Xem mẫu
- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
3.Phương pháp bất đẳng thức:
1.Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ: Giải phương trình:
Giải:
Ví dụ: Giải phương trình :
Theo BĐT Côsi ta có:
Giải:
Đặt ta có:
Do đó:
với điều kiện
Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)
2.Phương pháp đưa về hệ phương trình: 4.Phương pháp lượng giác:
Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng: Ví dụ: Giải phương trình:
Ví dụ: Giải phương trình : Giải:
Đặt:
Điều kiện: .
Đặt:
với điều kiện
Khi đó ta có hệ:
và biến đổi đơn giản ta có:
suy ra và từ đó tìm được
Giải hệ tìm suy ra .
1
- 5.Phương pháp nhân liên hợp:
Ví dụ: Giải phương trình:
Giải:
Phương trình tương đương với:
Kết hợp với điều kiện của t suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
Ví dụ 2 :
Lời giải : ĐK :
I. Phương pháp lượng giác hoá Khi đó VP > 0 .
1. Nếu th“ ta có thể đặt Nếu
hoặc
Nếu .
Ví dụ 1 :
Đặt , với ta có :
Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã
cho trở thành :
)( )=0
)( )=0 Vậy nghiệm của phương tr“nh là
2
- 2. Nếu th“ ta có thể đặt :
Ví dụ 3 :
Lời giải : ĐK :
Ví dụ 5 :
Đặt Lời giải : ĐK :
Đặt
phương tr“nh đã cho trở thành :
Phương tr“nh đã cho trở thành :
Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
Ví dụ 4 (TC THTT):
TQ :
HD :
Ví dụ 6 :
Nếu : phương tr“nh không xác định . Lời giải : ĐK :
Đặt
Chú ý với ta có :
phương tr“nh đã cho trở thành :
vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với
Đặt
(thỏa mãn)
TQ :
khi đó phương tr“nh đã cho trở thành : với a,b là các hằng số cho trước
3
- II. 3. Đặt để đưa về phương
tr“nh lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : (1)
Lời giải :
Do không là nghiệm của phương tr“nh
nên :
(1) (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Kết hợp với điều kiện suy ra :
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 : 4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm
Lời giải : ĐK : chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :
Ví dụ 9 :
Lời giải :
Đặt phương tr“nh đã cho tương đương với :
phương tr“nh đã cho trở thành : (1)
4
- Đặt :
( thỏa mãn điều kiên
(1) trở thành :
Ví dụ 11 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
:Leftrightarrow
phương trình đã cho trở thành :
Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S * Với , ta có :
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để (vô nghiệm v“ : )
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn * Với , ta có :
phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :
Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :
khi đó :
Đặt . Phương trình viết thành : Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương
tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận : TQ :
Ví dụ 10 : (1)
lúc đó chúng ta đặt
lời giải : ĐK :
Đặt
Lúc đó :
(1) và đưa về hệ đối xứng loại haiVí dụ
Phương tr“nh trở thành : 12 :
Lời giải :
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được : Đặt .
Phương tr“nh đã cho viết thành :
Do nên không thỏa điều kiện .
Với th“ : Từ đó ta tìm được hoặc
Giải ra được : .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể
5
- hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài
trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải
quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo
biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . Đặt để đưa về dạng :
ví dụ 13 : TQ :
Lời giải : ĐK : Với a là hắng số cho trước .
Đặt . Ví dụ 16 : (1)
phương trình đã cho trở thành : Lời giải : ĐK :
Viết lại (1) dưới dạng :
Giải ra : hoặc (loại)
* ta có : (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .
ví dụ 14 :
Do vậy hoặc
Lời giải : ĐK : * . Ta có :
Đặt
Phương tr“nh đã cho trở thành : * . Ta có :
Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng
ẩn phụ đưa về dạng tích Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm :
1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 17 :
Ví dụ 15 : (1) Lời giải : ĐK : (1)
Đặt (2) .
Lời giải : ĐK : . phương tr“nh đã cho trở thành :
(3)
Đặt .
phương tr“nh (1) trở thành :
6
- Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
(Do )
Ví dụ 18 : T“m x ta giải :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt
(Thỏa (*))
Khi đó : . Vậy (1) có 2 nghiệm :
phương tr“nh đã cho trở thành :
Ví dụ 21 :
Lời giải : ĐK :
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
V“ nên :
t^2 + t - 1003 < 0 (2)
Do đó phương tr“nh tương đương với : Đặt và
Th“ :
Do vậy (thỏa (1)) 2. Dùng 2 ẩn phụ . (2)
Ví dụ 9 :
* ta có :
Lời giải :
* ta có :
Đặt Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :
Ví dụ 22 :
* lời giải : ĐK :
Đặt :
*
Từ phương tr“nh ta được :
( Do )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
Ví dụ 20 : (1) 3. Dùng 3 ẩn phụ .
Lời giải : ĐK : hoặc (*)
Ví dụ 23 :
Đặt ta có :
Lời giải :
(1) trở thành : 7
- Đặt ta có :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có :
Nên :
:Leftrightarrow
từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương
tr“nh :
TQ :
Ví dụ 24 : (1) b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND :
Lời giải :
Đặt * Cách giải :
Suy ra : Đặt :
khi đó từ (1) ta có :
Như vậy ta có hệ :
:Leftrightarrow
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của
Ví dụ 26 : (1)
phương tr“nh : Lời giải : ĐK :
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ Đặt
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút Khi đó :
gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ . (1)
Ví dụ 25 :
Lời giải :ĐK :
Đặt . Ta có : :Leftrightarrow
8
- (2)
(Do hệ : : vô nghiệm ) (1)
hoặc
Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban
đầu .
Ví dụ 27 :
Lời giải : ĐK :
Đặt :
2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 :
Với : CG : Đặt ta có hệ :
(*)
Như vậy ta được hệ : Ví dụ 29 :
Lời giải :
Đặt : ta có :
Giải (1) :
(1)
( )
Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho .
Ví dụ 28 :
(1) :Leftrightarrow
Lời giải :
Đặt : 9
- (2) : Vô nghiệm . Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất
Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là : của phương tr“nh là :
Dạng 4 :
Dạng 2 : Nội dung phương pháp :
CG : ĐẶt
Cho phương tr“nh :
Với các hệ số thỏa mãn :
PT :Leftrightarrow
Ví dụ 30 :
Lời giải : ĐK :
Cách giải :
Đặt : (1)
Đặt
PT Ví dụ 32 :
Lấy (3) trừ (2) ta được : Lời giải : ĐK :
PT
(1) - Kiểm tra :
(Do ) Đặt :
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 :
Lời giải : ĐK :
(1)
Đặt .
Chọn a, b để hệ : Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
( ) (*)
là hệ đối xứng .
Lấy ta được hệ : Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 :
Lời giải :
PT
- Kiểm tra :
Đặt :
Giải hệ trên ta được :
10
- (1) Dạng 3: Phương trình:
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Ví dụ 34 : (f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)
Lời giải :
Ví dụ minh hoạ :
PT VD1: tìm m để pt sau có nghiệm:
- Kiểm tra : LG:
Đặt : Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:
(1)
Mặt khác : (2) Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
Từ (1) và (2) ta có hệ :
(ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ dạng 1
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!! Sử dụng phương pháp biến đổi
tương đương VD1: GPT:
Đặt , ta có:
Dạng 1: Phương trình
do đó điều kiện cho ẩn phụlà
Khi đó phương trình có dạng :
Dạng 2: phương trình:
Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2
( g(x,m) phải có nghĩa)
11
- Khi đó pt được chuyển thành hệ:
VD2:GPT: + + =0 (1)
giải ra được hay
Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được
Bài tập tương tự:
(2)
Giải các pt sau:
Đặt } , khi đó
b> Giải và biện luận :
(2) hoặc t=1/2
Bây giờ xét 2 trường hợp:
ví dụ:
TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại.
Vậy pt vô nghiệm.
TH2: Nếu n lẻ Sử dụng BĐT,ví dụ:
Với ( vô nghiệm)
Vậy Đk cho ẩn phụ là :
Với
Sử dụng đạo hàm [/b]
Vậy...
Ví dụ
Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
VD1: GPT:
Đặt , ta có:
b>Giải và biện luận pt :
do đó điều kiện cho ẩn phụlà
Khi đó phương trình có dạng :
(ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ dạng 2:
Giải: Đk:
đặt : Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2
12
-
Bài tập tương tự: Giải các pt sau:
b>Giải và biện luận pt :
(ST)
13
nguon tai.lieu . vn
