Xem mẫu
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
02. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có =® (u=;v) (; ) BAC , với 0o £ BAC £180o. 2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Giả sử ta có = ® =u.v AB=.AC . .cos(.)
Nhận xét: + Khi = ®
+ Khi u ®v
+ Khi u ¯®v
+ Khi u ^ v¨
=. 0
(u=;v) 00 (u=;v) 1800
u=.v 0
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. a) Tính góc giữa hai véc tơ (AB; BC).
b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véc tơ CI; AC .
Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được
cos = AB.BC = AB.BC = AB.BC , 1 . AB . BC
Xét . = .( + )= . + .
AB.BA= AB.BA.cos(AB.BA)= a.a.cos1800 = a2 Mà 2
AB.AC = AB.AC.cos AB.AC = a.a.cos600 = 2
2 2 ® AB=.BC + a= 2 2 .
(1)Û cos(; )= a2 = ® (; ) 1200.
Vậy AB; BC =120o.
b) Ta có cos CI; AC = . = CI.AC
Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI = a2® cos(CI; =AC)
Ta có . = .(+ )= .+ .
Do ΔABC đều nên CI ^ AI Û CI. AI = 0.
CI. AC , (2).
2
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Đồng thời, CI.IC =CI.IC.cos(CI;IC)= a23.a23.cos1800 =
3a2
4
. 0=
3a2 3a2
4 4
3a2 Thay vào (2) ta được (2)Û cos(CI; AC)= a2 43 =
3
2
(=; ) 1500.
Vậy (CI; AC)=1500. 2
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB. a) Biểu diễn các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC.
b) Tính góc SM; BC .
Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được = + ¬®
b) cos SM; BC = . = SM.BC , (1).
SA.SB = 0
Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA.SC = 0
SB.SC = 0
Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta BC = a 2
được AB = BC = a 2® SM = 2 AB = a22
Theo câu a, SM.BC = 2(SA+ SB).(SC =
1. SA.S+B 0 0
. SB.S=B =SB2 0
a2
2
a2 Thay vào (1) ta được cos SM; BC = SM.BC = a22 .a
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
= ® (; ) 1200. 2
1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Một véc tơ u ¹ 0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
2) Góc giữa hai đường thẳng Khái niệm:
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a¢; b¢ lần lượt song song với a; b. Kí hiệu (a;b). Từ định nghĩa ta có sơ đồ b// ® (=a;b) (a¢;b¢)
Nhận xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v và (u; v)= φ.
Khi đó,
(a; b)= φ ;
(a; b)=180o
0o £ φ £90o
φ ; 90< φ£ 180o
+ Nếu a // b hoặc a º b thì (a;b)= 0o.
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1 (sử dụng định nghĩa)
Tạo ra các đường b¢// ® (=a,b) (a¢,b¢)
Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 2
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường Δ // b® (=a,b)Δ(a, )
Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
a2 =b2 +c2 2bccos®A =cos A
b2 +c2
2bc
a2 .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a. Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD.
Hướng dẫn giải: a) Tính góc giữa SD và BC
Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại. Ta dễ nhận thấy AD // BC.
Khi đó (SD;BC)=(SD;AD)= SDA
180 SDA
Xét ΔSAD: tanSDA = SA =
Vậy (SD;BC)=30o.
b) Tính góc giữa SB và CD
3
3
S=DA 30o.
Tương tự, CD//AB® (SB;=CD) (SB;=AB)
SBA
180o SBA
Xét ΔSAB: tanSBA = SA = 3® S=DA 60o.
Vậy (SB;CD)= 60o.
c) Tính góc giữa SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ΔSAC có OI//SC® (SC;=BD) (OI;=BD)
IOB
180o IOB
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB= IA2 + AB2 = a 3 2 +a2 = a 7
ABCD là hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD2 = a2 +9a2 = a 10® =OB
a 10
2
OA
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA2 + AO2 = a23 2 +a 10 2 = a 13
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
13a2 10a2 7a2 Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ΔIOB ta được: cosIOB = OI2 +OB2 B IB2 = 4.a 13.a 104 =
8
130
® =IOB arccos
8
130
(SC;BD).
Vậy (SC;BD)= arccos 130 .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết AB =CD = 2a, MN = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt nhau.
Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD
® (AB,CD) (MP,NP) MPN
180 MPN
Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a. Áp dụng định lý hàm số cosin trong ΔMPN ta được
MP2 + NP2 MN2 2a2 3a2 1 2MP.NP 2.a.a 2
® M=PN 1Û20o (MP,=NP) 60o
Vậy (AB,CD)= 60o. Nhận xét:
Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với AB và AD, SA= 2 3a . Tính góc của 2 đường thẳng
a) DC và SB. b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
a) Do DC//AB® (DC,=SB) (AB,=SB) α
2a 3
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó tanα = AB = 2a = ® = α 30o Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a =DI a 2.
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI. Khi đó, (SD,BC)=(SD,DI)=β .
Tam giác SAI vuông tại A nên SI2 =SA2 + AI2 = 2a 3 2 +a2 = 7a2
Tam giác SAD vuông tại A nên SD2 =SA2 + AD2 = 2a 3 2 +a2 = 7a2
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được cosSDI = SD2 + DIDI SI2 = 2.a 2a2.a
=
2
3
42
Do cosSDI > 0 nên góc SDI là góc nhọn® = β =SDI arccos 42 .
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. [ĐVH]: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI.
Đ/s: (AB;CI)= arccos 3 .
...
- tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn