Xem mẫu
- GIA SƯ
ỨC KHÁNH ‘‘Th p sáng ng n l a thành công’’
• Chuyên luy n thi ð i H c
Kh i A - B
• Nh n d y kèm t t c các l p
22A - Ph m Ng c Th ch – TP.Quy Nhơn
Liên h : Th y Khánh – 0975.120.189
BÀI T P GI I H N
D NG I: TÌM GI I H N DÃY S
Phương pháp g i: Dùng ñ nh nghĩa , tính ch t và các ñ nh lý v gi i h n c a dãy s
2
VÝ dô 1: T×m: lim 3 8n − 3n
n2
Gi¶i:
2
lim 3 8n − 3n = lim 3 8 − 3 = 3 8 = 2
n2 n
2
VÝ dô 2: T×m: lim 2n − 3n −1
−n 2 + 2
Gi¶i:
2 − 3n −1 2− 3 − 1
n n2 2
lim 2n = lim = = −2
−n 2 + 2 −1 + 2 −1
n 2
VÝ dô 3: T×m: lim n −1 − n 2 +1
Gi¶i:
lim n −1 −
n 2 + 1 = lim −2n = lim −2 = −1 .
n −1 + n 2 +1 1− 1 + 1+ 1
n n2
D NG II: CH NG MINH limu n = 0
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý
| u |≤ v
n n
• Cho hai dãy s u n , vn : ⇒ limu n = 0 (1)
lim ( vn ) = 0
vn ≤ u n ≤ w n , ∀n
• ⇒ lim u n = L (2)
lim vn = lim w n = L ( L ∈ℝ )
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
- n
VÝ dô: Chøng minh: lim
( −1) cosn
=0
n
Gi¶i:
n n
Ta cã:
( −1) cos n ≤ 1 vµ lim 1 = 0 nªn lim ( −1) cos n = 0
n n n n
D NG III: CH NG MINH limu n T N T I
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý
• Dãy (un) tăng và b ch n trên thì có gi i h n ;
• Dãy (vn) gi m và b ch n dư i thì có gi i h n
VÝ dô: Chøng minh d·y sè ( u n ) cho bëi u n = 1 cã giíi h¹n.
n ( n + 1)
Gi¶i:
u n ( n +1)
Ta cã n +1 = 1 . = n < 1, ∀n. Do ®ã d·y ( u n ) gi¶m. Ngoµi ra,
un ( n +1)( n + 2 ) 1 n+2
∀n ∈ ℕ* : u n = 1 > 0, nªu d·y ( u n ) bÞ chÆn d−íi. VËy d·y ( u n ) cã giíi h¹n.
n ( n +1)
D NG IV: TÍNH T NG C A C P S NHÂN LÙI VÔ H N
u
Phương pháp gi i: S d ng công th c S = 1 ,| q |< 1
1− q
VÝ dô: TÝnh tæng S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ....
2 22 2n
Gi¶i:
u
§©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi q = 1 < 1 vµ u = 1 . VËy: S = 1 = 1 = 2
2 1 1− q 1− 1
2
D NG V: TÌM GI I H N VÔ C C
Phương pháp gi i: S d ng quy t c tìm gi i h n vô c c
3
VÝ dô 1: T×m: lim −2n + 4n − 3
1:
3n 2 + 1
Gi¶i:
C¸ch 1:
3 + 4n − 3 −2 + 4 − 3
Ta cã: lim −2n = lim n 2 n3
3n 2 +1 3+ 1
n n3
L¹i cã lim −2 + 4 − 3 = −2 < 0,lim 3 + 1 = 0 vµ 3 + 1 > 0 ∀n ∈ ℕ* nªn suy ra:
n
n 2 n3 n2 n n3
3 + 4n − 3 −2 + 4 − 3
lim −2n = lim n 2 n3 = −∞
3n 2 + 1 3+ 1
n n3
C¸ch 2:
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
- 4 − 3
3 + 4n − 3 n3 −2 + 4 − 3
−2 +
Ta cã: lim −2n
2 n3 n 2 n3
= lim n = lim n.
3n 2 + 1
n2 3 + 1 3+ 1
n
2
n2
4 − 3
−2 + 4 − 3 3 −2 +
L¹i cã lim n = +∞; lim n 2 n3 = − 2 < 0 ⇒ lim −2n + 4n − 3 = lim n. n 2 n3 = −∞
3+ 1 3 3n 2 + 1 3+ 1
n2
n2
VÝ dô 2: TÝnh lim
2: 4x 2 −1
x→−∞
Gi¶i:
lim 4x 2 −1 = lim x 2 4 − 1 = lim | x |. 4 − 1
x→−∞ x→−∞
x 2 x→−∞
x2
V× lim | x |= +∞ vµ lim 4 − 1 = 2 > 0 ⇒ lim 4x 2 −1 = +∞
x→−∞ x→−∞ x 2 x→−∞
D NG VI: TÌM GI I H N C A HÀM S
Phương pháp gi i: S d ng các ñ nh lý và quy t c
VÝ dô 1: TÝnh: lim x.sin 1 .
x→0 x
Gi¶i:
XÐt d·y ( x n ) mµ x n ≠ 0, ∀n vµ lim x n = 0 . Ta cã: f ( x n ) = x n sin 1 ≤| x n |
xn
V× lim | x n |= 0 ⇒ limf ( x n ) = 0. Do ®ã lim x.sin 1 = 0 .
x→0 x
VÝ dô 2: TÝnh: lim x 2 + x + 1 − x
x→+∞
Gi¶i:
Ta cã:
x 2 + x + 1 − x 2 = lim x +1 1+ 1
lim x 2 + x + 1 − x = lim = lim x =1
x→+∞ x →+∞
x→+∞ 2 x→+∞ 2
x 2 + x +1 + x x + x +1 + x 1+ 1 + 1 +1
x x2
VÝ dô 3: TÝnh: lim x 2 + 3x + 1 + x
x→−∞
Gi¶i:
Ta cã:
3x + 1 3+ 1 3+ 1
lim x 2 + 3x + 1 + x = lim = lim x = lim x =−3
x→−∞ x →−∞
x→−∞ 2 x→−∞ 2
x 2 + 3x + 1 − x x + 3x + 1 −1 − 1 + 3 + 1 −1
x x x2
(Chó ý: khi x → −∞ lµ ta xÐt x < 0, nªn x = − x 2 )
lim f x = 0 (Ho c b ng L)
x→x ( )
D NG VII: CH NG MINH
0
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh lý gi i h n k p
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
- Gi s J là m t kho ng ch a x0 và f, g, h là ba hàm s xác ñ nh trên t p h p J \ x { 0 } khi ñó:
{ }
∀x ∈ J \ x 0 :g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )
⇒ lim f ( x ) = L
lim g ( x ) = lim h ( x ) = L x →x
x →x x →x 0
0 0
2
VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x = 0
x→+∞ 1 + x 4
Gi¶i:
2 2 2 2
Ta lu«n cã: | f ( x ) |= x sin x ≤ x ⇒ − x ≤ f ( x ) ≤ x
1+ x4 1+ x4 1+ x4 1+ x 4
1 1
2 2 2
lim x = lim x = 0; lim x = lim x2 = 0
x→+∞ 1 + x 4 x→+∞ 1 + 1 x→−∞ 1 + x 4 x→−∞ 1
+1 .
x4 x4
2 2 2
⇒ lim x = lim x = 0 ⇒ lim x sin x = 0
x→+∞ 1 + x 4 x →−∞ 1 + x 4 x→+∞ 1 + x 4
D NG VIII: GI I H N M T BÊN
Phương pháp gi i: S d ng ñ nh nghĩa gi i h n m t bên
• Gi s hàm s f xác ñ nh trên kho ng (x0;b) .
Ta nói hàm s f có gi i h n bên ph i là L khi x d n ñ n x0 (ho c t i ñi m x0 ),n u v i
m i dãy (xn ) trong kho ng (x0;b) mà limxn = x0 ,ta ñ u có limf(xn ) = L .
ð nh nghĩa tương t cho lim− f(x) = L .
x→x 0
Hàm s có gi i h n t i x0 và lim f(x) = L t n t i lim f(x) , lim− f(x) = L
x→x 0 x→x+ x→x 0
0
và lim f(x) = lim− = L .
x→x+ x→x
0 0
3
x víi x < −1
VÝ dô 1: Cho hµm sè f (x) = . T×m lim f ( x )
2x 2 − 3 víi x ≥ −1 x→−1
Gi¶i:
2
2x − 3 = 2.( −1) − 3 = −1 (1)
2
Ta cã: lim f ( x ) = lim
+ +
x→ −1 x→ −1
lim − f ( x ) = lim − x3 = −1 (2)
x→ −1 x→ −1
Tõ (1) vµ (2) suy ra lim f ( x ) = −1
x→−1
1
khi x > 1
x +1
VÝ dô 2: Cho hµm sè f ( x ) =
−1 khi x < 1
x +1
a) T×m lim f ( x )
x→2
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
- b) T×m lim f ( x )
x→1
Gi¶i:
a) lim f ( x ) = lim 1 =1
x→2 x→2 x + 1 3
b) lim f ( x )
x→1
Ta cã: lim f ( x ) = lim 1 = 1 ; lim f ( x ) = lim −1 = − 1 ⇒ lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) suy ra
x→1+ x→1+ 1+ x 2 x→1− x→1− 1 + x 2 x→1+ x→1−
kh«ng tån t¹i lim f ( x )
x→1
(Chó ý: lim f ( x ) tån t¹i khi vµ chØ khi lim f ( x ) = lim − f ( x ) = L th× lim f ( x ) = L )
x→x x →x + x →x x →x
0 0 0 0
D NG IX: KH D NG VÔ NH
Phương pháp gi i:
P(x)
1) Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , víi lim P ( x ) = lim Q ( x ) = 0 :
x →x Q ( x ) x →x x →x
0 0 0
• Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x − x
0
• NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho l−îng liªn hiÖp.
2
VÝ dô 1: T×m: lim x − 9x + 14
x→2 x−2
Gi¶i:
2
lim x − 9x + 14 = lim
( x − 2 ) ( x − 7 ) = lim x − 7 = −5
x−2 x −2 ( )
x→2 x→2 x→2
VÝ dô 2: T×m: lim 4 + x − 2
x→0 4x
Gi¶i:
lim 4 + x − 2 = lim
(
4+ x −2 4+ x + 2 )(
= lim
)
4+ x −4 = lim 1 = 1
x→0 4x x→0 4x 4 + x + 2 ( ) (
x→0 4x 4 + x + 2 x→0 4 4 + x + 2 16 ) ( )
3
VÝ dô 3: T×m: lim x + 7 − 2
x→1 x −1
Gi¶i:
2
3
x + 7 − 2 3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4
3 x+7 −2 x + 7 − 23
lim = lim = lim
x→1 x −1 x→1 2 x→1 2
( )
x −1 3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4
( x −1) 3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4
= lim 1 = 1
x→1 3 2 12
( x + 7) + 2.3 x + 7 + 4
VÝ dô 4: T×m: lim 2x + 5 − 3
x→2 x + 2 − 2
Gi¶i:
lim 2x + 5 − 3 = lim
( 2x + 5 − 3 )( )(
2x + 5 + 3 x + 2 + 2 ) = lim ( 2x + 5 − 9 ) ( x + 2 + 2) = lim 2 ( x + 2
x→2 x + 2 − 2 x→2 ( x + 2 − 2 )( x + 2 + 2 )( 2x + 5 + 3) x→2 ( x + 2 − 4 ) ( 2x + 5 + 3) x→2 2x + 5
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
- 3
VÝ dô 5: T×m: lim x − 3x − 2
x→1 x −1
Gi¶i:
3
lim x − 3x − 2 = lim
x3 −1 −
( 3x − 2 −1 ) = lim x3 −1 − 3x − 2 −1 =
x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 x −1
= lim x 2 + x +1 − 3x − 2 −1 2 3 3 3
= lim x + x + 1 − = 3− =
( )
x→1 ( x −1) 3x − 2 +1 x→1 3x − 2 +1
2 2
4 x + 2 −1
VÝ dô 6: T×m: lim
x→−1 3 x + 2 −1
Gi¶i:
§Æt t = 12 x + 2 ⇒ x + 2 = t12 ⇔ x = t12 − 2, khi ®ã x → −1 th× t → 1 . Do ®ã:
t3 −1 = lim (
4 x + 2 −1 t −1) t 2 + t +1
lim = lim = lim t 2 + t +1 = 3
x→−1 3 x + 2 −1 t→1 t 4 −1 t→1 ( t −1)( t +1) t 2 + 1 t →1 ( t + 1) t 2 +1 4
3
VÝ dô 7: T×m: lim x + 7 − x + 3
x→1 x −1
Gi¶i:
3
lim x + 7 − x + 3 = lim
3
x + 7 − 2 −
( x +3 −2 ) = lim 3 x + 7 − 2 − x +3 − 2
x→1 x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 x −1
= lim x + 7 − 23 − x + 3− 4
x→1
(
2
(
x −1) 3 x + 7 + 2.3 x + 7 + 4
x −1) x + 3 + 2 ( )
1 1 1 −1 = −1
= lim − =
x→1 3 2 x +3 +2 12 4 6
( x + 7) + 23 x + 7 + 4
P(x)
2) Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , ta l−u ý:
x→±∞ Q ( x )
• §Æt x m (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x)
• Sö dông kÕt qu¶: lim 1 = 0 ( víi α > 0 )
x→∞ xα
2
VÝ dô 1: T×m: lim 3x − 4x +1
x→+∞ −2x 2 + x +1
Gi¶i:
2 − 4x + 1 3− 4 + 1
x x2
lim 3x = lim =−3
x→+∞ −2x 2 + x + 1 x→+∞
−2 + 1 + 1 2
x x2
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
- VÝ dô 2: T×m: lim x 2 + x + 1 − 3x
x→−∞ 2 − 3x
Gi¶i:
2 + x + 1 − 3x − 1+ 1 + 1 − 3
= −1 − 3 = 4
x x x2
lim = lim
x→−∞ 2 − 3x x→−∞ 2 −3 −3 3
x
3 3 2
8x + 3x +1 − x
VÝ dô 3: T×m: lim
x →−∞ 4x 2 − x + 2 + 3x
Gi¶i:
3 3 2 +1 − x 3 8 + 3 + 1 −1 3
lim 8x + 3x = lim
x x3
= 8 −1 = 1
x→−∞ x→−∞
4x 2 − x + 2 + 3x − 4− 1 + 2 +3 − 4 +3
x x2
3) D ng ∞ − ∞ và d ng 0.∞
• Nhân và chia v i bi u th c liên h p
• N u có bi u th c ch a bi n x dư i d u căn ho c quy ñ ng m u ñ ñưa v cùng m t phân th c.
VÝ dô : lim ( x2 + 2 x + 3 − x)
x→+∞
Gi¶i:
lim ( x2 + 2 x + 3 − x) = lim ( x + 2 x + 3 − x)( x + 2 x + 3 + x)
2 2
x→+∞ x→+∞
( x2 + 2 x + 3 + x)
2x + 3 2+ 3
= lim = lim x =1
x→+∞ 2 + 2 x + 3 + x) x→+∞ 2 + 3 + 1)
( x ( 1+
x x2
GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP.QUY NHƠN
nguon tai.lieu . vn
