of x

Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 7 | Page: 4 | FileSize: 0.18 M | File type: PDF
7 lần xem

Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng. Tài liệu Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng cung cấp 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.. Cũng như các thư viện tài liệu khác được bạn đọc chia sẽ hoặc do sưu tầm lại và chia sẽ lại cho các bạn với mục đích tham khảo , chúng tôi không thu phí từ bạn đọc ,nếu phát hiện tài liệu phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài tài liệu này, bạn có thể tải bài giảng miễn phí phục vụ tham khảo Vài tài liệu download thiếu font chữ không xem được, nguyên nhân máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn download các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/toan-hoc-lop-11-mo-dau-ve-day-so-phan-1-thay-dang-viet-hung-9i97tq.html

Nội dung

tailieumienphi.vn chia sẽ tới mọi người bài Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt HùngThư viện Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng thuộc danh mục ,Tài Liệu Phổ Thông,Trung học phổ thông được giới thiệu bởi trunghocphothong đến các bạn nhằm mục đích nghiên cứu , thư viện này đã chia sẽ vào danh mục ,Tài Liệu Phổ Thông,Trung học phổ thông , có tổng cộng 4 trang , thuộc file PDF, cùng thể loại Toán học lớp 11, Bài tập Toán học lớp 11, Lý thuyết Toán học lớp 11, Bài tập về dãy số, Ôn tập Toán lớp 11, Công thức Toán lớp 11 : Tài liệu Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng cung cấp 1 số bài tập thí dụ kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện, nói thêm là Mời những bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả, tiếp theo là Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 02, ngoài ra M Th y I, ngoài ra NH NGHĨA DÃY S U V DÃY S - P1 ng Vi t Hùng [ VH] + Dãy s vô h n M t hàm s u xác nh trên t p s t nhiên N ư c g i là m t dãy s vô h n (hay g i là dãy s ), thêm nữa Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un), nói thêm là + Dãy s h u h n M t hàm s u xác nh trên t p M = {1; 2;3, thêm nữa m} ư c g i là m t dãy s h u h n, cho biết thêm Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un), thêm nữa II, nói thêm CÁC CÁCH CHO M T DÃY S Dãy s cho b i công th c c a s h ng t ng quát Khi ó un = f (n) trong ó f là m t hàm s xác 2 nh,còn cho biết thêm Ví d 1 [ VH]: V i un = n − 1; n ≥ 2 ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15, tiếp theo là Ví
Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y

NG VI T HÙNG

Facebook: LyHung95

02. M
Th y
I. NH NGHĨA DÃY S

U V DÃY S

- P1

ng Vi t Hùng [ VH]

+ Dãy s vô h n M t hàm s u xác nh trên t p s t nhiên N ư c g i là m t dãy s vô h n (hay g i là dãy s ). Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un). + Dãy s h u h n M t hàm s u xác nh trên t p M = {1; 2;3...m} ư c g i là m t dãy s h u h n. Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un).
II. CÁC CÁCH CHO M T DÃY S

Dãy s cho b i công th c c a s h ng t ng quát Khi ó un = f (n) trong ó f là m t hàm s xác
2

nh.

Ví d 1 [ VH]: V i un = n − 1; n ≥ 2 ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15... Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a các dãy s sau: 3n + 1 1 + (−2) n a) un = 2 b) un = n +1 n +1 d) un =
2n + 1 2n − 1

c) un =

1 n +1 − n
n

e) un =

n +1 n2 + 1

 1 f) un =  1 +   n

Dãy s cho b i h th c truy h i u ho c m t vài s h ng u. u = a u = a; u2 = b ho c  1 Có hai d ng cho s h ng b i h th c truy h i thư ng g p là  1 un = f (un−1 ) un = f (un−1; un−2 ) u = 2 Ví d 1 [ VH]:  1 ⇒ u1 = 2; u2 = 3u1 + 1 = 7; u3 = 3u2 + 1 = 22... un = 3un −1 + 1 Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a dãy s . D oán công th c un và ch ng minh công th c ó b ng phương pháp quy n p? u1 = 3 u1 = 1 u1 = −1  a)  b)  c)  2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 3; n ≥ 1 un +1 = 1 + un ; n ≥ 1  Hư ng d n gi i: u1 = 1 a)  ⇒ u1 = 1; u2 = u1 + 3 = 4; u3 = u2 + 5 = 9; u4 = u3 + 7 = 16; u5 = u4 + 9 = 25. un +1 = un + 2n + 1 T ó ta có th nh n th y un = n 2 ; n ≥ 1, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 1, v y (*) úng. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k 2 ; k ≥ 1. Khi ó, dãy s xác nh ư c s h ng

+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1)2 ; k ≥ 0. Th t v y, uk +1 = uk + 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇒ (*) úng. V y un = n 2 ; n ≥ 1. u1 = −1 b)  ⇒ u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5; u4 = u3 + 3 = 8; u5 = u4 + 3 = 11. un +1 = un + 3 T ó ta có th nh n th y un = 3n − 4, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = −1, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = 3k − 4.

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y

NG VI T HÙNG

Facebook: LyHung95

+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = 3(k + 1) − 4. Th t v y, uk +1 = uk + 3 = 3k − 4 + 3 = 3k − 1 = 3(k − 1) + 4 ⇒ (*) úng. V y un = 3n − 4.
u1 = 3  2 2 2 c)  ⇒ u1 = 3 = 9; u2 = 1 + u12 = 10; u3 = 1 + u2 = 11; u4 = 1 + u3 = 12; u5 = 1 + u4 = 13. 2 un +1 = 1 + un  Ta nh n th y un = n + 8, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 3, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k + 8.
+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1) + 8 = k + 9
2 Th t v y, uk +1 = 1 + uk = 1 + k + 8 = k + 9 ⇒ (*) úng.

V y un = n + 8.

Ví d 3 [ VH]: Cho dãy s (un ) xác a) Tính u2, u3, u4. b) Ch ng minh r ng un +3 = un ∀n ∈ »*

u1 = 1  nh b i công th c  3 2 5 un +1 = − 2 un + 2 un + 1; n ≥ 1 

Hư ng d n gi i: u1 = 1 3 5 3 2 5 3 2 5  a) Ta có  ⇒ u2 = − u12 + u1 + 1 = 2; u3 = − u2 + u2 + 1 = 0; u4 = − u3 + u3 + 1 = 1. 3 2 5 2 2 2 2 2 2 un +1 = − 2 un + 2 un + 1  b) Ta ch ng minh un +3 = un , (*) ∀n ∈ »* b ng quy n p. + V i n = 1 ta có u4 = u1, úng theo ph n a. + Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk +3 = uk . + Ta ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh uk + 4 = uk +1 3 2 5 3 2 5 Th t v y, theo cách cho dãy s ta có uk + 4 = − uk +3 + uk +3 + 1 = − uk + uk + 1 = uk +1 ⇒ (*) úng. 2 2 2 2 * V y un +3 = un ∀n ∈ » . Ví d 4 [ VH]: Vi t 6 s h ng u tiên c a các dãy s sau và d oán s h ng t ng quát c a dãy s ó. u1 = 1 u1 = 1 u = 1   a)  b)  c)  1 un 2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 1; n ≥ 1 un +1 = u + 1 ; n ≥ 1  n 

/s: a) un = n.
III. DÃY S TĂNG, DÃY S GI M

1 b) un = . n

c) un = n2 .

Dãy s (un) ư c g i là tăng n u un < un+1; ∀n ∈ »*. Dãy s (un) ư c g i là gi m n u un > un +1; ∀n ∈ »* . M t dãy s tăng, gi m ư c g i chung là dãy s ơn i u. Phương pháp kh o sát tính ơn i u c a m t dãy s Phương pháp 1: Xét hi u H = un+1 − un +) N u H > 0 thì dãy s +) N u H < 0 thì dãy s ã cho là dãy tăng. ã cho là dãy gi m.

un +1 un +) N u T > 1 ⇔ un+1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. +) N u T < 1 ⇔ un+1 < un ⇒ dãy s ã cho là dãy gi m. Phương pháp 2: N u un > 0 thì ta l p t s T =

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y

NG VI T HÙNG
n . n +1
2

Facebook: LyHung95
n +1 − n . n

Ví d 1 [ VH]: Xét tính ơn i u c a các dãy s sau: n a) un = 2n + 3. b) un = n . 2

c) un =

d) un =

Hư ng d n gi i: a) Theo cách cho dãy s ta ư c un = 2n + 3; un +1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5 ⇒ un +1 − un = (2n + 5) − (2n + 3) > 0 Suy ra un +1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. b) Ta có un =
Gi s n 2n ; un +1 = n + 1 un+1 n + 1 2n 1 n + 1 1 n + 1 ⇒ = n +1 . = = un 2 n 2n+1 2 n 2 n

un +1 1 n + 1 1 n +1 = >1⇔ > 1 ⇔ n + 1 > 4n ⇔ 3n < 1 ⇒ vô lý. 2 4 n un n un +1 < 1 ⇔ un +1 < un ⇒ dãy s un ã cho là dãy s gi m.

V y

c) Ta có un =
=

n n +1 n +1 n +1 n (n + 1)(n2 + 1) − n(n 2 + 2n + 2) ; un+1 = = 2 ⇒ un+1 − un = 2 − 2 = (n + 1)2 + 1 n + 2n + 2 (n2 + 1)(n 2 + 2n + 2) n2 + 1 n + 2n + 2 n + 1

n3 + n 2 + n + 1 − n 3 − 2 n 2 − 2n −n2 − n + 1 = 2 < 0 ∀n ≥ 1 ⇒ (un ) là dãy s gi m. (n 2 + 1)(n 2 + 2n + 2) (n + 1)(n 2 + 2n + 2)

n +1 − n n +1 n+2 = − 1 ⇒ un +1 = −1 n n n +1  n + 2   n +1  n+2 n + 1 n n + 2 − (n + 1) n + 1) Khi ó ta có un +1 − un =   n + 1 − 1 −  n − 1 = n + 1 − n =    n(n + 1)     Gi s un +1 − un > 0 ⇔ n n + 2 − (n + 1) n + 1) > 0 ⇔ n n + 2 > (n + 1) n + 1) ⇔ n 2 ( n + 2) > (n + 1)3

d) un =

⇔ n3 + 2n2 > n3 + 3n2 + 3n + 1 ⇔ n2 + 3n + 1 < 0 ⇒ vô lý. V y un +1 − un < 0 ⇒ (un ) là dãy s gi m.
IV. DÃY S B CH N

Dãy s (un) ư c g i b ch n trên n u t n t i m t s M sao cho un ≤ M ; ∀n ∈ »* .
Dãy s (un) ư c g i b ch n dư i n u t n t i m t s m sao cho un ≥ m; ∀n ∈ »* . Dãy s (un) ư c g i b ch n n u t n t i m t s M và m sao cho m ≤ un ≤ M ; ∀n ∈ »*. Chú ý: +) Trong các i u ki n v b ch n trên thì không nh t thi t ph i xu t hi n d u ‘=’ +) N u m t dãy s tăng thì luôn b ch n dư i b i u1; còn dãy s gi m thì b ch n trên b i u1.

BÀI T P LUY N T P
Bài 1: [ VH]. Xét tính ơn i u c a các dãy s sau: n −1 2n + 1 1 a) un = − 2. b) un = . c) un = . n +1 5n + 2 n 2n 2 − 1 3n 2 − 2n + 1 e) un = 2 f) un = n + 1 − n . g) un = . n +1 n +1 3n + ( −1) n Bài 2: [ VH]. Cho dãy s (un), v i un = . 4n + (−1)n +1 a) Tính 6 s h ng u tiên c a dãy, nêu nh n xét v tính ơn i u c a dãy s . 3n + 4 b) Tính u2n và u2n + 1. Ch ng minh r ng 0 < un ≤ . 4n − 1 na + 2 Bài 3: [ VH]. V i giá tr nào c a a thì dãy s (un), v i un = n +1 a) là dãy s tăng. b) là dãy s gi m. Bài 4: [ VH]. Xét tính b ch n c a các dãy s sau: d) un = 2n 2 + 5 h) un =
n +1 −1 . n

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y
n2 + 1 7n + 5 b) un = . 2 2n − 3 5n + 7 Bài 5: [ VH]. Xét tính b ch n c a các dãy s sau: 1 n −1 a) un = 2 . b) un = . 2n − 1 n2 + 1

NG VI T HÙNG c) un =
1 2n − 3
2

Facebook: LyHung95
.

a) un =

d) un =

1 . n(n + 1) 2 n 2 + 2n + 1 . n2 + n + 4

c) un =

2n 2 . n2 + 1

d) un =

Bài 6: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un =

n+3 gi m và b ch n. n +1 1 1 1 1 Bài 7: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un = tăng và b ch n trên. + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)

Bài 8: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un =

n2 + 1 là m t dãy s b ch n. 2n 2 − 3

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

956851

Sponsor Documents


Tài liệu liên quan


Xem thêm