Xem mẫu
- www.VIETMATHS.com
T NG H P CÁC D NG ÔN THI Đ I H C
1. Ch ng minh r ng hàm s y = x3 − 3x2 + 3x không có c c tr .
2. Ch ng minh r ng hàm s y = x2 + |x| có c c ti u t i x = 0, m c dù nó không có đ o hàm ngay
t i đi m đó.
3. Xác đ nh các h s a, b, c, d c a hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d, bi t r ng đ th c a nó có hai
đi m c c tr là (0; 0) và (1; 1).
4. Cho hàm s y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + 1. Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u.
ĐS. m = 1.
5. (A, 2002) Cho hàm s y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 . Vi t phương trình đư ng th ng
đi qua hai di m c c tr c a đ th hàm s .
ĐS. y = 2x − m2 + m.
6. (B, 2002) Cho hàm s y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10. Tìm đ m hàm s có ba đi m c c tr .
ĐS. m < −3; 0 < m < 3.
7. (D b 2002) Cho hàm s y = (x − m)3 − 3x. Xác đ nh m đ hàm s đ t c c ti u t i đi m có
hoành đ x = 0.
ĐS. m = −1.
x2 + mx
8. (D b 2002) Cho hàm s y = .
1−x
Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u. V i giá tr nào c a m thì kho ng cách gi a hai đi m
c c tr c a đ th hàm s b ng 10?
ĐS. m = 4.
1
9. (A, 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = mx +(m là tham s ).
x
Tìm m đ hàm s có c c tr và kho ng cách t đi m c c ti u c a (Cm ) đ n ti m c n xiên c a
1
(Cm ) b ng √ .
2
ĐS. m = 1.
x2 + (m + 1)x + m + 1
10. (ĐH, CĐ, kh i B, 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = (m là tham
x+1
s ).
Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, đ th (Cm ) luôn luôn có đi m c c đ i, đi m c c ti u và kho ng
√
cách gi a hai đi m đó b ng 20.
x2 + 2mx + 1 − 3m2
11. (D b 2005) G i (Cm ) là đ th c a hàm s y = (m là tham s ).
x−m
Tìm m đ đ th (Cm ) có hai đi m c c tr n m v hai phía c a tr c tung.
ĐS. −1 < m < 1.
Đinh Xuân Th ch - THPT Yên Mô B 1
- www.VIETMATHS.com
x2 + mx + 3
12. Cho hàm s y = .
x+1
Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u đ ng th i hai đi m c c đ i và c c ti u c a đ th hàm
v hai phía c a đư ng th ng (d) : 2x + y − 1 = 0.
s
√ √
ĐS. −3 − 4 3 < m < −3 + 4 3.
x2 − 2mx + 2
13. (D b 2004) Cho hàm s y = .
x−1
Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr A, B . Ch ng minh r ng khi đó đư ng th ng AB
song song v i đư ng th ng 2x − y − 10 = 0.
3
ĐS. m < .
2
14. (D b 2006) Cho hàm s y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá tr c a m đ
đ th hàm s có đi m c c đ i và c c ti u, đ ng th i hoành đ c a đi m c c ti u nh hơn 1.
5 7
ĐS. m < −1; < m < .
4 5
15. Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + m − 1. Tìm m đ đ th c a hàm s có ba đi m c c tr t o thành
ba đ nh c a m t tam giác đ u.
√
ĐS. m = 3 3.
16. (D b 2004) Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + 1. Tìm m đ đ th c a hàm s có ba đi m c c tr
t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông cân.
17. (D b 2004) Cho hàm s y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + 1. Ch ng minh r ng hàm s
luôn có c c đ i và c c ti u. Xác đ nh các giá tr c a m đ hàm s đ t c c đ i và c c ti u t i các
đi m có hoành đ dương.
ĐS. m > 0.
x2 − (m + 3)x + 3m + 1
18. Cho hàm s y = .
x−1
Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u và các giá tr c c đ i và c c ti u c a hàm s cùng âm.
1
ĐS. < m < 1; m > 5.
2
19. (A, 2007) Cho hàm s
x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m
y= , m là tham s . (1)
x+2
Tìm m đ hàm s (1) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i các đi m c c tr c a đ th hàm s cùng
v i g c to đ O t o thành m t tam giác vuông t i O.
√
ĐS. m = 0, m = −4 ± 24.
20. (B, 2007) Cho hàm s
y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (m là tham s ). (2)
Đinh Xuân Th ch - THPT Yên Mô B 2
- www.VIETMATHS.com
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (2).
b) Tìm m đ hàm s (2) có c c đ i và c c ti u và các đi m c c tr c a hàm s (2) cách đ u g c
to đ .
1
ĐS. b) m = ± .
2
m
có đ th là (Cm ).
21. (D b A, 2007) Cho hàm s y = x + m +
x−2
(a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s v i m = 1.
(b) Tìm m đ đ th (Cm ) có các đi m c c tr A, B sao cho đư ng th ng AB đi qua g c to đ
O.
m
có đ th là (Cm ).
22. (D b B, 2007) Cho hàm s y = −x + 1 +
2−x
(a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s v i m = 1.
(b) Tìm m đ đ th (Cm ) có đi m c c đ i và đi m c c ti u. G i A là đi m c c đ i c a (Cm ),
tìm m đ ti p tuy n c a (Cm ) t i A c t tr c tung Oy t i đi m B sao cho tam giác OAB
là tam giác vuông cân.
23. Gi i các phương trình sau
√
√ √
x2 − 6x + 6 = 2x − 1; f) 2x2 + 5x + 2 − 2 2x2 + 5x − 6 = 1;
a)
√
b) (Kh i D, 2006) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0;
g) (Kh i D, 2004)
√
√ √
c) (x + 5)(2 − x) = 3 x2 + 3x;
2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4;
√ √ √
d) (D b 2005) 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4;
√ √
√ x+3
√
h) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = .
e) 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2 ;
2
√
24. Tìm m đ phương trình 2x2 + mx = 3 − x có nghi m duy nh t.
25. (Kh i B, 2004) Tìm m đ phương trình sau có nghi m
√ √
√ √ √
m( 1 + x2 − 1 − x2 + 2) = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
√
√
√
26. (A, 2007) Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1.
√
√ √
27. Gi i phương trình 3 x + 1 − 3 x − 1 = 6 x2 − 1.
√
28. (Kh i B, 2006) Tìm m đ phương trình x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghi m phân bi t.
29. (Kh i B, 2007) Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a m, phương trình sau có hai nghi m
th c phân bi t:
x2 + 2x − 8 = m(x − 2).
30. Tìm m đ phương trình sau có nghi m
Đinh Xuân Th ch - THPT Yên Mô B 3
- www.VIETMATHS.com
√ √
6−x− (x + 3)(6 − x) = m;
x+3+
(a)
√ √
x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x) = m;
(b)
√
(c) x2 − 4 − x2 + m = 0;
31. (A, 2008) Tìm các giá tr c a tham s m đ phương trình sau có đúng hai nghi m th c phân
bi t:
√ √ √ √
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).
32. Tìm các giá tr c a tham s m đ phương trình sau có đúng hai nghi m th c phân bi t:
√
√ √
7 3 x − 1 − 5m2 . 3 8x − 32 = x2 − 5x + 4 (m ∈ R).
6
2 3 32
−√ ; − ;√ .
∪
Đáp s . S =
5 55
5
33. Tìm t t c các giá tr c a tham s b sao cho phương trình
√
√ √
3. 5 x + 2 − 16b2 . 5 32x + 32 = x2 + 3x + 2
10
có nghi m duy nh t.
1 11 1
−∞; − √ ∪ − ; ∪ √ ; +∞ .
Đáp s . b ∈
44
22 22
34. Tìm t t c các giá tr c a tham s b sao cho phương trình
√
√ √
3. 5 x + 4 − 7b2 . 5 32x + 96 = x2 + 7x + 12
10
có nghi m duy nh t.
2 11 2
∪ −√ ; √ ∪
Đáp s . b ∈ −∞; ; +∞ .
7 7
77
√ √
x−3−2 x−4+ x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng
35. (D b D, 2007) Tìm m đ phương trình
hai nghi m.
√ √
4
x2 + 1 −
36. (D b B, 2007) Tìm m đ phương trình x = m có nghi m.
√
4
x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng m t nghi m.
37. (D b B, 2007) Tìm m đ phương trình
√
√ √
38. (D b 2, kh i D, 2006) Gi i phương trình x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1.
√
√ √
39. (D b , kh i B, 2006) Gi i phương trình 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2.
40. (D b 1, kh i D, 2006) Gi i phương trình 4x − 2x+1 + 2(2x − 1) sin(2x + y − 1) + 2 = 0.
41. Gi i b t phương trình
4
- www.VIETMATHS.com
√
√
h) x2 +
x2 − 2x − 15 < x − 2; 2x2 + 4x + 3 6 − 2x;
a)
√
√
i) 2x2 + x2 − 5x − 6 > 10x + 15;
−x2 + 6x − 5 8 − 2x;
b)
√ √ √
√
j) (A, 2005) 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4;
8x2 − 6x + 1 − 4x + 1 0;
c)
√ √ √
√ k) 2x + 7 − 5 − x 3x − 2;
x2 − 4x + 5 + 2x 3;
d)
2x−1 + 4x − 16
> 4.
l)
(x + 5)(3x + 4) > 4(x − 1);
e)
x−2
√
2(x2 − 16) √ 7−x m) x2 + 2x2 + 4x + 3 6 − 2x;
√ + x−3> √
f) (A, 2004)
x−3 x−3 2x−x2
1
√ 2
n) 9x −2x − 2 3;
g) (x + 1)(x + 4) < 5 x2 + 5x + 28; 3
√
x2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x)
42. (D b A, 2007) Tìm m đ b t phương trình m 0 có nghi m
√
x ∈ [0; 1 + 3].
43. Gi i các phương trình sau
g) 8.41/x + 8.4−1/x − 54.21/x − 54.2−1/x = −101.
a) 3.16x + 37.36x = 26.81x .
2 +6x−9 2 +3x−5 2 +6x−9
b) 32x + 4.15x = 3.52x .
h) 53x + 9.5x + 27(5−3x + 5−x ) = 64.
x x x
c) 27 + 12 = 2.8 .
i) 1 + 3x/2 = 2x .
d) 5.23x−3 − 3.25−3x + 7 = 0.
√x √ x 2 −x
j) 2x−1 − 2x = (x − 1)2 .
5−2 6
5+2 6 + = 10.
e)
√ √ √
x x
= (2 2)x .
4 − 15 + 4 + 15
f) k) 3log2 x = x2 − 1.
44. (A, 2008) Gi i phương trình log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)4 = 4.
x2 + x
45. (B, 2008) Gi i b t phương trình log0,7 log6 < 0.
x+4
x2 − 3x + 2
46. (D, 2008) Gi i b t phương trình log 1 0.
x
2
√
47. (Cao đ ng 2008) Gi i phương trình log2 (x + 1) − 6 log2 x + 1 + 2 = 0.
2
48. Gi i phương trình log2√2+√3 (x2 − 2x − 2) = log2+√3 (x2 − 2x − 3).
√ √
11 + 4 3, x2 = 1 −
Đáp s . x1 = 1 + 11 + 4 3
49. Gi i phương trình log2/√2−√3 (x2 + 4x − 2) = log1/(2−√3) (x2 + 4x − 3).
1 75x 11
−
50. Gi i phương trình 3 + = logx/2 .
log32 (x/2) 4 x
√
11
Đáp s . x = .
4
5
- www.VIETMATHS.com
1 2
= (3x − 5)log1/25 (2+5x−x ) .
51. Gi i phương trình √
3x − 5
√
5+ 13
Đáp s . x = 2, x= .
2
1
52. (D, 2007) Gi i phương trình log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 = 0.
4.2x −3
53. (D b D, 2007) Gi i phương trình 23x+1 − 7.22x + 7.2x − 2 = 0.
54. (D b B, 2007) Gi i phương trình log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = 2.
4
55. (D b B, 2007) Gi i phương trình (2 − log3 x). log9x 3 − = 1.
1 − log3 x
√
1 1
56. (D b A, 2007) Gi i phương trình log4 (x − 1) + = + log2 x + 2.
log2x+1 4 2
57. (D b D, 2006) log3 (3x − 1) log3 (3x+1 − 3) = 6.
√
58. (D b B, 2006) log√2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log8 (x − 1)3 = 0.
2
√
59. (BKHN, 2000) log4 (x + 1)2 + 2 = log√2 4 − x + log8 (4 + x)3 .
1 1
log√2 (x + 3) + log4 (x − 1)8 = log2 (4x).
60. (D b , 2002)
2 4
61. (Phân vi n Báo chí Tuyên truy n, 2002)
x−1
1
log27 (x2 − 5x + 6)3 = + log9 (x − 3)2 .
log√3
2 2
1
62. (D b D, 2006) 2(log2 x + 1) log4 x + log2 = 0.
4
63. (D b A, 2006) logx 2 + 2 log2x 4 = log√2x 8.
64. (A, 2007) 2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) 2.
3
√
65. (D b A, 2007) Gi i b t phương trình (logx 8 + log4 x2 ) log2 2x 0.
√ 1 1
2x2 − 3x + 1 + log2 (x − 1)2
66. (D b D, 2007) Gi i b t phương trình log1/2 .
2 2
67. (CĐSP Qu ng Bình) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) − log1/√2 (7 − x) = 1.
68. (B, 2006) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (5x−2 + 1).
69. (CĐTCKT 2006) 3 log1/2 x + log4 x2 − 2 > 0.
70. (D b B, 2003) log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 0.
2 4
71. (D b , 2006) logx+1 (−2x) > 2.
√
√
log2,5 x + 4 log2 2(4 − log16 x4 ).
72. (CĐ Y t Thanh Hoá, 2006) x
0
6
- www.VIETMATHS.com
2x−x2
1
x2 −2x
−2
73. (D b , 2005) 9 3.
3
74. (D b , 2002) log 1 (4x + 4) log 1 (22x+1 − 3.2x ).
2 2
x2 + x x2 − x
− 22x + 4 = 0.
− 4.2
75. (D, 2006) 2
76. (A, 2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
√ √ √
77. (B, 2007) ( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0.
2 −x 2
− 22+x−x = 3.
78. (D, 2003) 2x
2 +x−1 2 +x−2
79. (D b B, 2006) 9x − 10.3x + 1 = 0.
√ √
x2 − 5 x2 − 5
80. (CĐSPHN, A, 2002) 4x− − 12.2x−1− + 8 = 0.
2 +2x+1 2 +x
81. (Cao đ ng kh i A, D, 2006) 32x − 28.3x + 9 = 0.
2
82. (ĐHSPHCM, 2002) 4log2 2x − xlog2 6 = 2.3log2 4x .
√
83. (D b , 2004) log π log2 (x + 2x2 − x) < 0.
4
√
log√5 (x2 −
84. (CĐKT, 2005) Tìm t p xác đ nh c a hàm s y = 5x + 2).
√
85. 2.[log121 (x − 2)]2 log 1 ( 2x − 3 − 1) . log 1 (x − 2) .
11 11
86. (CĐSPHN, A, D b , 2002) log1/3 (x − 1) + log1/3 (2x + 2) + log√3 (4 − x) < 0.
3x − 1 3
87. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log4 (3x − 1). log 1 .
16 4
4
2x−1 + 4x − 16
88. (D b , 2004) > 4.
x−2
1 3
89. (D b , 2004) 2x 2 log2 x 2 2 log2 x .
2
90. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2(log2 x) + xlog2 x 4.
91. (Cao đ ng kh i A, B, 2005) 32x+4 + 45.6x − 9.22x+2 0.
92. (CĐKTĐN, 2007) 5.4x + 2.25x 7.10x .
1 1 1
93. + .
|7 − log3 3x| |4 − log9 9x2 | | log9 81x|
1
0
- www.VIETMATHS.com
x+1
95. (4x − 2.2x − 3). log2 x − 3 − 4x .
4 2
0 log√10 (1 − x2 ).
Đáp s . S = (−1; 1).
|x + 1| + |x − 5|
101. Tìm t p xác đ nh c a hàm s y = log16x−12−4x2 .
3
Đáp s . S = (−∞; 0) ∪ [1/2; +∞).
|x + 4| − |x + 3|
102. Tìm t p xác đ nh c a hàm s y = log2x+8−x2 .
3
Đáp s . S = (−∞; −1/2] ∪ (0; +∞).
1 1
− log2 (2x). log 8 .
103. Tìm t p xác đ nh c a hàm s f (x) = log 4
2 x2
x
Đáp s . S = (4; 8) ∪ {2}.
√ √
√ √
2 +3x+2
7)x 2 − x. log3 (8 + 2 7)(x+1) x+1 .
104. (3 − x) log2 (1 + >
Đáp s . S = (−1; 2].
√ √
√ √
2 +5x+6
5)x 3 − x. log4 (9 + 4 5)(x+2) x+2 .
105. (4 − x) log3 (2 + >
Đáp s . S = (−2; 3].
√ √
1−t2 1−t2
106. (D b 2002) Tìm a đ phương trình sau có nghi m 91+ − (a + 2)31+ + 2a + 1 = 0.
√
x)2 − log 1 x + m = 0 có nghi m thu c kho ng
107. (D b 1, B, 2003) Tìm m đ phương trình 4(log2
2
(0; 1).
2 2
108. (Cao đ ng Giao thông, 2003) Tìm m đ phương trình 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0 có nghi m.
109. (A, 2002) Cho phương trình
log2 x + log2 x + 1 − 2m − 1 = 0. (3)
3 3
8
- www.VIETMATHS.com
(a) Gi i phương trình (3) khi m = 2.
√
(b) Tìm m đ phương trình (3) có ít nh t m t nghi m thu c đo n [1; 3 3 ].
110. Tìm a đ phương trình sau có nghi m:
√ √
1−x2 1−x2
91+ − (a + 2).31+ + 2a + 1 = 0.
1 H đ i x ng lo i m t, h ph n x ng
1. Gi i các h phương trình sau:
√ √ √
x + y + xy = 11, 3( x + y ) = 4 xy,
a) e)
x2 + y 2 + 3(x + y ) = 28; xy = 9;
√
x + y = 4, x + y − xy = 3,
b) √ √
f) (A, 2006)
(x2 + y 2 ) (x3 + y 3 ) = 280; x + 1 + y + 1 = 4;
√
√
x2 + y 2 + 2xy = 8 2,
x2 + y 2 − x + y = 2,
√
c) √
g)
x + y = 4;
xy + x − y = −1;
x y 5
+ =,
x − xy − y = 1,
y x 2
d) h)
x2 y + xy 2 = 6.
2 2
x + y + xy = 21;
x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5 ,
2
4 (x, y ∈ R).
2. (A, 2008) Gi i h phương trình
x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 5
4
3. Tìm m đ h phương trình sau có nghi m
√ √
x + y = 1, x + y + xy = m,
√
a) (D, 2004) b)
√
x2 + y 2 = m.
x x + y y = 1 − 3m;
x + y + xy = m + 2,
4. Tìm m đ h phương trình sau có nghi m duy nh t
x2 y + xy 2 = m + 1.
2 H đ i x ng lo i hai
1. Gi i các h phương trình sau:
√ √
xy + x2 = 1 + y, x + 5 + y − 2 = 7,
√
√
a) d)
xy + y 2 = 1 + x; y + 5 + x − 2 = 7;
3
x3 = 3x + 8y, 2x + y = ,
x2
b) e) 3
y 3 = 3y + 8x; 2y + x = ;
y2
y 2 +2
x3 + 1 = 2y, 3y = ,
x2
c) f) (B, 2003) x2 +2
y 3 + 1 = 2x; 3x = .
y2
9
- www.VIETMATHS.com
2. Gi i các phương trình sau:
√
a) x3 − 3 3 2 + 3x = 2;
√
b) x3 − 6 = 3 x + 6.
x − 1 = y − 1,
x y
3. (A, 2003)
2y = x3 + 1.
√ √
x − y = x − y,
3
√
4. (B, 2002)
x + y = x + y + 2.
5. (ĐHSP kh i D, E, 2001) Cho h phương trình
√ √ √
x + 1 + y − 2 = m,
√ √ √ (4)
y + 1 + y − 2 = m.
a) Gi i h (5) khi m = 9;
b) Tìm m đ h phương trình (5) có nghi m.
x + √x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1,
6. (D b A, 2007) Gi i h phương trình
y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1.
x + √ 2xy = x2 + y,
3
x2 − 2x + 9
7. (D b B, 2007) Gi i h phương trình 2xy
= y 2 + x.
y +
2 − 2y + 9
3
y
y
ex = 2007 − ,
y2 − 1
8. (D b B, 2007) Ch ng minh r ng h phương trình
ey = 2007 − √ x
x2 − 1
có đúng hai nghi m (x; y ) tho mãn x > 1, y > 1.
3 Phương pháp đ t n ph
1. Gi i các h phương trình sau:
x + y + 1 + 1 = 5,
x(x + 2)(2x + y ) = 9,
a)
xy
x2 + 4x + y = 6; d)
x2 + y 2 + 1 + 1 = 9;
√ √
x2 y 2
2x + y + 1 − x + y = 1,
b)
x + y + x2 + y 2 = 8,
3x + 2y = 4; e)
xy (x + 1)(y + 1) = 12;
x
x + y + = 5,
y 1 + x3 y 3 = 19x3 ,
c) x f)
(x + y ) = 6;
y + xy 2 = −6x2 .
y
111. Gi i các h phương trình sau:
10
- www.VIETMATHS.com
x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5 ,
2
4 (x, y ∈ R).
a) (A, 2008) Gi i h phương trình
x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 5
4
b) (D, 2007) Tìm giá tr c a tham s m đ h phương trình sau có nghi m th c:
x + 1 + y + 1 = 5,
x y
x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10.
x3 y3
√ √
2x + y + 1 − x+y =1
c) (D b kh i D, 2005)
3x + 2y = 4
x2 + y 2 + x + y = 4
d) (D b kh i D, 2005)
x(x + y + 1) + y (y + 1) = 2
√
x + y − xy = 3
√ (x, y ∈ R)
√
e) (Kh i A, 2006)
x+1+ y+1=4
x2 + 1 + y (y + x) = 4y
(x, y ∈ R)
f) (D b Kh i A, 2006)
(x2 + 1)(y + x − 2) = y
x3 − 8x = y 3 + 2y
(x, y ∈ R)
g) (D b Kh i A, 2006)
x3 − 3 = 3(y 2 + 1)
h) (Kh i D, 2006) Ch ng minh r ng v i m i a > 0, h phương trình sau có nghi m duy nh t
ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y ),
y − x = a.
x2 − xy + y 2 = 3(x − y ),
(x, y ∈ R)
i) (D b Kh i D, 2006)
x2 + xy + y 2 = 7(x − y )2
ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y,
j) (D b Kh i D, 2006)
x2 − 12xy + 20y 2 = 0.
(x − y )(x2 + y 2 ) = 13,
(x, y ∈ R).
k) (D b Kh i B, 2006)
(x + y )(x2 − y 2 ) = 25
x2 + y = y 2 + x,
l) (D b , 2005)
2x+y − 2x−1 = x − y
x − 4|x| + 3 = 0,
m) (D b 2002)
log4 x − log2 y = 0.
4 H đ ng c p
1. Gi i các h phương trình sau:
11
- www.VIETMATHS.com
x2 + xy = 6, (x − y )2 y = 2,
a) c)
x2 + y 2 = 5; x3 − y 3 = 19;
2x2 + 3xy + y 2 = 12, x2 − 5xy + 6y 2 = 0,
b) d)
x2 − xy + 3y 2 = 11; 4x2 + 2xy + 6x − 27 = 0;
112. Gi i các phương trình sau:
1 1 7π
−x .
+ = 4 sin
1) (A, 2008) Gi i phương trình
3π
sin x 4
sin x −
2
√ √
2) (B, 2008) sin3 x − 3 sin2 x cos x.
3 cos3 x = sin x cos2 x −
3) (D, 2008) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
√
4) (Cao đ ng A, B, D, 2008) sin 3x − 2 cos 3x = 2 sin 2x.
2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x
√ = 0.
5) (A, 2006)
2 − 2 sin x
6) (A, 2007) (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.
7) (D, 2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
x2 √
x
8) (D, 2007) sin + cos + 3 cos x = 2.
2 2
9) (B, 2007) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.
1 1
10) (D b A, 2007) Gi i phương trình sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x.
2 sin x sin 2x
√ √
11) (D b A, 2007) Gi i phương trình 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x).
√
5x π xπ 3x
− − cos −
12) (D b B, 2007) Gi i phương trình sin = 2 cos .
2 4 2 4 2
sin 2x cos 2x
= tan x − cot x.
+
13) (D b B, 2007) Gi i phương trình
cos x sin x
√ π
14) (D b D, 2007) Gi i phương trình 2 2 sin x − cos x = 1.
12
15) (D b D, 2007) Gi i phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
16) (D b B, 2006) (2 sin2 x − 1) tan2 2x + 3(cos2 x − 1) = 0.
17) (D b B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.
18) (D b D, 2006) cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = 1.
19) (D b D, 2006) 4 sin3 x + 4 sin2 x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0.
20) 2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x).
21) 3 − 4 sin2 2x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x).
1 8 π 1
+ sin2 x.
22) 2 cos x + cos2 (x + π ) = + sin 2x + 3 cos x +
3 3 2 3
π 2π 1
23) cos2 x + + cos2 x + = (sin x + 1).
3 3 2
12
- www.VIETMATHS.com
π π
24) sin 3x + = sin 2x. sin x + .
4 4
√
2+3 2
(D b A, 2006) cos 3x. cos3 x − sin 3x sin3 x = .
25)
8
π
(D b A, 2006) 2 sin 2x − + 4 sin x + 1 = 0.
26)
6
x
(B, 2006) cot x + sin x 1 + tan x tan = 4.
27)
2
(A, 2005) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.
28)
29) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
π π 3
30) (D, 2005) cos4 x + sin4 x + cos x − sin 3x − − = 0.
4 4 2
√ π
31) (D b 2005) 2 2 cos3 x − − 3 cos x − sin x = 0.
4
x√ 3π
32) (D b 2005) 4 sin2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x − .
2 4
33) (D b 2005) sin x cos 2x + cos2 x(tan2 x − 1) + 2 sin3 x = 0.
34) (D b 2004) 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x.
35) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x.
√
1 1 π
− = 2 2 cos x + .
36) (D b 2004)
cos x sin x 4
√
37) (D b 2004) sin 2x − 2 2(sin x + cos x) − 5 = 0.
3
38) 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x.
1
√
39) cos 3x − sin 2x = 3(cos 2x − sin 3x).
√
40) sin x + sin 2x = 3(cos x + cos 2x).
√
41) 4(sin4 x + cos4 x) + 3 sin 4x = 2.
113. (A, 2008) Cho lăng tr ABC.A B C có đ dài c nh bên b ng 2a, đáy ABC là tam giác vuông
√
t i A, AB = a, AC = a 3 và hình chi u vuông góc c a đ nh A trên m t ph ng (ABC ) là trung
đi m c a c nh BC . Tính theo a th tích kh i chóp A .ABC và tính cosin c a góc gi a hai đư ng
th ng AA , B C .
114. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam
giác đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a
các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n
CM N P .
115. (B, 2007) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i E là
đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE , N là trung đi m c a
BC . Ch ng minh M N vuông góc v i BD và tính (theo a) kho ng cách gi a hai đư ng th ng
M N và AC .
13
- www.VIETMATHS.com
√
116. (D b A, 2007) Cho hình lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5
và B AC = 120◦ . G i M là trung đi m c a c nh CC1 . Ch ng minh r ng M B ⊥ M A1 và tính
kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (A1 BM ).
117. (D b A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc t o b i hai m t ph ng (SBC ) và (ABC ) b ng
60◦ , các tam giác ABC và SBC là các tam giác đ u c nh b ng a. Tính theo a kho ng cách t
đi m B đ n m t ph ng (SAC ).
118. (D b B, 2007) Trong m t ph ng (P ) cho n a đư ng tròn đư ng kính AB = 2R và đi m C
thu c n a đư ng tròn đó sao cho AC = R. Trên đư ng th ng vuông góc v i m t ph ng (P ) t i
A, l y đi m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (SAB ) và (SBC ) b ng 60◦ . G i H, K l n lư t
là hình chi u vuông góc c a A trên các c nh SB, SC . Ch ng minh r ng tam giác AHK là tam
giác vuông và tính th tích c a kh i chóp S.ABC.
119. (D b B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
√
v i đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2. G i H, K l n lư t là hình chi u vuông góc c a A
trên các c nh SB, SD. Ch ng minh r ng SC ⊥ (AHK ) và tính th tích c a kh i chóp O.AHK.
120. (D b D, 2007) Cho lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC =
√
a, AA1 = a 2. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh AA1 và BC . Ch ng minh r ng
M N là đư ng vuông góc chung c a các đư ng th ng AA1 và BC1 . Tính th tích c a kh i chóp
M.A1 BC1 .
121. (D b D, 2007) Cho lăng tr đ ng ABC.A1 B1 C1 có t t c các c nh đ u b ng a. G i M là trung
đi m c a đo n AA1 . Ch ng minh BM ⊥ B1 C và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BM
và B1 C .
122. Cho t di n OABC có ba c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc nhau, OA = a, OB = b,
OC = c. G i α, β, γ l n lư t là góc gi a OA, OB, OC v i m t ph ng (ABC ). Ch ng minh r ng
sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1.
123. Cho t di n OABC có ba c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc nhau. G i α, β, γ l n lư t là
các góc gi a m t ph ng (ABC ) v i các m t ph ng (OBC ), (OAC ), (OAB ). Ch ng minh r ng
√
cos α + cos β + cos γ 3.
124. (Kh i B, 2002) Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có c nh b ng a.
a) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng A1 B và B1 D;
b) G i M, N, P l n lư t là trung đi m c a các c nh B1 B, CD, A1 D1 . Tính góc gi a hai đư ng
th ng M P và C1 N .
125. (ĐH Ngo i thương HCM, 2002) Cho hình l p phương ABCD.A B C D có c nh b ng a. Gi s
M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh BC và DD .
14
- www.VIETMATHS.com
a) Ch ng minh r ng M N//(A B D)
b) Tính theo a kho ng cách gi a hai đư ng th ng BD và M N.
126. (H c vi n quan h qu c t , kh i D, 2001) Cho hình h p ch nh t ABCD.A B C D v i AB =
a, BC = b, AA = c.
a) Tính di n tích tam giác ACD theo a, b, c.
b) Gi s M, N l n lư t là trung đi m c a AB và BC . Hãy tính th tích t di n D DM N theo
a, b, c.
127. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a và c nh bên SA vuông góc v i √ t
m
a. 6
ph ng đáy (ABC ). Tính kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SBC ) theo a, bi t SA = .
2
128. (D b 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i
m t ph ng đáy (ABCD) và SA = a. G i E là trung đi m c a c nh CD. Tính theo A kho ng
cách t đi m S đ n đư ng th ng BE .
129. (D b 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n BC = a. Trên đư ng th ng vuông
góc v i m t ph ng (ABC ) t i đi m A l y đi m S sao cho góc gi a hai m t ph ng (ABC ) và
(SBC ) b ng 60◦ . Tính đ dài đo n th ng SA theo a.
130. (Kh i B, 2004) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc gi a c nh bên và
m t đáy b ng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦ ). Tính tang c a góc gi a hai m t ph ng (ABCD) và (SAB )
theo ϕ. Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a và ϕ.
131. (Kh i A, 2006) Cho hình tr có các đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy b ng chi u
cao và b ng a. Trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m A, trên đư ng tròn đáy tâm O l y đi m B
sao cho AB = 2a. Tính th tích c a kh i t di n OO AB .
132. (D b , Kh i A, 2006) Cho hình h p đ ng ABCD.A B C D có các c nh AB = AD = a, AA =
√
a3
và B AD = 60◦ . G i M, N l n lư t là trung đi m c a các c nh A D và A B . Ch ng minh
2
r ng AC vuông góc v i m t ph ng (BDM N ). Tính th tích kh i chóp A.BDM N .
133. (D b , Kh i A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB =
a, AD = 2a, c nh SA vuông góc v i đáy, c nh SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 60◦ . Trên
√
a3
c nh SA l y đi m M sao cho AM = . M t ph ng BCM c t SD t i đi m N . Tính th tích
3
kh i chóp S.BCM N .
134. (Kh i A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, SA = 2a
và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC ). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A
trên các đư ng th ng SB và SC . Tính th tích c a kh i chóp A.BCN M .
135. (D b , Kh i D, 2006) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a. G i SH là
đư ng cao c a hình chóp. Kho ng cách t trung đi m I c a SH đ n m t bên (SBC ) b ng b.
Tính th tích kh i chóp S.ABCD.
15
- www.VIETMATHS.com
136. (D b , Kh i D, 2006) Cho hình l p phương ABCD.A B C D có c nh b ng a và đi m K thu c
2
c nh CC sao cho CK = a. M t ph ng (α) đi qua A, K và song song v i BD chia kh i l p
3
phương thành hai kh i đa di n. Tính th tích c a hai kh i đa di n đó.
137. (Kh i B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD =
√
a 2, SA = a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M, N l n lư t là trung đi m c a
AD và SC , I là giao đi m c a BM và AC . Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC ) vuông góc v i
m t ph ng (SM B ). Tính th tích kh i t di n AN IB .
138. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a, B AD = 60◦ , SA vuông góc v i
m t ph ng (ABCD), SA = a. G i C là trung đi m c a SC . M t ph ng (P ) đi qua AC và song
song v i BD, c t các c nh SB, SD c a hình chóp l n lư t t i B và D . Tính th tích kh i chóp
S.AB C D .
139. Cho hình lăng tr ABC.A B C có A .ABC là hình chóp tam giác đ u, c nh đáy AB = a, c nh
bên A A = b. G i α là góc xen gi a hai m t ph ng (ABC ) và (A B C ). Tính tan α và th tích
c a kh i chóp A .BB C C .
140. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC ). Tam giác ABC có
AB = BC = 2a, ABC = 120◦ . Tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (ABC ).
141. Cho hình chóp S.ABC . Đáy ABC là tam giác vuông t i B , c nh SA vuông góc v i đáy ACB =
√
60◦ , BC = a, SA = a 3. G i M là trung đi m c a c nh SB . Ch ng minh m t ph ng (SAB )
vuông góc v i m t ph ng (SBC ). Tính th tích c a kh i t di n M ABC .
142. (Cao đ ng Tài chánh K toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a
và góc ASB = 60◦ . Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a.
143. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng
(ABCD) và SA = a. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BD và SC .
144. (Kh i B, 2003) Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A B C D có đáy ABCD là m t hình thoi c nh
a, góc B AD = 60◦ . G i M là trung đi m c a c nh CC . Ch ng minh r ng b n đi m B , M, D, N
cùng n m trên m t m t ph ng. Hãy tính đ dài c nh AA theo a đ t giác B M DN là hình
vuông.
√
145. Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có đư ng cao SO = 1 và đáy ABC có c nh b ng 2 6. Các
đi m M, N theo th t là trung đi m c a các c nh AC, AB . Tính th tích hình chóp S.AM N
và bán kính m t c u n i ti p hình chóp đó.
146. Trong không gian cho hai đư ng th ng
3x − z + 1 = 0,
x y+1 z
d1 : = = và d2 :
1 2 1 2x + y − 1 = 0.
a) Ch ng minh r ng d1 , d2 chéo nhau và vuông góc v i nhau;
16
- www.VIETMATHS.com
b) Vi t phương trình t ng quát c a đư ng th ng c t c hai đư ng th ng d1 , d2 và song song v i
đư ng th ng
x−4 y−7 z−3
∆: = = .
−2
1 4
147. Cho hai đi m A(1; −1; 2), B (3; 1; 0) và m t ph ng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0.
a) L p phương trình đư ng th ng (d) tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: (d) n m trong m t
ph ng (P ), (d) vuông góc v i đư ng th ng AB và (d) đi qua giao đi m c a đư ng th ng AB
v i m t ph ng (P ).
b) Tìm to đ đi m C trong m t ph ng (P ) sao cho CA = CB và m t ph ng ABC vuông góc
v i m t ph ng (P ).
x−1 y−2
148. Cho tam giác ABC có đi m B (2; 3; −4), đư ng cao CH có phương trình ∆1 : = =
5 5
x−5 y−3
z z+1
và đư ng phân giác trong góc A là AI có phương trình ∆2 : = = .L p
−5 7 1 2
phương trình chính t c c nh AC .
149. Cho tam giác ABC có đi m A(−1; −1; 2), đư ng cao BK và đư ng trung tuy n CM l n lư t
có phương trình
y−1 z−4 x−1 z−5
x+1 y+2
d1 : = = , d2 : = = .
−3
2 3 4 2 1
L p phương trình đư ng th ng ch a các c nh AB, AC c a tam giác ABC .
150. (A, 2008) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho đi m A(2; 5; 3) và đư ng th ng
x−1 z−2
y
d: == .
2 1 2
(a) Tìm to đ hình chi u vuông góc c a đi m A lên đư ng th ng d.
(b) Vi t phương trình m t ph ng (α) ch a d sao cho kho ng cách t A đ n (α) là l n nh t.
151. (A, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho hai đư ng th ng
x = −1 + 2t,
y−1
x z+2
d1 : = = và d2 : y = 1 + t,
−1
2 1
z = 3.
(a) Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau.
(b) Vi t phương trình đư ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P ) : 7x + y − 4z = 0 và c t c
hai đư ng th ng d1 , d2 .
152. (D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho hai đi m A(1; 4; 2), B (−1; 2; 4) và đư ng th ng
x−1 y+2 z
∆: = =.
−1 1 2
17
- www.VIETMATHS.com
(a) Vi t phương trình đư ng th ng d đi qua tr ng tâm G c a tam giác OAB và vuông góc v i
m t ph ng (OAB ).
(b) Tìm to đ M thu c đư ng th ng ∆ sao cho M A2 + M B 2 nh nh t.
153. (B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho m t c u
(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0
và m t ph ng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0.
(a) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a tr c Ox và c t (S ) theo m t đư ng tròn có bán
kính b ng 3.
(b) Tìm to đ đi m M thu c m t c u (S ) sao cho kho ng cách t M đ n m t ph ng (P )
l n nh t.
154. (D b A, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho hai đi m A(−1; 3; −2), B (−3; 7; −18)
và m t ph ng (P ) : 2x − y + z + 1 = 0.
(a) Vi t phương trình m t ph ng ch a đư ng th ng AB và vuông góc v i (P ).
(b) Tìm to đ đi m M thu c m t ph ng (P ) sao cho M A + M B nh nh t.
155. (D b A, 2007) Trong không gian v to đ Oxyz , cho các đi m A(2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (2; 4; 6)
i
6x − 3y + 2z = 0,
và đư ng th ng (d) có phương trình
6x + 3y + 2z − 24 = 0
(a) Ch ng minh r ng các đư ng th ng AB và OC chéo nhau.
(b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ song song v i (d) và c t các đư ng th ng AB và OC .
156. (D b B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho hai đi m A(−3; 5; −5), B (5; −3; 7) và
m t ph ng (P ) : x + y + z = 0.
(a) Tìm to đ giao đi m I c a đư ng th ng AB và m t ph ng (P ).
(b) Tìm to đ đi m M thu c m t ph ng (P ) sao cho M A2 + M B 2 nh nh t.
157. (D b B, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho các đi m A(2; 0; 0), M (0; −3; 6) và m t
ph ng (P ) có phương trình x + 2y − 9 = 0.
(a) G i (S ) là m t c u có tâm là đi m M và có bán kính OM . Ch ng minh r ng (P ) ti p xúc
v i (S ). Tìm to đ ti p đi m c a (P ) và (S ).
(b) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a các đi m A và M , đ ng th i, (Q) c t các tr c
Oy, Oz t i các đi m tương ng B, C sao cho th tích c a kh i t di n OABC b ng 3
(đ.v.t.t.)
x−3 y+2 z+1
158. (D b D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho đư ng th ng (d) : = =
−1
2 1
và m t ph ng (P ) có phương trình x + y + z + 2 = 0.
18
- www.VIETMATHS.com
(a) Tìm to đ giao đi m M c a (P ) và (d).
(b) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ thu c (P ) sao cho ∆ vuông góc v i (d) và kho ng cách
√
t M đ n ∆ b ng 42.
159. (D b D, 2007) Trong không gian v i to đ Oxyz , cho m t ph ng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0
và hai đư ng th ng
x−1 y−3 x−5
z y z+5
(d1 ) : = =, (d2 ) : == .
−3 −5
2 2 6 4
(a) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a (d1 ) và vuông góc v i (P ).
(b) Tìm các đi m M thu c (d1 ) và N thu c (d2 ) sao cho đư ng th ng M N song song v i (P )
và đư ng th ng M N cách (P ) m t kho ng b ng 2.
i h to đ Oxyz , cho hai đi m A(1; 4; 2) và B (−1; 2; 4) và đư ng th ng
160. Trong không gian v
x−1 y+2 z
d: = = .
−1 1 2
(a) Tìm to đ đi m M thu c d sao cho
#» #»
Đáp s .M (−1; 0; 4).
i) M A + M B nh nh t;
ii) M A2 + M B 2 nh nh t; Đáp s . M (−1; 0; 4).
iii) M A + M B nh nh t;
12 5 38
−
iv) Di n tích tam giác AM B nh nh t. ;;
Đáp s . .
777
(b) Vi t phương trình m t ph ng (P ) ch a d sao cho kho ng cách t A đ n (P ) là l n nh t.
Đáp s . 5x + 13y − 4z + 21 = 0.
(c) Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a d và t o v i m t ph ng (xOy ) m t góc nh nh t.
Đáp s . x + y − z + 3 = 0.
(d) Vi t phương trình m t ph ng (R) ch a d và t o tr c (Oy ) m t góc l n nh t.
Đáp s . x + 5y − 2z + 9 = 0.
161. Cho m t ph ng (α) : x − y + 2z = 0 và các đi m A(1; 2; −1), B (3; 1; −2), C (1; −2; 1). Tìm đi m
M thu c (α) sao cho
13 4
; 1; − .
(a) M A + M B nh nh t; Đáp s . M
5 5
7 11
(b) |M A − M B | l n nh t; Đáp s . M ; ;1 .
22
(c) M A2 − M B 2 − M C 2 l n nh t; Đáp s . M (2; −2; −2).
#» #» #» 51 2
(d) |M A + M B + M C | nh nh t. ;−
Đáp s . M .
33 3
162. Trong s các đư ng th ng ∆ đi qua A và c t d, vi t phương trình các đư ng th ng sao cho
kho ng cách t B đ n nó là l n nh t; nh nh t.
x−1 y−4 z−2 x−1 y−4 z−2
Đáp s . ∆1 : = = và ∆2 : = = .
−4 −3 −19
1 15 18
19
- www.VIETMATHS.com
163. Cho m t ph ng (P ) có phương trình x − y − 2z = 0 và đi m M (2; −3; 1). Vi t phương trình
m t ph ng (Q) đi qua M , vuông góc v i (P ) và t o v i m t ph ng (yOz ) m t góc 45◦ .
Đáp s . x + y + 1 = 0 ho c 5x − 3y + 4z − 23 = 0.
164. Cho hai đi m A(1; 0; 1) và B (0; 1; 0). Vi t phương trình m t ph ng (P ) đi qua g c to đ và t o
v i các đư ng th ng OA, OB các góc b ng 30◦ .
√ √ √ √
Đáp s . (1 ± 5)x + y 5z = 0; (−1 ± 5)x + y 5z = 0.
165. Vi t phương trình m t ph ng (P ) đi qua đi m M (1; 2; 3) và t o v i tr c to đ Ox, Oy các góc
tương ng b ng 45◦ và 30◦ .
√ √
Đáp s . 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0; − 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0
√
166. Vi t phương trình c a đư ng th ng d đi qua đi m M (1; 0; 3) c t tr c Ox và t o v i tr c Ox
m t góc 45◦ .
x = 1 + t, x = 1 + t ,
Đáp s . ho c
y = 0, y = 0,
√ √
z = 3 − t .
z = 3 + t
x = t,
167. Vi t phương trình c a đư ng th ng d đi qua đi m M (1; 1; 1) c t đư ng th ng (d) : y = t,
z = −t
1
và t o v i m t ph ng z = 0 m t góc α và sin α = √ .
3
x y z
==.
Đáp s .
1 1 1
y−1
x+2 z+1
168. Vi t phương trình c a đư ng th ng d c t đư ng th ng = = t i A, c t tr c
−2
1 3
√ 1
Oz t i B sao cho AB = 3 và d t o và t o v i m t ph ng z = 0 m t góc α và sin α = √ .
3
Đáp s . A(1; −1; −2) và B (0; 0; −1); A(1; −1; −2) và B (0; 0; 3); A(−1; −1; 4) và B (0; 0; 3);
A(−1; −1; −4) và B (0; 0; −5).
x + 2y − z + 1 = 0, 2x + y − z + 1 = 0,
169. Cho hai đư ng th ng ∆1 : và ∆2 :
x − y + z + 1 = 0 x − y + 2z − 1 = 0.
Ch ng minh r ng khi các đi m A và B l n lư t thay đ i trên các ∆1 và ∆2 thì trung đi m I
c a đo n AB luôn thu c m t m t ph ng c đ nh. Vi t phương trình m t ph ng đó.
Đáp s . 6x + 2z + 3 = 0.
Hư ng d n.
20
nguon tai.lieu . vn
