Tuyển tập 200 bài tập bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 - Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT. - Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. - Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú Chủ biên: Cao Văn Tú 1 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương: 1 1 1 1 1 1 a+2b+c b+2c+a c+2a+b a+3b b+3c c+3a (5) Giải Vận dụng bất đẳng thức x+ y  4(x + y) ta có: 1 1 4 2 a+3b b+2c+a (a+3b)+(b+2c+a) a+2b+c 1 1 4 2 b+3c c+2a+b (b+3c)+(c+2a+b) b+2c+a 1 1 4 2 c+3a a+2b+c (c+3a)+(a+2b+c) c+2a+b Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5) a+3b =b+2c+a Đẳng thức xảy ra khi:b+3c =c+2a+b  a =b =c c+3a =a+2b+c Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh: a+b + b+c + c+a  2(a + b + c) (2) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Giải  Áp dụng x+ y  4(x + y)ta có ngay điều phải chứng minh.  Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: a+2b+c + b+2c+a + c+2a+b  2(a+b + b+c + c+a) (3)  Kết hợp (2) và (3) ta có: Bài 3: Với a, b, c là các số dương: 1 1 1 1 1 1 1 a+2b+c b+2c+a c+2a+b 4 a b c (4) Chủ biên: Cao Văn Tú 2 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Giải Với a, b, c là các số dương thỏa mãn 1 + 1 + 1 = 4. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a+2b+c b+2c+a c+2a+b 4 a b c ►Thực chất là từ (4) thêm giả thiết: 1 + 1 + 1 = 4 Bài 4: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: tan 2 + tan 2 + tan 2 = 1 1+ tan 2.tan 2 1+ tan 2.tan 2 1+tan 2.tan 2 4.tan 2.tan 2.tan 2 Giải Đặt x =tan A, y =tan B, z =tanC thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 Hệ thức trở thành: 1+ yz +1+ zx +1+ xy = 4xyz Ta có: 1+ yz +1+ zx +1+ xy = = (xy+ yz)+(zx+ yz) + (xy + zx)+(yz + zx) + (xy + yz)+(zx+ xy)  1 x x  1 y y  1 z z  4 xy+ yz zx+ yz  4 xy + zx yz + zx 4 xy + yz zx+ xy  1 x+ z x+ y y+ z  11 1 1 xy+ yz + zx 1 4 xy+ yz zx+ yz xy + zx 4 x y z  4xyz 4xyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ΔABCđều. Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x+ y+z =0, x+1>0, y+1>0, z+4>0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = x+1+ y +1+ z +4 Chủ biên: Cao Văn Tú 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Đặt a = x+1>0, b= y+1>0, c = z+4>0. Ta có: a+b+c =6 và Q = a−1+ b−1+ c−4 =3− 1 + 1 + 4 Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 1 4 4 4 16 8 a b c a+b c a+b+c 3 Q 3− 8 = 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a+b = c  a =b = 3  x = y = 1 a+b+c = 6 c =3 z = −1 Vậy: MaxQ = 1 đạt được khi x = y = 1. z = −1 Bài 6: Chứng minh rằng : 2x 2y 2z 1 1 1 x + y y + z z + x x y z Với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ? Giải 1 1 x2 1 (x+1)2 4x x4 y4 x6 y4 x6 + y4 x6 + y4 Tương tự ta có: 1 1 4y y4 z4 y6 + z4 1 1 4z z4 x4 z6 + x4 . Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả: ab+bc+ca = abc . Chứng minh rằng: a4 +b4 b4 +c4 c4 +a4 ab a3+b3 bc b3+c3 ca c3+a3 Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 4 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Ta có: ab+bc+ca = abc  a + b + c =1. Đặt x = 1; y = 1; z = 1 x+y+z=1. Khi đó ta có: a4 +b4 x4 + y4 x4 + y4 x6 y6 (x3 + y3)2 ab a3 +b3 1  1 1  x3 + y3 x2 x3 + y3 y2 x3 + y3 x3 + y3 x2 + y2 xy x3 y3  = x3+ y3 = x4 + y4  (x2 + y2)2 = x2 + y2  x+ y x x + y y x + y x+ y x + y Tương tự ta có: bc(b3 +c3 ) y + z; ca(c3 +a3 ) z + x Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có: ab(a++b3)+bc(b++c3)+ca(c++a3) x+ y+z =1. Suy ra điều phải chứng minh Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x−t t − y y − z z − x t + y y + z z + x x +t Giải Ta có: A=(x−t +1)+(t − y +1)+(y− z +1)+(z − x +1)−4= = t + y + y+ z + z + x + x+t −4=(x+ y)t + y + z + x+(t + z)y+ z + x+t−4 (x+ y) x+ y+ z +t +(t + z) x+ y+ z +t −4= 4z + y+ z +tt) −4=0 Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t. Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng: x+ y+ z  9(x + y + z) (6) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z Chủ biên: Cao Văn Tú 5 Email: caotua5lg3@gmail.com ... - tailieumienphi.vn