Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Đạo hàm của Lie của dòng và liên thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE
CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62. 46. 01. 05

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2016

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang
2. PGS. TS. Kiều Phương Chi

Phản biện 1:

...............................

Phản biện 2:

...............................

Phản biện 3:

...............................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại Trường Đại học Vinh
vào hồi .......... ngày .... tháng ..... năm ......

Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh
2. Thư Viện Quốc gia Việt Nam

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của toán học
hiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong các công trình nghiên
cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van Kampen. Đây là lĩnh vực đã và đang
được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Phép đạo hàm
Lie trên đa tạp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con
có thể tích cực tiểu địa phương, xác định các độ cong, độ xoắn của đa tạp Riemann.
Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như tìm
nghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, hệ động lực, hệ
Hamilton... Ngoài ra, đạo hàm Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa
học khác như: Cơ học lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế,...
1.2. Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô. Từ cuối những
năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của lý thuyết các không
gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những bước tiến mạnh mẽ và được ứng
dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ
động lực... Việc sử dụng lý thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu
của k−mặt trên đa tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu
của A. T. Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân...
1.3. Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các
đặc trưng hình học của đa tạp đó. Chính vì vậy, mà việc nghiên cứu nó đã và đang
được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Mặc dù cho đến nay đã có
nhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thu
hút ngày càng nhiều nhà toán học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trong
khoa học kỹ thuật. Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của các
đạo hàm Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên các
đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị. Trong trường hợp riêng, đạo hàm Lie được
sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên đa tạp. Trong những
năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: K.
Habermann, A. Klein (2003); L. Fatibene, M. Francaviglia (2011); R. P. Singh, S. D.
Singh (2010); A. Ya. Sultanov (2010); J. D. Pérez (2014)...
Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các đa tạp,
đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng tôi chọn đề tài
nghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie của dòng và liên thông".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp như: Đạo
hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi
phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông... nhằm bổ sung
một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann, đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một
số ứng dụng của chúng.

2

3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng,
đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của
phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc,
vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông và ứng dụng
của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học Riemann,
lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết nhóm Lie trong quá
trình thực hiện đề tài.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann như:
Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng,
đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo
hàm Lie của liên thông pháp dạng... nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên
đa tạp. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vận
chuyển, công thức đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại. Khái niệm này xuất
hiện vào nửa cuối thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp đó có nhiều ứng dụng trong các
lĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lý thuyết hệ động lực... và các ngành:
Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật... Lý thuyết liên thông là một trong những công
cụ cơ bản của hình học Riemann. Đến những năm cuối của thế kỷ 20, cùng với sự
phát triển của tôpô với những công trình nổi tiếng của Hausdorff, Poincaré... thì
hình học trên các đa tạp đã phát triển mạnh mẽ và chính tôpô đã trở thành một
công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độ
cong, độ xoắn, đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp và đặc biệt là mô tả các
tính chất hình học quan trọng trên nhóm Lie compact.
S. Lie là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm X[f ] của hàm số f theo trường
véctơ X trên đa tạp khả vi và bây giờ gọi là đạo hàm Lie của hàm số theo trường
véctơ. Năm 1920, Élie Cartan định nghĩa một cách tự nhiên toán tử vi phân LX của
các dạng vi phân và chứng minh được toán tử vi phân LX giao hoán với vi phân
ngoài d. Đặc biệt, Élie Cartan đã chứng minh được công thức sau và gọi là công thức
Cartan
LX = d ◦ iX + iX ◦ d,
ở đây iX là tích trong của trường véctơ X đối với dạng vi phân.
´
n
Năm 1931, trong các công trình nghiên cứu của W. Slebodzi´ski cũng đã xuất

3

´
hiện toán tử vi phân LX của trường tenxơ theo trường véctơ X. W. Slebodzi´ski đã
n
chứng minh được công thức toán tử vi phân LX của tích hai trường tenxơ và ứng
dụng vào việc tìm nghiệm của phương trình Hamilton chính tắc. Với mỗi hàm số
´
H(p, q), p = (pµ ), q = (q µ ), µ = 1, 2, ..., n, W. Slebodzi´ski định nghĩa trường véctơ
n
XH =

∂H ∂
∂H ∂
− µ
∂pµ ∂q µ ∂q ∂pµ

∂
∂
và đã chứng minh được LXH A = 0; LXH B = 0; với A = dq µ ∧ dpµ , B = ∂qµ ∧ ∂pµ .
Năm 1932, D. V. Dantzig đã đặt tên cho toán tử vi phân LX là đạo hàm Lie
mang tên nhà toán học S. Lie. Sử dụng đạo hàm Lie, Dantzig thu được nhiều kết
quả thú vị, đó là không gian xạ ảnh n−chiều được mô tả bởi n + 1 tọa độ cong thuần
nhất mà có thể xem như không gian (n + 1)−chiều với liên thông tuyến tính và ông
đã đưa ra những ứng dụng của đạo hàm Lie vào Vật lý. Kể từ đó, các phép biến dạng
của đường cong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhóm
chuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo giác đã được
quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: L. Berwald, E. Cartan,
N. Coburn, E. T. Davies, P. Dienes, A. Duschek, L. P. Eisenhart, F. A. Ficken, H.
A. Hayden, V. Hlavatý, E. R. van Kampen, M. S. Knebelman, T. Levi Civita, J.
Levine, W. Mayer, A. J. McConnel, A. D. Michal, H. P. Robertson, S. Sasaki, J. A.
Schouten, J. L. Synge, A. H. Taub, H. C. Wang và nhiều tác giả khác.
Năm 1948, J. A. Schouten và D. J. Struik đã phát triển thêm một số tính chất
về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹ thuật tính đạo hàm Lie đối
với dạng vi phân trên đa tạp. Sau đó, năm 1957 K. Yano là người giới thiệu về lý
thuyết đạo hàm Lie và các ứng dụng của đạo hàm Lie. Việc nghiên cứu phép đạo
hàm Lie có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp và
đặc biệt là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ học
lượng tử, động lực học... Năm 1997, J.-H. Kwon và Y. J. Suh đã nghiên cứu một
số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu A trong không gian
dạng phức. Năm 2002, B. N. Shapukov đã trình bày một số kết quả về đạo hàm Lie
của trường tenxơ trên đa tạp Fiber. Năm 2008, K. R¨benack đã đưa ra thuật toán
o
cho phép tính đạo hàm Lie bậc cao bằng máy tính.
Năm 2010, các tác giả L. S. Velimirovi´, S. M. Min˘i´, M. S. Stankovi´ đã nghiên
c
cc
c
cứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơ cong trên không gian
với liên thông affine không đối xứng. Cùng trong thời gian này, A. Ya. Sultanov đã
xây dựng khái niệm đạo hàm Lie trên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạo
hàm Lie của liên thông trên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các
độ cong và độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị.
Năm 2011, trong công trình nghiên cứu của L. Fatibene và M. Francaviglia đã
trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz và ứng dụng của nó
vào việc khảo sát không gian Minkowski. Năm 2012, trên cơ sở đạo hàm Lie của
dạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann và
đưa ra một số ứng dụng trên nhóm Lie compact. Năm 2014, J. D. Pérez đã nghiên
cứu đạo hàm Lie trên siêu mặt thực trong không gian xạ ảnh phức.