Tổng hợp các bài toán về dãy số, giới hạn trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 và một số vấn đề liên quan

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN TRONG ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2011 – 2012 VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN (Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới thiệu) A – ĐỀ BÀI. Bài 1. (Quảng Bình, vòng 1) Cho dãy số un xác định như sau u1 1,un1 1u2011,n1,2,3,... n  2011 2011 2011  Tính lim 1  2 ... n . 2 3 n1 Bài 2. (Vĩnh Long, vòng 1) u 3 Cho dãy số un xác định bởi un1  5un un 4,n 1,2,3,... a) Chứng minh rằng un là dãy tăng nhưng không bị chặn trên. b) Đặt vn = n 1 ,n =1,2,3,.... Tính lim vn . k=1 k Bài 3. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre) Tìm số hạng tổng quát của dãy un thỏa mãn: u1 = u2 =1  un+1.un  n+2 2un+1 −un Bài 4. (Bình Định, vòng 1) u  2 3 Cho dãy số un được xác định bởi un1  3 2un 2 65un 3 33 2 1 n Đặt vn  k1 k 2,n1,2,3,...Tìm limvn . Bài 5. (Bình Dương, vòng 2) Cho dãy số xn được xác định như sau xn  1xn1  a ,n2 và a0,x 0. n1 Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn của dãy. Bài 6. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho hai số thực a và b. Xét dãy sốxn xác định bởi công thức Tìm điều kiện của a,b để xn có giới hạn. Tính giới hạn đó. x0 = a xn+1 =1+b.xn;∀n∈ Bài 7. (Hà Nam, vòng 2) Cho dãy số thực (xn) thỏa mãn: x = 6,xn+1 = 2xx+1 với mọi n nguyên dương. a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó. b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên. Bài 8. (Hà Nội, vòng 1) 1. Cho dãy số un xác định bởi: u1 = 1 và un+1 =un +n với mọi n 1. Tìm lim un . n+1 2. Cho dãy số vn  xác định bởi: v = 2015 và vn+1 = vn −2 với mọi n1,2,3,... 2 Chứng minh rằng lim v2.vn ...vn = 2011. Bài 9. (Long An, vòng 2) u 1 Cho dãy số xác định bởi un1  3un 4,n1,2,3,... n Đặt xn u2n1, yn u2n . 2 a) Chứng minh dãy xn ,yn có giới hạn hữu hạn. b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Bài 10. (Phú Thọ, vòng 1) Cho dãy số u1 4,un1  1un 44 12un ,n1,2,3,... Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên. Bài 11. (Nam Định, vòng 1) Xét dãy số un thỏa mãn u1 1,un1 un(un 1)2,n1. Chứng minh rằng A  n u2 1 1 là số chính phương với mọi n. k1 Bài 12. (Cần Thơ, vòng 2) Cho dãy số xn được xác định bởi: x = a xn+1 = 2011ln(xn +2011 )−2011 Chứng minh rằng dãy số xn có giới hạn. Bài 13. (Quảng Ninh, vòng 2) Cho dãy xn xác định bởi x0 a với a 1; 2và xn1  2xn ,n0,1,2,.... Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 14. (Vĩnh Phúc, vòng 1) Giả sử a là số thực dương thỏa 0a1. Lập dãy (an) như sau a1 a,an1 aan ,n1. Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu han khi n tiến tới vô cực. Bài 15. (Nam Định, vòng 2) Với mỗi số thực x kí hiệu x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x và x xx. Cho un =(45+ 2012)n. Chứng minh dãy un có giới hạn và tìm giới hạn đó. 3 Bài 16. (Đà Nẵng, vòng 2) Cho dãy số thực xn thỏa mãn điều kiện a) Tìm công thức tính xn theo x và n. xn +3xn n+1 3x2 +1 với mọi n* . b) Chứng minh rằng dãy số xn có giới hạn hữu hạn. Bài 17. (Hưng Yên, vòng 1) x a0 Cho dãy số xác định bởi công thức xn1  xn  n2 ,n1 Chứng minh rằng xn n2  1 an(n1) Bài 18. (Quảng Bình, vòng 2) Cho hai dãy số dương un ,vn  xác định bởi công thức  u1 v  2 un1  4vn1 1,vn1 14un1 ,n 1,2,3,... a. Tính u2011 v2011 . b. Tính limun,limvn . Bài 19. (Vĩnh Phúc, vòng 2) n Cho dãy các số dương (an) thỏa mãn: ak 2ak1 ak2 0, aj 1,k 1. j1 Chứng minh rằng 0ak ak1  2 ,k 1. Bài 20. (Vĩnh Long, vòng 2) Xét phương trình xn  x2 x1,n,n2 a. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n2 thì phương trình trên có đúng một nghiệm dương duy nhất. Gọi nghiệm đó là xn . b. Chứng minh rằng lim xn =1. 4 Bài 21. (Bến Tre, vòng 1) Cho phương trình x2n 3x20 trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1. 1. Chứng minh rằng ứng với mỗi n, phương trình có đúng một nghiệm xn 0;1. 2. Gọi xn với n2,3,4,...là dãy số có được theo cách xác định như trên. Chứng minh rằng dãy số này đơn điệu và bị chặn. Bài 22. (TP HCM, vòng 2) Cho dãy un được xác định bởi công thức u = 5 un+1 = u4 −8u2 +8 ∀n∈* Tìm công thức tổng quát của dãy un. Bài 23. (Tiền Giang, vòng 2) Cho dãy số un xác định bởi u0 0,un1  2 2un 4un 4 ,n1,2,3,... n Chứng minh rằng dãy un có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 24. (Chọn đội tuyển Phổ thông năng khiếu TP. HCM) Cho dãy un thỏa mãn điều kiện u1 = 1 và un+1 =un + 2un với mọi n nguyên dương. Tính giới hạn sau 5un+1 −2unun+1 +5unun+1 n+ 3un +unun+1(4+un ) Bài 25. (Hà Tĩnh, vòng 2) Dãy số xn với n =1,2,3,... bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện: xn+2  1 xn+1 + 3 xn với mọi n =1,2,3,... Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn. 5 ... - tailieumienphi.vn