Xem mẫu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
1. NGUYÊN HÀM
1.1 Định nghĩa:
Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K, nếu
"x Î K
F ' ( x) = f ( x)
ò f ( x)dx = F ( x) + C , "C Î ¡
Khi đó ta viết:
1.2 Tính chất của ng uyên hàm:
ò f ( x)dx = f ( x) + C
'
1.
ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx ( k là hằng số khác 0)
2.
ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx
3.
1.3 Bảng nguyên hàm của một số hàm sơ cấp và hàm số hợp
Nguyên hàm của hàm số hợp
Nguyên hàm của hàm sơ cấp
(với u = u ( x) )
ò 0dx = C ò 0du = C
ò dx = x + C ò du = u + C
xa +1 u a +1
ò x dx = ò u dx =
+ C (a ¹ 0) + C (a ¹ 0)
a a
a +1 a +1
1 1
ò x dx = ln x + C ò u du = ln u + C
ò e dx = e ò e du = e
+C +C
x x u u
ax au
ò a dx = ò a du =
+ C ( a ¹ 1, a > 0) + C ( a ¹ 1, a > 0)
x u
ln a ln a
ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C
ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C
1 1
ò cos ò cos
dx = tan x + C du = tan u + C
2 2
x u
1 1
ò sin ò sin
dx = - cot x + C du = - cot u + C
2 2
x u
1 1 1 1
ò ax + bdx = a ln ax + b + C ò au + bdu = a ln au + b
1
òx dx = arctan x + C
+1
2
ò f ( x)dx = F ( x) + C Þ ò f (ax + b)dx = F (ax + b) + C
1
ò dx = arcsin x + C
1 - x2
1
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
1.4 P hương pháp tín h nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
ò f (u )du = F (u) + C và u = u ( x) là hàm có đạo hàm liên tục thì
Nếu
ò f (u ( x))u ( x)dx = F (u ( x)) + C
'
Hệ quả: nếu u = ax + b , ( a ¹ 0) thì ta có
1
f (ax + b) dx = F ( ax + b) + C
a
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u = u ( x) và v = v( x) có đ ạo hàm liên tục trên K thì
ò u ( x)v ( x)dx = u( x)v( x) + ò v( x)u ( x)dx
' '
Hay ngắn gọn dễ nhớ hơn: ò udv = uv + ò vdu
Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phầ n thường được áp d ụng cho những nguyên hàm có
dạ ng sau:
ò P( x) ln xdx; ò P( x)e dx; ò P( x) sin axdx; ò P ( x) cos axdx; ò eax cos bxdx; ò eax sin bxdx
ax
Trong đó P( x) là mộ t đa thức và a, b là nh ững hằng số khác 0.
b) Một vài cách tính nguyên hàm khác thường gặp
P( x)
HÀM HỮU TỈ : ò dx trong đó P( x), Q ( x) là những đ a thức theo biến x
Q( x )
P( x) T ( x)
= R( x) +
Nếu bậc của P( x) ³ Q( x) thì phân tích rồ i tìm cách tính.
Q( x ) Q( x )
Nếu bậc của P( x) < Q( x) :
Ak Ak -1
P( x) A1
= + + .. +
Nếu Q( x) = ( x - a ) k ( k Î N , k > 1) thì ( Ak là hằng số)
k -1
( x - a) ( x - a) ( x - a ) ( x - a)
k k
a x + bk a x + b1
P( x)
= 2k + .. + 2 1 ( a k , bk là hằng)
Nếu Q( x) = ( x 2 + px + q ) k (k Î N , k ³ 1)
Q( x) ( x + px + q ) x + px + q
k
x
ĐỔI BIẾN CHO HÀM LƯỢNG GIÁC: Khi cần ta có thể đặt t = tan Khi đó ta có:
2
1- t 2
2t 2
sin x = , cos x = dx =
, dt
1+ t 1+ t 1+ t2
2 2
Bài Áp Dụng
1. Tìm ng uyên hàm của các hàm số sa u:
2 x
b) f ( x ) =
a) f ( x) = ( x + 3)5 c) f ( x) =
( x - 3) 2 1 - x2
1 - cos 2 x 2x + 1
1
d) f ( x ) = e) f ( x) = f) f ( x) = 2
x + x +1
cos 2 x
2x +1
2
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
x 1 1
g) f ( x) = 3 x 2 + i) f ( x ) = - x2 -
h) f ( x ) = 2 x 3 - 5 x + 7 2
2 x 3
1
k) f ( x) = 10 2 x
j) f ( x ) = x 3
2 . Tìm
x x+ x 1 + cos 4 x
a) ò ( x + 3 x )dx c) ò 4sin 2 xdx
b) ò d) ò
dx dx
x2 2
3. Tính các nguyên hà m sau bằ ng phương pháp đổi biến số :
1 1
a) ò x 2 3 1 + x 3 dx b) ò xe - x dx c) ò
2
sin dx
2
x x
2
x dx (ln x)
d) ò g) ò
e) ò
dx dx
(1 + x )
22
(1 - x) x x
sin x dx
i) ò cos x sin 3 xdx k) ò x - x
h) ò dx
e -e
3 2
cos x
9x2 dx
m) ò n) ò x 4 1 - x 2 dx( hd : u = 1 - x 2 )
l) ò ( hd : u = 5 x + 4)
dx ( HD : u = 1 - x3 )
5x - 4
1 - x3
4. Áp dụng phương phá p tính tích phân từng phần hã y tính
a) ò (1 - 2 x)e x dx b) ò xe - x dx c) ò x ln(1 - x) dx
d) ò x sin 2 xdx g) ò x ln 2 xdx
e) ò ln( x + 1 + x 2 ) dx
x
i) ò x 2 cos xdx f) ò xe x dx
h) ò x sin dx
2
5. Tính các nguyên hà m sau:
a) ò x(3 - x5 ) dx b) ò (2 x - 3x ) 2 dx c) ò x 2 - 5 xdx
x +1
dx
ln(sin x )
d) ò e) ò f) ò
dx dx
dx
( x - 1)( x + 1) ( x - 2)( x + 3)
cos 2 x
dx
h) ò cos(3x + 4)dx
g) ò 3 x 7 - 3 x 2 dx i) ò
cos (3 x + 2)
2
x3
x x 1 1 1
k) ò x 2 (
j) ò sin 5 l) ò
- 1)5 dx
cos dx sin cos dx
2
3 3 18 x x x
m) ò x e dx n) ò e o) ò x cos 2 xdx
3 x -9
3x 2
dx
p) ò x ln xdx q) ò sin 4 x cos xdx r) ò x cos( x 2 )dx
6. Bằng cách biến đổi các hàm lượng giác hãy tính:
1
a) ò sin 4 x c) ò sin 3 x cos 4 xdx
b) ò dx
sin 3 x
1 + sin x
dx
d) ò sin 4 x cos 4 xdx e) ò g) ò dx
1 + cos x
cos x sin 2 x
3
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
2. TÍCH PHÂN
2.1 Định nghĩa
Hàm số f ( x) liên tục trên [a; b] . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn [a; b] . Hiệu số
b
ò f ( x)dx
F (b) - F (a ) được gọ i là tích phân từ a đến b củ a hàm số f ( x) . Kí hiệu là
a
b b
ò f ( x)dx = F ( x) = F (b) - F ( a )
Tóm lại ta có:
a
a
Chú ý:
b a
Nếu a = b Þ ò f ( x) dx = ò f ( x) dx = 0
a a
b a
Nếu a > b Þ ò f ( x)dx = - ò f ( x)dx
a b
Tích phân không phụ thuộc vào ch ữ dùng làm biến dưới dấu tích phân, có nghĩa là:
a a a
ò f ( x)dx = ò f (t )dt = ò f (u ) du = ... = F (b) - F (a )
a a a
2.2 Tính chất của tích phân
b b
ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx , (k = const )
1.
a a
b b b
ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx
2.
a a a
b c b
,a < c
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
b b
b
ò u ( x)v ( x)dx = [u( x)v( x)]| - ò v( x)u ( x)dx
' '
a
a a
b b
b
ò udv = uv| - ò vdu
Hay dễ nh ớ hơn: a
a a
Bài tập
7. Tính các tích phân sa u:
p
1 4 2
11
c) ò (2 cos x - sin 2 x ) dx
a) ò ( y 3 + 3 y 2 - 2)dy b) ò (t + - 2 ) dt
tt
0 0
1
p 3p
1 3
3 2
e) ò cos 3 xdx + ò
d) ò (3s - 2 s ) ds g) ò x 2 - x - 2 dx
cos 3 xdx
p
0
0 0
3
8. Tính các tích phân sa u bằng phương phá p đổi biến số:
2 ln 2 9
a) ò x(1 - x)5 dx ò c) ò x 3 1 - xdx
e x - 1dx
b)
1 0 1
p
1 2
2x +1 1+ x 2
1 x sin x
d) ò e) ò f) ò
dx ( HD : t = )
dx dx
1 + cos 2 x
4
x x
x + x +1
2
-1 1 0
p
1 1
2
tan x
g) ò x + 1dx h) ò i) ò t 3 (1 + t 4 )3 dt
dx
cos 2 x
0 0 0
p
3
1 6
4x
5x
k) ò
j) ò l) ò (1 - cos 3 x)sin 3xdx
dx dx
( x + 4)
2 2
x2 + 1
0 0 0
9. Áp dụng phương phá p tích phân từ ng phầ n tính:
p
ln 2 1
2
a) ò x cos 2 xdx ò c) ò ln(2 x + 1) dx
xe-2 x dx
b)
0 0 0
p
2
3
1 x+ 1 2
e) ò (1 + x - )e x dx
d) ò [ln( x - 1) - ln( x + 1)]dx f) ò x cos x sin 2 xdx
x
1
2 0
2
p
2 1
g) ò x 5 ln xdx h) ò ( x + 1)e x dx i) ò e x cos xdx
1 0 0
5
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
3.1 Diện tích hình phẳ ng
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường
b
thẳng x = a , x = b được tính theo công thức: S = f ( x) dx ò
a
y = f ( x)
c1
x=b
x=a
Chú ý: để tính được diện tích trên, ta phải khử dấu giá trị tuyệt đố i của hàm dưới dấu tích phân. Cụ
c1 b
ò ò f ( x)dx
thể, như h ình trên ta có: S = f ( x) dx +
a c1
Hình phẳng giới hạn bởi đồ th ị hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và giới hạn bởi
b
S = ò f1(x)- f2(x) dx
hai đ ường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
a
f1 ( x)
f2 ( x)
c1 c2 c3
x=a x=b
Chú ý: Ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân. Cụ thể, đầu tiên ta giải phương
trình f1 ( x) - f 2 ( x) = 0 . Giả sử ta tìm được các nghiệm của nó là: c1 , c2 , c3 và thỏ a
a < c1 < c2 < c3 < b ( loại những nghiệm không thỏa điều kiện này). Khi đó:
b c1 c2 c3 cb
S = ò f1(x) - f2(x) dx = ò[ f1(x) - f2(x)]dx + ò[ f1(x) - f2(x)]dx + ò[ f1(x) - f2 (x)]dx + ò[ f1(x) - f2(x)]dx
a a c1 c2 c3
6
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
3.2 Thể tích vật thể
Một vật th ể v được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tạ i hai điểm có hoành độ
x = a, x = b , (a £ b ) . S ( x) là diện tích thiết diện của hình V. Khi đó ta có:
b
V = ò S ( x)dx
a
3.3 Thể tích khối tròn xoay
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục Ox và hai
đường thẳng x = a , x = b quay quanh trục Ox được tính bởi công thức:
b
Vx = p ò [ f ( x)]2 dx
a
Nếu đổi vai trò của x và y cho nhau (tức là quay xung quanh Oy) ta có:
d
Vy = p ò [ g ( y)]2 dx
c
Bài tập
10 . Tính diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi cá c đường sau:
b) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1
a) y = 2 x - x 2 , x + y = 2 c) y = x3 - 12 x, y = x 2
1 1
d) y = ,y= e) y = x3 - 1 và tiếp tuyến với y = x3 - 1 tại điểm (-1;-2)
1+ x 2
2
f) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ th ị hàm số y = sin x + 1 , trục hoành và hai đ ường thẳng
7p
x=0 và x = .
6
g) Đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = p
h) Đồ thị hàm số y = x và y=3 x
i) Đồ thị hàm số y = 2 x 2 và y = x 4 - 2 x2 trong miền x ³ 0
j) Đồ thị hàm số y = x 2 - 4, y = - x 2 - 2 x và hai đường thẳng x = 3, x = -2
k) Đồ thị hàm số y = x 2 - 4 và y = - x 2 - 2 x
l) Đồ thị hàm số y = x3 - 4 x , trục hoành, đường th ẳng x=-2 và đường thẳng x=4
11 . Tính thể tích của vậ t thể:
a) Có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và x = 1 . Mỗ i thiết diện vuông góc với trục Ox là
một hình vuông.
b) Có đáy là một hình tròn giới hạn b ởi x 2 + y 2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một
hình vuông.
7
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
12 . Tính thể tích khối tròn xo ay khi qua y hình phẳng xác định bởi:
a) y = 2 - x 2 , y = 1 ,quanh trục Ox b) y = 2 x - x 2 , y = x ,quanh trục Ox
1
c) y = (2 x + 1) 3 , x = 0, y = 3 , quanh trục Oy . d) y = ln x, y = 0, x = e quanh trục Oy
e) y = x 2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x 2 + 1 tại đ iểm (1;2), quanh trục Ox
Bài Tập Tổng Hợp
13 . Tính các nguyên hàm sau:
e x dx
xdx
a) ò (2x - 3) x -3dx(HD : u = x - 3) b) ò , (hd : u = x + 1) c) ò ( hd : u = e2 x + 1)
2
-x
e +e
3 x
(1 + x 2 ) 2
dx x
e) ò x sin xdx(hd : t = x )
d) ò g) ò x ln dx
sin x - sin a 1+ x
14 . Tích các tích phân sau:
1 2 2
a) ò ( y - 1) 2 ydy( hd : t = y ) b) ò ( z 2 + 1)( z - 1) 3 dz (hd : u = 3 z - 1
0 1
p
p
1 3 1 2
c) ò t (t + 1) dt ,(hd : u = t ) d) ò (cos5 j - sin 5 j )dj e) ò cos3 a cos 3a da
2 2
0 0 0
p
2 3
2
f) ò x 2 sin 2 xdx g) ò x(2 x 2 + 1) dx h) ò ( x - 1)e x
2
-2 x
dx
0 1 2
15 . Tính diện tích các hình phẳng giới hạ n bởi các đường sau:
ln x 1
a) y = x - 1 + , y = x - 1 và x = e b) y = x 3 - x 2 , y = ( x - 1) c) y = 1 - 1 - x 2 , y = x 2
x 9
d) Đồ th ị hàm số y = 4 - x 2 , y = - x + 2
e) Các đường cong có phương trình x = 4 - 4 y 2 , y = 1 - y 4
16 . Tính diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi:
a) Parabol y = x 2 - 2 x + 2 tiếp tuyến của nó tại điểm M(3;5) và trục tung.
b) Parabol y = - x 2 + 4 x - 3 và tiếp tuyến củ a nó tại các đ iểm A(0;3);
17 . Tính thể tích các khối trò n xoay tạ o thà nh khi qua nh hình phẳ ng xá c định bởi:
2 2
a) y = x 3 , x = 0 và tiếp tuyến với đường y = x 3 tại điểm có hoành độ x=1, quanh Oy.
1
b) y = - 1, y = 0, y = 2 x quanh Ox
x
c) y = 2 x - x 2 , y = 0, x = 3 quanh trục Ox; quanh trục Oy.
8
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
d) Tính thể tích của vật thể n ằm giữa hai mặt ph ẳng x=-1 và x=1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trụ c Ox tại điểm có hoành độ x ( -1 £ x £ 1 ) là mộ t hình vuông cạnh
2 1 - x2
e) Thể tích củ a vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x = p , biết rằng thiết diện của vật thể b ị cắt bởi
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ p ) là một tam giác đều cạnh là
2 sin x
f) Cho hình phẳng A giới h ạn bởi các đường y=0, x=4 và y = x - 1 . Tính thể tích của khố i tròn xoay
tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.
2
g) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = , y = 1, y = 4 . Tính th ể tích của khối tròn xoay khi
y
quay hình B quanh trục tung.
h) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 5 y 2 , x = 0, y = -1, y = 1 . Tính thể tích khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.
Bài Tập Nâng Cao
Tính các tích phân sau:
p p p
æ 1 + sin x ö x
2 2 2
sin x sin xdx
1) I = ò 2) I = ò ç 3) I = ò
dx ÷ e dx
(sin x + cos x) 3 1 + cos x ø 0 (sin x + 3.cos x )
0è
3
0
p
é1 ù 1
p 1
( x - x3 ) 3
2
æ ö æx öú
x ex
5) I = ò ê 2 + x ç + 2 tan x ÷ dx 6) I = ò
4) I = ò ç 2 cos 2 + x cos x ÷esin x dx dx
ê øú
2
x4
è cos x
2 3p x
0è ø 1
ê ú
4ë û 3
p
2 1
2
sin 2 xdx
dx
7) I = ò 8) I = ò 9) I = ò -3 x2 + 6 x + 1dx
1 + cos 4 x
x 1 + x3
1 0 0
p p
1
x3 cos3 x
3 2
tan x
11) I = ò 12) I = ò
10) I = ò dx
dx
dx
(1 + x 2 )3 cos 4 x - 3cos 2 x + 3
cos x. 1 + cos 2 x
p
0 0
4
p
p
cos 2 x
sin 2 x 2
13) Cho biết I = ò dx và J = ò dx
2 cos x + 3sin x 2 cos x + 3sin x
0 0
a) Hãy tính 9I-4J và I+J
b ) Từ đó suy ra kết quả I, J
9
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN THIẾT
1. Công thức lượng giác cơ bản nên nh ớ
sin 2 a + cos 2 a = 1 sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a )(1 - sin a cos a )
p
1 sin3 a - cos 3 a = (sin a - cos a )(1 + sin a cos a )
, a ¹ + kp , k Î ¢
1 + tan 2 a =
cos a2
2 sin 4 a + cos 4 a = 1 - 2sin 2 a cos 2 a
1
, a ¹ kp , k Î ¢
1 + cot 2 a = sin 4 a - cos 4 a = sin 2 a - cos 2 a = - cos 2a
sin 2 a
sin 6 a + cos6 a = 1 - 3sin 2 a cos 2 a
p
tan a .cot a = 1, a ¹ k , k Î ¢
sin 6 a - cos6 a = - cos 2a (1 - sin 2 a cos 2 a )
2
2. Giá trị lượ ng giác c ủa cung có liên q uan đặc biệt
Cung bù nhau: a và p - a Cung hơn kém p : a và p - a
Cung đố i nhau: a và -a
cos( -a ) = cos a sin(p - a ) = sin a sin(a + p ) = - sin a
sin(-a ) = - sin a cos(p - a ) = - cos a cos(a + p ) = - cos a
tan( -a ) = - tan a tan(p - a ) = - tan a tan(a + p ) = tan a
cot(-a ) = - cot a cot(p - a ) = - cot a cot(a + p ) = cot a
p p p
-a : a và a +
Cung phụ nhau: a và Cung hơn kém
2 2 2
æp pö
ö æ
sin ç - a ÷ = cos a sin ç a + ÷ = cos a
è2 2ø
ø è
æp pö
ö æ
cos ç - a ÷ = sin a cos ç a + ÷ = - sin a
è2 2ø
ø è
æp pö
ö æ
tan ç - a ÷ = cot a tan ç a + ÷ = - cot a
è2 2ø
ø è
æp pö
ö æ
cot ç - a ÷ = tan a cot ç a + ÷ = - tan a
2 2ø
è ø è
3. Công thức lượng giác
Công thức cộ ng Công thức nhân đôi, nhân ba
cos( a - b) = cos a cos b + sin a sin b sin 2a = 2sin a cos a
cos( a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b 2 tan a
tan 2a =
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 1 - tan 2 a
tan a - tan b sin 3a = 3sin a - 4sin 3 a
tan( a - b) =
1 + tan a tan b cos 3a = 4cos3 a - 3cos a
tan a + tan b
tan( a + b) = 3 tan a - tan 3 a
tan 3a =
1 - tan a tan b
1 - 3tan 2 a
10
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
Công thức hạ bậc Công thức biến tích thành tổng
1
[cos(a - b) + cos(a + b)]
cos a cos b =
1 + cos 2a 3cos a + cos 3a 2
cos 2 a = ; cos3 a =
2 4 1
sin a sin b = [cos(a - b) - cos(a + b)]
1 - cos 2a 3sin a - sin 3a 2
sin 2 a = ; sin 3 a =
2 4 1
sin a cos b = [sin( a - b) + sin( a + b)]
1 - cos 2a 2
tan 2 a =
1 + cos 2a
Công thức biến đổi tổng thành tích
p
a+b a -b
sin a + cos a = 2 sin(a + )
cos a + cos b = 2cos cos
4
2 2
p
a+b a -b = 2 cos(a - )
cos a - cos b = -2sin sin
4
2 2
p
a +b a -b
sin a - cos a = 2 sin(a - )
sin a + sin b = 2sin cos
4
2 2
p
a +b a -b
= - 2 cos(a + )
sin a - sin b = 2 cos sin
4
2 2
BẢNG ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
( x ) = 21x
( xa ) ' = a xa -1 (ua )' = a u a -1.u ' '
' '
æ1ö æ1ö
1 1
ç ÷ =- 2 ç ÷ =- 2
èxø x èu ø u
( u ) = 2 1u .u '
'
(C ) ' = 0 (C là hằng số ) (ku ) ' = k .u ' (k là hằng số)
(sin x) ' = cos x (sin u ) ' = cos u . u '
(cos x) ' = - sin x (cos u ) ' = - sin x . u '
1 1
(tan x) ' = (tan u ) ' = .u '
cos 2 x cos 2 u
1 1
(cot x) ' = - 2 = -(1 + cot 2 x) (cot u ) ' = - 2 . u ' = -(1 + cot 2 u ).u '
sin x sin u
1 1
(ln | x |) ' = (ln | u |) ' = .u '
x u
1 1
(log a | x |) ' = (log a | u |) ' = .u '
x ln a u ln a
(e x ) ' = e x , ( a x ) ' = a x ln a (eu ) ' = eu .u ' , ( a u ) ' = a u ln a.u '
11
www32.websamba.com/toan30ctu
- Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng
BẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
(u + v + w) ' = u '+ v '+ w ' (au ) ' = a.u ' (a là hằng số)
u ' v - uv '
u
( )' =
(uv) ' = u ' v + uv '
v2
v
f ( x) - f ( x0 )
f ( x0 ) ' = lim
x - x0
x ® x0
(Tính đạo hàm theo đ ịnh ngh ĩa)
f ( x0 + Dx) » f ( x0 ) + f '( x0 ) Dx0
(Công thức tính vi phân)
MỘT VÀI CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
1
ò ax + b dx = ln | ax + b | +C
1)
1 (ax + b)a +1
ò (ax + b) dx = + C (a ¹ -1, a ¹ 0)
a
2)
a (a + 1)
1 1 x
ò x 2 + a 2 dx = a arctan a + C
3)
1 ax + b
ò e dx = a e + C
ax + b
4)
1
ò a dx = a ln a a + C (0 < a ¹ 1)
a x+ b a x+ b
5)
1
ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
6)
1
ò sin(ax + b)dx = - a cos(ax + b) + C
7)
1 1
ò [1 + tan (ax + b)]dx = ò cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C
2
8)
1 1
ò [1 + cot (ax + b)]dx = ò sin 2 (ax + b) dx = - a cot(ax + b) + C
2
9)
x-a
1 1
òx dx = + C ( a > 0)
10) ln
-a 2a x + a
2 2
1 x
ò dx = arcsin + C ( a > 0)
11)
a
a 2 - x2
12
www32.websamba.com/toan30ctu
nguon tai.lieu . vn
