Xem mẫu
- www.MATHVN.com
Nguy n Tu n Anh
Tuy n t p các đ thi đ i h c
theo ch đ
Trư ng THPT Sơn Tây
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
M cl c
Chương 1. Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 4
1.1. Phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Phương trình, b t phương trình h u t và vô t . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Phương trình lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Phương trình,b t phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. H Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. B t đ ng th c 13
2.1. B t d ng th c . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Nh n d ng tam giác . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 3. Hình h c gi i tích trong m t ph ng 16
3.1. Đư ng th ng . ........... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Đư ng tròn . . ........... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Cônic . . . . . . ........... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Đáp s . . . . . . . . ........... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 4. T h p và s ph c 21
4.1. Bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Công th c t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3. Đ ng th c t h p khi khai tri n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4. H s trong khai tri n nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5. S ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 5. Kh o sát hàm s 25
5.1. Ti p tuy n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. C c tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3. Tương giao đ th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.4. Bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 6. Hình h c gi i tích trong không gian 29
6.1. Đư ng th ng và m t ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2. M t c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3. Phương pháp t a đ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 7. Tích phân và ng d ng 36
7.1. Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2. Tính di n tích hình ph ng đư c gi i h n b i các đư ng sau: . . . . . . . . 37
7.3. Tính th tích kh i tròn xoay đư c t o b i hình ph ng (H) khi quay quanh
Ox. Bi t (H) đư c gi i h n b i các đư ng sau: . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Đáp S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 1
Phương trình-B t PT-H PT-H
BPT
1.1. Phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Phương trình, b t phương trình h u t và vô t . . . . . . . . . 4
1.1.2. Phương trình lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Phương trình,b t phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . 7
1.2. H Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s . . . . . . . . . . 9
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1. Phương trình và b t phương trình
1.1.1. Phương trình, b t phương trình h u t và vô t
Bài 1.1 (D-02). Gi i b t phương trình sau:
√
(x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.
Bài 1.2 (D-05). Gi i phương trình sau:
√ √
2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.
Bài 1.3 (D-06). Gi i phương trình sau:
√
2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. (x ∈ R)
Bài 1.4 (B-10). Gi i phương trình sau:
√ √
3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0.
Bài 1.5 (A-04). Gi i b t phương trình sau:
2(x2 − 16) √ 7−x
√ + x−3> √ .
x−3 x−3
Bài 1.6 (A-05). Gi i b t phương trình sau:
√ √ √
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.
Bài 1.7 (A-09). Gi i phương trình sau:
√ √
2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0.
Bài 1.8 (A-10). Gi i b t phương trình sau:
√
x− x
≥ 1.
2(x2 − x + 1)
1−
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 5
1.1.2. Phương trình lư ng giác
Bài 1.9 (D-02). Tìm x thu c đo n [0; 14] nghi m đúng c a phương trình:
cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0.
Bài 1.10 (D-03). Gi i phương trình sau:
xπ x
sin2 ( − ) tan2 x − cos2 = 0.
2 4 2
Bài 1.11 (D-04). Gi i phương trình sau:
(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
Bài 1.12 (D-05). Gi i phương trình sau:
π π 3
cos4 x + sin4 x + cos (x − ) sin (3x − ) − = 0.
4 4 2
Bài 1.13 (D-06). Gi i phương trình sau:
cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
Bài 1.14 (D-07). Gi i phương trình sau:
x2 √
x
(sin + cos ) + 3 cos x = 2.
2 2
Bài 1.15 (D-08). Gi i phương trình sau:
2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
Bài 1.16 (D-09). Gi i phương trình sau:
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
Bài 1.17 (D-10). Gi i phương trình sau:
sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
Bài 1.18 (B-02). Gi i phương trình sau:
sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.
Bài 1.19 (B-03). Gi i phương trình sau:
2
cot x − tan x + 4 sin 2x = .
sin 2x
Bài 1.20 (B-04). Gi i phương trình sau:
5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x.
Bài 1.21 (B-05). Gi i phương trình sau:
1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com trình-B t PT-H PT-H BPT
6 Chương 1.Phương
Bài 1.22 (B-06). Gi i phương trình sau:
x
cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4.
2
Bài 1.23 (B-07). Gi i phương trình sau:
2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.
Bài 1.24 (B-08). Gi i phương trình sau:
√ √
sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x.
Bài 1.25 (B-09). Gi i phương trình sau:
√
sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).
Bài 1.26 (B-10). Gi i phương trình sau:
(sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
Bài 1.27 (A-02). Tìm ngi m thu c kho ng (0; 2π ) c a phương trình:
cos 3x + sin 3x
5 sin x + = cos 2x + 3.
1 + 2 sin 2x
Bài 1.28 (A-03). Gi i phương trình sau:
cos 2x 1
+ sin2 x − sin 2x.
cot x − 1 =
1 + tan x 2
Bài 1.29 (A-05). Gi i phương trình sau:
cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.
Bài 1.30 (A-06). Gi i phương trình sau:
2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x
√ = 0.
2 − 2 sin x
Bài 1.31 (A-07). Gi i phương trình sau:
(1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.
Bài 1.32 (A-08). Gi i phương trình sau:
1 1 7π
− x).
+ = 4 sin (
3π
sin x 4
sin (x − )
2
Bài 1.33 (A-09). Gi i phương trình sau:
√
(1 − 2 sin x) cos x
= 3.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
Bài 1.34 (A-10). Gi i phương trình sau:
π
(1 + sin x + cos 2x) sin (x + ) 1
4 = √ cos x.
1 + tan x 2
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 7
1.1.3. Phương trình,b t phương trình mũ và logarit
Bài 1.35 (D-03). Gi i phương trình sau:
2 −x 2
− 22+x−x = 3.
2x
Bài 1.36 (D-06). Gi i phương trình sau:
2 +x 2 −x
2x − 4.2x − 22x + 4 = 0.
Bài 1.37 (D-07). Gi i phương trình sau:
1
log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 ( ) = 0.
4.2x − 3
Bài 1.38 (D-08). Gi i b t phương trình sau:
x2 − 3x + 2
≥ 0.
log 1
x
2
Bài 1.39 (D-10). Gi i phương trình sau:
√ √
3 3 +4x−4
42x+ x+2
+ 2x = 42+ x+2
+ 2x (x ∈ R )
Bài 1.40 (B-02). Gi i b t phương trình sau:
logx (log3 (9x − 72)) ≤ 1.
Bài 1.41 (B-05). Ch ng minh r ng v i m i x ∈ R, ta có:
12 x 15 x 20 x
) + ( ) + ( ) ≥ 3x + 4x + 5x .
(
5 4 3
Khi nào đ ng th c s y ra?
Bài 1.42 (B-06). Gi i b t phương trình sau:
log5 (4x + 144) − 4 log2 5 < 1 + log5 (2x−2 + 1).
Bài 1.43 (B-07). Gi i phương trình sau:
√ √ √
( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0.
Bài 1.44 (B-08). Gi i b t phương trình sau:
x2 + x
log0,7 (log6 ( )) < 0.
x+4
Bài 1.45 (A-06). Gi i phương trình sau:
3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
Bài 1.46 (A-07). Gi i b t phương trình sau:
2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2.
3
Bài 1.47 (A-08). Gi i phương trình sau:
log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = 4.
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com trình-B t PT-H PT-H BPT
8 Chương 1.Phương
1.2. H Phương trình
Bài 1.48 (D-02). Gi i h phương trình sau:
23x = 5y 2 − 4y
x x+1
4 + 2 = y.
2x + 2
Bài 1.49 (D-08). Gi i h phương trình sau:
xy + x + y = x2 − 2y 2
√
√ (x, y ∈ R).
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
Bài 1.50 (D-09). Gi i h phương trình sau:
x(x + y + 1) − 3 = 0
(x, y ∈ R).
5
(x + y )2 − 2 + 1 = 0
x
Bài 1.51 (D-10). Gi i h phương trình sau:
x2 − 4x + y + 2 = 0
(x, y ∈ R).
2 log2 (x − 2) − log√2 y = 0
Bài 1.52 (B-02). Gi i h phương trình sau:
√ √
x−y = x−y
3
√
x + y = x + y + 2.
Bài 1.53 (B-03). Gi i h phương trình sau:
2
3y = y + 2
x2
2
3x = x + 2 .
y2
Bài 1.54 (B-05). Gi i h phương trình sau:
√ √
x−1+ 2−y =1
3 log9 (9x2 ) − log3 y 3 = 3.
Bài 1.55 (B-08). Gi i h phương trình sau:
x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
(x, y ∈ R).
x2 + 2xy = 6x + 6
Bài 1.56 (B-09). Gi i h phương trình sau:
xy + x + 1 = 7y
(x, y ∈ R).
x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 9
Bài 1.57 (B-10). Gi i h phương trình sau:
log2 (3y − 1) = x
4x + 2x = 3y 2 .
Bài 1.58 (A-03). Gi i h phương trình sau:
1 1
x− =y−
x y
2y = x3 + 1.
Bài 1.59 (A-04). Gi i h phương trình sau:
1
log 1 (y − x) − log4 = 1
y
4
x2 + y 2 = 25.
Bài 1.60 (A-06). Gi i h phương trình sau:
√
√+ y − √ = 3
x xy
x + 1 + y + 1 = 4.
Bài 1.61 (A-08). Gi i h phương trình sau:
x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5
2
4
x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 5 .
4
Bài 1.62 (A-09). Gi i h phương trình sau:
log2 (x2 + y 2 ) = 1 + log2 (xy )
2 2
3x −xy+y = 81.
Bài 1.63 (A-10). Gi i h phương trình sau:
√
(4x2 + 1)x +√y − 3) 5 − 2y = 0
(
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7.
1.3. Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s
Bài 1.64 (D-04). Tìm m đ h phương trình sau có nghi m:
√ √
√+ y =1
x
√
x x + y y = 1 − 3m.
Bài 1.65 (D-04). Ch ng minh r ng phương trình sau có đúng m t nghi m:
x5 − x2 − 2x − 1 = 0.
Bài 1.66 (D-06). Ch ng minh r ng v i m i a > 0, h phương trình sau có nghi m duy
nh t:
ex − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y )
y − x = a.
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com trình-B t PT-H PT-H BPT
10 Chương 1.Phương
Bài 1.67 (D-07). Tìm giá tr c a tham s m đ phương trình sau có nghi m th c:
x+ 1 +y+ 1 =5
x y
1 1
+ y 3 + 3 = 15m − 10.
x3 +
3
x y
Bài 1.68 (B-04). Xác đ nh m đ phương trình sau có nghi m
√ √
√ √ √
1 + x2 − 1 − x2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
m
Bài 1.69 (B-06). Tìm m đ phương trình sau có hai nghi m th c phân bi t:
√
x2 + mx + 2 = 2x + 1.
Bài 1.70 (B-07). Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a tham s m, phương trình
sau có hai nghi m th c phân bi t:
x2 + 2 x − 8 = m(x − 2).
Bài 1.71 (A-02). Cho phương trình:
log2 x + log2 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham s ).
3 3
1. Gi i phương trình khi m = 2. √
2. Tìm m đ phương trình có ít nh t m t nghi m thu c đo n [1; 3 3 ].
Bài 1.72 (A-07). Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c:
√
√
√ 4
3 x − 1 + m x + 1 = x2 − 1.
Bài 1.73 (A-08). Tìm các giá tr c a tham s m đ phương trình sau có đúng hai nghi m
th c phân bi t:
√ √ √ √
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).
Đáp s
x ≤ −1
1.7 x = −2
2
1.1 x = 2
√
x≥3 3− 5
1.8 x = 2
1.2 x = 3
1.9 x = π ; x = 3π 5π 7π
; x= ; x=
2 2 2 2
√
1.3 x = 2 − 2
x = π + k 2π
π (k ∈ Z)
1.10
1.4 x = 5 x = − + kπ
4
√
1.5 x > 10 − 34
x = ± π + k 2π
(k ∈ Z)
3
1.11
x = − π + kπ
1.6 2 ≤ x < 10 4
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 11
π
1.29 x = k π (k ∈ Z)
(k ∈ Z)
1.12 x = + kπ 2
4
5π
(k ∈ Z)
1.30 x = + k 2π
4
x = kπ
(k ∈ Z)
2π
1.13
1.31 x = − π + kπ
x=± + k 2π 4
3
x = π + k 2π
2
x = k 2π
x = π + k 2π
(k ∈ Z)
2
1.14
x = − π + k 2π
1.32 x = − π + kπ
6
4
x = − π + kπ
x = ± 23 + k 2π
π 8
x = 58 + kπ
π
(k ∈ Z)
1.15
x = π + kπ
4
1.33 x = − 18 + k 23
π π
(k ∈ Z)
x = 18 + k π
π
(k ∈ Z)
3
1.16
x = −π + k π x = − π + k 2π
6 2
(k ∈ Z)
6
1.34
x = 76 + k 2π
π
π
x= + k 2π
(k ∈ Z)
6
1.17 5π
x= + k 2π x = −1
6
1.35
x=2
kπ
x=
(k ∈ Z)
9
1.18 1.36 x = 0 ∨ x = 1
kπ
x= 2
1.37 x = log2 3
1.19 x = ± π + kπ (k ∈ Z)
3
√ √
1.38 S = [2 − 2; 1) ∪ (2; 2 + 2]
π
x= + k 2π
(k ∈ Z)
6
1.20 5π
x= + k 2π
6 1.39 x = 1 ∨ x = 2
x = − π + kπ 1.40 log9 73 < x ≤ 2
(k ∈ Z)
4
1.21
x = ± 23 + k 2π
π
1.41 x = 0
π
x= + kπ
(k ∈ Z)
12
1.22 5π
x= + kπ 1.42 2 < x < 4
12
1.23 x = π + k π 1.43 x = 1 ∨ x = −1
8 4
x = 18 + k 23
π π
x = 5π + k 23π
1.44 S = (−4; −3) ∪ (8; +∞)
18
1.45 x = 1
x = π + kπ
(k ∈ Z)
4 2
1.24
x = − π + kπ
3 3
- www.MATHVN.com trình-B t PT-H PT-H BPT
12 Chương 1.Phương
1.63 (x; y ) = ( 1 ; 2)
1.51 (x; y ) = (3; 1) 2
1.52 (x; y ) = (1; 1); ( 3 ; 1 ) 1
22
1.64 0 ≤ m ≤
4
1.53 x = y = 1
1.65 f (x) = vt đb trên[1; +∞)
1.54 (x; y ) = (1; 1); (2; 2)
7
1.55 (x; y ) = (−4; 17 ) ≤m≤2
4
1.67 4
m ≥ 22
1.56 (x; y ) = (1; 1 ); (3; 1)
3
√
1
1.57 (x; y ) = (−1; 2 ) 2−1≤m≤1
1.68
√ √
1.58√(x; y ) = (1; 1); ( −1+ 5 −1+ 5
;2) 9
1.69 m ≥
2
√ 2
−1− 5 −1− 5
(2;2)
1.70
1.59 (x; y ) = (3; 4)
√
1.71 1.x = 3± 3
1.60 (x; y ) = (3; 3)
2.0 ≤ m ≤ 2
1.61 (x; y ) = ( 3 5 ; − 3 25
= (1; − 3 )
)
4 16 2 1
1.72 −1 < m ≤ 3
1.62 x = y = 2
√ √ √
x = y = −2 1.73 2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 2
B t đ ng th c
2.1. B t d ng th c . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Nh n d ng tam giác . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Đáp s ............... . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. B t d ng th c
Bài 2.1 (A-09). Ch ng minh r ng v i m i s th c dương x, y, z
th a mãn x(x + y + z ) = 3yz , ta có:
(x + y )3 + (x + z )3 + 3(x + y )(x + z )(y + z ) ≤ 5(y + z )3 .
111
Bài 2.2 (A-05). Cho x, y, z là các s dương th a mãn + + = 4. Ch ng minh r ng
xyz
1 1 1
≤ 1.
+ +
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Bài 2.3 (A-03). Cho x, y, z là ba s dương và x + y + z ≤ 1. Ch ng minh r ng
√
1 1 1
x2 + y2 + z2 + ≥ 82.
+ +
x2 y2 z2
b a
1 1
2a + 2b +
Bài 2.4 (D-07). Cho a ≥ b > 0. Ch ng minh r ng : ≤ .
2a 2b
Bài 2.5 (D-05). Cho các s dương x, y , z th a mãn xyz = 1. Ch ng minh r ng
√
1 + z 3 + x3
1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3
≥ 3 3.
+ +
xy yz zx
Khi nào đ ng th c x y ra?
2.2. Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t
Bài 2.6 (A-07). Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i và th a mãn đi u ki n xyz = 1.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
x2 ( y + z ) y 2 (z + x) z 2 (x + y )
√+√ √+√
P= √ √.
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
14 Chương 2.B t đ ng th c
Bài 2.7 (A-06). Cho hai s th c x = 0, y = 0 thay đ i và th a mãn đi u ki n:
(x + y )xy = x2 + y 2 − xy.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
1 1
A= + 3.
3
x y
Bài 2.8 (B-10). Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr
nh nh t c a bi u th c
√
M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2 .
Bài 2.9 (B-09). Cho các s th c x, y thay đ i và th a mãm (x + y )3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá
tr nh nh t c a bi u th c
A = 3(x4 + y 4 + x2 y 2 ) − 2(x2 + y 2 ) + 1.
Bài 2.10 (B-08). Cho hai s th c x, y thay đ i và th a mãn h th c x2 + y 2 = 1. Tìm
giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
2(x2 + 6xy )
P= .
1 + 2xy + 2y 2
Bài 2.11 (B-07). Cho x, y, z là ba s th c dương thay đ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u
th c:
x 1 y 1 z 1
P =x + +y + +z + .
2 yz 2 zx 2 xy
Bài 2.12 (B-06). Cho x, y là các s th c thay đ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
(x − 1)2 + y 2 + (x + 1)2 + y 2 + |y − 2|.
A=
√
y = x + 4 − x2 .
Bài 2.13 (B-03). Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
Bài 2.14 (D-10). Tìm giá tr nh nh t c a hàm s
√ √
y = −x2 + 4x + 21 − −x2 + 3x + 10.
Bài 2.15 (D-09). Cho các s th c không âm x, y thay đ i và th a mãn x + y = 1. Tìm
giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
S = (4x2 + 3y )(4y 2 + 3x) + 25xy.
Bài 2.16 (D-08). Cho x, y là hai s th c không âm thay đ i. Tìm giá tr l n nh t và giá
tr nh nh t c a bi u th c
(x − y )(1 − xy )
P= .
(1 + x)2 (1 + y )2
x+1
y=√
Bài 2.17 (D-03). Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
x2 + 1
trên đo n [−1; 2].
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 2.B t đ ng th c 15
2.3. Nh n d ng tam giác
Bài 2.18 (A-04). Cho tam giác ABC không tù th a mãn đi u ki n
√ √
cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3.
Tính ba góc c a tam giác ABC .
Đáp s
9 25 191
2.6 Pmin = 2 2.15 Smax = ; Smin =
2.11 Pmin = 2 16
2
√
2.7 Amax = 16
2.12 Amin = 2 + 3 2.16 Pmin = − 1 ; Pmax = 1
4 4
√
2.8 Mmin = 2
2.13 max y = 2 2
√
[−2;2]
9 2.17 ymax = 2; ymin = 0
min y = −2
2.9 Amin = [−2;2]
16
√
2.10 Pmax = 3; Pmin = −6 2.14 ymin = 2 2.18 A = 90o ; B = C = 45o
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 3
Hình h c gi i tích trong m t ph ng
3.1. Đư ng th ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Đáp s ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1. Đư ng th ng
Bài 3.1 (A-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác
ABC cân t i A có đ nh A(6;6), đư ng th ng đi qua trung đi m c a các c nh AB và AC
có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm t a đ các đ nh B và C, bi t đi m E(1;-3) n m trên
đư ng cao đi qua đ nh C c a tam giác đã cho.
Bài 3.2 (A-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình ch nh t
ABCD có đi m I(6;2) là giao đi m c a hai đư ng chéo AC và BD. Đi m M(1;5) thu c
đư ng th ng AB và trung đi m E c a c nh CD thu c đư ng th ng ∆ : x + y − 5 = 0.
Vi t phương trình đư ng th ng AB.
Bài 3.3 (A-06). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho các đư ng
th ng :
d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0.
Tìm t a đ đi m M n m trên đư ng th ng d3 sao cho kho ng cách t M đ n đư ng th ng
d1 b ng hai l n kho ng cách t M đ n đư ng th ng d2 .
Bài 3.4 (A-05). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai đư ng
th ng :
d1 : x − y = 0 và d2 : 2x + y − 1 = 0.
Tìm t a đ các đ nh c a hình vuông ABCD bi t r ng đ nh A thu c d1 , đ nh C thu c d2
và các đ nh B, D thu c tr c hoành.
Bài 3.5 (A-04). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai đi m
√
A(0;2) và B(− 3; −1). Tìm t a đ tr c tâm và t a đ tâm đư ng tròn ngo i ti p c a
tam giác OAB.
Bài 3.6 (A-02). Trong m t ph ng v i h t a đ √Đêcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC
√
vuông t i A, phương trình đư ng th ng BC là 3x − y − 3 = 0, các đ nh A và B thu c
tr c hoành và bán kính đư ng tròn n i ti p b ng 2. Tìm t a đ tr ng tâm G c a tam
giác ABC.
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 17
Bài 3.7 (B-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC
vuông t i A, có đ nh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Vi t
phương trình đư ng th ng BC, bi t di n tích tam giác ABC b ng 24 và đ nh A có hoành
đ dương.
Bài 3.8 (B-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC
cân t i A có đ nh A(-1;4) và các đ nh B, C thu c đư ng th ng ∆ : x − y − 4 = 0. Xác
đ nh t a đ các đi m B và C, bi t r ng di n tích tam giác ABC b ng 18.
Bài 3.9 (B-08). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, hãy xác đ nh t a
đ đ nh C c a tam giác ABC bi t r ng hình chi u vuông góc c a C trên đư ng th ng
AB là đi m H(-1;-1), đư ng phân giác trong c a góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và
đư ng cao k t B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0.
Bài 3.10 (B-07). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m A(2;2)
và các đư ng th ng :
d1 : x + y − 2 = 0 , d2 : x + y − 8 = 0.
Tìm t a đ đi m B và C l n lư t thu c d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân t i A.
Bài 3.11 (B-04). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai đi m
A(1;1), B(4;-3). Tìm đi m C thu c đư ng th ng x − 2y − 1 = 0 sao cho kho ng cách t
C đ n đư ng th ng AB b ng 6.
Bài 3.12 (B-03). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác
2
ABC có AB=AC, B AC = 90o . Bi t M(1;-1) là trung đi m c nh BC và G( ; 0) là tr ng
3
tâm tam giác ABC. Tìm t a đ các đ nh A, B, C.
Bài 3.13 (B-02). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình ch
1
nh t ABCD có tâm I( ; 0), phương trình đư ng th ng AB là x − 2y + 2 = 0 và AB=2AD.
2
Tìm t a đ các đ nh A, B, C, D bi t r ng đ nh A có hoành đ âm.
Bài 3.14 (D-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m A(0;2)
và ∆ là đư ng th ng đi qua O. G i H là hình chi u vuông góc c a A trên ∆. Vi t phương
trình đư ng th ng ∆, bi t r ng kho ng cách t H đ n tr c hoành b ng AH.
Bài 3.15 (D-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác
ABC có M(2;0) là trung đi m c a c nh AB. Đư ng trung tuy n và đư ng cao đi qua đ nh
A l n lư t có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x − y − 4 = 0. Vi t phương trình đư ng
th ng AC.
Bài 3.16 (D-04). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác
ABC có các đ nh A(-1;0); B(4;0); C(0;m) v i m = 0. Tìm t a đ tr ng tâm G c a tam
giác ABC theo m. Xác đ nh m đ tam giác GAB vuông t i G.
3.2. Đư ng tròn
Bài 3.17 (A-10). Trong m t ph√ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai đư ng
√
th ng d1 : 3x + y = 0 và d2 : 3x − y = 0. G i (T) là đư ng tròn ti p xúc v i d1 t i
A, c t d2 t i hai đi m B và C sao cho tam giác ABC vuông t i B. Vi t phương trình c a
√
3
(T), bi t r ng tam giác ABC có di n tích b ng và đi m A có hoành đ dương.
2
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com h c gi i tích trong m t ph ng
18 Chương 3.Hình
Bài 3.18 (A-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng tròn
(C) : x2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đư ng th ng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0, v i m là tham
s th c. G i I là tâm c a đư ng tròn (C). Tìm m đ ∆ c t (C) t i hai đi m phân bi t A
và B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t.
Bài 3.19 (A-07). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác
ABC có A(0;2), B(-2;-2), và C(4;-2). G i H là chân đư ng cao k t B; M và N l n lư t
là trung đi m c a các c nh AB và BC. Vi t phương trình đư ng tròn đi qua các đi m H,
M, N.
Bài 3.20 (B-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng tròn
4
(C): (x − 2)2 + y 2 = và hai đư ng th ng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = 0. Xác đ nh t a
5
đ tâm K và bán kính c a đư ng tròn (C1 ); bi t đư ng tròn (C1 ) ti p xúc v i các đư ng
th ng ∆1 , ∆2 và tâm K thu c đư ng tròn (C).
Bài 3.21 (B-06). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng tròn
(C): x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0 và đi m M(-3;1). G i T1 và T2 là các ti p đi m c a các
ti p tuy n k t M đ n (C). Vi t phương trình đư ng th ng T1 T2 .
Bài 3.22 (B-05). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai đi m
A(2;0) và B(6;4). Vi t phương trình đư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hoành t i đi m A
và kho ng cách t tâm c a (C) đ n đi m B b ng 5.
Bài 3.23 (D-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác
ABC có đ nh A(3;-7), tr c tâm là H(3;-1), tâm đư ng tròn ngo i ti p là I(-2;0). Xác đ nh
t a đ đ nh C, bi t C có hoành đ dương.
Bài 3.24 (D-09). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng tròn
(C): (x − 1)2 + y 2 = 1. G i I là tâm c a (C). Xác đ nh t a đ đi m M thu c (C) sao cho
I M O = 30o .
Bài 3.25 (D-07). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng tròn
(C): (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đư ng th ng d: 3x − 4y + m = 0.
Tìm m đ trên d có duy nh t m t đi m P mà t đó có th k đư c hai ti p tuy n PA,
PB t i (C) (A, B là các ti p đi m) sao cho tam giác PAB đ u.
Bài 3.26 (D-06). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng tròn
(C): x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đư ng th ng d: x − y + 3 = 0. Tìm t a đ đi m M n m
trên d sao cho đư ng tròn tâm M, có bán kính g p đôi bán kính đư ng tròn (C), ti p x c
ngoài v i đư ng tròn (C).
Bài 3.27 (D-03). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đư ng tròn
(C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đư ng th ng d: x − y − 1 = 0.
1. Vi t phương trình đư ng tròn (C’) đ i x ng v i đư ng tròn (C) qua đư ng th ng d.
2. Tìm t a đ các giao đi m c a (C) và (C’).
3.3. Cônic
Bài 3.28 (A-08). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, hãy vi t phương
√
5
trình chính t c c a elip (E) bi t r ng (E) có tâm sai b ng và hình ch nh t cơ s c a
3
(E) có chu vi b ng 20.
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com
Chương 3.Hình h c gi i tích trong m t ph ng 19
√
Bài 3.29 (B-10). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m A(2; 3)
x2 y 2
+ = 1. G i F1 và F2 là các tiêu đi m c a (E) (F1 có hoành đ âm), M
và elip (E):
3 2
là giao đi m có tung đ dương c a đư ng th ng AF1 v i (E), N là đi m đ i x ng c a F2
qua M. Vi t phương trình đư ng tròn ngo i ti p tam giác AN F2 .
Bài 3.30 (D-08). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho parabol (P):
y 2 = 16x và đi m A(1;4). Hai đi m phân bi t B,C (B và C khác A) di đ ng trên (P) sao
cho góc B AC = 90o . Ch ng minh r ng đư ng th ng BC luôn đi qua m t đi m c đ nh.
Bài 3.31 (D-02). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có
x2 y 2
+ = 1. Xét đi m M chuy n đ ng trên tia Ox và đi m N chuy n đ ng
phương trình
16 9
trên tia Oy sao cho đư ng th ng MN luôn ti p xúc v i (E). Xác đ nh t a đ c a M, N đ
đo n MN có đ dài nh nh t. Tính giá tr nh nh t đó.
Bài 3.32 (D-05). Trong m t ph ng v i h t a đ Đêcac vuông góc Oxy, cho đi m C(2;0)
x2 y 2
+ = 1. Tìm t a đ các đi m A, B thu c (E), bi t r ng A, B đ i x ng
và elíp (E):
4 1
v i nhau qua tr c hoành và tam giác ABC là tam giác đ u.
Đáp s
3.1 B (0; −4), C (−4; 0) 3.12 B, C = (4; 0); (−2; −2)
ho c B (−6; 2), C (2; −6)
3.13 A(−2; 0), B (2; 2), C (3; 0), D(−1; −2)
3.2 y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0
√ √
3.14 ( 5 − 1)x ± 2 5 − 2y = 0
3.3 M (−22; −11), M (2; 1)
3.15 3x − 4y + 5 = 0
3.4 A(1; 1), B (0; 0), C (1; −1), D(2; 0)
√
A(1; 1), B (2; 0), C (1; −1), D(0; 0) 3.16 m = ±3 6
√ √
3.5 H ( 3; −1), I (− 3; 1) 1 2
√ )2 + ( y + 3 )2 = 1
3.17 (x + 23
√ √
3.6 G√( 7+4 3 ; 6+2 3 ) 8
3.18 m = 0 ∨ m =
1 3 3
√ 15
−4 3−1 −6−2 3
G2 ( 3 ; 3 )
3.19 x2 + y 2 − x + y − 2 = 0
3.7 3x − 4y + 16 = 0 √
22
3.20 K ( 8 ; 4 ); R =
55 5
3.8 B ( 11 ; 2 ); C ( 3 ; − 5 )
3
2 2 2
B ( 2 ; − 2 ); C ( 11 ; 3 )
3 5 3.21 2x + y − 3 = 0
22
3.22 (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1
3.9 C (− 10 ; 3 )
34
(x − 2)2 + (y − 7)2 = 49
3.10 B (−1; 3), C (3; 5) √
3.23 C (−2 + 65; 3)
B (3; −1), C (5; 3)
√
3
3.11 C = (7; 3); (− 43 ; − 27 ) 3.24 M ( 3 ; ± )
11 11 2 2
www.mathvn.com
- www.MATHVN.com h c gi i tích trong m t ph ng
20 Chương 3.Hình
√
232 4
3.29 (x − 1)2 + (y −
3.25 m = 19 ∨ m = −41 ) =
3 3
3.26 M = (1; 4); (−2; 1) 3.30 I (17; −4)
√ √
3.27 (x − 3)2 + y 2 = 4 3.31 M (2 7; 0); N (0; 21)
A(1; 0), B (3; 2) gtnn(M N ) = 7
√ √
y2
x2
+ =1
3.28 3.32 A, B = ( 2 ; 4 7 3 ); ( 2 ; − 4 7 3 )
9 4
7 7
www.mathvn.com
nguon tai.lieu . vn