Xem mẫu
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
Đ THI CH NG CH CAO H C
CƠ S GI I TÍCH HI N Đ I - KHÓA 15
Th i gian làm bài: 150 phút
Câu I. Cho (X, T ) là m t không gian tôpô. Ch ng minh r ng
1. V i m i t p A trù m t trong X và m i t p m U ⊂ X ta có
U = U ∩ A.
2. V i m i t p đóng F ⊂ X và m i t p A ⊂ X ta có
int(F ∪ intA) = int(F ∪ A).
3. V i m i t p A ⊂ X ta có X\A = X\intA.
Câu II. Kí hi u X = R, F = { k | k ∈ Z∗ }. V i m i n ∈ N∗ , m i x ∈ X , ta đ t
1
1 1
Vn (x) = (x − n , x + n ) và
{Vn (x) | n ∈ N∗ } n ux=0
B(x) = ∗} n u x = 0
{Vn (x)\F | n ∈ N
Ch ng minh r ng h {B(x) | x ∈ X} xác đ nh m t tôpô trên X sao cho B(x)
là m t cơ s lân c n c a đi m x, và v i tôpô này X là T2 − không gian nhưng
không ph i là T3 −không gian.
Câu III. Cho X = {x = (xn )∞ | xn ∈ Rv i m in ∈ N∗ }.
n=1
1. V i m i n ∈ N∗ ta đ t pn (x) = |xn | v i m i x ∈ X . Ch ng minh r ng
P = {pn | n ∈ N∗ } là h các n a chu n trên X và tách. Suy ra X v i tôpô
T sinh b i h n a chu n P là l i đ a phương.
2. V i x = (xn )n , y = (yn )n ∈ X ta đ t
∞
|xn − yn |
d(x, y) = 2−n
1 + |xn − yn |
n=1
Ch ng minh r ng (X, d) là m t không gian mêtric.
3. G i T∞ là tôpô sinh b i mêtric d. Ch ng minh r ng m i dãy trong X h i t
theo T∞ thì h i t theo tôpô T . Hai tôpô T và T∞ có tương đương không?
Câu IV. Cho µ là m t đ đo và f là m t hàm kh tích ng v i đ đo µ. V i
m i t p đo đư c E ta đ t
ν(E) = f dµ.
E
Ch ng minh ν là m t đ đo có d u và liên t c tuy t đ i đ i v i µ.
——————————————————————————————–
Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
B GIÁO D C & ĐÀO T O Đ THI CH NG CH CAO H C - K15
Đ I H C HU Môn thi: MAPLE - L TEXA
TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M Th i gian làm bài: 120 phút
Câu I. Cho đa th c f = x3 − 5x2 + 4x + 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple đ ch ng t f b t kh quy
2. G i α là m t nghi m c a f . Tìm d ng nhân t hóa c a f trong Q(α)[x]
3. Ch ng t f có 3 nghi m th c. Xác đ nh 3 nghi m th c đó.
Câu II. Vi t ít nh t m t th t c b ng Maple đư c ch n trong b ng các đ tài
l p trình đã cho. N p file .mws ch y trong Maple 9.5.
Câu III. So n th o văn b n trang 2 b ng L TEX. N p file tex ch y trong
A
MikTex, dùng gói ti ng Vi t
\usepackage[tcvn]{vietnam}
Câu IV. Trình chi u văn b n trang 2 b ng đ nh d ng pdf. N p file pdf.
————————————————H t————————————————
Ghi chú: Sinh viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
1
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
1 ĐA T P AFIN
1.1 Đ NH LÍ KHÔNG ĐI M HILBERT
Đ nh lí 1 (Không đi m Hilbert, d ng 2). Cho m r ng trư ng K ⊂ L và l √
đóng đ i s . Khi đó m i iđêan J ⊂ K[x1 , x2 , ..., xn ], ta có I(Z(J)) = J .
√ ng minh. Ta ch ng minh r ng đ nh lí trên tương đương v i (7). Ta đa bi t
Ch
J ⊂ I(Z(J)). V i f ∈ I(Z(J)) và f = 0. Xét iđêan J1 c a K[x1 , x2 , ..., xn , t] sinh ra
b i J và f t−1. N u có (a1 , a2 , ..., an , t) ∈ An+1 thu c Z(J1 ) thì (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Z(J)
L
và do đó t0 f (a1 , a2 , ..., an ) − 1 = −1. M t khác, do (a1 , a2 , ..., an , t0 ) ∈ Z(J1 ) ta có
t0 f (a1 , a2 , ..., an ) − 1 = 0. Vô lí. V y Z(J1 ) = ∅ . Suy ra J1 = (1). T n t i bi u di n
n
1= gi fi + (tf − 1)g, v i fi ∈ J, g, gi ∈ K[x1 , x2 , ..., xn , t]
i=1
Xét ánh x
β : K[x1 , x2 , ..., xn , t] −→ K(x1 , x2 , ..., xn , t)
xi −→ xi
1
t −→
f
n
hi
Khi đó 1 = β(gi )fi . Đ t β(gi ) = f ni v i hi ∈ K[x1 , x2 , ..., xn ] và r = max{n1 , n2 , ..., nm }.
i=1 √
Khi đó f r ∈ (f1 , ..., fm ) ⊂ J . V y f ∈ J . Ngư c l i, t (9), n u Z(J) = 0 thì ta
√
có J = I(∅) = K[x1 , x2 , ..., xn ]. Suy ra J = K[x1 , x2 , ..., xn ]. Vô lí.
Đ nh lí 2 (Không đi m Hilbert). Cho J ⊂ K[x1 , x2 , ..., xn ] là m t iđêan và
f ∈ I(Z(J)). Khi đó t n t i r ∈ N sao cho f r ∈ J .
1.2 CHI U C A (T A) ĐA T P AFIN
M nh đ 3.
(i) Các ánh x I và Z đ o ngư c th t bao hàm.
(ii) V i m i Y1 , Y2 ⊂ An , ta có I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ) .
√
(iii) Cho J là m t iđêan tùy ý c a K[x1 , ..., xn ]. Khi đó I(Z(J)) = J.
(iv) Cho Y ⊂ An . Khi đó Z(I(Y )) = Y .
2
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
B GIÁO D C & ĐÀO T O Đ THI CH NG CH CAO H C - K16
Đ I H C HU Môn thi: MAPLE - L TEXA
TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M Th i gian làm bài: 120 phút
Câu I. Cho đa th c f = x3 + 5x2 + 2x − 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple đ ch ng t f b t kh quy.
2. Ch ng t f có 3 nghi m th c. Xác đ nh 3 nghi m th c (g n đúng) đó.
3. G i α là m t nghi m c a f , hãy bi u di n (α2 − 1)−1 ∈ Q(α) như m t đa
th c theo α có b c không quá 2.
4. Phân tích f thành tích các nhân t b c nh t trong m t trwongf m r ng
c a Q.
S n ph m n p là file .mws ch y trong Maple 9.5.
Câu II. Hãy đưa ra vài ng d ng c a Maple trong gi ng d y toán ph thông và
đ i h c. Nêu các bình lu n v vi c s d ng Maple trong nghiên c u và gi ng d y.
Câu III. So n th o văn b n sau (đ thi m u)1 b ng L TEX. N p file tex ch y
A
trong MikTex, dùng gói ti ng Vi t
\usepackage[utf8]{vietnam}
Câu IV. Trình chi u văn b n sau (đ thi m u) b ng đ nh d ng pdf. N p file pdf.
———————————————H t———————————————
Ghi chú: Sinh viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
1
Xem văn b n trang 4 - C.M.Q
3
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
B GIÁO D C & ĐÀO T O H và tên thí sinh:.....................................
Đ I H C HU S báo danh: .............................................
TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M
Đ THI M U
Môn thi: Đ I S
Th i gian làm bài: 120 phút
—————————————————————————————————————
Câu I. Trên t p h p G = [0, 1) = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}, xét phép toán ⊕ đ nh b i
∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] ( đây [x + y] là ph n nguyên c a x + y ).
Ch ng minh:
1) (G,⊕) là m t nhóm aben;
2) Ánh x f : G −→ C∗ đ nh b i f = cos(2πx) + isin(2πx), là m t đ ng c u
nhóm t G vào nhóm nhân các s ph c khác 0.
Câu II. Cho A và B là các iđêan c a vành R. Vành R đư c g i là t ng tr c ti p
c a các iđêan A và B , kí hi u R = A ⊕ B , n u R = A + B và A ∩ B = {0}. Ch ng
minh r ng:
1) R = A ⊕ B n u và ch n u m i ph n t x ∈ R đ u bi u th duy nh t dư i
d ng x = a + b trong đó a ∈ A, b ∈ B .
2) Vành s nguyên Z ch có s phân tích t m thư ng, t c là n u Z = A ⊕ B
thì A = {0} ho c B = {0}.
Câu III. Cho T là m t phép bi n đ i tuy n tính c a khôg gian vec tơ V và
x ∈ V . Ch ng minh r ng n u t n t i s m nguyên dương sao cho T m (x) = 0 và
T m−1 (x) = 0 thì h (x, T (x), ..., T m−1 (x)) đ c l p tuy n tính.
Câu IV. Cho A ∈ M (n, K), v i n ≥ 2, là m t ma tr n vuông c p n l y h t
trong trư ng K . Kí hi u A là ma tr n ph h p c a A. Ch ng minh r ng:
1) N u A không suy bi n thì A không suy bi n.
2) N u rank(A) = n − 1 thì rank(A) = 1.
3) N u rank(A) ≤ n − 2 thì A = 0.
Câu V. Cho A là m t ma tr n vuông c p n trên trư ng F . Ch ng minh r ng:
rank(A) − rank(A2 ) ≥ rank(A2 ) − rank(A3 ).
Hãy t ng quát hóa k t qu trên.
———————————————————————————————–
Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
4
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
Đ THI CH NG CH CAO H C
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 15
Th i gian làm bài: 150 phút
Câu I. Phát bi u và ch ng minh đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m đ a phương
c a bài toán Cauchy cho h phương trình vi phân c p m t.
Câu II. Gi i các phương trình vi phân sau:
1. y + 2y = y 2 ex
2. y(x + y)dx + (xy + 1)dy = 0
Câu III. Gi i h phương trình vi phân sau b ng cách tìm h tích phân đ u đ y
đ
y 1 = y1
x
y2
y2 = y1 + x
Câu IV. Tìm nghi m t ng quát c a h phương trình vi phân sau
y1 = 2y1 − y2 + y3
y = y1 + 2y2 − y3
2
y3 = y1 − y2 + 2y3
——————————————————————————————
Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
Đ THI CH NG CH CAO H C
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - KHÓA 16
Th i gian làm bài: 150 phút
Câu I. Phát bi u và ch ng minh đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m đ a phương
c a bài toán Cauchy cho h phương trình vi phân thư ng.
Câu II. Gi i các phương trình vi phân sau:
1. (1 − 2xy)y = y(y − 1)
y+2
2. y = 2( x+y−1 )2
Câu III. Gi i h phương trình vi phân sau
x1 = −3x1 + 4x2 − 2x3
x = x1 + x3
2
x3 = 6x1 − 6x2 + 5x3
Câu IV. Gi i phương trình vi phân sau
y − 2y + 5y = 2xex + ex sin2x.
——————————————————————————————–
Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
- www.mathvn.com
-Eˆ ´.
D` THI CHU NG CHI CAO HOC, Kh´a 13
’ o
.
e a ´
Chuyˆn ng`nh TOAN, Mˆn thi : Giai tı
o ’ ´ch ham
`
- ` sˆ : 01. Th`.i gian l`m b`i: 150 ph´t
e ´
Dˆ o o a a u
` o ¯. ’
Cˆu I. Cho X, Y la hai khˆng gian d inh chuˆ n v` (Aα )α∈I ⊂ L(X, Y ).
a a a
´ e . ´ `
1. Ky hiˆu Cn = {x ∈ X| sup Aα x < n}, n ∈ N. Biˆ t r˘ ng sup Aα = +∞.
e a
α∈I α∈I
◦
Ch´.ng minh r˘ ng
u `
a Cn = ∅, v´.i moi n ∈ N.
o .
’ ’
2. Gia su n . A ∈ L(X, Y ) la mˆt da y sao cho v´.i moi x ∈ X ta co A x → 0, n →
` o ˜ o ´ n
. .
u. d ˆy co suy ra d u.o.c A → 0 khˆng? Tai sao?
+∞. T` ¯a ´ ¯ . o
n .
. a o ¯. ’
a a a ´
Cˆu II. K´ hiˆu X = C[0,1] l` khˆng gian d inh chuˆ n c´c h`m sˆ liˆn tuc trˆn
a y e o e . e
[0, 1] v´
o.i chuˆ n “max”.
a’
1. Ky hiˆu P la tˆp tˆ t ca ca c d a th´.c p(x) xa c d inh trˆn [0, 1] co bˆc ≤ n.
´ e . . ´
` a a ’ ´ ¯ u ´ ¯. e ´ a
.
Ch´ u.ng minh r˘ ng P la mˆt tˆp d ´ng trong C
`
a ` o a ¯o .
. . [0,1]
a ’
2. X´t to´n tu
e . tuyˆn t´ A : X → X x´c d inh bo.i cˆng th´.c
´
e ınh a ¯. ’ o u
t
x → Ax, (Ax)(t) = x(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C[0,1].
0
Ch´.ng minh A l` mˆt to´n tu. compact va ∀α ∈ (0, 1) th` I + αA l` mˆt ph´p
u a o. a ’ ` ı a o . e
d` ng phˆi tuyˆn t´ t`
¯ˆ
o o ´
e ınh u . X lˆn X (I l` ´nh xa d` ng nhˆ t). To´n tu. I + A c´
e aa ¯ˆ
o ´
a a ’ o
.
’ a a ’
phai l` to´n tu. compact khˆng?
o
Cˆu III. Cho X l` mˆt khˆng gian d inh chuˆ n.
a a o
. o ¯. a’
1. Ch´.ng minh r˘ ng phˆn trong cua hı
u `
a `
a ` ¯o ` `nh cˆu mo.
’ `nh cˆu d´ ng B (x0 , r) la hı
a `a ’
B(x0 , r).
2. Cho f ∈ X ∗ , N = Ker f va x ∈ X \ N. Gia su. tˆn tai y ∈ N sao cho d(x, N ) =
` ’ ’ ` .
o
u
x − y . Ch´.ng minh r˘ ng tˆn tai x ∈ X, x = 1 sao cho f = |f (x )|.
`
a ` . 0
o 0 0
Cˆu IV. Cho H l` khˆng gian Hilbert trˆn tru.`.ng K va A ∈ L(H).
a a o e o `
1. Ch´.ng minh r˘ ng A la mˆt toa n tu. compact khi va chı khi, v´.i moi (xn )n ⊂
u `
a ` o. ´ ’ ` ’ o .
w w
H, (yn )n ⊂ H, nˆ ´u xn → x va yn → y thı Axn , yn → Ax, y khi n → +∞.
e ` `
’ ’
2. Gia su . A = A∗ va λ ∈ K khˆng phai la mˆt gia tri riˆng cua A. Ch´.ng minh
` o ’ ` o ´ . e ’ u
.
`
r˘ ng R(A − λI) tru mˆt kh˘ p no
a ` a ´
a .i trong H.
.
3. Cu ng gia su. r˘ ng A = A∗ va thˆm Am la mˆt toa n tu. compact v´.i m la mˆt
˜ ’ ’ a ` ` e ` o . ´ ’ o ` o.
´
sˆ nguyˆn du
o e .o.ng nao d´ . Ch´.ng minh r˘ ng A cu ng la mˆt toa n tu. compact.
` ¯o u `
a ˜ ` o ´ ’
.
————————————————————————————–
Ghi ch´: Hoc viˆn d u.o.c ph´p su. dung t`i liˆu dˆ l`m b`i nhu.ng khˆng d u.o.c
u . e ¯ . e ’ . a e ¯e a
. ’ a o ¯ .
trao d ˆ
¯o’i, thao luˆn v´
’ a o .i nhau.
.
22
- www.mathvn.com
ˆ
-E ´.
D` THI CHU NG CHI CAO HOC
’
.
Chuyˆn ng`nh TOAN, K.14 Mˆn thi : GIAI T´
e a ´ o ’ `
ICH HAM
Dˆ sˆ : 1. Th`.i gian l`m b`i: 150 ph´ t
-` o
e ´ o a a u
a ´ e . ` o ¯i ’
Cˆu I. Ky hiˆu X = C[0,2] la khˆng gian d .nh chuˆ n ca c ham liˆn tuc trˆn d oan
a ´ ` e . e ¯ .
[0, 2] v´
o.i chuˆ n “max”.
a’
1 2
1. D˘t f : X → R xa c d .nh bo.i cˆng th´.c f (x) =
-a
. ´ ¯i ’ o u x(t)dt − x(t)dt. Ch´.ng
u
0 1
minh r˘ ng f ∈ X ∗ va ha y tı
`
a ` ˜ ´nh f .
2. Xe t toa n tu. A ∈ L(X) xa c d inh bo.i X
´ ´ ’ ´ ¯. ’ x → Ax, trong d´ (Ax)(t) =
¯o
t
x(τ )dτ + tx(1), v´.i moi t ∈ [0, 2]. Ch´.ng minh A la mˆt toa n tu. compact.
o . u ` o . ´ ’
0
D˘t v = I − A v´.i I = idX la toa n tu. d` ng nhˆ t. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u E la tˆp
-a. o ` ´ ’ ¯ˆo ´
a u `
a ´
e ` a.
−1
compact trong X thı v (E) ∩ BX (0, 1) la tˆp compact trong X.
` ` a .
Cˆu II. V´.i p ≥ 1, k´ hiˆu p l` khˆng gian Banach ca c da y (xn )n ⊂ K sao cho
a o y e . a o ´ ˜
∞
|xn |p < +∞. Ky hiˆu ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . ) ∈
´ e .
p
, i = 1, 2, . . .
(i)
n=1
1. Kiˆ m tra r˘ ng {en | n = 1, 2, . . . } la mˆt co. so. Schauder cua khˆng gian p .
e’ `
a ` o. ’ ’ o
’ ’. (c ) la mˆt da y sˆ du.o.ng. Ky hiˆu Π = {x = (x ) ∈ p | |x | ≤
2. Gia su n n ` o ˜ o ´ ´ e
. . n n n
∞
cn , n = 1, 2, . . . }. Ch´.ng minh r˘ ng Π la tˆp compact khi va chı khi
u `
a ` a. ` ’ cp < +∞.
n
n=1
Cˆu III. Ky hiˆu H l` mˆt khˆng gian Hilbert.
a ´ e . a o . o
1. Gia su. (An )n ⊂ L(H) la mˆt da y thoa d iˆu kiˆn
’ ’ ` o ˜
. ’ ¯` e e
.
∀x, y ∈ H : sup | An x, y | < +∞.
n∈N
Ch´.ng minh
u sup An < +∞
n∈N
2. Cho a ∈ H, a = 0 va d ˘t A = {a}
` ¯a.
⊥. Ch´.ng minh r˘ ng v´.i moi x ∈ H, ta co
u `
a o . ´
| x, a |
d(x, A) := inf { x − u } = .
u∈A a
3. Cho A ∈ L(H). Ch´.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗ .
u
4. Bˆy gi`
a o. ta gia thiˆ t A ∈ L(H) sao cho A∗ A la toa n tu. compact. Ch´.ng minh
’ ´
e ` ´ ’ u
`
a ˜
r˘ ng A cu ng la toa n tu
` ´ ’. compact.
————————————————————————————–
Ghi ch´ : Hoc viˆn d u.o.c ph´p su. dung t`i liˆu dˆ l`m b`i nhu.ng khˆng d u.o.c trao
u . e ¯ . e ’ . a e ¯e a
. ’ a o ¯ .
’ ’
d ˆi, thao luˆn v´
¯o a o .i nhau.
.
23
- www.mathvn.com
-Eˆ ´.
D` THI CHU NG CHI CAO HOC’
.
Ca c chuyˆn ng`nh TOAN, K.15 Mˆn thi : GIAI T´
´ e a ´ o ’ `
ICH HAM
-` o
e ´
Dˆ sˆ : 1. Th`o.i gian l`m b`i: 150 ph´ t
a a u
Cˆu I. Cho (X, · ) la mˆt khˆng gian d .nh chuˆ n trˆn tru.`.ng K.
a ` o . o ¯i a’ e o
.ng minh r˘ ng X la mˆt khˆng gian Banach khi va chı khi moi da y (y ) ⊂ X
` ` ’
1. Ch´u a ` o . o . ˜ n n
∞
’ ¯` −n ˜
thoa d iˆu kiˆn yn ≤ 2
e e
. thı chuˆi
` o yn hˆi tu.
o .
.
n=1
2. Gia su. (X, · ) la khˆng gian Banach va · 1 la mˆt chuˆ n khac trˆn X sao cho
’ ’ ` o ` ` o . a’ ´ e
˜ ` a’
(X, · 1 ) cu ng la Banach va 2 chuˆ n · , · 1 khˆng tu
` o .o.ng d .o.ng v´.i nhau. Ch´.ng
¯u o u
`
minh r˘ ng ´ nh xa d` ng nhˆ t id: (X, · ) → (X, · 1 ) khˆng liˆn tuc.
a a . ¯ˆ
o ´
a o e .
a y e . ` o
. o ¯i ’
a ` ` o ˜
Cˆu II. K´ hiˆu X la mˆt khˆng gian d .nh chuˆ n va (xn )n la mˆt da y trong X.
.
1. Cho xn → x va (fn )n ⊂ X sao cho fn → f khi n → ∞. Ch´.ng minh r˘ ng
∗ w
` u `
a
fn (xn ) → f (x) khi n → ∞.
◦
2. Gia su. f (xn ) → 0, (n → ∞) v´.i moi f ∈ M trong d´ M ⊂ X ∗ va M = ∅. Ch´.ng
’ ’ o . ¯o ` u
w
minh r˘` ng xn → 0.
a
Cˆu III. Gia su. {en | n ∈ N} la mˆt co. so. Schauder cua khˆng gian Banach (X, · ).
a ’ ’ ` o. ’ ’ o
∞
V´.i moi x ∈ X ta co biˆu diˆn x =
o . ´ e ’ ˜
e ηi ei .
i=1
n
-a
1. D˘t x 1 = sup
. ηi ei . Ch´.ng minh r˘ ng
u `
a · 1 ’ ’
la mˆt chuˆ n trˆn X va chuˆ n
` o. a e ` a
n∈N i=1
nay tu.o.ng d .o.ng v´.i chuˆ n
` ¯u o a’ · .
∞ n
2. Ky hiˆu Pn : (X, · ) → (X, · ) la ´ nh xa xac d .nh bo.i Pn x = Pn (
´ e . `a . ´ ¯i ’ ηi ei ) = ηi ei .
i=1 i=1
Ch´.ng minh r˘ ng Pn ∈ L(X).
u `
a
Cˆu IV. Cho H l` khˆng gian Hilbert trˆn tru.`.ng K.
a a o e o
1. Gia su. U, V, W la 3 khˆng gian con d´ ng trong H va chung tru.c giao v´.i nhau t`.ng
’ ’ ` o ¯o ` ´ . o u
d oi mˆt. Ch´.ng minh r˘ ng tˆ ng U + V + W cu ng la mˆt khˆng gian con d´ ng trong
¯ˆ o . u `
a o’ ˜ ` o . o ¯o
H.
2. Cho A ∈ L(H). Ch´.ng minh r˘ ng (ImA∗ )⊥ = KerA.
u `
a
a ` o . o ¯i ’
Cˆu V. Cho X la mˆt khˆng gian d .nh chuˆ n va A ∈ L(X).
a `
1. Gia su. e1 , e2 la 2 vecto. riˆng u.ng v´.i 2 gia tri riˆng khac nhau cua A. Ch´.ng minh
’ ’ ` e ´ o ´ . e ´ ’ u
` ¯ˆ a
. . ´
{e1 , e2 } la d oc lˆp tuyˆ n tı
e ´nh.
. cho A la toan tu. compact va λ = 0 la mˆt sˆ . Gia su.
2. Bˆy gi`
a o ` ´ ’ ` . ´
` o o ’ ’ inf
x∈X, x =1
{ Ax−λx } =
0. Ch´.ng minh r˘ ng λ la mˆt gia tri riˆng cua A.
u `
a ` o ´ . e
. ’
————————————————————————————–
Ghi ch´ : Hoc viˆn d u.o.c ph´p su. dung t`i liˆu d e l`m b`i nhu.ng khˆng d .o.c trao d o i,
u . e ¯ . e ’ . a e ¯ˆ a
. ’ a o ¯u . ¯ˆ ’
’
thao luˆn v´
a o .i nhau.
.
24
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
Đ THI CH NG CH CAO H C
GI I TÍCH TRÊN ĐA T P - KHÓA 16
Th i gian làm bài: 120 phút
Câu I.
1. Cho A là m t t p m trong Rn sao cho biên b(A) là m t đa t p (n−1)−chi u.
Ch ng minh r ng N = A ∪ b(A) là m t đa t p n−chi u v i b . Hãy cho m t
ví d trong đó b ∂N không trùng v i biên b(A).
2. Cho c là m t hình l p phương kì d k−chi u và p : [0, 1]k −→ [0, 1]k là m t
ánh x 1 − 1 sao cho p([0, 1]k ) = [0, 1]k và det p (x) ≥ 0 v i m i x ∈ [0, 1]k .
Ch ng minh r ng đ i v i m i k−d ng ω ta có
ω= ω
c c◦p
Câu II. Cho M là m t đa t p 3−chi u compact, đ nh hư ng v i b trong R3 và
α, β, γ : M −→ R là các hàm kh vi liên t c trên M . Ch ng minh r ng
∂α ∂β ∂γ
( + + )dx ∧ dy ∧ dz = αdy ∧ dz + βdz ∧ dx + γdx ∧ dy.
M ∂x ∂y ∂z ∂M
Câu III. Cho M là m t đa t p k−chi u v i đ nh hư ng µ trong Rn . V i m i
x ∈ M , kí hi u ω(x) ∈ Λk (Mx ) là ph n t th tích trên Mx xác đ nh b i đ nh
hư ng µx và tích vô hư ng chính t c Tx , t c là ω(x)(v1 , ..., vk ) = 1 v i b t kì cơ
s tr c chu n v1 , .., vk c a Mx sao cho [v1 , .., vk ] = µx . Khi đó k−d ng vi phân ω
tương ng đư c g i là ph n t th tích trên M và kí hi u là dV .
1. Ch ng minh r ng n u M là m t đa t p n−chi u trong Rn mang đ nh hư ng
chu n t c thì dV = dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn .
2. Cho M là m t đa t p compact, đ nh hư ng hai chi u trong R3 và n(x) =
(n1 (x), n2 (x), n3 (x)) là m c tiêu pháp tuy n ngoài t i x ∈ M . Ch ng minh
r ng dV = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy .
——————————————————————————————–
Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
Đ THI CH NG CH CAO H C
CƠ S Đ I S HI N Đ I - KHÓA 15
Th i gian làm bài: 120 phút
T t c các vành đư c xét là vành có đơn v 1 = 0.
Câu 1. Cho E, E là các không gian Euclid khác 0. Ánh x tuy n tính f : E −→
E đư c g i là đ ng d ng n u có s th c k = 0 sao cho f (x)f (y) = kxy v i m i
x, y ∈ E . Ch ng minh r ng:
1. Ánh x ϕ : E −→ E là tuy n tính đ ng d ng n u có s th c k = 0 sao cho
ϕ(x)ϕ(y) = kxy v i m i x, y ∈ E .
2. M i ánh x tuy n tính đ ng d ng ϕ đ u có th vi t dư i d ng ϕ = αγ ,
trong đó γ có d ng λid, λ ∈ R, còn α là đ ng c u tr c giao.
Câu 2. Cho M là R-môđun h u h n sinh, n là m t s nguyên dương, φ : M −→
Rn là m t toàn c u R-môđun. Ch ng minh r ng Ker(φ) là R-môđun h u h n
sinh .
Câu 3. Cho M là R-môđun , R là m t vành giao hoán. Cho I là m t iđêan c a
R. Ch ng minh r ng:
(R/I) ⊗R M ∼ M/(IM )
=
Câu 4. Cho X là R-môđun h u h n sinh. Ch ng minh r ng X là m t R-môđun
x nh khi và ch khi có s nguyên dương n sao cho:
X ⊕ Y ∼ Rn
=
Câu 5. M t R-môđun M g i là chia đư c n u v i m i a ∈ R\{0}, v i m i x ∈ M ,
t n t i y ∈ M sao cho ay = x.
Cho R là m t mi n nguyên chính và M là m t R-môđun. Ch ng minh r ng M
là chia đư c khi và ch khi M là R-môđun n i x .
——————————————————————————————–
Ghi chú: H c viên không đư c s d ng tài li u khi làm bài.
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
Đ THI CH NG CH CAO H C
CƠ S Đ I S HI N Đ I - KHÓA 16
Th i gian làm bài: 120 phút
Câu 1. Cho M là R-môđun h u h n sinh, n là m t s nguyên dương, φ : M −→
Rn là m t toàn c u R-môđun. Ch ng minh r ng Ker(φ) là R-môđun h u h n
sinh .
Câu 2. Ch ng minh r ng m i không gian véctơ trên trư ng K đ u là K -môđun
t do.
Câu 3. Cho 2Z, Z2 là các Z-môđun. Ch ng t r ng 2 ⊗ 1 = 0 trong 2Z ⊗Z Z2 .
f g
Kh ng đ nh ”N u 0 −→ A − B → C là m t dãy kh p các đ ng c u R-môđun thì
→ −
f ⊗id g⊗id
v i m i R-môđun M ta có dãy kh p 0 −→ A ⊗R M − − B ⊗R M − − C ⊗R M ”
−→ −→
có đúng không ? T i sao?
Câu 4. Ch ng minh r ng n u dãy các R-đ ng c u môđun
ϕ ψ
0 −→ A − B − C
→ →
là kh p thì v i m i R-môđun M ta có dãy
ϕ∗ ψ∗
0 −→ Hom(M, A) − Hom(M, B) − Hom(M, C)
→ →
cũng kh p.
Câu 5. Ch ng minh r ng m i R-môđun đ u có m t phép gi i n i x .
——————————————————————————————–
Ghi chú: H c viên không đư c s d ng tài li u khi làm bài.
- Tr n M u Quý - http://quyndc.blogspot.com
Đ THI CH NG CH CAO H C
CƠ S GI I TÍCH HI N Đ I - KHÓA 16
Th i gian làm bài: 120 phút
Câu I. Cho (X, T ) là m t không gian tôpô.
1. Cho t p m U ⊂ X và t p con A ⊂ X . Ch ng minh r ng
U ∩ A ⊂ U ∩ A.
2. Cho B, C là hai t p con đóng khác r ng c a X và f : B ∪ C −→ R. Gi s
f|B và f|C liên t c. Ch ng minh r ng f liên t c trên B ∪ C .
Cho m t ví d ch ng t k t qu trên không còn đúng khi B, C không cùng
đóng.
Câu II. Ch ng minh r ng m i không gian Lindelof chính quy là không gian
chu n t c.
Câu III. Cho X = C[0,1] là t p t t c các hàm giá tr th c liên t c trên [0, 1].
1. V i m i t ∈ [0, 1] ta đ t pt (x) = |x(t)| v i m i x ∈ X . Ch ng minh r ng
P = {pt | t ∈ [0, 1]} là h các n a chu n trên X .
2. V i x, y ∈ X ta đ t
1
|x(t) − y(t)|
d(x, y) = dt
1 + |x(t) − y(t)|
0
Ch ng minh r ng (X, d) là m t không gian mêtric.
3. G i T là tôpô sinh b i h n a chu n P và T∞ là tôpô sinh b i mêtric d.
Ch ng minh r ng m i dãy trong X h i t theo T thì h i t theo tôpô T∞ .
4. Hai tôpô T và T∞ có tương đương không? T i sao?
Câu IV. Cho µ là m t đ đo d u trên σ -đ i s các t p con c a X , f, g là các
hàm đo đư c trên X . V i m i t p đo đư c E ta đ t
ν(E) = f dµ.
E
Gi s |ν|(E) = gd|µ|. Ch ng minh g = |f | h u kh p nơi theo µ.
E
——————————————————————————————–
Ghi chú: H c viên đư c s d ng tài li u khi làm bài.
nguon tai.lieu . vn
