TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG OXY HAY VÀ KHÓ
CỦA TÁC GIẢ ĐOÀN TRÍ DŨNG
A
I
H
E
B
D
C
M
F
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng
Điện thoại: 0902.920.389
HÀ NỘI – THÁNG 4/2016
1 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng
AD : 3x y 14 0 . Gọi E 0; 6 là điểm đối xứng với C qua AB. Gọi M là trung điểm của CD, BD cắt ME tại
2 4
điểm I ; . Tìm tọa độ các đỉnh A , B, C , D .
3 3
Tam giác CDE có hai trung tuyến BD cắt ME tại I do đó I là trọng tâm
3
3 2 14
của tam giác CDE. Vậy EM EI ; 1;7 M 1;1 .
2
2 3 3
Phương trình đường
CD : x 3y 2 0 .
thẳng
CD
qua
M
vuông
góc
E
3x + y - 14 = 0
AD:
A
AD : 3x y 14 0
Tọa độ D là nghiệm của hệ:
D 4; 2 .
CD : x 3y 2 0
M là trung điểm của CD do đó C 2;0 .
B
I
D
C
M
B là trung điểm của EC do đó B 1; 3 .
Vì ABCD là hình chữ nhật do đó: AB DC 6; 2 A 5; 1 .
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng
BD : 2x 3y 4 0 . Điểm G thuộc cạnh BD sao cho BD 4BG . Gọi M là điểm đối xứng với A qua G. Hạ
MH BC , MK CD . Biết H 10;6 , K 13; 4 và đỉnh B có tọa độ là các số tự nhiên chẵn. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật ABCD.
Ta chứng minh G, H , K thẳng hàng. Gọi E, F là tâm
của các hình chữ nhật ABCD, MHCK .
Ta có: G là trung điểm của BE. Do đó MBAE là hình
bình hành. Vậy ME AB 2HE do đó H là trung
điểm EM. Do đó GH và FH là đường trung bình của
các tam giác MAE, MCE . Do đó: GH // AC, HF //
AC. Do đó G, H , K thẳng hàng. Ta có: Phương trình
A
B
G
M
E
H
F
D
C
BD : 2x 3y 4 0
17
đường thẳng HK : 2x 3y 38 0 . Tọa độ G là nghiệm của hệ:
G ;7 .
2
HK : 2x 3y 38 0
BD : 2x 3y 4 0
B 7;6
2
Do GH GP GB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
.
2
17
13
B 10;8
G; GH : x y 7
2
4
Vì đỉnh B có tọa độ là các số tự nhiên chẵn do đó B 10;8 . Mặt khác: BD 4 BG D 4; 4 .
Ta viết được phương trình đường thẳng DK : y 4 do đó ta có đường thẳng BC : x 10 .
BC : x 10
Vậy ta tìm được C là nghiệm của hệ:
C 10; 4 . Vì: BA CD A 16; 8 .
DK : y 4
2 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
K
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC , trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N
sao cho BM CN . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và MN. Đường thẳng DE cắt các đường thẳng AB,
1
1
AC tại P và Q. Phương trình đường thẳng BC : x 10 y 25 0 và P 0; , Q 0; . Tìm tọa độ các đỉnh B,
2
2
C biết A nằm trên đường thẳng 2 x y 2 0 .
Gọi J là trung điểm MC. Vì JE, JD là đường trung bình các tam giác
1
1
CMN , CMB do đó: JE // CN, JD // BM và JE CN , JD BM .
2
2
Mặt khác vì BM CN do đó DJE cân tại J.
P
A
Q
Ta có: JED CQD AQP, JDE APQ . Do đó: APQ ∽ JDE .
Vậy APQ cân tại A. Ta viết được phương trình đường trung trực
M
của PQ là d : y 0 . Do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ phương
2 x y 2 0
trình:
A 1;0 . Từ đây ta viết được các phương
d : y 0
trình đường thẳng: AP : x 2y 1 0 , AQ : x 2 y 1 0 .
E
N
J
B
D
C
AP : x 2 y 1 0
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
B 5; 3 .
BC : x 10 y 25 0
AQ : x 2 y 1 0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:
C 5; 2 .
BC : x 10 y 25 0
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC 2 AB và đỉnh C 15; 9 . Tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại điểm I 5;1 . Tìm tọa độ các đỉnh
A, B biết A có hoành độ âm và phương trình đường thẳng AI : x 2 y 7 0 .
Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
do đó theo tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng
A
góc nội tiếp chắn cung, ta có: IAB BCA IAB ∽ ICA .
2
IB IA AB 1
IB IB IA AB 1
Do đó:
.
IA IC AC 2
IC IA IC AC 4
3
5 5
Do đó ta có: IC 4IB B 0; IB
.
2
2
I
B
C
Vậy: IA 2IB 5 5 . Tọa độ của A là nghiệm của hệ
I ; IA : x 5 2 y 12 125
A 5;6 .
phương trình:
AI : x 2 y 7 0, xA 0
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A 0;7 , tâm đường tròn nội tiếp là
điểm I 0;1 . Gọi E là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết AH 7 HE và
B có hoành độ âm.
3 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Theo định lý Thales cho đường phân giác ta có:
AI AB
.
IE BE
A
Mặt khác, vì là các cạnh tương ứng vuông góc nên HAD HBE , và
HAF HCE . Lại có ABC cân tại A, do đó: HAF HBE .
2
Vậy: HBE ∽ BAE
Do đó:
AE BE AE
AE BE AE
8.
BE EH BE
BE EH EH
AE
AB
1
2 2 tan ABC
tan2 ABC 1 3 .
BE
BE cos ABC
F
Vậy: AI 3IE E 0; 1 . Do đó ta viết được phương trình đường
thẳng BC qua E vuông góc với AE là: BC : y 1 .
Mặt khác AE 8 BE
1
2 2
D
I
H
B
C
E
AE 2 2 . Vậy B và C là hai nghiệm của
E; EB : x2 y 12 8
B 2 2; 1 , C 2 2; 1 .
hệ phương trình:
BC : y 1, xB 0
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có D 10; 5 là trung điểm AB. Trên tia CD lấy
22 1
I ; sao cho ID 2IC . Gọi M 7; 2 là giao điểm của AI và BC. Tìm tọa độ các đỉnh của ABC .
3
3
Trên đoạn thẳng BC lấy điểm G sao cho IG // AB. Theo định lý Thales
A
IG CG CI 1
1
IG 1
cho CBD ta có:
do đó CG GB và
.
BD CB CD 3
2
AB 6
Mặt khác cũng theo định lý Thales cho MAB ta có:
MG MI IG 1
1
MG GB và MA 6 MI A 9; 8 .
MB MA AB 6
5
D
Vì D 10; 5 là trung điểm AB do đó ta có B 11; 2 .
I
1
1
Mặt khác, CG GB và MG GB do đó:
2
5
2
2
4
MG CG CB BM BC C 6; 3
B
G M
C
5
15
5
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD. Gọi M 3; 1 là điểm nằm trên
đoạn AC sao cho AC 4 AM , gọi N 1; 2 là điểm trên đoạn AB sao cho AB 3BN , gọi P 2;0 là điểm trên
đoạn BD sao cho BD 4DP . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD.
Gọi I là giao điểm của PM và AB, J là giao điểm của MN và
AD, T là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AC = 3TC.
7 3
MI 1 MP 1
,
PM 2 MI I ;
Ta có:
BC 4 AD 2
2 2
J
I
A
M
Đường thẳng qua I và N là AB : 7 x 5y 17 0 .
2
1
AC AC
NT NM MT AT AM 3
5
4
Vì:
1
JA
MJ AM
AM
3
AC
4
E
P
D
N
T
C
4 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
B
Do đó:
5
18
3
24
IN MT NT 5
IN IA A 5; . Vậy: AB AN B 4; .
3
5
2
5
IA MA JA 3
34
8
Mặt khác: AC 4 AM C 3; . Vì ABCD là hình bình hành nên: BA CD D 6; .
5
5
7
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC 3AB . Lấy D ; 3 trên cạnh AB.
2
Gọi E là điểm nằm trên cạnh AC sao cho CE BD . DE cắt BC tại K 17; 3 (E nằm giữa D và K). Biết rằng
C 14; 2 . Viết phương trình cạnh AC.
Lấy F trên cạnh BC sao cho FE // AB. Theo định lý Thales
KE FE
cho KBD , ta có:
. Mặt khác, theo định lý Thales
KD DB
FE CE
FE AB
cho ABC ta có:
.
AB AC CE AC
KE FE AB 1
1
Vì CE BD do đó:
KE KD .
KD CE AC 3
3
A
D
E
B
F
C
K
25
Từ đây ta tìm được tọa độ điểm E ; 5 và viết được phương trình đường thẳng AC : 2x y 30 0 .
2
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AC 2 AB . Phương trình đường
chéo BD : x 4 0 . Gọi E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC 4 AE , gọi M là trung điểm cạnh BC. Tìm tọa
5
độ các đỉnh A , B, C , D biết E ;7 , SBEDC 36 , điểm điểm M nằm trên đường thẳng 2 x y 18 0 đồng thời
2
điểm B có tung độ nhỏ hơn 2.
AB AE 1
A
Ta chứng minh: EM BD . Thật vậy, vì
do đó ta có
AC AB
2
ABE ∽ ACB . Vậy: BC 2BE , mà BC 2BM do đó EBM cân tại
1
1
1
B. Mặt khác, IE IA AB, IM AB (đường trung bình ABC ).
2
2
2
Vậy IB là đường trung trực của EM. Do vậy EM BD . Phương
trình đường thẳng EM qua E và vuông góc BD là EM : y 7 .
2 x y 18 0
11
M ;7 .
Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:
2
EM : y 7
E
D
B
I
M
C
Như vậy ta có ME 3 . Mặt khác, SBEDC 2SBEC 4SBEM d B; EM ME 18 d B; EM 6 .
Gọi tọa độ tham số điểm B 4; b , ta có: d B; EM
b7
1
6 b 13 b 1 . Vì B có tung độ bé hơn 2 do đó ta
chọn B 4;1 . Vì M là trung điểm của BC cho nên ta tìm được C 7;13 .
Do: AC 4 AE A 1; 5 . Lại có ABCD là hình bình hành, do vậy: BA CD D 4;17 .
5 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
nguon tai.lieu . vn