Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TR­êng ®¹i häc vinh --------------------------- D¦¥NG XU¢N GI¸P C¸C §ÞNH Lý ERGODIC Vµ LUËT Sè LíN §èi víi m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn §A TRÞ Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc M· sè: 62. 46. 01. 06 TãM T¾T LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc NGHÖ AN - 2016 LuËn ¸n ®­îc hoµn thµnh t¹i Tr­êng §¹i häc Vinh Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: 1. GS. TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng 2. GS. Charles Castaing Ph¶n biÖn 1: GS. TSKH. §Æng Hïng Th¾ng §¹i häc Khoa häc tù nhiªn - §¹i häc Quèc gia Hµ Néi Ph¶n biÖn 2: PGS. TS. TrÇn Hïng Thao ViÖn To¸n häc - ViÖn Khoa häc C«ng nghÖ ViÖt Nam Ph¶n biÖn 3: TS. Lª Hång S¬n §¹i häc S­ ph¹m Kü thuËt Vinh LuËn ¸n ®­îc b¶o vÖ t¹i Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp tr­êng häp t¹i Tr­êng §¹i häc Vinh Vµo håi .... ngµy .... th¸ng .... n¨m .... Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: - Th­ viÖn Quèc gia ViÖt Nam - Trung t©m Th«ng tin - Th­ viÖn NguyÔn Thóc Hµo thuéc Tr­êng §¹i häc Vinh 1 M— †U 1. Lþ do chån • t i Thíi gian gƒn ¥y, ành lþ ergodic v lu“t sŁ lîn Łi vîi c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà ¢ ÷æc nhi•u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cøu v câ nhi•u øng döng trong tŁi ÷u ng¤u nhi¶n, thŁng k¶, to¡n kinh t‚, y håc v mºt sŁ l¾nh vüc kh¡c. Bi‚n ng¤u nhi¶n a trà l sü mð rºng cıa phƒn tß ng¤u nhi¶n. Ch‰nh v… v“y, vi»c nghi¶n cøu ành lþ ergodic v lu“t sŁ lîn cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà khæng ch¿ câ þ ngh¾a lþ thuy‚t m cÆn câ þ ngh¾a thüc ti„n. Thüc ti„n Æi häi chóng ta nghi¶n cøu v• m£ng nhi•u chi•u c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n. Łi vîi c§u tróc nhi•u chi•u, quan h» thø tü thæng th÷íng tr¶n t“p c¡c ch¿ sŁ khæng câ t‰nh ch§t tuy‚n t‰nh. Do â, khi mð rºng c¡c ành lþ giîi h⁄n Łi vîi c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà tł tr÷íng hæp d¢y sang tr÷íng hæp m£ng nhi•u ch¿ sŁ øng vîi nmax ! 1 ho°c nmin ! 1, chóng ta s‡ g°p nhi•u i•u b§t th÷íng. i•u n y gâp phƒn l m cho c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu v• c¡c ành lþ giîi h⁄n a trà d⁄ng lu“t sŁ lîn v d⁄ng ành lþ ergodic Łi vîi c§u tróc nhi•u chi•u câ nhi•u þ ngh¾a. Lþ thuy‚t ergodic b›t nguçn tł ng nh cì håc thŁng k¶. Nghi¶n cøu c¡c ành lþ ergodic ÷æc b›t ƒu v o nhœng n«m 1931-1932 bði G. D. Birkhoff v J. v. Neumann. Trong m§y th“p k gƒn ¥y, ành lþ ergodic Birkhoff ¢ ÷æc mð rºng theo hai h÷îng ch‰nh: cho c§u tróc nhi•u chi•u v cho c¡c h m a trà. Theo h÷îng thø nh§t, ƒu ti¶n l v o n«m 1951, N. Dunford v A. Zygmund ¢ thi‚t l“p ànhlþergodicBirkhoffŁivîihåkhænggiaoho¡nc¡cph†pbi‚nŒib£oto nºo t÷ìng øng cho c¡c tr÷íng hæp tham sŁ ríi r⁄c v tham sŁ li¶n töc. K‚t qu£ n y sau â ÷æc N. Dunford, J. T. Schwartz (n«m 1956) v N. A. Fava (n«m 1972) tŒng qu¡t l¶n cho tr÷íng hæp to¡n tß. C¡c k‚t qu£ tr¶n ti‚p töc ÷æc mð rºng cho tr÷íng hæp tŒng câ trång sŁ trong c¡c cæng tr…nh cıa R. L. Jones v J. Olsen (n«m 1994), M. Lin v M. Weber (2007), F. Mukhamedov, M. Mukhamedov v S. Temir (n«m 2008), ... Theo h÷îng thø hai, v o n«m 1991, J. Ban thi‚t l“p ành lþ ergodic Birkhoff cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà t“p compact ho°c gi¡ trà mí tr¶n khæng gian Banach øng vîi hºi tö theo kho£ng c¡ch Hausdorff. Cho tîi n«m 2003, C. Choirat, C. Hess v R. A. Seri thu ÷æc ành lþ ergodic Birkhoff cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà nh“n gi¡ trà t“p lçi øng vîi hºi tö Kuratowski. Gƒn ¥y, v o n«m 2011, H. Ziat chøng minh ành lþ ergodic Birkhoff cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà theo c¡c lo⁄i hºi tö: Mosco, Wijsman v Slice. Do â, nghi¶n cøu ành lþ ergodic Birkhoff cho c£ c§u tróc nhi•u chi•u v cho c¡c h m a trà ang l v§n • câ t‰nh thíi sü. 2 Lu“t sŁ lîn a trà ÷æc chøng minh lƒn ƒu ti¶n v o n«m 1975 bði Z. Artstein v R. A. Vitale cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p còng ph¥n phŁi, nh“n gi¡ trà tr¶n khæng gian c¡c t“p con compact cıa Rd, øng vîi hºi tö theo kho£ng c¡ch Hausdorff. K‚t qu£ n y sau â ÷æc mð rºng theo hai h÷îng ch‰nh: cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà t“p compact v cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà t“p âng. Theo h÷îng thø nh§t, chóng ta câ th” tham kh£o trong c¡c cæng tr…nh cıa N. Cressie (n«m 1978), C. Hess (n«m 1979), M. L. Puri v D. A. Ralescu (n«m 1983), F. Hiai (n«m 1984), Z. Artstein v J. C. Hansen (n«m 1985), P. Teran v I. Molchanov (n«m 2006), ... Theo h÷îng thø hai, lu“t sŁ lîn ÷æc chøng minh ƒu ti¶n v o n«m 1981 bði Z. Artstein v S. Hart cho hºi tö Kuratowski Łi vîi c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p còng ph¥n phŁi, nh“n gi¡ trà tr¶n khæng gian c¡c t“p con âng cıa Rd. Sau â nâ ÷æc ti‚p töc nghi¶n cøu bði F. Hiai v C. Hess cho hºi tö Mosco v Wijsman. Cho ‚n nay, nghi¶n cøu v• lu“t sŁ lîn cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà v¤n l mºt v§n • câ t‰nh thíi sü cıa lþ thuy‚t x¡c su§t. Lu“t sŁ lîn a trà chı y‚u t“p trung nghi¶n cøu c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p. Tuy nhi¶n, thüc t‚ khæng ph£i lóc n o chóng ta công câ th” gi£ thi‚t ÷æc r‹ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n l ºc l“p. Mºt h÷îng ph¡t tri”n cıa lu“t sŁ lîn a trà l nghi¶n cøu lu“t sŁ lîn Łi vîi d¢y v m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà m i•u ki»n ºc l“p ÷æc thay th‚ bði c¡c i•u ki»n phö thuºc nh÷ ºc l“p æi mºt, phö thuºc ho¡n Œi ÷æc, phö thuºc 2-ho¡n Œi ÷æc. ¥y l mºt h÷îng nghi¶n cøu câ gi¡ trà v• m°t thüc ti„n. C¡c ành lþ giîi h⁄n d⁄ng lu“t sŁ lîn v d⁄ng ành lþ ergodic trong x¡c su§t a trà th÷íng ÷æc nghi¶n cøu cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà tr¶n khæng gian c¡c t“p con compact ho°c khæng gian c¡c t“p con lçi ho°c khæng gian c¡c t“p con âng, ... cıa mºt khæng gian Banach. Do â, c¡c k‚t qu£ theo h÷îng nghi¶n cøu n y v c¡c chøng minh cıa chóng câ sü k‚t hæp v giao thoa giœa lþ thuy‚t x¡c su§t, gi£i t‰ch lçi v gi£i t‰ch h m. Hºi tö theo kho£ng c¡ch Hausdorff th÷íng ÷æc sß döng khi nghi¶n cøu c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà t“p compact. Łi vîi c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà nh“n gi¡ trà l t“p âng, ng÷íi ta th÷íng sß döng c¡c lo⁄i hºi tö: Kuratowski, Mosco v Wijsman. Hºi tö Kuratowski phò hæp cho vi»c thi‚t l“p lu“t sŁ lîn a trà Łi vîi c¡c khæng gian hœu h⁄n chi•u. Hºi tö Mosco l mºt mð rºng cıa hºi tö Kuratowski Łi vîi khæng gian Banach. Lo⁄i hºi tö n y phò hæp cho c¡c khæng gian ph£n x⁄ v câ øng döng thó và trong c¡c b§t flng thøc bi‚n ph¥n. Vîi mð rºng phò hæp 3 cho c¡c khæng gian khæng ph£n x⁄, hºi tö Wijsman ¢ ÷æc giîi thi»u v th‰ch hæp cho vi»c nghi¶n cøu v• tŁc º hºi tö v cÆn ÷æc sß döng ” chøng minh lu“t sŁ lîn cho hºi tö Slice-mºt lo⁄i hºi tö câ nhi•u øng döng trong tŁi ÷u ng¤u nhi¶n. Do v“y, nghi¶n cøu c¡c ành lþ giîi h⁄n cho c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà theo c¡c lo⁄i hºi tö Mosco v Wijsman mang tîi nhi•u i•u thó và v þ ngh¾a. Vîi c¡c lþ do n¶u tr¶n, chóng tæi chån • t i nghi¶n cøu cho lu“n ¡n cıa m…nh l : C¡c ành lþ ergodic v lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà. 2. Möc ‰ch nghi¶n cøu Möc ‰ch cıa lu“n ¡n l thi‚t l“p ành lþ ergodic Birkhoff d⁄ng nhi•u chi•u, thi‚t l“p lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng hai ch¿ sŁ v m£ng tam gi¡c c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà nh“n gi¡ trà tr¶n khæng gian c¡c t“p con âng cıa khæng gian Banach thüc, kh£ ly vîi c¡c gi£ thi‚t kh¡c nhau. 3. Łi t÷æng nghi¶n cøu - ành lþ ergodic Birkhoff d⁄ng nhi•u chi•u. - Lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà. 4. Ph⁄m vi nghi¶n cøu Lu“n ¡n t“p trung nghi¶n cøu ành lþ ergodic Birkhoff d⁄ng nhi•u chi•u, lu“t sŁ lîn Łi vîi m£ng hai ch¿ sŁ v m£ng tam gi¡c c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà nh“n gi¡ trà tr¶n khæng gian c¡c t“p con âng cıa mºt khæng gian Banach thüc, kh£ ly. C¡c lo⁄i hºi tö ÷æc x†t ‚n l hºi tö Mosco v hºi tö Wijsman. Łi vîi lu“t sŁ lîn a trà, c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n a trà ÷æc gi£ thi‚t ºc l“p, ho°c ºc l“p æi mºt, ho°c phö thuºc 2-ho¡n Œi ÷æc. 5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu Chóng tæi sß döng phŁi hæp c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu lþ thuy‚t thuºc c¡c chuy¶n ng nh lþ thuy‚t x¡c su§t, gi£i t‰ch lçi v gi£i t‰ch h m nh÷: kÿ thu“t lçi hâa, d⁄ng ành lþ Stolz, ... 6. Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti„n C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n gâp phƒn l m phong phó th¶m cho h÷îng nghi¶n cøu v• c¡c ành lþ giîi h⁄n trong x¡c su§t a trà. Lu“n ¡n l t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n, håc vi¶n cao håc v nghi¶n cøu sinh chuy¶n ng nh Lþ thuy‚t x¡c su§t v ThŁng k¶ to¡n håc. ... - tailieumienphi.vn