Xem mẫu
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc
đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó,
tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.
k n!
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Cn =
k!(n − k)!
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :
n!
An =
k
, A n = Cn .Pk
k k
(n − k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Tam giác Pascal :
1 C0
0
1 1 0
1 2 1 C1 C1
1
0
1 3 3 1 C2 C2 C2
1
2
1 4 6 4 1 0
C3 C3 C3 C3
1 2
3
C0
4 C4 C4 C4 C 4
1 2 3
4
Tính chất :
C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k
n n , k n
Cn−1 + Cn = Cn+1
k k k
8. Nhị thức Newton :
* (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn
n n n
a = b = 1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2n
n n n
Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
C0,C1 ,..., n
n n Cn
* (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn
n n n
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0,C1 ,..., n
n n Cn bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ...
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ...
±1 ±2 β
- Cho a = ± 1, ± 2, ..., ∫ hay ∫ ... hay α
α
0 0
Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m
n
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
m r
k n −k
Can b = Kc d
k p q
m/ p∈ Z
Giải hệ pt : , tìm được k
r / q∈ Z
* k k
Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng
mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp
(bốc rồi xếp).
1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa
tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
b = c = 0
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ b ≠ 0
a = c/ b
a = bc
a/b = c ⇔ ; a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b
b≠ 0
a b = a 2n
a 2n
= b � a = � b, a =
2n 2n
b � �
��a 0
b = ±a
a= b ⇔ ,a = logα b ⇔ b = α a
a≥ 0
b = 0,c > 0
b> 0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔
a < c/ b
b< 0
a > c/ b
2. Giao nghiệm :
x> a x< a
⇔ x > max{, b ;
a } ⇔ x < min{, b
a }
x> b x< b
xp
x
Γ x >a
a a < x < b(ne� < b) < p q
ua
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
a. b (neáub≥ 0)
a,
ab =
− a. − b (neáub < 0)
a,
2
b. . : phá . bằng cách bình phương : a = a2 hay bằng định nghĩa :
a (neáu≥ 0)
a
a =
− a(neáu< 0)
a
b ≥ 0
a = b⇔ ; a = b ⇔ a = ±b
a = ±b
a � � − b �a �
b b
ab a 0
a � � b < 0hay �
b
a −−
�� b a b
a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0
c. Mũ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1.
a , 0
a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+ n
am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n
an.bn = (ab)n ; am = an � (m = n,0 < a � ) � a =1
1
m < n(neáu> 1)
a
am < an ⇔ , α = aloga α
m > n(neáu< a < 1)
0
d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
α
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa
loga(MN) = logaM + logaN ( N )
loga(M/N) = logaM – logaN ( N )
loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
1
logbc = logac/logab, log α M = loga M
a α
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
0 < M < N(ne� > 1)
ua
loga M N > 0(ne� < a < 1
u0 )
Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp
miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản : t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R
N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c.
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm
đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x)
= 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ( 0)
3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :
g= 0
S = x1 + x2
P = x .x
1 2
Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
∆ >0
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ P > 0
S> 0
∆ >0
x1 < x2 < 0 ⇔ P > 0
S< 0
* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
∆ >0 ∆ >0
α < x1 < x2 ⇔ a f (α ) > 0
. ; x1 < x2 < α ⇔ a f (α ) > 0
.
α < S/ 2 S/ 2 < α
β a.f(β) < 0 a.f (α ) < 0
β
α < x1 < β < x2 ⇔ α a.f(α ) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔ a f (β) > 0
.
αα < β α 0
3 nghiệm phân biệt ⇔
f (α ) ≠ 0
∆ > 0 ∆ = 0
2 nghiệm phân biệt ⇔ ∨
f (α ) = 0 f (α) ≠ 0
∆∆ =0
1 nghiệm ⇔∆ 0
2 nghiệm ⇔
yCÑ .yCT = 0
4 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∆ y' > 0
1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨
yCÑ .yCT > 0
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
∆ y' > 0
⇔
=
yuoán 0
d. So sánh nghiệm với α :
• x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) ,
đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C m) : y = ax3 + bx2 +
cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
∆ ∆ y' > 0
∆
< yC�.yCT < 0
α < x1 < x2 < x3 ⇔ <
α y(α) < 0
α x1
x2 x
3
αα < x
α CT
∆ y' > 0
y .y < 0
α
CÑ CT x1 x2
x1 < α < x2 < x3 ⇔ x3
y(α) > 0
α < xCT
∆ y' > 0
y .y < 0
CÑ CT
x1 < x2 < α < x3 ⇔
y(α) < 0
x1 α
x2 x3
xCÑ < α
α
∆ ∆ y' > 0
∆ x1 x2
< yC�.yCT < 0 x3
x1 < x2 < x3 < α ⇔ <
α y(α) > 0
αx < α
< CT
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
∆ >0
f (α) ≠ 0 f (α) = 0
2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔
∆ >0 ∆ =0
f (α) ≠ 0
∆ =0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨
f (α) = 0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
t = x2 ≥ 0
a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔
f (t) = 0
t = x2 ⇔ x = ± t
5 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∆ >0
P=0
4 nghiệm ⇔ P > 0 ; 3 nghiệm ⇔
S> 0 S> 0
P=0
P 0
S/ 2 = 0
∆ ≥0 S
S
VN ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0 ⇔∆ < 0 ∨> P > 0
S< 0 >S
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , . , log, mũ có thể giải trực tiếp, các
dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a+ b
a, b ≥ 0 : ≥ ab
2
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a+ b+ c 3
a, b, c ≥ 0 : ≥ abc
3
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯỢNG GIÁC +
0
1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M.
−2π 2π
Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của
π 1
( cung
−2π 0 2π
6 3 M
π 1
phần tư) và ( cung phần tư)
4 2
α
A 0
2kπ
x=α+ : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng x+k2
n tg
giác. sin
2. Hàm số lượng giác : M cotg
M
cos
3. Cung liên kết :
chiếu xuyên
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hichiπ (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). tâm
ệ u ếu
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
π
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
2
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba.
a
f. Đưa về t = tg : đưa lượng giác về đại số.
2
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
7 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
π π
sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π,
2 2
π
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ,
2
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
* Chia 2 vế cho a2 + b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
u
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t = tg )
2
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
� π� t2 − 1
Đặt : t = sinu + cosu = 2sin� + � n 2 t
u ,−i 2,sinu.cosu =
� 4� 2
8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
� π� t 2 −1
Đặt : t = sin u + cos u = 2 sin � +u �0 t
u c , 2 ,sin u.cos u =
� 4� 2
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
� π� 1− t2
Đặt : t = sinu − cosu = 2sin� − � = 2 t
u , −c 2,sinu.cosu =
� 4� 2
10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
� π� 1− t2
Đặt : t = sin u − cos u = 2 sin � −u �0 t
u c , 2 ,sin u.cos u =
� 4� 2
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức
1/cos u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
2
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
x
* t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
2
14. Phương trình đặc biệt :
u= 0
* u2 + v2 = 0 ⇔
v= 0
u= v
u= C
* u≤ C ⇔
v≥ C v= C
8 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
u≤ A
u= A
* v≤ B ⇔
u+ v = A + B v = B
sinu = 1 sinu = −1
* sinu.cosv = 1 ⇔ ∨
cos = 1 cos = −1
v v
sinu = 1 sinu = −1
* sinu.cosv = – 1 ⇔ ∨
cos = −1 cos = 1
v v
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
F(x) ± F(y) = m (1)
a. Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân,
x± y = n (2)
x+ y = a
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
x− y = b
F(x).F(y) = m
b. Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.
x± y = n
F(x) / F(y) = m
c. Dạng 3 : .
x± y = n
a c a+ c a− c
Dùng tỉ lệ thức : = ⇔ = biến đổi phương trình (1) rồi dùng
b d b+ d b− d
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán ∆ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
1 1 abc
* S = ah = absinC =
a = pr
2 2 4R
= p(p − a)(p − b)(p − c)
1
* Trung tuyến : ma = 2b2 + 2c2 − a2
2
A
2bccos
* Phân giác : ℓa = 2
b+ c
IV- TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
∫ f (x)dx= F(x) + C (C ∈ R)
uα+1
� = u + C ; �du = α + 1+ C ,
α
* du u α≠ –1
9 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
du
� = ln u + C; �du = e + C; ∫ a du= a / lna+ C
u u
eu u
u
=sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C
∫ du/ sin u = − cotgu+ C ; ∫ du/ cos u = tgu+ C
2 2
b
=f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
b
* a
a
a b a c b c
*
∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b
b b b b b
∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f
a a a a a
2. Tích phân từng phần :
� = uv − �
udv vdu
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
∫ x e , ∫ x sinx ; ∫ x cosx : u = x
n x n n n
a.
∫ x lnx : u = lnx
n
b.
∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx
x x x x
c.
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3. Các dạng thường gặp :
∫ sin x.cos x :
m 2n+1
a. u = sinx.
∫ cos x.sin x
m 2n+1
: u = cosx.
∫ sin x.cos x
2m 2n
: hạ bậc về bậc 1
∫ tg x / cos x
2m 2n
b. : u = tgx (n ≥ 0)
∫ cotg x / sin x :
2m 2n
u = cotgx (n ≥ 0)
c. ∫ chứa a – u 2 2
: u = asint
∫ chứa u – a 2 2
: u = a/cost
∫ chứa a + u 2 2
: u = atgt
d. ∫ R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx): u = tgx ∨u = cotgx
x
R đơn giản : u = tg
2
π/2
π
∫ :thöû u =
ñaët
2
−x
0
π
∫ :thöû u = π − x
ñaët
0
10 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∫ x (a+ bx ) , (m+ 1) / n∈ Z : u = a+ bx
m n p/ q q n
e.
n p/ q m+ 1 p
∫ x (a+ bx ) , n + q ∈ Z : u x = a+ bx
m q n n
f.
1
∫ dx/[(hx+ k) ax + bx+ c : hx+ k = u
2
g.
h. ∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax+ b) /(cx+ d)
i. ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx .
k m/n n k
4. Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
A A A2 An
x + a→ , (x + a)n → 1 + 2
+ ...+
x+ a x + a (x + a) (x + a)n
A (2ax+ b) B dx
ax2 + bx+ c(∆ < 0) → 2
+ 2 ∫ 2 (∆ < 0) = ∫ du/(u2 + a2) :ñaët= atgt
u
ax + bx+ c ax + bx+ c ax + bx+ c
5. Tính diện tích hình phẳng :
b
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x) dx
a
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b]
.
của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
b
(C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x) − g(x) dx
a
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
f(x)
b
α/ SD = =f(x) − g(x) dx
a
g(x)
b
x=a x=b y=b β/ SD = =f(y) − g(y) dy
g(y) f(y) a
y=a
Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác,
hàm mũ, hàm . .
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay −
( y = ...+ : treân = ...−
,y : döôùi = ...+
,x : phaûi = ...−
,x )
: traùi
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x)
11 a
http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
b
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
b
V = π ∫ [ f (x)] 2dx
a
b b f(y)
b. V = π ∫ [ f (y)] dy
2 a
a f(x)
b
g(x)
c. V = π ∫ [f 2(x) − g2(x)]dx
a a b
b
b
d. V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy g(y)
f(y)
a a
f(x) f(x) -g(x)
c b
e. V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx a b
a c
a c b
g(x
c b 0)
f. V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy
2 b f(y)
a c c
-g(y)
a
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
0 ∞
1. Tìm lim dạng , dạng 1 :
0
P(x) (x − a)P1(x) P
a. Phân thức hữu tỷ : lim (daïng/ 0) = lim
0 = lim 1
x→a Q(x) x→a (x − a)Q1(x) x→a Q1
f (x) sinu
b. Hàm lg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc
0 coâng lim =1
x→a g(x) u→0 u
f (x)
c. Hàm chứa căn : lim (daïng/ 0) , dùng lượng liên hiệp :
0
x→a g(x)
a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3
d.
∞
Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức lim(1+ u)1/ u = e
u→0
2. Đạo hàm :
f (x) − f (xo )
a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : f '(x0) = lim
x→xo x − xo
Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
/ /
f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . / /
Nếu f+ (xo ) = f− (xo ) thì f có đạo hàm tại xo.
+
x→xo −
x→xo
12 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info α
f(x) M
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
b. Ý nghĩa hình học :
k = tgα = f/(xM)
c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓
f// + : f lõm , f// – : f lồi
f / (xM ) = 0
d. f đạt CĐ tại M ⇔ //
f (xM ) < 0
f / (xM ) = 0
f đạt CT tại M ⇔ //
f (xM ) > 0
M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM.
1
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = αx
α α –1
, (lnx)/ = 1/x , ( loga x) x= , (ex)/ = ex
xlna
(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)] g(x) hay f(x) dạng
tích, thương, chứa n ...
/
f. Vi phân : du = u dx
3. Tiệm cận :
limy = ∞ ⇒ x = a : tcđ
x→a
x a
y y
lim y = b ⇒ y = b : tcn
x→∞
x − +
y b b
x − +
lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx
x→∞ y y
* Vẽ đồ thị có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
P(x)
* Xét y=
Q(x)
• Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng
bậc cao nhất của Q.
P1(x)
• Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : f (x) = ax+ b + , tcx là y = ax + b. Nếu Q =
Q(x)
x – α, có thể chia Honer.
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :
c
y = ax + b + (d≠ 0)
dx + e
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thị các hàm thường gặp :
13 a
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
a/ y = ax + b :
b/ y = ax2 + bx + c a>0
c/ y = ax3 + bx2 + c + d
a>0 a 0 :
0
a 0
e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)
ad - bc > 0 ad - bc < 0
ax2 + bx+ c
f/ y = (ad ≠ 0)
dx+ e
ad > 0 =0
>0
ad < 0
b
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) a b y=b
xa y
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m.
Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3,
trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
yC = yC/
a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : / /
. Nghiệm x của hệ là hoành
y C = y C/
độ tiếp điểm.
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
* Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số
lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số
lượng tiếp tuyến).
* // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
1
* ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhờ đk tx.
a
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n =
yC = yd
0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : / (1). Thế k vào
y C = k
(1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số
tiếp tuyến), tìm được xo hay yo.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm
chung.
* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung;
đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để
(C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm
chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨f(x) =
0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần.
f / (xo ) = 0
* f đạt cực đại tại xo ⇔ //
f (xo ) < 0
f / (xo ) = 0
f đạt cực tiểu tại xo ⇔ //
f (xo ) > 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ ∆f/ >0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α .
∆∆ f / > 0
∆
• 1 bên (Ox) ⇔ ∆
> yCD .yCT > 0
∆∆ f / > 0
∆
• 2 bên (Ox) ⇔ ∆
< yCD .yCT < 0
* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.).
* Tính yCĐ.yCT :
• Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
15 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
u
• Hàm bậc 2/ bậc 1 : y=
v
u (xCÑ ).u/ (xCT )
/
yCĐ.yCT = , dùng Viète với pt y/ = 0.
v/ (xCÑ ).v/ (xCT )
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc 3 : y = Cx + D
• Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +∞)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng
có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +∞)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
baäc
2
b. Biện luận sự biến thiên của y =
baäc
1
i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và
x1 + x2 p
=− .
2 m
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2
x1 + x2 p
và =− .
2 m
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền
đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số
nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log, , . , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của
t để cắt bớt đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) =
0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? xo ? (hay yo ?)
• Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a.
• Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y / = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3
nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị
có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
16 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
+ xM + xN = 2xI
+ y + y = 2y
+ M N I
+
= yM = f(xM )
= yN = f(xN )
=
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là
1
(d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của
a
AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.
c
14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ
dx+ e
c
c yM = axM + b +
yM = axM + b + dxM + e
dxM + e ⇔
c
xM ,yM ∈ Z
xM , ∈Z
dxM + e
c
yM = axM + b +
⇔ dxM + e
xM ∈ Z,dxM + e = öôùc cuûa
soá c
15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thị :
x< a f
f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔ b< x
x≤ a g
f ≤ g ⇔a ≤ x ≤ b , f ≥ g⇔
x≥ b a b
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
1. Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/)
k(a, b) = (ka, kb)
a = a/
(a, b) = (a , b ) ⇔
/ /
/
b= b
(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/
(a, b) = a2 + b2
rr
r r/ v.v /
cos( v ,v ) = r r/
v .v
AB = (xB − xA ,yB − yA ),AB = AB
MA = kMB
M chia AB theo tỉ số k ⇔
x − kxB y − kyB
⇔ xM = A , yM = A (k ≠ 1)
1− k 1− k
x + xB y + yB
M : trung điểm AB ⇔ xM = A , yM = A
2 2
17 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
xA + xB + xC
xM = 3
M : trọng tâm ∆ABC ⇔
yA + yB + yC
yM =
3
(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
/
v = (a, b,c),v = (a', b',c')
[ rr
] b c c a a b
v,v/ = / / , / / , / /
b c c a a b
rr r r rr
[ v ,v / ] = v . v / .sin( v ,v / )
rr rr
[v,v/ ] ⊥ v,v/
r r rr r r/ r r/ rr r
* v ⊥ v/ ⇔ v.v/ = 0 ; v // v v [ v ,v ] = 0 ; v,v/ ,v// đồng phẳng
rr r
⇔ [v, v/ ].v// = 0
S ABC =
∆
1
2
[
AB,AC ]
VS.ABC =
1
6
[
AB,AC .AS ]
/
V ABCD.A 'B'C'D' = [AB,AD].AA
uuu uuu
r r
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // AC
AH.BC = 0
* ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔
BH.AC = 0
AH.BC = 0
H là chân đường cao ha ⇔
BH // BC
∧ AB
M là chân phân giác trong
A ⇔ MB = − AC MC
∧ AB
M là chân phân giác ngòai ⇔ MB = + MC
A AC
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
∧ ∧
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ∆ABM với M là chân phân giác trong
B A
của ∆ABC.
2. Đường thẳng trong mp :
* Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
x = xo + at x − xo y − yo
(d) : , (d) : =
y = yo + bt a b
(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0
x y
* (d) qua A(a, 0); B(0,b) : + =1
a b
x − xA y − yA
* (AB) : =
xB − xA yB − yA
* (d) : Ax + By + C = 0 có v = (−B,A ) ; n = (A ,B)
18 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + CC= 0
* (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0
* (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì :
uu uur
r u
nd .nd / uu uur
r u
cosϕ = uu uur
r u
nd . nd /
( n cos( n ,n ))
d d/
AxM + ByM + C
* d(M,(d)) =
A 2 + B2
* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là :
Ax + By + C A / x + B/ y + C/
=±
A 2 + B2 A / 2 + B/ 2
nd.n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn –
d/
nd.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
d/
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp v , v' .
(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0
n =[ v , v' ]
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C).
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ( (P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
Axo + Byo + Czo + D
d(M,(P)) =
A 2 + B2 + C2
* (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ = cos( (P) ,n(P') )
n
* (P) ⊥ (P/) ⇔ n(P) ⊥ n(P') , (P) // (P/) ⇔ n(P) // n(P')
4. Đường thẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : n , n' :
x = xo + at
x − xo y − yo z − zo
(d) : y = yo + bt , (d) : = =
z = z + ct a b c
o
v = [ n , n' ]
x − xA y − yA z − zA
* (AB) : = =
xB − x A y B − y A z B − z A
+ Ax + By + Cz + D = 0
* (d) = (P) ∩ (P/) : +
+ A' x + B' y + C' z + D' = 0
* (d) qua A, vtcp v thì :
[AM , v ]
d(M,(d)) =
v
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :
cosϕ = cos(vd , v / )
d
19 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
sinϕ = cos(vd , np)
* (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n :
(d) cắt (P) ⇔ v.n ≠ 0
(d) // (P) ⇔ v. n = 0 và M ∉ (P)
(d) ⊂ (P) ⇔ v.n = 0 và M ∈ (P)
* (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v' :
(d) cắt (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB =0
(d) // (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∉ (d/)
(d) chéo (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB ≠ 0
(d) ≡ (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∈ (d/)
[ v , v' ] AB
* (d) chéo (d/) : d(d, d/) =
[ v , v' ]
* (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (∆) : tìm n = [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n
; (∆) = (P) ∩ (P/).
* (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/).
* (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
* (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/).
* (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//).
* (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/).
* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P);
(d/) = (P) ∩ (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương (∆) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)
// (∆); (d/) = (P) ∩ (Q).
5. Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A 2 + B2 − C
* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) :
(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0
* Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA .MB = MT2 = MI2 – R2 với
MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0
* (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt
⇔ R − R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ = R − R/ (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔
< R − R/ (không có tt chung).
6. Mặt cầu :
* Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.
* (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =
A 2 + B2 + C2 − D
* (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0
20 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
nguon tai.lieu . vn
