Xem mẫu
- y =0
x = 1 1 -5 7 5
—
-3o T
+ 75
i X = y = 0 hoặc 3 + 75
ư = 2 y=-
x = (-4 + 275)y
y=0
4y^=(-6-2VÌ)y 3, ^
Hệ phưcmg trình (2") tương đương với ^ y —-------------
x = Ị - 4 - 2 7 5 jy L 2
x = (-4 -2 7 5 )y
x = 11 + 575
X = y = 0 hoặc 3+7s
y=— ^
Kê't hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình
2 ;
và' í il il + 5c v/5ĩ ;----——
3+7s
V 2 J
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là l l - s T S ; - ^ và [ l ĩ + 5 7 5 ;- ^
V 2 J \ 2
[ x^+2xy^ =2x^y + 4
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình
Ix^ +2y^ =xy + x + 2y
Lời giải.
Nhân phương trình thứ hai với -2 rổi cộng v ế với vê'với phương trình đầu ta được
Ịx^ + 2xy^ ] - 2 (x^ + 2y^ Ị = (2x^y + 4 ) - 2 (xy + X + 2y)
(x^ - 2x^ ) + (2xy^ - 4y^) = (2x^y - 2xy - 4y) + (4 - 2x)
x^ (x - 2 ) + 2y^ (x - 2 ) = y (x - 2)(2x + 2 ) - 2 (x - 2 )
< » ( x - 2 ) ( x ^ - 2 x y + 2 y ^ - 2 y + 2) = 0(x-2) ( x - y f + ( y - l f +1 =0
o x = 2 (vì ( x - y f + ( y - l f + 1 > 0 )
Thay X = 2 vào phương trình thứ hai ta có
4 + 2y^ = 2y + 2 + 2y o 2y^ - 4 y + 2 = 0y = l
Vậy phương trình có nghiệm là (x;y) = (2;l)
N hận xét: Việc nhân vào với -2 được "mò mẫm" như sau: Nhận thâ'y rằng đôì với
biến y thâ'y có sự tương đổng về bậc trong hai phương trình có ở hệ, do đó ta
nhân với phương trình hai một sô' thực a khác không rồi cộng vê' với vê' với
phương trình đầu ta được
363
- ịx^ +2xy^ j + aỊx^ + 2y^ j = Ị2x^y + 4Ị + a ( x y + x + 2y)
(2x + 2a)y^ + ax + 2 a jy + x^ +ax^ - a x - 4 = 0
Ta sẽ chọn a sao cho đúng với mọi y , suy ra
2x + 2a = 2x^ + ax + 2a = x^ + ax^ - ax - 4 = 0 (*)
Ta có 2x^ + ax + 2a = 0 2x(x + a ) - a x + 2a = 0 => -a x + 2a = 0 => X = 2 => a = -2
Dễ thâý X = 2, a = -2 thỏa mãn (*), do đó ta có lòi giải như trên.
Ví dụ 12. Giải các hệ phương trình sau:
1. |2x^ + 3y = y^ + X+ 3 2.
I x^ = 8y^ + 3y
[2y^ + 8 = x^ + x + 7y [x^ + y = 4y^ +x
Lời giải.
1. Cộng v ế với vê'của hai phương trình ta có
2x^ + 3y + 2y^ + 8 = y ^ + x + 3 + x^ + x + 7y
x^ - 2 x + y^ - 4y + 5 = 0 < ^ ( x - l f + ( y - 2 f =0 < íí.x -l = y - 2 = 0 o | ’^"^
Thay X = 1; y = 2 vào hệ thây thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (l;2) .
2. Phương trìrủi thứ hai nhân với -3 rồi cộng v ế với v ế với phương trình thứ nhâ't ta được
x^ - sỊx^ + y) = 8y^ + 3y - 3(4y2 + xỊ
( x - lf - ( 2 y - l f x = 2y
Thay vào phương trình thứ hai ta được (2y)^ + y =" 4y^ +2yy = 0=>x = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y) = (0;0) .
Nhận xét: Các biê'n X, y trong mỗi phương trình độc lập với nhau. Do đó ta sẽ chọn
a bằng cách lâ'y phương trình thứ nhâ't (hoặc phương trình thứ hai) nhân với a
rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho đưa về dạng phương trình
(ax + b)" = ± ( a ' y + b ')".
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau;
[ựx + y = ^ x + y (x + y ) Ịsxy - 4 Vx j = -2
[V ^ -y = ^ x - y - 1 2 (x + y)(3xy + 4 V ỹ ) - 2
364
- Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ
Các ví d ụ
[272x + y = 3 - 2 x - y (l)
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
x ^ - 2 x y - y ^ = 2 (2)
Lời giải.
Phương trình ( 1 ) viết lại: 2x + y + 2yj2x + y - 3 = 0 ( 3)
Đặt t = yj2\ + y (t > 0), khi đó ( 3) trở thành: t ^ + 2 t - 3 = 0t = l thỏa mãn (t > 0)
Với t = 1 thì ^2x + y = l2x + y = ly = l - 2 x
Thay vào phương trình ( 2 ) ta được x^ - 2x(l - 2x) - (1 - 2x)^ = 2
o x^ - 2x + 4x^ -(1 - 4x + 4x^) = 2 x^ - 2x + 4x^ - 1 + 4 x - 4x^ = 2 x^+2x-3 = 0
X= 1 y = -l
X = -3 y =7
Vậy hệ có nghiệm và (-3;7).
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau;
^y^-l+Vx=3 2 .
1.
x^ + y^ = 82
+ aỊ ỵ \ = 78
Lời giải.
1. Đặt u = Vx và V = ^y^ - 1 .
[u + v = 3 íu + v = 3
Khi đó, hệ đã cho trờ thành: < A / A \ . i , (*)
u ^ + ( v ^ + l ) = 82 1u 4 + v ^=81
Đặt s = u + v ,p = uv . Với điều kiện - 4P > 0 thì hệ (♦) viết lại:
[s = 3 _ [^ = 3 _ [p = 0 u =
|S ‘‘ -4S^P + 2 P ^ = 8l ' ^ | p ^ - 18P = o '^ l S = 3 ls = 3
Tritờng hợp 1: s = 3, p = 0 . u, V là nghiệm của phương trình - 3X = 0, phương
trình này có hai nghiệm X = 0 hoặc X = 3.
fu = 0 íx = 0 _ íu = 3 íx = 9
Khi đó: hoặc ■! => <
[v = 3 Ịy = ^' [v = 0 [y = l
Trường hợp 2: p = 18,s = 3 không thỏa mãn vì - 4P < 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x;y) = Ịo ;^ 8 2 Ị,(9 ;l).
365
- 2. Điều kiện: xy > 0.
Đây là hệ phương trình đô'i xiíng với X và y . Nhưng ta chưa thể giải ngay khi dựa
vào tính châ't của nó. Do đó, ta phải tìm đại lượng bâ't biên khác của hệ phương trình.
Với điều kiện xy > 0 ta xét hai trường hợp:
Trường hợp T. X> 0,y > 0. Ta đặt u = Vx,v = yịỹ
Trường hợp 2: X< 0,y < 0 . Ta đặt u = \ f ^ , v =
u V _ 7 ^
Cả hai trường hợp đều đưa hệ về hệ phương trình: V u uv
u^v +v^u =78
Tương tự trên, ta được kết quả: (x;y) = (-9 ;-4 ), (-4 ;-9 ), (4; 9), (9; 4).
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau;
+ 2- ^ = 1
x + y + ^x^ - y ^ =12 x2+y2_Ị X
.
1 1 2 .
y ự x ^ - y ^ =12 x2 + y 2 + 4 ^ = 22
y
Lời giải.
u= - y ^ , u >0
1. Điều kiện: X > y . Đặt <
V = X+ y
r
u.2 A
X = - y không thỏa mãn hệ nên xét x ^ - y ta có y = — V -
V Vy
u + v = 12
u =4 |u = 3
Hệ phương trình đã cho có dạng: uí u ^
. 2 hoặc
V- - =12^ v =8 |v = 9
12V
u =4 / 2 2 íx = 5
vx - y = 4
THI: ■
v =8 x+y =8 lỳ " 3
u =3 =3 íx = 5
TH2: Cí>
v =9 1X + Ỵ = 9 [y = 4
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm; (x;y) = (5 ;3 ),(5 ;4 ).
2. Điều kiện: X íi 0, y 0, x^ + y^ - 1 ìí 0
Đặt u = x^ + y^ - l ; v = —.
y
366
- Hệ cho trở thành:
1 4
u V
=1
u V
( 1)
u +1 + 4v = 22 u = 2 1 -4 v ( 2)
Thay (2) vào (1) ta được: — - — + —= ! 2v^ - 13v + 21 = 0v = 3 hoăc V = —
221- 4v V
1 -4 2
-1 = 9
^ x ^ + y ^ = 10 ^ x = -3 x=3
• Nếu V = 3 thì u = 9, ta có hệ; ■
ìx = 3y ly = - i ly = i
ly
• Nếu V = -r thì V = 7, ta có hê:
2
+y^ -1 = 7 x^ + y^ = 8 y = -4. y = 4.
X_ 7 i 7 hoặc •
x=-y
,y“ 2 T x = 1 4 j—
53
y = -4
[x = -3 jx = 3
ẳ
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:
iy = - l ' ị y = l '
X = -14
I
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:
2x^ - y ^ - 4 ( x - y ) = l 3x 2 + y = y2
1. 2. •
x^ (x - 2 )^ + 2 = (xy - 2y)(xy - 4x) x^(x^+45] = y (y ^ -1 5 j
Lời giải.
2(x2-2x)-(y^-4y) = l
1. Hệ phương trình tương đương với
Ịx^-2xj - Ị x ^ - 2 x j | y ^ - 4 y j + 2 = 0
I ^ _2x 2a - b = 1
Đăt < khi đó hệ trở thành , .
[b = y•2 - 4-y- a2-ab + 2 = 0
b = 2a - 1 , ,
í b =2a-l Ị b =2a-l
a = -1 -^
a = -l , ^ a = 2
hoăc <
^ |a 2 -a (2 a -l) +2=0 ^ |a2-a-2 =0 ^ ^ lb = -3 |b = 3
a=2 '' '■
X= 1
3. a = - 1 - l = x ^ -2 x x ^ -2 x + l = 0
Với _ ta có < -í y = l
b = -3 -3 = y ^ - 4 y ly^-4y + 3 = 0 _y = 3
367
- , ía = 2 , 2 = x ^ -2 x x ^ -2 x - 2 = :0 X = 1 ± Vs
Với < ta có < I
[b = 3 ị2 = Y ^ - 4 y [y ^ -4 y -3 = 0 |yy-= 2±V7
Vậy hệ có nghiệm (x;y) là
(1;1),(1;3),( i + V3;2 + V 7),( i + n/3 ;2 -> /7 ),( i - V 3;2 + V7) và ( l- V 3 ;2 - V 7 ) .
3x"+y = y^ I y2_3x2 = y
2. Hệ phương trình tương đương với
y'>-x'‘ =15(3x^ + y) Ịy'* - x“ =15y^
• Với y = 0 từ hệ suy ra X = 0 .
y- — =1
Với yitO ta có hệ phương trình (*) tương đương với
y
2_^_1C
y "2 =^^
y
w X y - 3z = 1
Đặt — z , hệ trở thành
y^ - t} -1 5
y = 3z +1 17
y = 3z + l í y = 3z + l
Z= 1 y = '^ hoặc
u -
y ='
i(3z + l) ^ -z ^ =15 [8 z2 + 6 z - 14 = 0 7 lz -l 7
z=— z=
4 4
y =4
Với < suy ra
— =1 |x^=4 ị x = ±2
ư
17 17 17 17
4 suy ra ■ >^=4
y = 4
Với i
x2 7 2 119 VĨĨ9
z= --- = ---- X = —1- x=±
l 4 y 4 16
VĨĨ9 _17
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (2 ;4),(-2;4), và
4 ' 4
•JĨĨ9
4 ' 4
368
- Lời giải.
Đặt u = Vx > 0, V = yịỹ > 0 .
2/ 2 2\ _ u v
v (u ^ -v > | ^
Ta có hệ: => - v ^ + 2u^v^ = —uv ( 1 )
uỊu^ + v ^ j= 3 v u^Ịu^ + v ^j= 3 u v
uv = 0
Mặt khác j (u v ) = —(uv) 4 o 4_3
u - V =—
2
Nếu uv = 0= > u = v = 0=>x = y = 0 .Thừ lại thây thỏa mãn.
uv = 1
7 2
Nếu u^-v"^ = — thay vào ^1^ ta có: 2 (u v ) — — = 0 3
uv = —
4
1
uv= 1 v=— u = ^2
Vói:- 4 4 3«- ^ «■ 1 '
u -V = — 8 3 4 1 „
l 2 u — u - 1 = 0
l 2
Thử lại thây thỏa mãn.
3 3V3
uv = — v= u=
4 4u 4
Vói:<
4 4 3 8_3 4 ^ s ■
u -V = — u — u --------- 0 V= ■
2 2 256
Cách 1:
9y^ ( 3x ^ - 1 ) = -125 27x^y^ +125 = 9y^ ( 1 )
V / .
45xV + 75x = 6y^ 45x^y + 75x = 6y^
Từ phưcmg trình ( 1 ) => y 0
369
- 2 7 x ^ + ^ =9
27x^y^+125 = 9y^(l)
(3x)" + -T = 9
Hệ phương trình \ (•)
45x^y + 75x = 6y^ 45x^ 75x , í
^ ^ +1 ^ =6 3x.= 3x + - = 6
y Ỷ y\ y)
/ x U ^ + v^=9 [u = 2 Íu = l
Đặt 5 . Hê (*) -^ . . -^ hoăc <
v =- [u v (u + v) = 6 [v = l [v = 2
. [u = 2 [x = -
w =' ly = 5
* v ớ i Ị ''" ^ = > -
v=2 5
y =-
l 2
Cách 2:
9y3 (3x3 _ i 25 |27x3y3 +125 = 9y3 (l)^^
45x3y + 75x = 6y3 1 45x3y + 75x = 6y3
Từ phương trình (l) => y ÍÉ0.
í 27x3y3+125 = 9y3 ^ ,
Hệ(»*)54x3y3-135x3y2-225xy + 250 = 0,
[45x3y2 +75xy = 6y3
ta đặt t = x y , ta được phương trình: 54t3 - ISSt^ - 225t + 250 = 0
2
■ 10 10 «
X = —
t =— 3
3 ^ 3
, 5 5
o ( 3 t - 1 0 ) ( 6 t - 5 ) ( 3 t + 5) = 0 o t = - => xy = — ^
6 ^ 6
5 . 3
t--- 5
3 ^ 3
(2 ] fl.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (x; y) = / _ /—
w > 2j
Ví dụ 7. Giải các hệ phương trình sau:
2 2 1 ^ _c
X +y + -T + 2=^ [ s x - y = 3^x + y
1. -Ị X y 2.
[3x + y = 3 ự x - y
( x y - l f = x 3 -y 2 + 2
370
- Lời giải.
X5tO
1. ĐKXĐ:
[y ^ 0
2 2 1 ^ _c
X + y + -T + 2 ^ ^
Hệ phương trình tương đương với X y
x^y^ - 1 - x^ + y^ = 2xy
2
2 2 1 ^ _c (x+— lì +^ l ì =5
y-
X y l yj
i {
^
x y --------— + —=- 2'ì í x+—1^ í
y-
lì
xy y X
l yj
1
a =x+—
X
Đặt ^ , khi đó hệ phương trình trở thành j ^ ^
b = y- £ [ ab = 2
£
|(a + b) -2 a b = 5 l(a + b) =9 |a + b - + 3
ab = 2 1 ab = 2 I ab = 2
ía + b = 3
Với hệ phương trình \ thì a,b là nghiệm của phương trình
[ ab = 2
'x = l
-3 X + 2 = 0
x =2
Do đó, hệ có nghiệm (a;b) là (2;l) và (l;2)
í a + b = —3
Với hệ phương trình < thì a, b là nghiệm của phương trình
x = -l
X^ + 3X + 2 = 0 o
X = -2
Do đó, hệ có nghiệm (a;b) là ( - 2 ;- l) và ( - l;-2 )
Vì a X+ - X+ > 2 nên chỉ còn hai trường hợp sau
1
X= 1
^ x ^ -2 x + l = 0 _
X
THI: (a;b) = (2 ;l), khi đó ta có i± V s
1 ^ 2
l =y - i [y ^ -y -l =0
y
l + ^/5 I - S
Do đó, hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y) là 1; và 1;
371
- -2 = x + - X = -1
X +2x + l = 0
TH2: (a;b) = ( - 2 ;- l) , khi đó ta có -l± ^/5
-l =y - i |y ^ + y - l = 0 y=-
y
(
- l + ^/5 - \ - S
Do đó, hệ phưcmg trình ban đầu có nghiệm (x;y) là - 1; và
V 2 7
Vậy hệ phưong trình ban đầu có nghiệm (x; y) là í l . ỉ ± ^ ì í i . l z ^ ì
l ' 2 ' 2 .
-ĩ+ s - l- V s
- 1; va - 1;
2 7
2. Đặt ^ I ^
[^ x -y =b
, a > 0, b > 0 khi đó 2a^ + b^ = 3x + y, a^ + 2b^ = 3x - y
___ Ía 2 + 2 b 2 = 3 a (l)
Hệ phưong trình trở thàrm <
[2 a2 + b ^ = 3 b (2)
Trừ vê'với v ế của hai phưong trình (1) và (2) ta được
a =b
b^ - a^ = 3(a - b) (a - b)(3 + a + b) = 0
a = -b - 3
a = 0=>b = 0
Với a = b thay vào phương trìrửi (1) suy ra 3a^ = 3a
a = l= > b = l
Vói a = - b - 3 thay vào phương trình (1) suy ra
(-b - 3)^ + b^ = 3b 2b^ + 3b + 9 = 0 (vô nghiệm)
T H l: a = b = O t a c ó | f ĩ Z = ‘’ « j ; ‘ * > ;= “ o í ; ' ' ‘’
[ , 1 ^ =0 [x -y = 0 Ịy=^0
T H 2:a = b = l t a c ó í ' ( ĩ ^ ' ' o | ; “ ">' = ' « | ’‘ = ’
[x -y = i ly = o
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y) là (0;0) và (l;0).
x^ + l + y (y + x) = 4y
: dụ 8. Giải hệ phương trình sau:
- +1
+y+x=4
^X
2 +l (1
(y + x - 2 ) = l
II y ^
x2+l
Đặt u = ,v = y + X- 2
/V íu + v = 2 ív = 2 - u
Khi đó hệ (*) y = 2
-Ị -^
V= 1 y = 3 -x X= -2 => y = 5
y + X- 2 = 1
Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x;y) là (l;2 ),(-2 ;5 ) .
Ví dụ 9. Giải các hệ phương trình sau:
sỊx^ + y ^ j = 6 xy+ 2 5(x2+ y2Ị = y - 2 x
2.
2x^ +3x = 2y^ + y + 3 sỊx^ + y^ j + 2x = y + 8xy
Lờí giàỉ.
(x + y f + [ 2 ( x - y ) ] ^ =2
1. Hệ phương trình tương đương với
(x + y) + 2(x - y) + (x + y)2(x - y) = 3
[ a = X+ y Ị a 2 + b 2 = 2 ^ |( a + b f - 2 a b = 2
Đăt 4P khi đó hệ phương trình (*) trở thàrủì
ab = p [ s+p=3
s =2
js^ - 2 ( 3 - S ) =2 |s ^ + 2S - 8 = 0
S = -4
Ị p=3-s Ị p=3-s
p =3-s
ís = 2 fS = -4
j (thỏa mãn) hoặc < (loại).
, ís = 2 , ía + b = 2 ................. , ,
Với j ta có j suy ra a,b là nghiệm của phương trình
X ^-2 X + 1 = 0X-1.
Do đó hệ phương trình có nghiệm là (a; b) = ( l ; l ) .
373
- í l= x + y á
1
Đặt ■{ _^ /h ệ phươne trình trở thành , / X _
[x -3 y = b ^ ^ 1 2ab + (a + b) = 0
a=b
(a + b)^ -2 a b = 0 a=b a =b =0
• a = 0
2ab + (a + b) = 0 [2a^ +2a = 0 a = b = -1
a = -1
, Í3x + y = 0 íx = 0
Với a = b = O tacó-^ ì
[x -3 y = 0 [y = 0
í --Ĩ.
, , / 3x + y = -1 ^~ 5
Với a = b = -1 ta có <
X- 3y = 1 1
1 5
í 2 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (0;0) và Ị
V ll--xx++. y^ /l l--yy== l
Ví dụ 10. Giải hệ bâ't phương trình sau: ị• 3
|xMy| 4
L ời giải.
Đặt u = Vl - x,v = y ị l - y ĐK: u, V > 0, k.hi đó hệ được biến đổi về dạng:
+ =^ j0 < u < l
0
- Lèn giải.
.... íl- x ^ > 0 í|x |< l
Điêu kiện: < i
h -y ^ ìO l |y |s i
Đặt: X = cosa; y=cos|3 với a,p e [O; 7i] .
[cosa.sinp + cosp.sina=l
Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành:
1^(1 - cosa)(l + cosp) = 2
a + ạ =-
2
sina - cosa - sina.cosa •1 = 0 (* )
1 -r
Với t = sina - cosa, |t| < >/2 => sina.cosa =
1 -t^
Khi đó, phương trình (♦) trở thành: t ------ -— 1 = 0 tức t^ + 2t - 3 = 0, phương
trình này có nghiệm t = 1 thỏa mãn điều kiện.
Với t = 1 tức sina - cosa = 1 hay ^/2sin a - — = l a = — =í>p = 0 (do a + p = — ).
V 4;
Vậy hệ đã cho có nghiệm: (x;y) = ( 0 ;l) .
x^ + 2 x y -7 y ^ ^ (1)
Ví dụ 12. Tim tham số thực a để hệ 1 + a ' c ó nghiệm.
3x^ +10xy-5y^ < -2 ( 2 )
Lời giải,
ĩ
Phương trình (l)x ^ + 2 x y -7 y ^ > - l + -
+a
-2x^ - 4xy + 14y^ < 2 ---- ỉ - ( 3 ) .
Cộng ( 2 ) và ( 3) vê'theo vê', ta được: x^ + 6xy + 9y^ < — — (x + 3y)^ < — — ( 4),
4
Từ (4) suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm là; 0 < — — tức a < -1 .
(x + 3y) < - -
Tóm lại, ta có hệ • +a {*)
3x^ +10xy-5y^ s - 2
375
- (x + 3 y f =0 [x = -3y
Xét hệ phương trình: tức
3x^ + 10xy-5y2 = - 2 [Sx^+lO xy-Sy^ = -2
x = -3y x = -3y
2 1
y 4 y‘ 4
, 3 1 . - ,_ 3 ^ 1 / X
x = - ^ , y = ^ hoặc x = ^ , y = - ^ (*♦).
4
Vói mọi a < -1 , ta có: 1 + a nên kết quả của (* *) cũng là nghiệm của hệ (♦).
-2 a Ị+ k j(m )
‘ , sau đó suy ra a 2Íj ( x ,y j - a j f 2 (x,y) > k (m j
[f2(x,y)> a2 + k2(m )
^ [ Í 3 ( x . y ) f ^ k g ím ).
fi( x ,y ) > a i + k j(m )
Do vậy hệ phương trình đã cho tương đương (*)
^ k 3 (m )
Từ (ì-j suy ra điều kiện cần để hệ có nghiệm là I j '
Gọi D là tập nghiệm của hệ này với ẩn m thì m £ D là điều kiện cần của bài toán.
Vói m £ D , ta có: I ^ ^ , suy ra nêu ( xq; yQj là nghiệm của hệ;
[fl(x,y) = a i
(♦ *) thì (xQ;yQ) cũng là nghiệm của hệ (*) với mọi m £ D .
[f3 (x,y) = 0
Giải hệ (* chứng tỏ hệ có nghiệm.
376
- CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
8(x^ + ) + 4xy + —^ = 13
(x + y r
1ị
2x + - • = 1
x+y
4xy+ 4^x 2 + y2Ị + :7(1)
2. {-* yf
2x + ^ — = 3(2)
X+ y ^ '
X^ + y + xy + x“'y + xy^ = — (l)
x^ +y^ + x y (l + 2x) = - - ( 2 )
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
IX /y _ 7
+J — = - F = + i ■y/x^+ỹ^ + y/2xỵ = 8^/2
1. 'y Vx y p ỹ 2. ^
sỉx + y ịỹ = 4
x^/)ỹ + yyịxỹ = 78
+ y^ + yịĩxỹ = 8\Í2
3.
y/x + yỊỹ = 4
Bài 3: Giải các hệ phương trình:
^ Ị ^ / ^ +^ / ^ =4
2.
I^yỊỹ+
’ Ịx^ +y^ =128 [x\/x + y ự ỹ = 35
2(x + y) = 3| ếx^y + ^xy^ 1
3, ( V y
^ +^ =6
Bài 4: Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau có nghiệm duy nhất:
ịVx + 1 + ,y y - l =a
[x + y = 2a +1
Bài 5: Giải các hệ phương trình:
x^ - x y + y^ = 3 ( x - y ) x^y + xy^ + x^ + y + xy = -
1. i 2.
x^ + xy + y^ = 7 (x - y)^ X
4 _2 2 3
+2x y + y +xy = - —
377
- Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:
xy + x + l = 7y 2 |y ( l + 2x3y) = 3x'
1.
x^y^ + x y + 1 = 13y^ "Ịl + 4x^y^ =5x^
x^ - 2xy + X+ y = 0
3.
x^ - 4x^y + 3x^ + y^ = 0
Bài 7: Giải hệ phương trình:
1.
[x^ +3xy^ = 6 x y - 3 x - 4 9 Ix^ - y^ = 35
[x^ - 8xy + y^ = lOy - 25x - 9 [2x^ +3y^ = 4 x - 9 y
Bài 8: Giải hệ phương trình
x +y J
[4 x+y J= 1
Bài 9: Giải hệ phương trình:
=1 [^7x + y +ự2x + y =5
1. 2.
[2x^ -y ^ = 2 y - x !7 2 x + y + x - y = 1
[x‘* + 4x^ + y^ - 4 y = 2
Bài 10: Giải hệ phương trình:
[x^y + 2x^ +6y = 23
Í3x + 3 y - J ) w = l
Bài 11: Giải hệ phương trình: < _____ ^ _____ {x,y e M)
[v5x + 3 + yj5y + 3 = 4
378
- H Ư Ớ N G D Ẫ N GIẢI
MỘT SỐ VÍ DỤ VỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI HAI ẨN
D ạng 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT v à
MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1:
1. Ta có y = 5 - 2x th ế vào phương trình hai ta được;
’x = 2=>y = l
4x^ + (5-2x)^ =172x^ - 5 x + 2 = 0 y = 4
2 ^
Vậy nghiệm của hệ là: (x;y) = (2;1),(—;4 ) .
2. Ta có y = 8 - 3x thay vào phương trình đầu ta được:
x^(8 - 3x) = 16 3x^ - 8x^ +16 = 0 (x - 2)^(3x^ +4x + 4) = 0 « x = 2.
Vậy hệ có nghiệm là X= y = 2 .
3. Từ phương trình 2 => x^ = 3(y^ + 2) (3) thay vào phương trình 1 ta được:
2 'x = 0
X^ - 8x = y(y^ + 2) = y — x(3x^ - xy - 24) = 0 3x^ - 24
y=-
Với X= 0 thay vào (3) ta có: y^ + 2 = 0, vô nghiệm.
3x^ - 24 2
Với y = ----------- thay vào (3) ta được: x'^ = 3 +6
x^ =9 X= ±3 => y = ±1
13x^-213x^+864 = 0 0 2 96 í% _^/78 •
X = -— X= ±, — => y =
13 V13 ^ 13
/% _ V t8^
Vậy hệ có bôh nghiệm: (x;y) = (±3;±1),
Bài 2: Ta có X = m - y thay vào phương trình hai ta được; 2(m - y) - 3y =1
y^ + 4my +1 - 2m^ =0 (*). Hệ có nghiệm {*) có nghiệm
2 2 I I 1 I I 1
A' = 4m"^ -(1 - 2m'^) > 0 m > . Vậy m > - p là những giá trị cần tìm.
re
379
- Bài 3:
í y = 2x - 4
1. Hệ phương trình i . ~
1 - 3x(2x - 4) + (2x - 4 r = -5
y=2x-4 x = 3, y = 2
ix^ + 4 x - 2 1 = 0 x = -7 , y = -18.
Vậy nghiệm của hệ là (3; 2), (-7; -18).
(x^ + xy) =2x + 9 (1)
2. Hệ phương trình
xy = 3x + 3 - - (2)
,2
Thay (2) vào (1) ta được: x^+3x + 3- ^ :2x+ 9
2 y
x=0
x^ + 12x^ + 48x^ + 64x = 0 o x(x + 4)^ = 0
X = -4
Ta thây x = 0 không thoả m ãn cả (1) và (2), nên loại.
17
Thay X= -4 vào (2) ta được y = —
17
Thay x = -ấv'ay= — vào (1), ta thây (1) được thoả mãn.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là - 4 ; ^
D ạng 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
B àil:
1. Điều kiện: X ? il;y 9t - 1 . Đặt —-— = a ,—-— = b
^ x-1 y+1
2a + b : 2a + b = - 5b:
Ta có hệ: < 4 4=>x = 2,y = 3
. 14 a =1
a + 3b = — 2a + 6b = — a = —- 3b
4 4 4
2.Đ ặt A = ---- ----- , B = ------ ------
x + y -1 2 x + y -3
1
Í3 A + 2B = 5 A=1 A =1 x + y -1
Ta có hệ: _ i _ .^
2 A -5 B = -3 2 A -5 B = -3 B=1 1
2x + y - 3
380
- í " " ’! ; ' ' ’
[2x + y - 3 = l [2x + y = 4 « 1[y" =° 0'
Bài 2;
1. x^ - 3 x ( y - l ) + y^ + y (x -3 ) = 4 < = > ( x - y - l) ( x - y + 4) = 0
fx -y =l
TH I: x - y - 1 = 0, ta có hệ: ị ^ => (x;y) = (l;0 ) ,( - l;- 2 )
[x -x y
r[ V
x—- y\r — —A
= -4
THI: X- y = - 4 , ta có hệ:
[x -x y -2 y = 1
2. Dùng phương pháp cộng hoặc th ế ta được 2xy + 2 y - x - l = 0
1
(x + l)(2y -1 ) = 0 X = -1 hoặc y = —
THI: Với X= -1 , ta được y ^ - y - 2 = 0y = - l hoặc y = 2
Ta được hai nghiệm và (-1;2)
_ - 1 1 9 -1 ± \fĩÕ
TH2: Với y = —, ta đươc x ^ + x - —= 0 o x = --- ——
^ 2 4 2
- l- ^ /Ĩ Õ ì ] ^ í - l + ^/ĨÕ 1
Ta được hai nghiệm -----và — —^
\ f
-ĩ-^ /ĨÕ 1 -1 + Vĩũ !_
Vậy hệ có bôn nghiệm (-1 ;-1 ); (-1 ;2 ); và
2 '2 \ 2 '2
Bài 3:
1. + l - x j + y ^ = 0 do yí^O — +y+ 7x^ +1 - X = 0 (3 )
Từ ( 2 ) ,( 3) suy ra: —+ y - 2 —+ y - 3 = 0 —+ y = -1 hoặc —+ y = 3
U J J y y
Thay vào ( 3 ) giải ra ta có nghiệm (0 ;-l)
2. ( 1 ) o . ~ ^ =y- 3o + y - Vx^ +3 = X, kết hợp phương trình ( 2 ),
^ x ^ + y -V x ^ + S
ta được: Vx + Vx^ + 3 = 3 o x = l= > y = 8
Bài 4:
1. Cộng hai v ế phương trình, ta được: 2x^ + + 3xy - 7 x - 5 y + 6 = 0
o y ^ - ( 5 - 3 x ) y + 2x^ -7 x + 6 = 0 o ( y + 2 x - 3)(y + X- 2 ) = 0.
Hệ đã cho có nghiệm: (1;1);(2;-1)
381
- 2. Phương trình đầu suy ra;
1 . 0 - y)2 , i ĩ L . , (X^ y )! - = (X - y)^ . (X . y) - - y>
X+ y X+y X+ y
yỶ + (x + y) - ——— 1 = 0 (x - y)^ + (x + y - l ) = 0
X+ y X+ y
' ( x- y) ^ ^(x + y - l ) = 0x + y - l = 0x + y = l 'v n . Ê i : Ị t ì l > 0 ^
1 + -
X+ y x+y
Thay X+ y = 1 vào phương trình thứ hai ta được x - y + l = lx = y =>x = y = -
D ạng 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đ ố l XỨNG
Bài toán 01:
Bài 1:
1. Đặt s = X+ y, p = xy . Khi đó hệ trở thành:
2 -S
ÍS + 2P = 2 p =-
i
|s(S^-3P ) = 8 S (S ^ -^ ^ ) =8
=>2S^ +3S^ - 6 S - 1 6 = 0 cí.(S -2)(2S ^ +7S + 8) = 0
oS = 2=>P = 0 =>x,y là nghiệm phương trình: X ^-2 X = 0 o X = 0,X = 2.
, .. íx = 0 íx = 2
Vây nghiêm của hê là: < u K
[y = 2 [y = 0
2. Đặt s = X+ y; p = x y . Khi đó hệ trở thành:
| s (S2 -3 P ) = 19 ỊSP = -8S jSP = 2 -8 S
|s (8 + P) = 2 |s ^ - 3 ( 2 - 8 S ) = 19 Ị s ^ + 2 4 5 -2 5 = 0
ís = l 2
^ X, y là nghiệm của phương trình: X - X - 6 = 0 Xj = 3; X2 = -2 .
1p = —6
Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (-2; 3), (3;-2).
3. (x;y) = (l;l)
4. (-2 ;0 ),(0 ;-2 ),(-> /2 ;V 2 ),(V 2 ;-V 2 )
Bài 2:
1. Trừ vê'vc5i vê'của hai phương trình trên ta được:
x=y
x^ - y^ = X- y (x - y)(x + y -1 ) = 0
x=l-y
382
nguon tai.lieu . vn
