Xem mẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

VŨ MẠNH TỚI

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Cung Thế Anh

Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học, Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội
Phản biện 3: TS. Phạm Triều Dương, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp
Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ
.... ngày .... tháng .... năm .....

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội
hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU
1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển được (bao
gồm tính điều khiển được chính xác, tính điều khiển được về 0,
tính điều khiển được xấp xỉ) đã được nghiên cứu đối với nhiều
lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và nửa tuyến tính.
Bởi phương pháp duy nhất Hilbert (Hilbert Uniqueness Method
(HUM)) đề xuất bởi J.-L. Lions (1988), tính điều khiển được của
bài toán tuyến tính được qui về tính quan sát được của bài toán
liên hợp tương ứng. Để thiết lập tính quan sát được của bài toán
liên hợp tương ứng thông qua các bất đẳng thức quan sát, một
trong những công cụ hiệu lực nhất là các ước lượng kiểu Carleman
toàn cục. Còn tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính
được chứng minh bằng cách sử dụng tính điều khiển được của bài
toán tuyến tính hóa tương ứng và phương pháp điểm bất động
đề xuất lần đầu tiên bởi Zuazua (1991-1993) cho phương trình
truyền sóng nửa tuyến tính một chiều.
Một trong những lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên
cứu nhiều là lớp phương trình tiến hóa kiểu parabolic, chứa đựng
phương trình truyền nhiệt cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic
xuất hiện trong hóa học, sinh học và trong cơ học chất lỏng.
Nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic
đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng hai
thập niên gần đây. Sau những nghiên cứu tiên phong của Fursikov
và Imanuvinov (1995,1996), Lebeau và Robbiano (1995) bằng công
cụ ước lượng Carleman, đã có nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu
về các tính chất điều khiển được của các phương trình parabolic
không suy biến với các hệ số biến thiên. Các kết quả này cũng được
mở rộng cho các bài toán parabolic nửa tuyến tính bởi Fabre et al.
(1995), Fernández-Cara (1997), Zuazua (1997,1999), FernándezCara và Zuazua (2000), Doubova et al. (2002), Fernández-Cara
1

và Guerrero (2006). Các kết quả đạt được đều dựa trên công cụ
chính là bất đẳng thức Carleman cho nghiệm của bài toán liên hợp
tương ứng. Các bất đẳng thức Carleman được thiết lập khi này
yêu cầu phần chính của phương trình là toán tử elliptic đều, miền
bị chặn và không có thế vị kì dị. Bên cạnh đó, tính điều khiển
được của các phương trình parabolic đều trong miền không bị
chặn cũng đã được nghiên cứu bởi Cabanillas et al. (2001), Miller
(2005), González-Burgos và Teresa (2007). Có thể nói ngày nay lí
thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic đều đã
khá hoàn thiện trong cả trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính.
Trong khoảng một thập kỉ trở lại đây, tính điều khiển được
của phương trình parabolic suy biến, không có hoặc có thế vị kì
dị, đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Những nghiên
cứu này được thúc đẩy bởi nhiều bài toán vật lí khác nhau như
mô hình tầng lớp biên Buchot và Raymond (2002), các mô hình
di truyền quần thể cá, các mô hình khí hậu Bydyko-Sellers, . . . .
Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đạt được hiện tại chủ yếu trong
trường hợp một chiều (xem Martinez et al. (2003), Cannarsa et al.
(2005,2006,2008), Vancostenoble (2006,2011), Fotouhi và Salimi
(2012) và các tài liệu trích dẫn trong đó), trong khi mới chỉ có rất
ít kết quả điều khiển được trong trường hợp nhiều chiều, chủ yếu là
trường hợp hai chiều đối với phương trình parabolic chứa toán tử
div(A(x)∇u) bởi Cannarsa et al. (2016), phương trình parabolic
chứa toán tử Grushin bởi Beauchard et al. (2014), phương trình
Kolmogorov bởi Beauchard (2014), Rousseau và Moyano (2016),
và một lớp phương trình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu
bởi Wang và Du (2010,2013,2014). Ngoài ra, các kết quả về tính
điều khiển được của các phương trình suy biến/kì dị nửa tuyến
tính vẫn còn rất ít. Đây đang là những vấn đề thời sự thu hút
được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học.

2

2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên
cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic suy biến
hoặc có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều hoặc trong trường
hợp nửa tuyến tính đang là vấn đề thời sự hiện nay. Chúng tôi
điểm qua một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên cứu này:
Một trong các lớp phương trình suy biến mà được nghiên cứu
mạnh trong những năm gần đây là lớp phương trình chứa toán
tử Grushin Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u, s ≥ 0. Toán tử này được
đưa ra đầu tiên bởi Grushin (1971). Chú ý rằng G0 = ∆ toán
tử Laplace, và Gs khi s > 0, không là elliptic trong những miền
có giao với mặt x = 0. Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm
của các phương trình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán
tử này đã được nghiên cứu gần đây trong cả trường hợp ôtônôm
và không ôtônôm (xem C.T.Anh et al. (2008), C. T. Anh (2010),
C.T.Anh và V.M.Toi (2012)). Tính điều khiển được của phương
trình parabolic chứa toán tử Grushin được nghiên cứu đầu tiên
trong trường hợp hai chiều bởi Beauchard et al. (2014). Xem thêm
kết quả gần đây bởi Beauchard et al. (2015). Tuy nhiên, tính điều
khiển được của lớp phương trình này trong trường hợp nhiều chiều
vẫn còn nhiều vấn đề mở.
Một lớp phương trình parabolic rất được quan tâm khác là lớp
phương trình parabolic chứa toán tử: Aµ = −∆ − µ/|x|2 . Các kết
quả về tính đặt đúng của bài toán cũng như dáng điệu tiệm cận
nghiệm của phương trình parabolic chứa tử Aµ đã được nghiên cứu
bởi nhiều nhà toán học (xem Baras và Goldstein (1984), Brezis và
Vázquez (1997), Vázquez và Zuazua (2000), C.T.Anh và T.T.H.
Yen (2011) và các tài liệu trích dẫn trong đó). Trong khi đó, tính
điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử này đã
nhận được bởi Vancostenoble-Zuazua (2008) và Ervedoza (2008)
cho trường hợp kì dị ở bên trong miền, và bởi Cazacu (2014) cho
3

nguon tai.lieu . vn