Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt

B¸ GIO DÖC V€ €O T„O „I H¯C THI NGUY–N BÒI VI›T H×ÌNG XC ÀNH QUY LUŠT BI–N PHI TUY˜N V€ XC ÀNH NGU˙N TRONG CC QU TRœNH TRUY—N NHI›T Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 62 46 01 02 T´M TT LUŠN N TI˜N Sž TON H¯C THI NGUY–N2015 Lu“n ¡n ÷æc ho n th nh t⁄i: Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m, ⁄i håc Th¡i Nguy¶n Ng÷íi h÷îng d¤n khoa håc: GS. TSKH. inh Nho H o Ph£n bi»n 1: .................................................... Ph£n bi»n 2: .................................................... Ph£n bi»n 3: .................................................... Lu“n ¡n ÷æc b£o v» tr÷îc Hºi çng ch§m Lu“n ¡n c§p ⁄i håc håp t⁄i Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ............................................................................................... ................................................................................................ V o hçi.......gií........ng y........th¡ng ........n«m.......... Câ th” t…m lu“n ¡n t⁄i: - Th÷ vi»n QuŁc gia H Nºi - Trung t¥m håc li»u ⁄i håc Th¡i Nguy¶n - Th÷ vi»n tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m ⁄i håc Th¡i Nguy¶n Mð ƒu C¡c qu¡ tr…nh truy•n nhi»t hay khu‚ch t¡n th÷íng ÷æc mæ h…nh hâa b‹ng b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh parabolic: khi mi•n v“t lþ, h» sŁ cıa ph÷ìng tr…nh, i•u ki»n ban ƒu v i•u ki»n bi¶n ÷æc bi‚t, ng÷íi ta nghi¶n cøu b i to¡n bi¶n n y v düa v o nghi»m cıa b i to¡n ÷a ra mºt dü o¡n v• hi»n t÷æng ang nghi¶n cøu. ¥y l b i to¡n thu“n cho qu¡ tr…nh m ta ang x†t. Tuy nhi¶n, trong thüc t‚, nhi•u khi mi•n v“t lþ, ho°c h» sŁ cıa ph÷ìng tr…nh, ho°c i•u ki»n bi¶n, i•u ki»n ban ƒu khæng ÷æc bi‚t cö th” m ta ph£i x¡c ành chóng qua c¡c o ⁄c gi¡n ti‚p, ” qua â nghi¶n cøu l⁄i qu¡ tr…nh. ¥y ch‰nh l nhœng b i to¡n ng÷æc vîi b i to¡n thu“n ÷æc nâi ð tr¶n v l chı • sæi ºng trong mæ h…nh hâa to¡n håc v lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh vi ph¥n hìn 100 n«m qua. Hai i•u ki»n quan trång ” mæ h…nh hâa mºt qu¡ tr…nh truy•n nhi»t â l quy lu“t trao Œi nhi»t tr¶n bi¶n v nguçn. C£ hai i•u ki»n n y •u do t¡c ºng ð b¶n ngo i v khæng ph£i lóc n o công ÷æc bi‚t tr÷îc, do â trong nhœng tr÷íng hæp n y, ta ph£i x¡c ành chóng qua c¡c o ⁄c gi¡n ti‚p v â l nºi dung cıa lu“n ¡n n y. Lu“n ¡n gçm hai phƒn, phƒn ƒu nghi¶n cøu b i to¡n x¡c ành quy lu“t trao Œi nhi»t (nâi chung l phi tuy‚n) tr¶n bi¶n qua o ⁄c tr¶n bi¶n v phƒn thø hai nghi¶n cøu b i to¡n x¡c ành nguçn (t⁄o ra qu¡ tr…nh truy•n nhi»t hay khu‚ch t¡n) qua c¡c quan s¡t kh¡c nhau. Trong phƒn ƒu cıa lu“n ¡n n y, cö th” trong Ch÷ìng 1, chóng tæi nghi¶n cøu b i to¡n ng÷æc x¡c ành h m g(;) (tøc quy lu“t trao Œi nhi»t tr¶n bi¶n) trong b i to¡n gi¡ trà bi¶n ban ƒu >ut u = 0 u(x;0) = u0(x) :@ = g(u;f) tł i•u ki»n quan s¡t bŒ sung trong Q; trong ; (0.6) tr¶n S; u(0;t) = h(t); t 2 [0;T]: (0.4) Quan s¡t theo tłng i”m (0.4) th÷íng khæng câ þ ngh¾a khi nghi»m cıa (0.6) ÷æc hi”u theo ngh¾a nghi»m y‚u. Do â, trong lu“n ¡n chóng tæi s‡ thay th‚ quan s¡t n y bði c¡c quan s¡t sau 1) Quan s¡t tr¶n mºt phƒn cıa bi¶n uj = h(x;t); (x;t) 2 ; (0.7) 1 2 vîi = (0;T], l mºt phƒn cıa @ câ º o kh¡c 0; 2) Quan s¡t t‰ch ph¥n bi¶n lu := !(x)u(x;t)dS = h(t); t 2 (0;T]; (0.8) @ trong â ! l h m khæng ¥m, x¡c ành tr¶n @, ! 2 L1(@) v @ !(x)dS > 0. Chóng tæi l÷u þ r‹ng, n‚u ta chån h m ! nh÷ l x§p x¿ cıa h m Dirac th… c¡c quan s¡t (0.8) câ th” coi l trung b…nh cıa quan s¡t (0.4). Quan s¡t t‰ch ph¥n l lüa chån thay th‚ cho quan s¡t o ⁄c theo tłng i”m (khi thi‚t bà o ⁄c câ º d y kh¡c 0) v b i to¡n ng÷æc s‡ ÷æc gi£i mºt c¡ch d„ d ng hìn nhí ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n. Ngo i ra vîi c¡ch °t b i to¡n nh÷ ð tr¶n, ta ch¿ cƒn sß cƒn o ⁄c ð mºt phƒn cıa bi¶n l câ th” x¡c ành ÷æc quy lu“t truy•n nhi»t tr¶n bi¶n, ¥y l mºt i•u quan trång trong thüc t‚. Trong mØi b i to¡n, chóng tæi tr…nh b y mºt v i k‚t qu£ ¢ bi‚t v• b i to¡n thu“n (0.6), sß döng ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n ” gi£i b i to¡n ng÷æc v chøng minh sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n tŁi ÷u hâa, công nh÷ ÷a ra cæng thøc t‰nh gradient cıa phi‚m h m cƒn cüc ti”u hâa; phƒn cuŁi còng trong mØi möc, chóng tæi d nh ” tr…nh b y v th£o lu“n v• ph÷ìng ph¡p sŁ ” gi£i c¡c b i to¡n tr¶n. Phƒn thø hai cıa lu“n ¡n d nh cho b i to¡n x¡c ành nguçn trong qu¡ tr…nh truy•n nhi»t. B i to¡n n y ÷æc nhi•u nh khoa håc nghi¶n cøu trong vÆng hìn 50 n«m qua. M°c dò câ kh¡ nhi•u k‚t qu£ v• t‰nh tçn t⁄i, duy nh§t v ¡nh gi¡ Œn ành cho b i to¡n, nh÷ng do t‰nh °t khæng ch¿nh v câ th” phi tuy‚n cıa b i to¡n, n¶n trong thíi gian gƒn ¥y ¢ câ r§t nhi•u nh to¡n håc v kÿ s÷ ¢ °t l⁄i v§n • nghi¶n cøu chóng. Cö th”, gi£ sß Rn l mi•n Lipschitz, giîi nºi vîi bi¶n . Kþ hi»u Q := (0;T], vîi T > 0 v bi¶n S = (0;T]. Gi£ sß aij; i;j 2 f1;2;:::;ng;b 2 L1(Q); aij = aji; i;j 2 f1;2;:::;ng; X kkRn aij(x;t)ij kkRn; i;j=1 8 2 Rn; 0 b(x;t) 1; u0 2 L2(); ’; hƒu kh›p trong Q; 2 L2(S); v l c¡c h‹ng sŁ d÷ìng v 1 0: X†t b i to¡n gi¡ trà ban ƒu n @t i;j=1 @xi aij(x;t)@xj +b(x;t)u = F; (x;t) 2 Q; ujt=0 = u0(x); x 2 ; vîi i•u ki»n bi¶n Robin @u +ujS = ’ tr¶n S; 3 ho°c i•u ki»n bi¶n Dirichlet ujS = tr¶n S: — ¥y, @u jS := X(aij(x;t)uxj)cos(;xi)jS; i;j=1 l vectì ph¡p tuy‚n ngo i Łi vîi S v 2 L1(S), ÷æc gi£ thi‚t l khæng ¥m hƒu kh›p nìi tr¶n S. B i to¡n thu“n l b i to¡n x¡c ành u khi c¡c h» sŁ cıa ph÷ìng tr…nh (2.7) v c¡c dœ ki»n u0;’ (ho°c ) công nh÷ F ¢ cho. B i to¡n ng÷æc l b i to¡n x¡c ành v‚ ph£i F khi mºt sŁ i•u ki»n bŒ sung l¶n líi gi£i u ÷æc cho th¶m v o. Phö thuºc v o c§u tróc cıa F v c¡c quan s¡t bŒ sung cıa u, ta câ c¡c b i to¡n ng÷æc kh¡c nhau nh÷ sau: B i to¡n ng÷æc (IP) 1: F(x;t) = f(x;t)h(x;t) + g(x;t), t…m f(x;t), khi u ÷æc cho tr¶n Q. Mºt sŁ t¡c gi£ ¢ nghi¶n cøu b i to¡n n y nh÷ Vabishchevich (2003), Lavrente’v v Maksimov (2008). IP2: F(x;t) = f(x)h(x;t)+g(x;t), h v g ¢ bi‚t. T…m f(x), khi u(x;T) ÷æc cho. C¡c t¡c gi£ nh÷ Hasanov (2012, 2014), Iskenderov (1976, 1979), Kamynin (2003) v Rundell (1980),... ¢ nghi¶n cøu b i to¡n n y. Ngo i ra, Gol’dman ¢ nghi¶n cøu c¡c b i to¡n ng÷æc t÷ìng tü cho ph÷ìng tr…nh phi tuy‚n. IP2a: F(x;t) = f(x)h(x;t)+ g(x;t), h v g ¢ bi‚t. T…m f(x), n‚u !1(t)u(x;t)dx ÷æc bi‚t. — ¥y, !1 thuºc L1(0;T) v khæng ¥m. Ngo i ra, 0 !1(t)dt > 0. C¡c quan s¡t d⁄ng n y ÷æc gåi l quan s¡t t‰ch ph¥n v chóng l mð rºng cıa quan s¡t t⁄i thíi i”m cuŁi T trong IP2, khi !1 l x§p x¿ h m t⁄i t = T. B i to¡n n y ¢ ÷æc Erdem (2013), Kamynin (2005),Orlovskii (1991) v Prilepko (1987, 2003) nghi¶n cøu. IP3:F(x;t) =f(t)h(x;t)+g(x;t), h and g ¢ cho. T…m f(t), n‚u u(x0;t) ÷æc bi‚t. — ¥y, x0 l 2000), Farcas v mºt i”m thuºc . Borukhov v Vabishchevich (1998, Lesnic (2006), Prilepko v Solov’ev (1987) ¢ nghi¶n cøu b i to¡n n y. IP3a:F(x;t) =f(t)h(x;t) +g(x;t), h v g ¢ cho. Kriksin v c¡c cºng sü (1995), Orlovskii (1991) ¢ x†t b i to¡n t…m f(t), n‚u !2(x)u(x;t)dx ÷æc bi‚t. — ¥y, !2 2 L1() vîi !2(x)dx > 0. IP4: F(x;t) = f(x)h(x;t) + g(x;t), h v g ¢ cho. T…m f(x) n‚u mºt i•u ki»n bŒ sung ð tr¶n bi¶n cıa u ÷æc bi‚t. V‰ dö, nh÷ khi i•u ki»n Dirichlet ¢ cho, ta câ th” l§y dœ ki»n bŒ sung l i•u ki»n Neumann ÷æc cho tr¶n mºt phƒn cıa S. C¡c k‚t qu£ cho b i to¡n n y câ th” ... - tailieumienphi.vn