)
hoïc sinh nöõ ñöùng caùch nhau moät, töùc laø 3 hoïc sinh nöõ ñöùng ôû caùc vò Choïn 3 em nam: coù C3 caùch
9
trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9). Choïn 2 em nöõ: 2
coù C6 caùch
Coù 5 caëp 3 vò trí cuûa 3 hoïc sinh nöõ.
Caùch xeáp 3 baïn nöõ vaøo moãi caëp 3 vò trí laø 3!. Caùch xeáp 6 baïn nam Vaäy coù: C3 . C6 = 1260 caùch.
9
2
vaøo 6 vò trí coøn laïi laø 6!. 32. (ÑH An ninh khoái D 2001)
Vaäy taát caû soá caùch xeáp laø: 5.3!.6! = 21600 caùch. Giaû söû soá coù 7 chöõ soá laäp ñöôïc vieát trong 7 oâ cuûa hình sau:
43. (HV Quan heä quoác teá 2001)
Ta chæ coù 1 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 9. Theá thì:
Khi ñoù soá caùch xeáp 8 chöõ soá coøn laïi laø 8! * Coù 6 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0 (tröø oâ soá 1)
Vaäy taát caû coù: 8! = 40320 soá. * Sau khi ñaõ choïn vò trí cho soá chöõ 0 ta coøn C3 = 20 caùch choïn vò trí
6
44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001) cho 3 chöõ soá 4.
1. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: a1a2a3a4a5a6 . Xeáp chöõ soá 0 vaøo caùc vò trí töø * Sau khi ñaõ choïn vò trí cho chöõ soá 0 vaø chöõ soá 4, ta coøn 3! = 6 caùch
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 18 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 19 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
choïn cho 3 chöõ soá coøn laïi. Þ coù 8 + 9 + 9 + 9 = 35 soá
Vaäy soá caùc soá laäp ñöôïc laø: 6.20.6 = 720 soá. + Töông töï vôùi moãi soá töø 2 ñeán 9 ta cuõng tìm ñöôïc 35 soá töï nhieân sao
33. (ÑH Caàn Thô 2001) cho moãi chöõ soá treân laëp laïi ñuùng 3 laàn.
Coi 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau nhö moät vò trí maø thoâi thì soá caùch Do ñoù soá caùc soá töï nhieân coù moät chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn laø:
ñeå boá trí 7 hoïc sinh ñöùng lieàn nhau xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ baèng 4!. 9 + 9.35 = 324 soá
Nhöng ñeå xeáp 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau thì laïi coù 7! caùch. · Vaäy soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá maø trong ñoù khoâng coù chöõ soá
Vaäy taát caû coù: 4!7! = 120960 caùch. naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn laø: 9000 – 324 = 8676 soá.
34. (HV Chính trò quoác gia 2001) 37. (ÑH Hueá khoái DHT 2001)
1. Chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi 5
* Soá caùch choïn 5 em töø 13 em laø: C13 = 1287
nhoùm coù soá nöõ nhö nhau töùc laø chia moãi nhoùm coù 5 ngöôøi maø trong
* Soá caùch choïn 5 em toaøn nam laø: C5 = 21
7
ñoù coù 3 nöõ vaø 2 nam Þ soá caùch chia laø: C3 .C2 = 120
6 4
* Soá caùch choïn 5 em toaøn nöõ laø: C5 = 6
6
2. * Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø khoâng coù nam laø: C5
6 =6
Vaäy soá caùch choïn 5 em coù caû nam vaø nöõ laø: 1287 – (21 + 6) = 1260
* Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù 1 nam (vaø 4 nöõ) laø: 38. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001)
C6 .C1 = 60
4
4 Moãi toå coù 1 hoaëc 2 hoïc sinh gioûi. Vì khoâng phaân bieät thöù töï cuûa 2 toå
Vaäy soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù khoâng quaù 1 nam laø: neân soá caùch chia phaûi tìm laø soá caùch taïo thaønh moät toå coù 8 hoïc sinh
6 + 60 = 66. trong ñoù phaûi coù 1 hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Caùc hoïc
35. (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001) sinh coøn laïi taïo thaønh toå thöù hai.
Giaû söû soá caàn tìm coù daïng: A = a1a2a3a4a5a6 . · Tröôøng hôïp 1: Coù 2 hoïc sinh khaù:
+ Neáu a1 = 4 thì caùc chöõ soá coøn laïi cuûa A laø moät trong 7 chöõ soá 0, 1, * Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi.
2
2, 3, 5, 6, 7. Vaäy coù A5 = 2520 soá. * Coù C5 = 10 caùch choïn 2 hoïc sinh khaù.
7
+ Neáu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 neân chæ coù 6 caùch choïn a1. Vì soá 4 phaûi coù * Coù C5 = 56 caùch choïn 5 hoïc sinh trung bình.
8
ñuùng moät trong 5 vò trí coøn laïi laø a2, a3, a4, a5, a6. Khi ñoù caùc vò trí Þ Coù: 3.10.56 = 1680 caùch.
4 · Tröôøng hôïp 2: Coù 3 hoïc sinh khaù:
khaùc (khoâng coù chöõ soá 4) seõ chæ coøn A6 soá khaùc nhau. Vaäy tröôøng
4 * Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi.
hôïp naøy coù 6.5. A6 = 10800 soá.
* Coù C3 = 10 caùch choïn 3 hoïc sinh khaù.
5
Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá.
4
36. (ÑH Hueá khoái ABV 2001) * Coù C8 = 70 caùch choïn 4 hoïc sinh trung bình.
· Soá caùc soá töï nhieân coù 4 chöõ soá laø: 9.10.10.10 = 9000 soá Þ Coù: 3.10.70 = 2100 caùch.
· Ta tìm soá caùc soá töï nhieân coù 1 chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn: Vaäy coù taát caû: 1680 + 2100 = 3780 caùch.
+ Soá 0 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi soá töï nhieân a000 vôùi a Î 39. (ÑH Kinh teá quoác daân 2001)
{1,2,3,..,9} Þ coù 9 soá Ta söû duïng 5 oâ sau ñeå vieát soá coù 5 chöõ soá:
+ Soá 1 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi caùc soá:
* a111 vôùi a Î {2,3,4, …,9} Þ coù 8 soá · Tröôøng hôïp 1: Soá taïo thaønh chöùa chöõ soá 0:
* 1b11 vôùi b Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá Coù 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0. Sau ñoù coøn 4 caùch choïn vò trí cho
* 11c1 vôùi c Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá chöõ soá 5. Soá caùch choïn 3 chöõ soá coïn laïi laø: A3
5
* 111 vôùi d Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá
d Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 4.4. A3 = 960 soá
5
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 24 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 21 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Ta coi caëp (2;3) chæ laø moät phaàn töû “keùp”, khi ñoù chæ coù 5 phaàn töû laø 0, a2 ñeán a6: coù 5 caùch xeáp. Coøn laïi 5 vò trí, ta choïn 5 trong 8 chöõ soá ñeå
1, (2; 3), 4, 5. Soá hoaùn vò cuûa 5 phaàn töû naøy laø P5, phaûi loaïi tröø soá xeáp vaøo 5 vò trí naøy: coù A5 caùch.
8
tröôøng hôïp phaàn töû 0 ôû vò trí ñaàu goàm P4 tröôøng hôïp. Chuù yù raèng ñoái
Vaäy taát caû coù: 5. A5 = 33600 caùch.
8
vôùi phaàn töû keùp, ta coù theå giao hoaùn neân soá tröôøng hôïp seõ ñöôïc
nhaân ñoâi. Neân soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn ñeà baøi laø: 2(P5 – P4) = 2. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: a1a2a3a4a5a6a7 .
192 soá. 2
Choïn 2 vò trí ñeå xeáp hai chöõ soá 2: coù C7 caùch.
52. (ÑH khoái B 2003 döï bò 1) Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù C3 caùch.
5
Coi soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc choïn töø taäp 6 chöù soá 2
ñaõ cho coù daïng: a1a2a3a4a5a6 (ai Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) Coøn 2 vò trí, choïn 2 chöõ soá tuyø yù ñeå xeáp vaøo 2 vò trí naøy: coù 2! C8
sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 caùch.
Û a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 Nhö vaäy neáu xeùt caû caùc soá baét ñaàu baèng chöõ soá 0 thì coù:
Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 C7 . C3 .2! C8 = 11760 soá.
2
5
2
Û a4 + a5 + a6 = 11 Þ a1 + a2 + a3 = 10 (1) Trong caùc soá naøy, caàn loaïi boû caùc soá baét ñaàu bôùi chöõ soá 0.
Vì a1, a2 a3 Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} neân heä thöùc (1) chæ coù theå thoaû maõn Ñoái vôùi caùc soá 0a2a3a4a5a6a7 :
trong 3 khaû naêng sau: 2
* Choïn 2 vò trí ñeå xeáp chöõ soá 2: coù C6 caùch.
· a1, a2, a3 Î {1; 3; 6}
· a1, a2, a3 Î {1; 4; 5} * Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù C3 caùch.
4
· a1, a2, a3 Î {2; 3; 5} * Choïn 1 soá ñeå xeáp vaøo vò trí coøn laïi: coù 7 caùch.
Moãi boä soá a1, a2, a3 neâu treân taïo ra 3! hoaùn vò, vaø moãi hoaùn vò ñoù laïi Nhö vaäy loaïi naøy coù: C6 . C3 .7 = 420 soá.
2
4
ñöôïc gheùp vôùi 3! hoaùn vò cuûa boä soá a4, a5, a6 . Vì vaäy toång coäng soá Vaäy taát caû coù: 11760 – 420 = 11340 soá.
caùc soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi laø: 3.3!.3! = 45. (ÑHSP HN II 2001)
108 soá. Kí hieäu X laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau
53. (ÑH khoái B 2003 döï bò 2) ñoâi moät laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Coù 3 khaû naêng: Xeùt x = a1a2a3a4a5 Î X.
· 5 nam vaø 1 nöõ: coù C5 .C1 caùch
5 7 Neáu choïn a5 = 1 thì a1a2a3a4 öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 5
4 2
· 4 nam vaø 2 nöõ: coù C5 .C7 caùch 4
phaàn töû 3, 4, 5, 7, 8 Þ coù A5 soá coù chöù haøng ñôn vò laø 1.
· 3 nam vaø 3 nöõ: coù C3 .C3 caùch
5 7 4
Töông töï coù A5 soá coù chöù haøng ñôn vò laø 3; …
5 1 4 2
Vaäy taát caû coù: C5 .C7 + C5 .C7 + C3 .C3
5 7 = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 Þ Toång taát caû chöõ soá haøng ñôn vò cuûa caùc phaàn töû x Î X laø:
caùch. 4
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). A5 = 3360.
54. (ÑH khoái D 2003 döï bò 1)
Laäp luaän töông töï, toång taát caû chöõ soá haøng chuïc cuûa caùc phaàn töû x Î
Caùc soá phaûi laäp laø chaün neân phaûi coù chöõ soá ñöùng cuoái cuøng laø 0 hoaëc
X laø: 3360.10; …
2, 4, 6, 8.
Vaäy toång taát caû caùc phaàn töû cuûa X laø:
· Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø 0: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû. Do ñoù coù A6 soá thuoäc loaïi naøy.
8 = 3360.11111 = 3732960.
· Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø moät trong caùc chöõ soá 2, 4, 6, 8: thì 46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001)
6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû (keå caû soá coù 1. Soá taäp con cuûa A laø: C0 + C1 + C2 + ... + C20 = 220
20 20 20 20
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 22 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 23 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø: * 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10 .C1 caùch.
4
10
T = C2 + C20 + ... + C20
20
4
20 1 4 2 3
Vaäy taát caû coù: 2. C10 .C10 + 2. C10 .C10 = 15000 caùch.
Ta coù: 0 = (1 – 1)20 = C0 - C1 + C2 - ... + C20
20 20 20 20 49. (ÑH Y HN 2001)
Þ C0
20 + C2
20 + C4
20 + ... + C20
20 = C1
20 + C3
20 + ... + C19
20
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
1. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 2, 4, 6 Þ coù 3 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn
20 20
2 20
20 20
4
(
Þ C0 + C1 + C20 + ... + C20 = 2 C0 + C2 + C20 + ... + C20
20
) vò.
220 a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: Khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta
Þ T = C2 + C4 + ... + C20 =
20 20 20 - C0 = 219 – 1.
20
2 coøn 5 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng
47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001) ñôn vò vaø haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
1. Xeùt caùc soá chaün x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau; a, b, c Î Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.5.7 = 105 soá.
{1;2;3;4;5} = E. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: Sau khi choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta
Vì x chaün neân c Î {2;4} Þ coù 2 caùch choïn c. coøn 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.6 = 18 soá.
Vôùi moãi caùch choïn c, coù A2 caùch choïn bc .
4
2. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 8:
Vaäy taát caû coù: 2. A2 = 24 soá chaün.
4 a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng traêm.
2. Xeùt x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau thuoäc E = {1;2;3;4;5;6} Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng
* Neáu a ≥ 4 thì x > 345. chuïc.
* Neáu a = 1 hoaëc 2 thì vôùi moïi chænh hôïp chaäp 2 (b,c) cuûa E \ {a} ta Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6.7 = 42 soá.
2
ñeàu coù x = abc < 345. Loaïi naøy coù: 2. A5 = 40 soá. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc.
Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6 soá.
éb = 1hoaëc 2; c Î E \ {a,b}
* Neáu a = 3 thì x = 3bc < 345 Û ê Vaäy taát caû coù: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 soá.
ëb = 4; c = 1hoaëc 2 50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002)
Loaïi naøy coù: 2.4 + 1.2 = 10 soá. 8
Toång soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø 18 em cuûa ñoäi tuyeån laø: C18 =
Vaäy coù taát caû: 40 + 10 = 50 soá.
43758
48. (ÑH Vaên Lang 2001)
Toång soá caùch treân ñöôïc phaân laøm hai boä phaän rôøi nhau:
1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh
Boä phaän I goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em sao cho moãi khoái
nam thì coù 2 tröôøng hôïp:
2 3
ñeàu coù em ñöôïc choïn (soá caùch phaûi tìm).
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch. Boä phaän II goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em chæ goàm 2 khoái
3 2
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. (löu yù laø soá em thuoäc moãi khoái ñeàu ít hôn 8 neân khoâng coù caùch choïn
2 3
Vaäy taát caû coù: 2. C10 .C10 = 10800 caùch. naøo maø caû 8 em thuoäc cuøng moät khoái).
Boä phaän II coù theå chia thaønh ba loaïi:
2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh 8
· 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 11: coù C13 caùch.
nam thì coù 4 tröôøng hôïp:
8
* 1 nam vaø 4 nöõ: coù C1 .C10 caùch.
4 · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 10: coù C12 caùch.
10
8
2 3
* 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch. · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 11 hoaëc 10: coù C11 caùch.
8 8 8 8
3 2
* 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. Vaäy soá caùch phaûi tìm laø: C18 – ( C13 + C12 + C11 ) = 41811 caùch.
51. (ÑH khoái A 2003 döï bò 2)
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 28 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 25 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
· Choïn 13 hoïc sinh trong soá 25 hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn (
chöõ soá 0 ñöùng ñaàu). Vaäy soá caùc soá loaïi naøy laø: 4. A6 - A5 .
8 7 )
baát kì laø: C13 = 5200300
25
4 9 8 ( 8 7 )
Vaäy taát caû coù: A6 + 4. A6 - A5 = 90720 soá.
Soá caùch choïn ñöôïc 4 hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: C15C10
55. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002)
Soá caùch choïn ñöôïc 3 hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø: 1. a) Hai ñöôøng thaúng phaân bieät coù toái ña 1 giao ñieåm Þ Soá giao
C15C10
3
10 2
ñieåm toái ña cuûa 10 ñöôøng thaúng phaân bieät laø C10 = 45 ñieåm.
Þ Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát 4 hoïc sinh khoái A laø: b) Hai ñöôøng troøn phaân bieät coù toái ña 2 giao ñieåm Þ Soá giao ñieåm
C15C10 + C15C10 = 13650 + 455 = 14105
4 9 3
10 2
toái ña cuûa 6 ñöôøng troøn phaân bieät laø 2. C6 = 30 ñieåm.
Þ Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: 2. Vì 1 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn coù toái ña 12 giao ñieåm. Do ñoù soá
25 ( 9 3 10
)
C13 - C15 .C10 + C15 .C10 = 5186195
4
giao ñieåm toái ña giöõa 10 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn laø: 10.12 =
· Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: 120.
ë 25 (
4 9 3 10
û)
C5 éC13 - C15 .C10 + C15 .C10 ù = 51861950
2 Vaäy soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp caùc ñöôøng ñaõ cho laø:
45 + 30 + 120 = 195 ñieåm.
66. (CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006) 56. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò)
Choïn 2 vò trí xeáp chöõ soá 0: coù C2 caùch.
4 Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc töông öùng moät toå hôïp chaäp 2
Choïn 1 vò trí xeáp chöõ soá 1: coù 3 caùch. 2
cuûa n phaàn töû Þ Soá ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc laø: Cn
Choïn 2 chöõ soá xeáp vaøo 2 vò trí coøn laïi: coù caùch. Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc hoaëc laø caïnh hoaëc laø ñöôøng
Vaäy taát caû coù: C2 .3. A8 = 1008 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
4
2
cheùo
67. (CÑ Xaây döïng soá 3 khoái A 2006) 2 n(n - 1)
Þ Cn = n + 2n Û = 3n Û n2 – n = 6n
· Goïi ab laø soá töï nhieân phaûi tìm Þ a ≠ 0 2
Do ab chaün neân b Î {0, 2, 4, 6, 8} én = 7
Û n2 – 7n = 0 Û ê
Coù 2 tröôøng hôïp: ën = 0 (loaïi)
* Neáu b = 0 thì a Î {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ coù 9 caùch choïn a. Vaäy n = 7.
Þ coù 9 soá a0 57. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
* Neáu b ≠ 0 thì b Î {2, 4, 6, 8} Þ coù 4 caùch choïn b. Goïi soá caàn tìm laø: x = a1a2a3
Khi ñoù coù 8 caùch choïn a. Vì x < 245 neân a1 = 1 hoaëc a1 = 2
Þ coù 4.8 = 32 soá ab · a1 = 1: x = 1a2a3
Vaäy taát caû coù: 9 + 32 = 41 soá caàn tìm. a2, a3 laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû: 2, 3, 4, 5
· Ñaët S laø toång cuûa 41 soá ñoù.
Þ Coù: A2 = 4.3 = 12 soá
4
S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)
10 + 98 · a1 = 2: x = 2a2a3
= 45. – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.
2 a2 coù 2 khaû naêng:
68. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) * a2 < 4 Þ a2 Î {1, 3} Þ a2 coù 2 caùch choïn, a3 coù 3 caùch choïn trong 3
2
· Hai ñænh thuoäc d1, moät ñænh thuoäc d2: coù C10 .8 tam giaùc soá coøn laïi Þ Coù 2.3 = 6 soá
2 * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 Þ a3 coù 2 caùch choïn Þ Coù 2 soá
· Hai ñænh thuoäc d2, moät ñænh thuoäc d1: coù C8 .10 tam giaùc
Þ Coù 6 + 2 = 8 soá x = 2a2a3
2 2
Vaäy taát caû coù: C10 .8 + C8 .10 = 640 tam giaùc. Vaäy coù taát caû: 12 + 8 = 20 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 26 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 27 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
58. (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002) Vaäy taát caû coù: 720 + 720 = 1440 soá x.
Soá caàn tìm coù daïng: a1a2a3a4 . 62. (ÑH khoái B 2005 döï bò 1)
Choïn a4 töø {1, 5, 9} Þ coù 3 caùch choïn. Ta coù caùc tröôøng hôïp:
Choïn a1 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} Þ coù 3 caùch choïn. · 3 nöõ vaø 5 nam: coù C3C10 = 2520 caùch.
5
5
Choïn a2 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} Þ coù 3 caùch choïn. 4 4
· 4 nöõ vaø 4 nam: coù C5C10 = 1050 caùch.
Choïn a3 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} Þ coù 2 caùch choïn.
· 5 nöõ vaø 3 nam: coù C5C10 = 120 caùch.
5
3
Vaäy taát caû coù: 3.3.3.2 = 54 soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi.
59. (ÑH khoái B 2004) Vaäy taát caû coù: 2520 + 1050 + 120 = 3690 caùch.
Moãi ñeà kieåm tra coù soá caâu deã laø 2 hoaëc 3, neân coù caùc tröôøng hôïp 63. (ÑH khoái B 2005 döï bò 2)
sau: · Caùch 1: Goïi x = a1a2a3a4a5 laø soá caàn laäp.
* Ñeà coù 2 caâu deã, 2 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù C15 .C10 .C1 ñeà.
2 2
5
2
Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1 vaø 5 vaøo 2 trong vò trí: coù A5 = 20 caùch.
* Ñeà coù 2 caâu deã, 1 caâu trung bình, 2 caâu khoù Þ coù C15 .C1 .C5 ñeà.
2
10
2 Sau ñoù, ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi ñaàu tieân.
4 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù hai.
* Ñeà coù 3 caâu deã, 1 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù C15 .C1 .C1 ñeà.
3
10 5
3 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù ba.
Vaäy taát caû coù: Vaäy taát caû coù: 20.5.4.3 = 1200 soá.
C15 .C10 .C1 + C15 .C1 .C5 + C15 .C10 .C1 = 23625 + 10500 + 22750
2 2
5
2
10
2 3 1
5 · Caùch 2:
= 56875 ñeà. 2
* Böôùc 1: Xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: coù A5 = 20 caùch.
60. (ÑH khoái B 2005)
* Böôùc 2: coù A3 = 60 caùch xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn
5
Coù C1 C12
3
4
caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù
laïi.
nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù Vaäy coù 20.60 = 1200 soá.
nhaát, thì coù C1 C8 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh
2
4
64. (ÑH khoái D 2006)
thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh 4
Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø: C12 = 495
thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù C1C4
1 4 caùch phaân coâng caùc thanh nieân Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö
tình nguyeän veà tænh thöù ba. sau:
Vaäy taát caû coù: C1 C12 . C1 C8 . C1C4 = 207900 caùch phaân coâng.
3
4
2
4
1 4
· Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh.
61. (ÑH khoái A 2005 döï bò 1) Þ Soá caùch choïn laø: C5C1 C1 = 120
2
4 3
Goïi x = a1a2a3a4a5a6 laø soá caàn laäp. · Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh:
YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 Þ a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} hoaëc a3, a4, a5 Î {1, 3, Þ Soá caùch choïn laø: C1 C2C1 = 90
5 4 3
4} · Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh:
a) Khi a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} Þ Soá caùch choïn laø: C1 C1 C3 = 60
2
5 4
· Coù 6 caùch choïn a1 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø:
· Coù 5 caùch choïn a2 120 + 90 + 60 = 270
· Coù 3! caùch choïn a3, a4, a5
Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 495 – 270 = 225 caùch.
· Coù 4 caùch choïn a6
65. (CÑ GTVT III khoái A 2006)
Þ Coù: 6.5.6.4 = 720 soá x. 2
· Soá caùch choïn 2 hoïc sinh khoái C laø: C5 = 10
b) Khi a3, a4, a5 Î {1, 3, 4}, töông töï ta cuõng coù 720 soá x.
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 32 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 29 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
n+1 Phaàn II. BIEÅU THÖÙC TOÅ HÔÏP – NHÒ THÖÙC NEWTON
nhaát neáu k laø soá töï nhieân lôùn nhaát khoâng vöôït quaù .
2
30. (ÑH Vinh khoái DTM 2001) 1. (CÑSP TPHCM 1999)
Chöùng minh raèng: Tìm soá töï nhieân k thoaû maõn heä thöùc: C14 + C14 2 = 2C141
k k+ k+
C0 2 2 4 4
2001 + 3 C2001 + 3 C2001 + ... + 3
2000 2000
C2001 =2 2000 2001
(2 - 1)
2. (ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999)
31. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2001) Tính toång: C10 + C10 + C10 + C10 + C10
6 7 8 9
10
Cho k vaø n laø caùc soá nguyeân thoaû maõn: 9 ≤ k ≤ n. Chöùng minh raèng:
trong ñoù Ck laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû.
( )
2 n
Cn +k .Cn -k £ Cn
2n 2n 2n 3. (ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999)
32. (ÑH khoái A 2002) Tìm caùc soá nguyeân döông x thoaû: C1 + 6C2 + 6C3 = 9x2 - 14x
x x x
Cho khai trieån nhò thöùc: 4. (ÑH Baùch khoa HN 1999)
( x -1
22 + 23 )
-x n
= ( ) ( ) ( ) + ... +
0
x -1 n
Cn 2 2 1
+ Cn 2 2
x -1 n-1 - x
23
Tính toång: S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1 n-1.nCn
n
2 3 4
) n
trong ñoù n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2.
+ Cn-1
n
(2 )( )
x -1
2 ( )- x n-1
23 n
+ Cn 2 3
-x n
5. (ÑHQG HN khoái A 2000)
Chöùng minh raèng: Ck k +1 1000 1001
2001 + C2001 £ C2001 + C2001
3
(n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoù Cn = 5C1
n vaø soá (trong ñoù k nguyeân, 0 ≤ k ≤ 2000û)
haïng thöù tö baèng 20. Tìm n vaø x. 6. (ÑHQG HN khoái B 2000)
33. (ÑH khoái B 2002) Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa bieåu thöùc sau:
Cho ña giaùc ñeàu A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyeân) noäi tieáp ñöôøng troøn (O). 17
æ 1 4
ö
Bieát raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1, A2, …, A2n ç + x3 ÷ ,x≠0
ç3 2 ÷
nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A1, è x ø
A2, …, A2n. Tìm n? 7. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000)
34. (ÑH khoái D 2002) 1 2 6
Giaûi baát phöông trình: A2x - A2 £ .C3 + 10
x x
Tìm soá nguyeân döông n sao cho: 2 x
Cn + 2C1 + 4Cn + ... + 2n Cn = 243
0
n
2
n 8. (ÑHSP HN khoái A 2000)
n
35. (ÑH döï bò 2 2002) æ -
28 ö
Tìm soá n nguyeân döông thoaû maõn baát phöông trình: An + 2Cn- 2 ≤ 9n.
3 Trong khai trieån nhò thöùc ç x 3 x + x 15 ÷ , haõy tìm soá haïng khoâng phuï
n ç ÷
è ø
36. (ÑH döï bò 4 2002)
Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø: thuoäc vaøo x, bieát raèng Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79
n n n
(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn 9. (ÑHSP HN khoái BD 2000)
a a a Bieát toång taát caû caùc heä soá cuûa khai trieån nhò thöùc (x2 + 1)n baèng 1024,
Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho k -1 = k = k +1 .
2 9 24 haõy tìm heä soá a (a laø soá töï nhieân) cuûa soá haïng ax12 trong khai trieån
Haõy tính n. ñoù.
37. (ÑH döï bò 6 2002) 10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000)
Goïi a1, a2, …, a11 laø caùc heä soá trong khai trieån sau: 1 1 2 1 n
Tính toång: S = Cn + C1 + Cn + ... +
0
n Cn
(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11. 2 3 n+1
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 30 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 31 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000) 4
An+ 4 143
xn = - (n = 1, 2, 3, …)
Chöùng minh: 2n-1C1 + 2n-1Cn + 2n-3 Cn + 2n- 4 Cn + ... + nCn = n.3n-1
n
2 3 4
n Pn+ 2 4Pn
12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000) 21. (ÑH An ninh nhaân daân khoái A 2001)
40 Chöùng minh raèng vôùi n laø soá töï nhieân, n ≥ 2, ta coù:
æ 1ö
Tìm heä soá cuûa x31 trong khai trieån cuûa f(x) = ç x + 2 ÷ 1 1 1 n-1
è x ø + 2 + ... + 2 = .
2 n
13. (ÑH Thuyû lôïi 2000) A2 A3 An
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n ≥ 2, ta luoân coù: 22. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2001)
1 1 1 1 n-1 ì 2Ay + 5Cy = 90
ï x
2
+ 2 + 2 + ... + 2 = Giaûi heä phöông trình: í y
x
A2 A3 A4 An n y
ï5Ax - 2Cx = 80
î
14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000) 23. (ÑH Daân laäp Duy Taân khoái A 2001)
Cho ña thöùc P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 coù 1
6
daïng khai trieån laø: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14. 1. Tính tích phaân: I = ò (x + 2) dx
Haõy tính heä soá a9. 0
15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000) 2 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6
6
2. Tính toång: S = C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6
Vôùi n laø soá nguyeân döông, haõy chöùng minh caùc heä thöùc sau: 1 2 3 4 5 6 7
1. Cn + C1 + Cn + ... + Cn = 2n
0
n
2
n 24. (ÑH Ñaø Laït khoái D 2001)
2. C1 + C3 + C5 + ... + C2n-1 = C0 + C2 + C4 + ... + C2n 1 n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n Chöùng minh raèng vôùi moïi soá x ta coù: xn = n å Ck (2x - 1)k (n Î N) (*)
n
16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000) 2 k =0
Tính toång: S = C0 1 2
C2000 25. (ÑH Ñaø Naüng khoái A 2001)
2000 + 2C2000 + 3C2000 + ... + 2001 2000
Vôùi moãi n laø soá töï nhieân, haõy tính toång:
17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000)
1 1 2 1 3 1 n n
Khai trieån ña thöùc: P(x) = (1 + 2x)12 thaønh daïng: S = Cn + C1 .2 + Cn .22 + Cn .23 + ... +
0
n Cn .2
2 3 4 n+1
a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
Tìm max(a1, a2, …, a12). 26. (ÑH Haøng haûi 2001)
18. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) Chöùng minh: C0 + C2 .32 + C4 .34 + ... + C2n .32n = 22n-1(22n + 1)
2n 2n 2n 2n
1
2 n
27. (ÑH Luaät TPHCM khoái A 2001)
Tính tích phaân: I= ò x(1- x ) dx (n Î N*) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n ≥ 1, ta coù:
0
C1 .3n-1 + 2.Cn .3n- 2 + 3.Cn .3n-3 + ... + n.Cn = n.4n–1
n
2 3 n
Töø ñoù chöùng minh raèng:
1 0 1 1 1 2 1 3 (-1)n n 1 28. (ÑHSP HN khoái A 2001)
Cn - Cn + Cn - Cn + ... + Cn = 10
2 4 6 8 2(n + 1) 2(n + 1) æ1 2 ö
Trong khai trieån cuûa ç + x ÷ thaønh ña thöùc:
19. (CÑ Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) è3 3 ø
Tìm heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa bieåu thöùc: a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak Î R)
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 haõy tìm heä soá ak lôùn nhaát (0 ≤ k ≤ 10).
20. (ÑH An Ninh khoái A 2001) 29. (ÑH Vinh khoái AB 2001)
Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, …, xn, … vôùi Cho n laø moät soá nguyeân döông coá ñònh. Chöùng minh raèng Ck lôùn
n
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 36 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 33 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
20 10 Haõy tính heä soá a5.
æ 1ö æ 1ö
Cho A = ç x - 2 ÷ + ç x3 - ÷ . Sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu
è x ø è xø 38. (ÑH khoái A 2003)
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa
thöùc A seõ goàm bao nhieâu soá haïng? n
69. (CÑ KT Y teá I 2006) æ 1 5ö n+1 n
ç 3 + x ÷ , bieát raèng: Cn+ 4 - Cn+ 3 = 7(n + 3) (n nguyeân döông, x > 0).
Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn ñaúng thöùc sau: èx ø
C0 + C2 32 + ... + C2n 32k + ... + C2n- 2 32n- 2 + C2n 32n = 215 (216 + 1)
2n 2n
2k
2n
2n 39. (ÑH khoái B 2003)
70. (CÑ Xaây döïng soá 2 2006) Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång:
Chöùng minh: Cn 3n - C1 3n-1 + ... + (-1 n Cn = Cn + C1 + ... + Cn
0
) n 0 0 22 - 1 1 23 - 1 2 2n+1 - 1 n
n n n Cn + Cn + Cn + ... + Cn
2 3 n+1
71. (CÑ KT Y teá 1 2005)
40. (ÑH khoái D 2003)
Giaûi baát phöông trình: 2C2+1 + 3A2 - 20 < 0
x x Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a3n–3 laø heä soá cuûa x3n–3 trong khai trieån
72. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) thaønh ña thöùc cuûa (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n ñeå a3n–3 = 26n.
Tìm heä soá cuûa x29y8 trong khai trieån cuûa (x3 – xy)15. 41. (ÑH khoái D 2003 döï bò 2)
73. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006) Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn:
Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng: Cn Cn- 2 + 2Cn Cn + Cn Cn-3 = 100
2 2 3 3
n n
a 0 + a 1 x + a 2 x2 + … + a n xn
42. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002)
Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71.
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ta ñeàu coù:
C1 + C3 + C5 + ... + C2n-1 = C0 + C2 + C4 + ... + C2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
BAØI GIAÛI 43. (CÑ Sö phaïm Beán Tre khoái A 2002)
1. Giaûi phöông trình: C1 + 6Cx + 6C3 = 9x2 – 14x
x
2
x
1. (CÑSP TPHCM 1999) 2. Chöùng minh raèng: C1 + C3 + C5 + ... + C17 + C19 = 219
20 20 20 20 20
C14 + C14 2 = 2C141
k k+ k+
(0 ≤ k ≤ 12, k Î N) 44. (CÑ khoái AD 2003)
14! 14! 14! Chöùng minh raèng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1
Û + =2
k!(14 - k)! (k + 2)!(12 - k)! (k + 1)!(13 - k)! 45. (CÑ Giao thoâng II 2003)
1 1 1 Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ≥ 2, ta ñeàu coù:
Û + =2 n-1
(14 - k)(13 - k) (k + 1 + 2)
)(k (k + 1)(13 - k) æ 2n - 2 ö
Cn C1 ...Cn £ ç
0
÷
Û (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) n n
è n-1 ø
Û k2 – 12k + 32 = 0 Û k = 4 hoaëc k = 8 46. (CÑ Giao thoâng III 2003)
Vaäy: k = 4 hoaëc k = 8
1. Tính toång: S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1)n-1nCn
n
2 3 4
n (n > 2)
2. (ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999)
0 1 1 1 2 1 n
6 7 8 9 10
S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 2. Tính toång: T = Cn + Cn + Cn + ... + Cn
2 3 n+1
1 0 1 1 1 5
=
2
( 10
9
10
2
10 )
C10 + C1 + ... + C10 + C10 - C10 = .210 - C10 = 386.
2 2
bieát raèng n laø soá nguyeân döông thoaû ñieàu kieän:
Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79
n n n
3. (ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999)
47. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003)
C1 + 6C2 + 6C3 = 9x2 - 14x
x x x (x Î N, x ≥ 3)
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 34 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 35 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
Chöùng minh raèng: C0Ck - 2
2 n + C1 Cn-1
2
k-
2
2 k-2
+ C2Cn- 2 = k
Cn Tìm k Î {0; 1; 2; …; 2005} sao cho Ck
2005 ñaït giaù trò lôùn nhaát.
+
(vôùi n, k Î Z ;n ≥ k + 2) 59. (ÑH khoái D 2005 döï bò 2)
48. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003 döï bò) 2 2
Tìm soá nguyeân n > 1 thoaû maõn ñaúng thöùc: 2Pn + 6 An - P An = 12.
n
Giaûi baát phöông trình: (n!)3 Cn .Cn .Cn £ 720
n 2n 3n 60. (ÑH khoái A 2006)
49. (CÑ Coâng nghieäp HN 2003) Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x26 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa
Cho ña thöùc: P(x) = (16x – 15)2003. Khai trieån ña thöùc ñoù döôùi daïng: æ 1 7ö
n
1 2 n 20
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003 ç 4 + x ÷ , bieát raèng: C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 2 - 1
èx ø
Tính toång S = a0 + a1 + a2 + … + a2003.
61. (ÑH khoái B 2006)
50. (CÑ Khí töôïng thuyû vaên khoái A 2003)
3 2
Cho taäp A goàm n phaàn töû (n ≥ 4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû
Tìm soá nguyeân döông n thoaû maõn ñaúng thöùc: An + 2Cn = 16n cuûa A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm kÎ{1,2,…, n}
51. (CÑ Noâng Laâm 2003) sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát.
Tìm heä soá lôùn nhaát cuûa ña thöùc trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa: 62. (CÑ Baùn coâng Hoa Sen khoái A 2006)
15
æ1 2 ö ì x x 1
ç + x÷ . ïCy : Cy+ 2 = 3
ï
è3 3 ø Giaûi heä phöông trình: í
52. (CÑ Coäng ñoàng Tieàn Giang 2003) ïCx : Ax = 1
Haõy khai trieån nhò thöùc Newton (1 – x)2n, vôùi n laø soá nguyeân döông. ï y
î
y
24
Töø ñoù chöùng minh raèng: 63. (CÑ KT–KT Caàn Thô khoái AB 2006)
1 1 + 3C3 + ... + (2n - 1)C2n-1 = 2C2 + 4C2n + ... + 2nC2n
C2n 4 2n 1 1 1
2n 2n 2n Tìm soá töï nhieân n sao cho: n
- n = n
53. (ÑH khoái A 2004) C4 C5 C6
Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa [1 + x2(1 – x)]8. 64. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái A 2006)
0
54. (ÑH khoái D 2004) 1.Cn 2.C1
n
2
3.Cn (n + 1).Cn
n
Tính toång S = + + + ... +
Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa: A1 A1 A1 A1+1
1 2 3 n
7
æ3 1 ö
ç x+4 ÷ vôùi x > 0 Bieát raèng: Cn + C1 + Cn = 211
0
n
2
è xø
65. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái BT 2006)
55. (ÑH khoái A 2005)
Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng:
Tìm soá nguyeân döông n sao cho:
a 0 + a 1 x + a 2 x2 + … + a n xn
C1 +1 - 2.2C2 +1 + 3.22 C3 +1 - 4.23 C4 +1 + ... + (2n + 1).22n C2n+1 = 2005
2n 2n 2n 2n 2n+1 Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71.
56. (ÑH khoái D 2005) 66. (CÑ Ñieän löïc TPHCM 2006)
4 3 n
An+1 + 3An æ 1ö
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: M = Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc ç x2 + 3 ÷ , bieát
(n + 1)! è x ø
2 2 2 2
bieát Cn+1 + 2Cn+ 2 + 2Cn+ 3 + Cn+ 4 = 149. raèng: C1 + Cn = 13n (n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2, x laø soá thöïc khaùc 0).
n
3
57. (ÑH khoái A 2005 döï bò 2) 67. (CÑ Kinh teá TPHCM 2006)
Tìm heä soá cuûa x7 trong khai trieån ña thöùc (2 – 3x)2n, trong ñoù n laø soá Tìm n Î N sao cho: C0 + 2 + C2 + 2 + C4 + 2 + ... + C2n+ 2 = 256
4n 4n 4n 4n
nguyeân döông thoaû maõn: C1 +1 + C3 +1 + C5 +1 + ... + C2n+1
2n 2n 2n 2n+1 = 1024 68. (CÑ Kinh teá ñoái ngoaïi khoái AD 2006)
58. (ÑH khoái D 2005 döï bò 1)
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 40 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 37 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
2 3 2 2
1 1 1 1 1 k -1 1 k -1 1 Û x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x – 14x
Thaät vaäy, + + + ... + + = + 2 = +
A2
2
2
A3 A2
4
2
Ak 2
Ak +1 k Ak +1 k (k + 1)k é x = 0 (loaïi)
2 Û x(x – 9x + 14) = 0 Û ê x = 2 (loaïi)
2
Vaäy: x = 7
(k - 1 + 1
) k ê
= = ê x = 7 (nhaän)
(k + 1)k k +1 ë
1 1 1 1 n-1 4. (ÑH Baùch khoa HN 1999)
Vaäy: + 2 + 2 + ... + 2 = , "n ≥ 2
2
A2 A3 A4 An n S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1 n-1.nCn
n
2 3 4
) n (n > 2)
n
14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000) Xeùt ña thöùc p(x) = (1 – x) . Khai trieån theo coâng thöùc Newton ta ñöôïc:
9 9 9 9 9 n
a9 = 1 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 p(x) = (1 – x)n = å (-1)k Ck .xk
n
= 1 + C1 + C11 + C12 + C13 + C14
10
2 3 4 5 k =0
n
11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10 Suy ra: – p¢(x) = n(1 – x)n–1 = å (-1)k -1.kCk .xk -1
= 1 + 10 + + + + n
2 6 24 120 k =1
= 3003 n
15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000)
Cho x = 1 ta ñöôïc: 0 = å (-1)k-1.kCk
n
k =1
1. (1 + x)n = Cn + C1 x + Cn x2 + ... + Cnxn
0
n
2
n = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1 n-1.nCn = S
2 3 4
)
n n
0
Cho x = 1 Þ Cn+ C1 + Cn + ... + Cn = 2n
n
2
n Vaäy: S = 0
2. (1 – x) 2n
= C2n - C2nx + C2nx - C3 x3
0 1 2 2
2n + ... + C2nx2n
2n
5. (ÑHQG HN khoái A 2000)
Cho x = 1 Þ ñpcm. Ta seõ chöùng toû:
16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000) C0 2001 1 2000 2 1999 1000 1001
2001 = C2001 < C2001 = C2001 < C2001 = C2001 < ... < C2001 = C2001
2000
Thaät vaäy, chæ caàn chöùng toû: Ck k +1
2001 < C2001 (1) vôùi "k = 0, 1, 2, …, 999.
Coù (x + 1)2000 = å Ci2000 xi (1)
2001! 2001!
i= 0
Ta coù: (1) Û <
2000 k!(2001- k)! (k + 1)!(2000 - k)!
Trong (1) cho x = 1 ta ñöôïc å Ci2000 = 22000
Û (k + 1) < 2001 – k
i= 0
2000 Û 2k < 2000 Û k < 1000 ñuùng vì k = 0, 1, 2, …, 999.
Ñaïo haøm 2 veá cuûa (1) theo x, ta coù: 2000.(x + 1)1999 = å i.Ci2000xi-1 Vì vaäy: Ck 1000
2001 £ C2001 ,"k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc Û ê
ék = 1000
)
i=1
ëk = 1001
2000
Cho x = 1 ta ñöôïc: å i.Ci2000 = 2000.21999 = 1000.22000 ék = 999
vaø: Ck +1 £ C1001 , "k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc Û ê
2001 2001 )
i=1 ëk = 1000
2000 2000
Do ñoù: S = å Ci2000 + å i.Ci2000 = 1001.22000. Þ Ck k +1 1000 1001
2001 + C2001 £ C2001 + C2001 (ñaúng thöùc Û k = 1000)
i= 0 i=1 6. (ÑHQG HN khoái B 2000)
17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån laø:
P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 17 34
ak = C12 .2k ;
k
ak < ak+1 Û k <
23
3
k
C17 ( ) ( )
-
x 3
2 17-k 3 k
x4 k
= C17 ( )
3 12 k - 3
x4 (k Î N, 0 ≤ k ≤ 17)
- Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 38 Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng 39 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp
17 34 1 1
Ñeå soá haïng khoâng chöùa x thì k- =0 Þk=8 n (1+ x)n+1 2n+1 - 1
12 3 * Ta coù: I = ò (1+ x) dx = n+1
=
n+1
8 0 0
Vaäy soá haïng caàn tìm laø soá haïng thöù 9 cuûa khai trieån vaø baèng C17 .
1 1
7. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000) 0 æ 0 x2 xn+1 ö
*I= ò (Cn +C1 x + ... + Cnxn )dx
n
n
= ç Cn x + C1
n + ... + Cn
n ÷
ìx Î N ç 2 n + 1÷
0 è ø0
ï 2 £ 2x
ï ìx Î N 1 1 1 2 1 n
Ñieàu kieän: í Ûí 0
= Cn + Cn + Cn + ... + Cn = S
ï 2£ x îx ³ 3 2 3 n+1
ï3 £ x
î 2n+1 - 1
1 2 6 Vaäy: S = .
Ta coù: A2x - A2 £ .C3 + 10 n+1
x x
2 x 11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000)
1 6 x(x - 1 - 2)
)(x Ta coù: (1 + x)n = Cn + C1 x + Cn x2 + Cn x3 + Cn x4 + ... + Cnxn
0 2 3 4 n
Û .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ . + 10 n
2 x 1.2.3
Laáy ñaïo haøm hai veá:
Û x2 ≤ x2 – 3x + 12 Û x ≤ 4
n(1 + x)n–1 = C1 + 2Cn x + 3Cn x 2 + 4Cn x3 + ... + nCnxn-1
n
2 3 4 n
Keát hôïp ñieàu kieän, ta ñöôïc: x = 3, x = 4.
8. (ÑHSP HN khoái A 2000) 1
Thay x = , ta ñöôïc:
n(n - 1) 2
* Xaùc ñònh n: Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79 Û 1 + n + = 79
n n n
2 3n-1
n = C1 + 2Cn .2-1 + 3Cn 2-2 + 4Cn .2-3 + ... + nCn 2-n+1
n
2 3 4 n
ìn = 12 2n-1
Û í
în = -13 (loaïi) Þ 2n-1C1 + 2n-1Cn + 3.2n-3 Cn + 4.2n- 4 Cn + ... + nCn = n.3n-1
n
2 3 4
n
12 k 12-k
æ -
28 ö æ - 28 ö12 12æ 4ö 48 112
k-
12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000)
* Ta coù: =å
ç x 3 x + x 15 ÷ ç x 15 ÷ = å C12 x
k ç 3÷
k 15
C12 x 5
æ 1ö
40 40
æ 1ö
40-k 40
ç
è
÷
ø k =0 ç ÷ ç
è ø è
÷
ø k=0 çx + 2 ÷
è x ø
= å Ck xk .ç x2 ÷
40
è ø
= å Ck x3k -80
40
k =0 k =0
48 112
Soá haïng khoâng phuï thuoäc x Û k- = 0 Û k = 7. Heä soá cuûa x 31
laø Ck vôùi k thoaû maõn ñieàu kieän: 3k – 80 = 31 Û k = 37
15 5 40
7 40.39.38
Vaäy soá haïng caàn tìm laø: C12 = 792 Vaäy: heä soá cuûa x31 laø C37 = C3 =
40 40 = 40.13.19 = 9880.
1.2.3
9. (ÑHSP HN khoái BD 2000)
n 13. (ÑH Thuyû lôïi 2000)
2
Ta coù: (x + 1) = n
å Ck x2k
n (1) Chöùng minh baèng phöông phaùp qui naïp.
k =0 1 1
* Vôùi n = 2, ñpcm Û 2 = Û A2 = 2 ñuùng
Soá k öùng vôùi soá haïng ax12 thoaû maõn phöông trình: x12 = x2k Þ k = 6. A2 2
2
n
Trong (1) cho x = 1 thì å Ck
n = 2n * Giaû söû BÑT caàn chöùng minh ñuùng vôùi n = k (k ≥ 2), töùc laø ta coù:
k =0 1 1 1 1 k -1
n 2
+ 2 + 2 + ... + 2 =
A2 A3 A4 Ak k
Töø giaû thieát Þ å Ck
n = 1024 Û 2n = 1024 Û n = 10
k =0 Ta caàn chöùng minh BÑT ñuùng vôùi n = k + 1.
6
Vaäy heä soá caàn tìm laø: C10 = 210.
10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000)
nguon tai.lieu . vn
