Xem mẫu
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Giai thừa : n! = 1.2...n
1.
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc
2.
đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó,
3.
tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.
4.
n!
k
Cn =
Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
5.
k!(n − k)!
Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :
6.
n!
An = , A n = Cn .Pk
k k k
(n − k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Tam giác Pascal :
C0
1
0
1 1 0
C1
C1 1
1 2 1
0
C2 C2
1
C2
1 3 3 1 2
1 4 6 4 1 0
C3 C3 C3
1 2
C3 3
C0 C4 C4 C4 C 4
1 2 3
4 4
Tính chất :
C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k
,k
n n n
Cn−1 + Cn = Cn+1
k k k
Nhị thức Newton :
8.
(a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn
* n n n
C0 + C1 + ... + Cn = 2n
a = b = 1 : ... n n n
Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
C0,C1 ,..., n
Cn
n n
(a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn
* n n n
C0,C1 ,..., n
Cn
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách :
n n
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ...
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ...
±1 ±2 β
∫ hay ∫ ... hay ∫
- Cho a = ± 1, ± 2, ...,
α
0 0
Chú ý :
Ck a n −k b k = Kx m
* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : n
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
m r
k n −k
b = Kc d
k p q
Can
m/ p∈ Z
Giải hệ pt : , tìm được k
r / q∈ Z
k k
Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng
*
mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp
(bốc rồi xếp).
1 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa
tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
b = c = 0
a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ b ≠ 0
Chuyển vế :
1.
a = c/ b
a = bc
a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b
a/b = c ⇔ ;
b≠ 0
b = a 2n
= b ⇔ a = ± b, a = b⇔
2n 2n 2n
a
a ≥0
b = ±a
,a = logα b ⇔ b = α a
a= b ⇔
a≥ 0
b = 0,c > 0
b> 0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔
a < c/ b
b< 0
a > c/ b
Giao nghiệm :
2.
x> a x< a
⇔ x > max{, b ; ⇔ x < min{, b
a} a}
x> b x< b
p
Γ
x> a a < x < b(neá a < b) p ∨ q
u
⇔ ⇔
;
x< b Γ
VN(neá a ≥ b)
u q
Γ
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
Công thức cần nhớ :
3.
: chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.
a.
b ≥ 0 b ≥ 0
a = b⇔ , a ≤ b⇔
2 2
a = b 0 ≤ a ≤ b
b < 0 b ≥ 0
a ≥ b⇔ ∨ 2
a ≥ 0 a ≥ b
2 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- P h ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
a. b (neáub≥ 0)
a,
ab =
− a. − b (neáub < 0)
a,
2
. . a = a2 hay bằng định nghĩa :
bằng cách bình phương :
b. : phá
a (neáu≥ 0)
a
a=
− a(neáu< 0)
a
b ≥ 0
a = b⇔ ; a = b ⇔ a = ±b
a = ±b
a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
b ≥ 0
a ≥ b ⇔ b < 0hay
a ≤ − b ∨ a ≥ b
a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0
y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1.
a, 0
c. Mũ :
a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+ n
am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n
an.bn = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1 ∨ a =1
)
m < n(neáu> 1)
a
, α = aloga α
am < an ⇔
m > n(neáu< a < 1)
0
log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
d.
α
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa
loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ )
loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
1
log α M = loga M
logbc = logac/logab,
α
a
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
0 < M < N(neáa > 1)
u
loga M < loga N ⇔
M > N > 0(neá 0 < a < 1
u )
Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp
miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
Đổi biến :
4.
t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R
Đơn giản
a. :
N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c.
Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
b.
Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t.
c.
Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
d.
Xét dấu :
5.
Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm
a.
đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu.
Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
b.
Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x)
c.
= 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
6.
(a ≠ 0)
f(x) = ax2 + bx + c = 0
3 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :
g= 0
S = x1 + x2
P = x .x
12
Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng ∆ , S, P để so sánh nghiệm với 0 :
∆ >0
0 < x1 < x2 ⇔ P > 0
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0,
S> 0
∆ >0
x1 < x2 < 0 ⇔ P > 0
S< 0
* Dùng ∆ , af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
∆ >0 ∆ >0
α < x1 < x2 ⇔ a f (α ) > 0 x1 < x2 < α ⇔ a f (α ) > 0
. .
;
α < S/ 2 S/ 2 < α
a.f(β) < 0 a.f (α ) < 0
α < x1 < β < x2 ⇔ a.f(α ) > 0 ; < β ⇔ a f (β) > 0
.
x1 < α < x2
α 0 ∆ = 0
∨
2 nghiệm phân biệt ⇔
f (α ) = 0 f (α) ≠ 0
∆ =0
⇔∆ 0
2 nghiệm ⇔
yCÑ .yCT = 0
4 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∆ y' > 0
1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨
yCÑ .yCT > 0
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
c.
∆ y' > 0
⇔
=
yuoán 0
So sánh nghiệm với α :
d.
• x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) ,
đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C m) : y = ax3 + bx2 +
cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
∆ y' > 0
α
x2 x
yCÑ .yCT < 0 x1
α < x1 < x2 < x3 ⇔ 3
y(α) < 0
α< x
CÑ
∆ y' > 0
y .y < 0
α
x2
CÑ CT x1
x1 < α < x2 < x3 ⇔ x3
y(α) > 0
α < xCT
∆ y' > 0
α
y .y < 0
CÑ CT x1
x1 < x2 < α < x3 ⇔ x2 x3
y(α) < 0
xCÑ < α
α
∆ y' > 0
x2
x1
yCÑ .yCT < 0 x3
x1 < x2 < x3 < α ⇔
y(α) > 0
x 0
f (α) = 0
f (α) ≠ 0
2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔
∆ >0 ∆ =0
f (α) ≠ 0
∆ =0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨
f (α) = 0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
Phương trình bậc 4 :
9.
t = x2 ≥ 0
ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔
Trùng phương :
a.
f (t) = 0
t
t = x2 ⇔ x = ±
5 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∆ >0
P=0
4 nghiệm ⇔ P > 0 ; 3 nghiệm ⇔
S> 0
S> 0
P=0
P 0
S/ 2 = 0
∆ ≥0
∨ P > 0 ⇔∆ < 0 ∨ P > 0
VN ⇔ ∆ < 0
S
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
,.
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , log, mũ có thể giải trực tiếp, các
dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a+ b
≥ ab
a, b ≥ 0 :
2
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a+ b+ c 3
≥ abc
a, b, c ≥ 0 :
3
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
+
III- LƯỢNG GIÁC
0
−2π 2π
Đường tròn lượng giác :
1.
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M.
Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π .
−2π 2π
π1 0
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của ( cung
63 M
π1
α
phần tư) và ( cung phần tư)
42 A0
2kπ
x+k2
x=α+ : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng
n tg
sin
giác.
M cotg
Hàm số lượng giác :
2.
M
cos
Cung liên kết :
3.
chiếu xuyên
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hichiπ (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π ). tâm
ệ u ếu
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
π
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
2
Công thức :
4.
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba.
a
t = tg : đưa lượng giác về đại số.
f. Đưa về
2
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
7 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ ,
π π
sinα = 1 ⇔ α = + k2π ; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π ,
2 2
π
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ ,
2
cosα = 1 ⇔ α = k2π , cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
6.
* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
a2 + b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
* Chia 2 vế cho
u
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t = tg )
2
Phương trình đối xứng theo sin, cos :
7.
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
π t2 − 1
2sin u + ,− 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu =
Đặt : t = sinu + cosu =
4 2
Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
8.
π t 2 −1
t = sin u + cos u = 2 sin u + , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
Đặt :
4 2
Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
9.
π 1− t2
t = sinu − cosu = 2sin u − , − 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu =
Đặt :
4 2
10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
π 1− t 2
t = sin u − cos u = 2 sin u − , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
Đặt :
4 2
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức
1/cos u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
2
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = cosx
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = sinx
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = tgx
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
* t = tg
2
14. Phương trình đặc biệt :
u= 0
u2 + v2 = 0 ⇔
*
v= 0
u= v
u= C
u≤ C ⇔
*
v= C
v≥ C
8 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
u≤ A
u= A
v≤ B ⇔
*
u+ v = A + B v = B
sinu = 1 sinu = −1
∨
* sinu.cosv = 1 ⇔
cos = 1 cos = −1
v v
sinu = 1 sinu = −1
∨
sinu.cosv = – 1 ⇔
*
cos = −1 cos = 1
v v
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
F(x) ± F(y) = m (1)
a. Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân,
x± y = n (2)
x+ y = a
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
x− y = b
F(x).F(y) = m
b. Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.
x± y = n
F(x) / F(y) = m
Dạng 3 :
c. .
x± y = n
a+ c a− c
ac
=⇔ =
Dùng tỉ lệ thức : biến đổi phương trình (1) rồi dùng
b+ d b− d
bd
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán ∆ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π ) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π /2)
A + B ∈ (0, π ) ; (A + B)/2 ∈ (0, π /2) ;
A – B ∈ (– π , π ) , (A – B)/2 ∈ (– π /2, π /2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
1 1 abc
S = ah = absinC = = pr
* a
2 2 4R
= p(p − a)(p − b)(p − c)
1
2b2 + 2c2 − a2
Trung tuyến : ma =
*
2
A
2bccos
2
* Phân giác : ℓa =
b+ c
IV- TÍCH PHÂN
Định nghĩa, công thức, tính chất :
1.
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
∫ f (x)dx= F(x) + C (C ∈ R)
uα+1
∫ du = u + C ; ∫ u du = α + 1+ C ,
α
α≠ –1
*
9 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
du
∫ u = ln u + C; ∫ e du = e + C; ∫ a du= a / lna+ C
u u
u u
∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C
∫ du/ sin u = − cotgu+ C ; ∫ du/ cos u = tgu+ C
2 2
b
∫ f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
b
* a
a
a b a c b c
∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b
*
b b b b b
∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f
a a a a a
Tích phân từng phần :
2.
∫ udv = uv − ∫ vdu
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
∫ x e , ∫ x sinx ; ∫ x cosx : u = x
nx n n n
a.
∫ x lnx : u = lnx
n
b.
∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx
x x x x
c.
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
Các dạng thường gặp :
3.
∫ sin x.cos x :
2n+1
m
a. u = sinx.
∫ cos x.sin x
2n+1
m
: u = cosx.
∫ sin x.cos x
2m 2n
hạ bậc về bậc 1
:
∫ tg x / cos x
2m 2n
u = tgx (n ≥ 0)
b. :
∫ cotg x / sin x :
2m 2n
(n ≥ 0)
u = cotgx
∫ chứa a – u 2 2
c. : u = asint
∫ chứa u – a 2 2
: u = a/cost
∫ chứa a + u 2 2
: u = atgt
∫ R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ
d.
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx): u = tgx ∨u = cotgx
x
u = tg
R đơn giản :
2
π/2
π
∫ :thöû u = −x
ñaët
2
0
π
∫ :thöû u = π − x
ñaët
0
10 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∫ x (a+ bx ) , (m+ 1) / n∈ Z : u = a+ bx
m n p/ q q n
e.
n p/ q m+ 1 p
∫ x (a+ bx ) , n + q ∈ Z : u x = a+ bx
m qn n
f.
1
∫ dx/[(hx+ k) ax + bx+ c : hx+ k = u
2
g.
∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax+ b) /(cx+ d)
h.
∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx .
k m/n n k
i.
Tích phân hàm số hữu tỷ :
4.
∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q
Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0)
*
Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
*
A A A2 An
, (x + a)n → 1 +
x + a→ + ...+
2
(x + a)n
x+ a x + a (x + a)
A (2ax+ b) B dx
∫ 2 (∆ < 0) = ∫ du/(u2 + a2) :ñaët= atgt
ax2 + bx+ c(∆ < 0) → +2 u
2
ax + bx+ c ax + bx+ c ax + bx+ c
Tính diện tích hình phẳng :
5.
b
SD = ∫ f (x) dx
D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :
a.
a
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b]
.;
của đường tròn lượng giác.
D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
b.
b
SD = ∫ f (x) − g(x) dx
(C') : y = g(x) :
a
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
c.
f(x)
b
SD = ∫ f(x) − g(x) dx
α/
a
g(x)
b
SD = ∫ f(y) − g(y) dy
β/
x=a x=b y=b
g(y) a
f(y)
y=a
Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp β ) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác,
.
hàm mũ, hàm .
+ −
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn hay
( y = ...+ )
: treân = ...− : döôùi = ...+ : phaûi = ...−
,y ,x ,x : traùi
Tính thể tích vật thể tròn xoay :
6.
D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :
a. f(x)
a
11 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
b
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
b
V = π ∫ [ f (x)] 2dx
a
b f(y)
b
V = π ∫ [ f (y)] dy a
2
b.
f(x)
a
b
g(x)
V = π ∫ [f 2(x) − g2(x)]dx
c.
b
a
a
b
b
V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy f(y)
d. g(y)
a a
f(x) f(x) -g(x)
c b
a
V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx b
e.
a c
c
a b
g(x
0)
c b
b f(y)
V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy
2
f.
c
a c
-g(y)
a
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
0 ∞
Tìm lim dạng , dạng 1 :
1.
0
(x − a)P1(x)
P(x) P
= lim 1
(daïng/ 0) = lim
Phân thức hữu tỷ : lim 0
a.
x→a (x − a)Q1(x)
x→a Q(x) x→a Q1
f (x) sinu
=1
Hàm lg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc
0 coâng lim
b.
x→a g(x) u→0 u
f (x)
Hàm chứa căn : lim (daïng/ 0) , dùng lượng liên hiệp :
0
c.
x→a g(x)
, a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3
a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá
lim(1+ u)1/ u = e
∞
Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức
d.
u→0
Đạo hàm :
2.
f (x) − f (xo )
f '(x0) = lim
Tìm đạo hàm bằng định nghĩa :
a.
x − xo
x→xo
Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
/ /
f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . / /
Nếu f+ (xo ) = f− (xo ) thì f có đạo hàm tại xo.
+ −
x→xo x→xo
α
12 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
f(x) M
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
Ý nghĩa hình học :
b.
k = tgα = f/(xM)
f/ + : f ↑ f/ – : f ↓
c. ,
f// – : f lồi
f// + : f lõm ,
f / (xM ) = 0
f đạt CĐ tại M ⇔ //
d.
f (xM ) < 0
f / (xM ) = 0
//
f đạt CT tại M ⇔
f (xM ) > 0
M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM.
1
( loga x) ′ =
α α –1
Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = αx , (lnx)/ = 1/x , , (ex)/ = ex
e.
xlna
(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)] g(x) hay f(x) dạng
tích, thương, chứa n ...
/
f. Vi phân : du = u dx
Tiệm cận :
3.
limy = ∞ ⇒ x = a : tcđ
x→a
x a
∞ ∞
y
lim y = b ⇒ y = b : tcn
x→∞
−∞ +∞
x
y b b
−∞ +∞
x
lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx
∞ ∞
x→∞ y
Vẽ đồ thị có tiệm cận :
*
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
P(x)
y=
* Xét
Q(x)
• Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞ , tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng
bậc cao nhất của Q.
P1(x)
f (x) = ax+ b +
• Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : , tcx là y = ax + b. Nếu Q =
Q(x)
x – α, có thể chia Honer.
Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :
*
c
y = ax + b + (d≠ 0)
dx + e
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thị các hàm thường gặp :
a
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
a/ y = ax + b :
a>0
b/ y = ax2 + bx + c
c/ y = ax3 + bx2 + c + d
a0
a> 0 :
=0
0
a0
a 0
e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)
ad - bc > 0 ad - bc < 0
ax2 + bx+ c
(ad ≠ 0)
f/ y =
dx+ e
ad > 0 =0
>0
ad < 0
b
g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)
a b y=b
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)
xa y
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m.
Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3,
trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
yC = yC/
/
(C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành
a.
/
y C = y C/
độ tiếp điểm.
Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
b.
* Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
* Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số
lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số
lượng tiếp tuyến).
* // (∆ ) : y = ax + b : (d) // (∆ ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
1
−
* ⊥ (∆ ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆ ) ⇒ (d) : y = x + m. Tìm m nhờ đk tx.
a
Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n =
c.
yC = yd
/
0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : (1). Thế k vào
y C = k
(1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số
tiếp tuyến), tìm được xo hay yo.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm
chung.
* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung;
đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để
(C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm
chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨f(x) =
0 : lập ∆ , xét dấu ∆ , giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần.
f / (xo ) = 0
f đạt cực đại tại xo ⇔ //
*
f (xo ) < 0
f / (xo ) = 0
f đạt cực tiểu tại xo ⇔ //
f (xo ) > 0
∆f/
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ >0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α .
∆f/ > 0
• 1 bên (Ox) ⇔
yCD .yCT > 0
∆f/ > 0
• 2 bên (Ox) ⇔
yCD .yCT < 0
* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.).
* Tính yCĐ.yCT :
• Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
15 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
u
y=
• Hàm bậc 2/ bậc 1 :
v
u (xCÑ ).u/ (xCT )
/
, dùng Viète với pt y/ = 0.
yCĐ.yCT =
v/ (xCÑ ).v/ (xCT )
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc 3 : y = Cx + D
• Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +∞ )
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng
có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +∞ )
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
baäc
2
Biện luận sự biến thiên của y =
b.
baäc
1
i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và
x1 + x2 p
=− .
2 m
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2
x1 + x2 p
=− .
và
2 m
Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền
c.
đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số
nghiệm = số điểm chung.
,.
Với pt mũ, log, , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của
b.
t để cắt bớt đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) =
0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?)
• Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a.
• Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y / = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3
nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị
có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
16 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
xM + xN = 2xI
y + y = 2y
M N I
yM = f(xM )
yN = f(xN )
Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là
d.
1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của
(d') : y = –
a
AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.
c
14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ
dx+ e
c
yM = axM + b +
c
yM = axM + b + dxM + e
dxM + e
⇔
c
xM ,yM ∈ Z xM , ∈Z
dxM + e
c
yM = axM + b +
dxM + e
⇔
xM ∈ Z,dxM + e = öôùc cuûa
soá c
15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thị :
x< a f
f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔ b< x
x≤ a g
f ≤ g ⇔a ≤ x ≤ b , f ≥ g⇔
x≥ b a b
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Tọa độ , vectơ :
1.
* (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/)
k(a, b) = (ka, kb)
a = a/
(a, b) = (a , b ) ⇔
/ /
/
b= b
(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/
(a, b) = a2 + b2
rr
v.v /
r r/
cos( v ,v ) = r r/
v .v
AB = (xB − xA ,yB − yA ),AB = AB
MA = kMB
M chia AB theo tỉ số k ⇔
x − kxB y − kyB
⇔ xM = A , yM = A (k ≠ 1)
1− k 1− k
x + xB y + yB
M : trung điểm AB ⇔ xM = A , yM = A
2 2
17 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
xA + xB + xC
xM = 3
M : trọng tâm ∆ ABC ⇔
yA + yB + yC
yM =
3
(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
/
v = (a, b,c),v = (a', b',c')
[ ] b c c a a b
rr
v,v/ = / / , / / , / /
b c c a a b
rr rr rr
[ v ,v / ] = v . v / .sin( v ,v / )
rr rr
[v,v/ ] ⊥ v,v/
r r/ r r/ rr r
rr rr
v ⊥ v/ ⇔ v.v/ = 0 ; v // v ⇔ [ v ,v ] = 0 ; v,v/ ,v// đồng phẳng
*
rr r
⇔ [v, v/ ].v// = 0
[ ]
1
S ABC = AB,AC
∆ 2
[ ]
1
VS.ABC = AB,AC .AS
6
/
V ABCD.A 'B'C'D' = [AB,AD].AA
uuu uuu
r r
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // AC
AH.BC = 0
* ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔
BH.AC = 0
AH.BC = 0
H là chân đường cao ha ⇔
BH // BC
AB
∧
A ⇔ MB = − AC MC
M là chân phân giác trong
AB
∧
⇔ MB = + MC
M là chân phân giác ngòai
A AC
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
∧ ∧
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ∆ ABM với M là chân phân giác trong
B A
của ∆ ABC.
Đường thẳng trong mp :
2.
v
* Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
x = xo + at x − xo y − yo
=
, (d) :
(d) :
y = yo + bt a b
(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0
xy
+ =1
* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :
ab
x − xA y − yA
=
* (AB) :
xB − xA yB − yA
v = (−B,A ) ; n = (A ,B)
* (d) : Ax + By + C = 0 có
18 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
C′
* (d) // (∆ ) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + =0
* (d) ⊥ (∆ ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0
* (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì :
uu uur
ru
nd .nd / uu uur
ru
( ≠ cos( n ,n ))
cosϕ = uu uur
ru d d/
nd . nd /
AxM + ByM + C
* d(M,(d)) =
A 2 + B2
* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là :
A / x + B/ y + C/
Ax + By + C
=±
A 2 + B2 A / 2 + B/ 2
nd.n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn –
d/
nd.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
d/
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
n v , v' .
* Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : = (A, B, C) hay 2 vtcp
(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0
n v , v' ]
=[
n
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có = (A, B, C).
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
Axo + Byo + Czo + D
d(M,(P)) =
A 2 + B2 + C2
* (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ = cos( (P) ,n(P') )
n
n(P) ⊥ n(P') , (P) // (P/) ⇔ n(P) // n(P')
* (P) ⊥ (P/) ⇔
4. Đường thẳng trong không gian :
v n , n'
* Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : :
x = xo + at
x − xo y − yo z − zo
y = yo + bt , (d) : = =
(d) :
a b c
z = z + ct
o
v = [ n , n' ]
x − xA y − yA z − zA
= =
* (AB) :
xB − x A y B − y A z B − z A
Ax + By + Cz + D = 0
* (d) = (P) ∩ (P/) :
A' x + B' y + C' z + D' = 0
v
* (d) qua A, vtcp thì :
[AM , v ]
d(M,(d)) =
v
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :
cos(vd , v / )
cosϕ =
d
19 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
cos(vd , np)
sinϕ =
v , (P) có pvt n
* (d) qua M, vtcp :
v.n
(d) cắt (P) ⇔ ≠0
v. n
(d) // (P) ⇔ = 0 và M ∉ (P)
v.n
(d) ⊂ (P) ⇔ = 0 và M ∈ (P)
v ; (d /) qua B, vtcp v'
* (d) qua A, vtcp :
v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB
(d) cắt (d/) ⇔ [ =0
v , v' ] = 0 , A ∉ (d/)
(d) // (d/) ⇔ [
v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB
(d) chéo (d/) ⇔ [ ≠0
v , v' ] = 0 , A ∈ (d/)
(d) ≡ (d/) ⇔ [
[ v , v' ] AB
* (d) chéo (d/) : d(d, d/) =
[ v , v' ]
n = [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n
* (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (∆ ) : tìm
; (∆ ) = (P) ∩ (P/).
* (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/).
* (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
* (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/).
* (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//).
* (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/).
* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P).
* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P);
(d/) = (P) ∩ (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương (∆ ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)
// (∆ ); (d/) = (P) ∩ (Q).
5. Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
A 2 + B2 − C
* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R =
* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) :
(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0
* Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA .MB = MT2 = MI2 – R2 với
MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0
* (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt
R − R/ R − R/
⇔ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ = (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔
R − R/
< (không có tt chung).
6. Mặt cầu :
* Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.
* (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =
A 2 + B2 + C2 − D
* (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0
20 http://hoiphuonghoangvn.7f orum.info
nguon tai.lieu . vn
