Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 7 | Page: 4 | FileSize: 0.18 M | File type: PDF
of x

Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng. Tài liệu Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng cung cấp 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.. Giống những giáo án bài giảng khác được bạn đọc giới thiệu hoặc do tìm kiếm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích nghiên cứu , chúng tôi không thu phí từ người dùng ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài thư viện tài liệu này, bạn có thể download tài liệu miễn phí phục vụ học tập Có tài liệu tải về thiếu font chữ không hiển thị đúng, có thể máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn download các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/toan-hoc-lop-11-mo-dau-ve-day-so-phan-1-thay-dang-viet-hung-9i97tq.html

Nội dung


Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y

NG VI T HÙNG

Facebook: LyHung95

02. M
Th y
I. NH NGHĨA DÃY S

U V DÃY S

- P1

ng Vi t Hùng [ VH]

+ Dãy s vô h n M t hàm s u xác nh trên t p s t nhiên N ư c g i là m t dãy s vô h n (hay g i là dãy s ). Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un). + Dãy s h u h n M t hàm s u xác nh trên t p M = {1; 2;3...m} ư c g i là m t dãy s h u h n. Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un).
II. CÁC CÁCH CHO M T DÃY S

Dãy s cho b i công th c c a s h ng t ng quát Khi ó un = f (n) trong ó f là m t hàm s xác
2

nh.

Ví d 1 [ VH]: V i un = n − 1; n ≥ 2 ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15... Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a các dãy s sau: 3n + 1 1 + (−2) n a) un = 2 b) un = n +1 n +1 d) un =
2n + 1 2n − 1

c) un =

1 n +1 − n
n

e) un =

n +1 n2 + 1

 1 f) un =  1 +   n

Dãy s cho b i h th c truy h i u ho c m t vài s h ng u. u = a u = a; u2 = b ho c  1 Có hai d ng cho s h ng b i h th c truy h i thư ng g p là  1 un = f (un−1 ) un = f (un−1; un−2 ) u = 2 Ví d 1 [ VH]:  1 ⇒ u1 = 2; u2 = 3u1 + 1 = 7; u3 = 3u2 + 1 = 22... un = 3un −1 + 1 Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a dãy s . D oán công th c un và ch ng minh công th c ó b ng phương pháp quy n p? u1 = 3 u1 = 1 u1 = −1  a)  b)  c)  2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 3; n ≥ 1 un +1 = 1 + un ; n ≥ 1  Hư ng d n gi i: u1 = 1 a)  ⇒ u1 = 1; u2 = u1 + 3 = 4; u3 = u2 + 5 = 9; u4 = u3 + 7 = 16; u5 = u4 + 9 = 25. un +1 = un + 2n + 1 T ó ta có th nh n th y un = n 2 ; n ≥ 1, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 1, v y (*) úng. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k 2 ; k ≥ 1. Khi ó, dãy s xác nh ư c s h ng

+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1)2 ; k ≥ 0. Th t v y, uk +1 = uk + 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇒ (*) úng. V y un = n 2 ; n ≥ 1. u1 = −1 b)  ⇒ u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5; u4 = u3 + 3 = 8; u5 = u4 + 3 = 11. un +1 = un + 3 T ó ta có th nh n th y un = 3n − 4, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = −1, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = 3k − 4.

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y

NG VI T HÙNG

Facebook: LyHung95

+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = 3(k + 1) − 4. Th t v y, uk +1 = uk + 3 = 3k − 4 + 3 = 3k − 1 = 3(k − 1) + 4 ⇒ (*) úng. V y un = 3n − 4.
u1 = 3  2 2 2 c)  ⇒ u1 = 3 = 9; u2 = 1 + u12 = 10; u3 = 1 + u2 = 11; u4 = 1 + u3 = 12; u5 = 1 + u4 = 13. 2 un +1 = 1 + un  Ta nh n th y un = n + 8, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 3, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k + 8.
+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1) + 8 = k + 9
2 Th t v y, uk +1 = 1 + uk = 1 + k + 8 = k + 9 ⇒ (*) úng.

V y un = n + 8.

Ví d 3 [ VH]: Cho dãy s (un ) xác a) Tính u2, u3, u4. b) Ch ng minh r ng un +3 = un ∀n ∈ »*

u1 = 1  nh b i công th c  3 2 5 un +1 = − 2 un + 2 un + 1; n ≥ 1 

Hư ng d n gi i: u1 = 1 3 5 3 2 5 3 2 5  a) Ta có  ⇒ u2 = − u12 + u1 + 1 = 2; u3 = − u2 + u2 + 1 = 0; u4 = − u3 + u3 + 1 = 1. 3 2 5 2 2 2 2 2 2 un +1 = − 2 un + 2 un + 1  b) Ta ch ng minh un +3 = un , (*) ∀n ∈ »* b ng quy n p. + V i n = 1 ta có u4 = u1, úng theo ph n a. + Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk +3 = uk . + Ta ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh uk + 4 = uk +1 3 2 5 3 2 5 Th t v y, theo cách cho dãy s ta có uk + 4 = − uk +3 + uk +3 + 1 = − uk + uk + 1 = uk +1 ⇒ (*) úng. 2 2 2 2 * V y un +3 = un ∀n ∈ » . Ví d 4 [ VH]: Vi t 6 s h ng u tiên c a các dãy s sau và d oán s h ng t ng quát c a dãy s ó. u1 = 1 u1 = 1 u = 1   a)  b)  c)  1 un 2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 1; n ≥ 1 un +1 = u + 1 ; n ≥ 1  n 

/s: a) un = n.
III. DÃY S TĂNG, DÃY S GI M

1 b) un = . n

c) un = n2 .

Dãy s (un) ư c g i là tăng n u un < un+1; ∀n ∈ »*. Dãy s (un) ư c g i là gi m n u un > un +1; ∀n ∈ »* . M t dãy s tăng, gi m ư c g i chung là dãy s ơn i u. Phương pháp kh o sát tính ơn i u c a m t dãy s Phương pháp 1: Xét hi u H = un+1 − un +) N u H > 0 thì dãy s +) N u H < 0 thì dãy s ã cho là dãy tăng. ã cho là dãy gi m.

un +1 un +) N u T > 1 ⇔ un+1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. +) N u T < 1 ⇔ un+1 < un ⇒ dãy s ã cho là dãy gi m. Phương pháp 2: N u un > 0 thì ta l p t s T =

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y

NG VI T HÙNG
n . n +1
2

Facebook: LyHung95
n +1 − n . n

Ví d 1 [ VH]: Xét tính ơn i u c a các dãy s sau: n a) un = 2n + 3. b) un = n . 2

c) un =

d) un =

Hư ng d n gi i: a) Theo cách cho dãy s ta ư c un = 2n + 3; un +1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5 ⇒ un +1 − un = (2n + 5) − (2n + 3) > 0 Suy ra un +1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. b) Ta có un =
Gi s n 2n ; un +1 = n + 1 un+1 n + 1 2n 1 n + 1 1 n + 1 ⇒ = n +1 . = = un 2 n 2n+1 2 n 2 n

un +1 1 n + 1 1 n +1 = >1⇔ > 1 ⇔ n + 1 > 4n ⇔ 3n < 1 ⇒ vô lý. 2 4 n un n un +1 < 1 ⇔ un +1 < un ⇒ dãy s un ã cho là dãy s gi m.

V y

c) Ta có un =
=

n n +1 n +1 n +1 n (n + 1)(n2 + 1) − n(n 2 + 2n + 2) ; un+1 = = 2 ⇒ un+1 − un = 2 − 2 = (n + 1)2 + 1 n + 2n + 2 (n2 + 1)(n 2 + 2n + 2) n2 + 1 n + 2n + 2 n + 1

n3 + n 2 + n + 1 − n 3 − 2 n 2 − 2n −n2 − n + 1 = 2 < 0 ∀n ≥ 1 ⇒ (un ) là dãy s gi m. (n 2 + 1)(n 2 + 2n + 2) (n + 1)(n 2 + 2n + 2)

n +1 − n n +1 n+2 = − 1 ⇒ un +1 = −1 n n n +1  n + 2   n +1  n+2 n + 1 n n + 2 − (n + 1) n + 1) Khi ó ta có un +1 − un =   n + 1 − 1 −  n − 1 = n + 1 − n =    n(n + 1)     Gi s un +1 − un > 0 ⇔ n n + 2 − (n + 1) n + 1) > 0 ⇔ n n + 2 > (n + 1) n + 1) ⇔ n 2 ( n + 2) > (n + 1)3

d) un =

⇔ n3 + 2n2 > n3 + 3n2 + 3n + 1 ⇔ n2 + 3n + 1 < 0 ⇒ vô lý. V y un +1 − un < 0 ⇒ (un ) là dãy s gi m.
IV. DÃY S B CH N

Dãy s (un) ư c g i b ch n trên n u t n t i m t s M sao cho un ≤ M ; ∀n ∈ »* .
Dãy s (un) ư c g i b ch n dư i n u t n t i m t s m sao cho un ≥ m; ∀n ∈ »* . Dãy s (un) ư c g i b ch n n u t n t i m t s M và m sao cho m ≤ un ≤ M ; ∀n ∈ »*. Chú ý: +) Trong các i u ki n v b ch n trên thì không nh t thi t ph i xu t hi n d u ‘=’ +) N u m t dãy s tăng thì luôn b ch n dư i b i u1; còn dãy s gi m thì b ch n trên b i u1.

BÀI T P LUY N T P
Bài 1: [ VH]. Xét tính ơn i u c a các dãy s sau: n −1 2n + 1 1 a) un = − 2. b) un = . c) un = . n +1 5n + 2 n 2n 2 − 1 3n 2 − 2n + 1 e) un = 2 f) un = n + 1 − n . g) un = . n +1 n +1 3n + ( −1) n Bài 2: [ VH]. Cho dãy s (un), v i un = . 4n + (−1)n +1 a) Tính 6 s h ng u tiên c a dãy, nêu nh n xét v tính ơn i u c a dãy s . 3n + 4 b) Tính u2n và u2n + 1. Ch ng minh r ng 0 < un ≤ . 4n − 1 na + 2 Bài 3: [ VH]. V i giá tr nào c a a thì dãy s (un), v i un = n +1 a) là dãy s tăng. b) là dãy s gi m. Bài 4: [ VH]. Xét tính b ch n c a các dãy s sau: d) un = 2n 2 + 5 h) un =
n +1 −1 . n

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y
n2 + 1 7n + 5 b) un = . 2 2n − 3 5n + 7 Bài 5: [ VH]. Xét tính b ch n c a các dãy s sau: 1 n −1 a) un = 2 . b) un = . 2n − 1 n2 + 1

NG VI T HÙNG c) un =
1 2n − 3
2

Facebook: LyHung95
.

a) un =

d) un =

1 . n(n + 1) 2 n 2 + 2n + 1 . n2 + n + 4

c) un =

2n 2 . n2 + 1

d) un =

Bài 6: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un =

n+3 gi m và b ch n. n +1 1 1 1 1 Bài 7: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un = tăng và b ch n trên. + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)

Bài 8: [ VH]. Ch ng minh r ng dãy s un =

n2 + 1 là m t dãy s b ch n. 2n 2 − 3

Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN

có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!

956851

Tài liệu liên quan


Xem thêm