Xem mẫu
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
S 02 - Năm 2009
T p chí Toán H c dành cho H c sinh - Sinh viên Vi t Nam
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
M cl c
Câu chuy n Toán h c
• Gi thuy t Riemann Phan Thành Nam 03
Bài vi t chuyên đ
• V đ p c a phân s Farey Nguy n M nh Dũng 09
• Câu chuy n nh v m t đ nh lý l n Hoàng Qu c Khánh 20
• B t đ ng th c Turkevici và m t s d ng m r ng Võ Qu c Bá C n 39
• Các phương pháp tính tích phân Nguy n Văn Vinh 48
• Lý thuy t các quân xe Nguy n Tu n Minh 58
Cu c thi gi i Toán MathVn
• Đ Toán dành cho H c sinh 72
• Đ Toán dành cho Sinh viên 74
• Các v n đ m 74
Olympic H c sinh – Sinh viên
• Olympic Sinh viên toàn Belarus 2009 75
• Olympic Sinh viên khoa Toán Đ i h c Sofia 2009 76
• VMO 2009 – Đ thi, l i gi i và bình lu n Tr n Nam Dũng 77
Góc L p trình tính toán
• Đ th trong Mathematica 85
Tin t c Toán h c
• Tin Th gi i 89
• Tin trong nư c 92
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Câu chuy n Toán h c
Gi Thuy t Riemann
D a theo J. Brian Conrey, American Institute of Mathematics
Phan Thành Nam, Khoa Toán - Đ i h c Copenhagen, Đan M ch
L i gi i thi u. Bài vi t này c a J. Brian Conrey, Director of the American Institute of Mathe-
matics, đăng trên Notices of the AMS (Match 2003). Bài báo v a đư c nh n gi i thư ng 2008 AMS
Levi L. Conant cho các bài vi t hay nh t trên các t Notices of the AMS và Bulletin of the AMS
(http://www.ams.org/ams/press/conant-conrey-2008.html). Bài vi t cho m t cái nhìn t ng quan
v gi thuy t Riemann, t l ch s bài toán đ n nh ng bư c ti n g n đây. Chúng tôi xin lư c trích n a
đ u c a bài báo, và b n đ c quan tâm đư c khuy n khích đ c nguyên b n bài báo này t i đ a ch
http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf.
Hilbert, t i đ i h i Toán h c Th gi i năm 1990 Paris, đã đưa Gi Thuy t Riemann vào danh
sách 23 bài toán dành cho nh ng nhà Toán h c c a th k 20. Bây gi thì nó đang ti p t c thách
th c nh ng nhà Toán h c th k 21. Gi thuy t Riemann (RH−Riemann Hypothesis) đã t n t i
hơn 140 năm, và hi n t i cũng chưa h n là th i kỳ h p d n nh t trong l ch s bài toán. Tuy nhiên
nh ng năm g n đây đã ch ng ki n m t s bùng n trong nghiên c u b t ngu n t s k t h p gi a
m t s lĩnh v c trong Toán h c và V t lý.
Trong 6 năm qua, Vi n Toán h c M (AIM−American Institute of Mathematics) đã tài tr
cho 3 đ án t p trung vào RH. Nơi đ u tiên (RHI) là Seattle vào tháng 8 năm 1996 t i đ i h c
Washington (University of Washington). Nơi th hai (RHII) là Vienna vào tháng 10 năm 1998 t i
.. ..
Vi n Schrodinger (Erwin Schrodinger Institute), và nơi th ba (RHIII) là New York vào tháng 5
năm 2002 t i Vi n Toán Courant (Courant Institute of Mathematical Sciences). M c tiêu c a 3 đ
án này là đ khích l nghiên c u và th o lu n v m t trong nh ng thách th c l n nh t c a Toán
h c và đ xem xét nh ng hư ng ti p c n khác nhau. Li u chúng ta có ti n g n hơn t i l i gi i cho
Gi thuy t Riemann sau các n l c đó? Li u có ph i chúng ta đã h c đư c nhi u đi u v hàm zeta
(zeta-function) t các đ án đó? Đi u đó là ch c ch n! M t s thành viên trong các đ án này đang
ti p t c c ng tác v i nhau trên trang web (http://www.aimath.org/WWN/rh/), nơi cung c p m t
cái nhìn t ng quan cho ch đ này.
đây tôi hi v ng phác th o m t s hư ng ti p c n t i RH và k nh ng đi u thú v khi làm vi c
trong lĩnh v c này t i th i đi m hi n t i. Tôi b t đ u v i b n thân Gi thuy t Riemann. Năm 1859
..
trong m t báo cáo seminar "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebener Grosse", G. B.
F. Riemann đã ch ra m t s tính ch t gi i tích căn b n c a hàm zeta
∞
1 1 1
ζ(s) := 1 + + s + ... = .
2s 3 n=1
ns
Chu i này h i t n u ph n th c c a s l n hơn 1. Riemann ch ng minh r ng ζ(s) có th m r ng
b i s liên t c thành m t hàm gi i tích trên c m t ph ng ph c ngo i tr t i đi m s = 1 (simple
pole). Hơn n a ông ch ng minh r ng ζ(s) th a mãn m t phương trình hàm thú v mà d ng đ i x ng
c a nó là
s s
ξ(s) := s(s − 1)π − 2 Γ ζ(s) = ξ(1 − s)
2
trong đó Γ(s) là hàm Gamma (Gamma-function).
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Hình 1: ζ( 1 + it) v i 0 < t < 50
2
Th t ra hàm zeta đã đư c nghiên c u trư c đó b i Euler và m t s ngư i khác, nhưng ch như
m t hàm v i bi n s th c. Nói riêng, Euler ch ra r ng
1 1 1 1 1 1
ζ(s) = 1+ + s + s + ... . 1 + s + s + ... . 1 + s + ...
2s 4 8 3 9 5
−1
1
= 1− ,
p
ps
trong đó tích vô h n (g i là tích Euler) l y trên t t c các s nguyên t . Tích này h i t khi ph n
th c c a s l n hơn 1. Đây là m t phiên b n gi i tích cho đ nh lý cơ b n c a s h c, r ng m i s
nguyên có th phân tích m t cách duy nh t thành các th a s nguyên t . Euler đã dùng tích này đ
ch ng minh r ng t ng ngh ch đ o c a các s nguyên t là không b ch n. Chính tích Euler đã thu
hút s quan tâm c a Riemann t i hàm zeta: khi đó ông đang c g ng ch ng minh m t gi thuy t
c a Legendre, và trong m t d ng chính xác hơn phát bi u b i Gauss:
x
dt
π(x) := (s các s nguyên t nh hơn x) ∼ .
log(t)
2
Riemann đã t o ra m t bư c ti n l n t i gi thuy t c a Gauss. Ông nh n ra r ng s phân b các
s nguyên t ph thu c vào s phân b các không đi m c a hàm zeta. Tích Euler ch ng t không
có không đi m nào c a ζ(s) có ph n th c l n hơn 1; và phương trình hàm ch ra không có không
đi m nào có ph n th c nh hơn 0 [Ngư i d ch: do s đ i x ng] ngoài các không đi m t m thư ng
t i s = −2, −4, −6, ... Do đó m i không đi m ph c ph i n m trong d i 0 ≤ Re(z) ≤ 1. Riemann đưa
ra m t công th c tư ng minh cho π(x) ph thu c vào các không đi m ph c ρ = β + iγ c a ζ(s).
M t d ng đơn gi n c a công th c nói r ng
xρ 1 1
Ψ(x) := Λ(n) = x − − log 2π − log 1 − 2
ρ
ρ 2 x
n≤x
đúng n u x không ph i là lũy th a c a m t s nguyên t , trong đó hàm von Mangoldt Λ(n) = log p
n u n = pk v i m t s nguyên k nào đó và Λ(n) = log 0 n u ngư c l i. Chú ý r ng t ng này không
h i t tuy t đ i (n u v y thì Λ(n) ph i liên t c theo x nhưng đi u này rõ ràng không đúng).
n≤x
Do đó ph i có nhi u vô h n các không đi m ρ. đây t ng tính trên ρ v i s b i và đư c hi u là
lim . Chú ý r ng |xρ | = |x|β ; do đó c n ch ra β < 1 đ ch ng minh r ng Λ(n) ∼ x, m t
T →∞ |ρ|≤T n≤x
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
cách phát bi u khác c a gi thuy t Gauss.
Hình 2: Bi u đ vi n Re(ζ(s)), đư ng Re(ζ(s)) = 0 (đ m), Im(ζ(s)) (ch m), bi u đ vi n Im(ζ(s))
Hình 3: Bi u đ 3D c a |Re(ζ(s))|, đư ng Im(ζ(s)) (đư ng ch m)
Phương trình hàm ta nói ban đ u ch ra r ng các không đi m ph c ph i đ i x ng v i đư ng
th ng Re(s) = 1 . Riemann đã tính m t s không đi m ph c đ u tiên: 2 + i14.134..., 1 + i21.022...
2
1
2
và ch ng t r ng N (T ), s các không đi m v i ph n o n m gi a 0 và T , là
T T 7
N (T ) = log + + S(T ) + O(1/T )
2π 2πe 8
1
trong đó S(T ) = π arg ζ(1/2 + iT ) đư c tính b i bi n phân liên t c b t đ u t arg ζ(2) = 0 d c
theo các đư ng th ng t i arg ζ(2 + iT ) = 0 r i arg ζ(1/2 + iT ) = 0. Riemann cũng ch ng minh r ng
S(T ) = O(log T ). Chú ý: ta s th y sau này r ng bư c nh y gi a các không đi m là ∼ 2π/ log T .
Riemann cũng d đoán r ng s N0 (T ) các không đi m c a ζ(1/2 + it) v i 0 ≤ t ≤ T là kho ng
T T
log và sau đó nêu ra gi thuy t r ng m i không đi m c a ζ th c s đ u n m trên đư ng
2π 2πe
th ng Im(z) = 1/2; đó chính là gi thuy t Riemann.
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Các n l c c a Riemann đã ti n g n đ n vi c ch ng minh gi thuy t c a Gauss. Bư c cu i cùng
đư c hoàn t t b i Hadamard và de la Vallée Poussin, hai ngư i đã ch ng minh đ c l p nhau trong
năm 1896 r ng ζ(s) khác không khi ph n th c c a s b ng 1, và t đó d n t i k t lu n kh ng đ nh
cho gi thuy t c a Gauss, bây gi đư c g i là đ nh lý s nguyên t (Prime Number Theorem).
Hình 4: Bi n đ i Fourier c a ph n sai s trong Đ nh lý s nguyên t và − xρ v i |ρ| < 100
Các ý tư ng đ u tiên
Không m y khó khăn đ ch ng t RH (Riemann Hypothesis) tương đương v i kh ng đ nh r ng
v im iε>0
x
dt
π(x) = + O(x1/2+ε ).
log t
2
Tuy nhiên khó khăn n m ch tìm ra m t cách ti p c n khác v i π(x) và thu các thông tin v
các không đi m.
M t tương đương d th y khác c a RH là kh ng đ nh M (x) = O(x1/2+ε ) v i m i ε > 0, trong
đó
M (x) = µ(n)
n≤x
và µ(n) là hàm Mobius đư c đ nh nghĩa t chu i Dirichlet sinh 1/ζ
∞
1 µ(n) 1
= = 1− .
ζ(s) n=0 ns p
ps
V y n u p1 , ..., pk là các s nguyên t phân bi t thì µ(p1 ...pk ) = (−1)k ; và µ(n) = 0 n u n chia
h t cho p2 v i m t s nguyên t p nào đó. Chu i này h i t tuy t đ i khi Re(s) > 1. N u ư c lư ng
M (x) = O(x1/2+ε ) đúng v i m i ε > 0 thì b ng cách l y các t ng riêng phân ta th y chu i h i t
v i m i s có ph n th c l n hơn 1/2; nói riêng không có không đi m nào c a ζ(s) n m trên n a m t
ph ng m này, b i vì không đi m c a ζ(s) là đi m kỳ d (poles) c a 1/ζ(s) [Ngư i d ch: và do tính
đ i x ng nên cũng d n đ n không có không đi m nào n m trên n a m t ph ng m Re(s) < 1/2, và
do đó m i không đi m đ u ch n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2]. Ngư c l i, RH suy ra ư c lư ng
này cho M (x), đi u này cũng không khó đ ch ng minh.
Thay vì phân tích tr c ti p π(s), có v s d dàng hơn khi làm vi c v i M (x) và ch ng minh
ư c lư ng trên. Th t ra, Stieltjes đã thông báo r ng ông có m t ch ng minh như v y. Hadamard,
trong ch ng minh n i ti ng năm 1896 v Prime Number Theorem, đã d n ra tuyên b c a Stieltjes.
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Hình 5: 1/|ζ(x + iy) v i 0 < x < 1 và 16502.4 < y < 16505
Hadarmard nói r ng đ nh lý c a ông y u hơn nhi u, và ch ch ng minh ζ(s) khác 0 trên đư ng th ng
Re(s) = 1, nhưng hi v ng tính đơn gi n c a ch ng minh s có ích. Stieltjes, tuy nhiên, sau đó không
bao gi công b ch ng minh c a mình.
Mertens d đoán m t gi thuy t m nh hơn r ng
√
M (x) ≤ x,
Đi u rõ ràng d n đ n RH. Tuy nhiên gi √thuy t c a Mertens đã b ch ng minh là sai b i Odlyzko
và te Riele năm 1985. Ư c lư ng M (x) = O( x) th m chí đã dùng RH như m t lá ch n: ông t ng g i
bưu thi p t i đ ng nghi p Harald Bohr trư c khi qua English Channel trong m t đêm bão t , tuyên
b là ông đã ch ng minh xong RH. Th m chí Hardy là m t ngư i vô th n, ông cũng tin m t cách
tương đ i v Chúa, r ng n u Chúa t n t i, cũng ch ng đ thành t u t i trong m t hoàn c nh như v y!
Hilbert có v hơi mâu thu n khi nhìn nh n v đ khó c a RH. M t l n ông so sánh ba bài toán
√
m : tính siêu vi t c a 2 2 , đ nh lý l n Fermat, và gi thuy t Riemann. Theo quan đi m c a ông,
RH có th s đư c gi i trong vài năm, đ nh lý l n Fermat có th đư c gi i khi ông còn s ng, và câu
h i v s siêu vi t có th s không bao gi đư c tr l i. Đáng ng c nhiên là câu h i v s siêu vi t
đư c gi i trong vài năm sau đó b i Gelfond và Schneider, và, dĩ nhiên, Andrew Wiles g n đây đã
ch ng minh đ nh lý l n Fermat [Ngư i d ch: v y n u đ o ngư c d đoán c a Hilbert thì có th RH
s không bao gi đư c gi i]. Tuy nhiên trong m t d p khác Hilbert l i nói r ng n u ông ta s ng l i
sau m t gi c ng 500 năm thì câu h i đ u tiên s là: RH có đư c gi i hay chưa.
Khi g n k t thúc s nghi p, Hans Rademacher, ngư i đư c bi t b i công th c chính xác cho s
các cách phân ho ch m t s nguyên, nghĩ r ng ông đã có m t ph n ch ng minh cho RH. Siegel
đã ki m tra k t qu này, công vi c d a trên k t lu n r ng m t hàm nh t đ nh s có m t n i r ng
gi i tích b i liên t c n u RH đúng. C ng đ ng Toán h c đã c g ng làm cho T p chí Time (Time
magazine) quan tâm câu chuy n. Time đã thích thú và đăng m t bài báo sau khi ngư i ta tìm ra
l i sai trong ch ng minh c a Rademacher.
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Các ch ng c c a gi thuy t Riemann
Hình 6: Công th c chính xác c a Ψ(x) s d ng 100 c p không đi m đ u tiên
Sau đây là m t s lý do đ tin vào RH.
• Hàng t không đi m không th sai. G n đây, van de Lune đã ch ra 10 t không đi m đ u
tiên n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2. Ngoài ra, m t d án v i s chung s c nhi u máy tính
t ch c b i Sebastian Wedeniwski, chương trình đã đư c nhi u ngư i hư ng ng, đã kh ng đ nh
r ng h đã ki m tra 100 t không đi m đ u tiên n m trên đư ng th ng đó. Andrew Odlyzko đã tính
hàng tri u không đi m g n các không đi m th 1020 , 1021 và 1022 (có th xem trên website c a ông).
• H u h t t t c các không đi m đ u n m r t g n đư ng th ng Re(s) = 1/2. Th t s ngư i ta đã
ch ng minh r ng có hơn 99 ph n trăm các không đi m ρ = β + iγ th a mãn |β − 1/2| ≤ 8/ log(γ).
• Ngư i ta đã ch ng minh có r t nhi u không đi m n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2. Selberg
đ t đư c m t t l dương, và N. Levinson ch ra ít nh t là 1/3; t l này sau đó đư c c i thi n lên
40 ph n trăm. Ngoài ra RH cũng ng ý r ng m i không đi m c a m i đ o hàm c a ζ(s) n m trên
đư ng th ng Re(s) = 1/2. Ngư i ta đã ch ng minh đư c r ng có nhi u hơn 99 ph n trăm các không
đi m c a đ o hàm b c ba ζ (s) n m trên đư ng th ng Re(s) = 1/2. Lúc g n cu i đ i Levinson
nghĩ r ng ông có m t phương pháp cho phép đ o ngư c đ nh lý Rolle trong trư ng h p này, t c là
n u ζ (s) có ít nh t m t t l dương các không đi m n m trên đư ng th ng đó thì đi u này cũng
đúng v i ζ(s), và tương t v i ζ (s), ζ (s) ... Tuy nhiên chưa ai có th hi n th c hóa ý tư ng c a ông.
• Phương pháp th ng kê. V i ít h u h t các dãy ng u nhiên g m −1 và +1, hàm t ng tương ng
c a x b ch n b i x1/2+ε . Dãy Mobius có v khá ng u nhiên.
• S đ i x ng c a các s nguyên t . RH nói r ng các s nguyên t phân b theo cách đ p nh t
có th . N u RH sai thì s có nh ng đi u b t thư ng trong s phân b các s nguyên t ; không đi m
đ u tiên có ph n th c khác 1/2 ch c ch n s là m t h ng s toán h c r t quan tr ng. Tuy nhiên,
có v t nhiên không kh c nghi t t i như v y!
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
V đ p c a phân s Farey
Nguy n M nh Dũng, H c sinh l p 12A2 Toán, Trư ng ĐHKHTN-ĐHQG Hà N i
A-M đ u
Trong l ch s c a toán h c, nhi u khi nh ng l i gi i, nh ng đ nh lí m i đư c tìm ra b i nh ng
ngư i nghi p dư, nh ng ngư i lĩnh v c khác. Chính đi u này đã góp ph n làm cho các khía c nh
c a toán h c đa d ng hơn, thú v hơn. Trong bài vi t này, tôi xin đư c trao đ i v i các b n v phân
s Farey, g n li n v i tên tu i c a nhà đ a lí h c John Farey (1766-1826) khi ông công b nh ng
tính ch t thú v c a phân s Farey trên m t t p chí Tri t h c dư i d ng ph ng đoán.
Đ nh nghĩa. T p h p Fn các phân s Farey b c n, g i là chu i Farey b c n, là t p h p c a các
phân s t i gi n thu c kho ng [0, 1] v i m u s không vư t quá n và đư c s p x p theo th t tăng
d n. Do đó h thu c Fn n u
k
0 ≤ h ≤ k ≤ n, (h, k) = 1
0 1
Các s 0, 1 g i là các ph n t cơ s c a m i t p h p phân s Farey vì vi t đư c dư i d ng 1 và 1 .
Ta có th bi u di n phân s Farey như sau:
Ho c dư i d ng cây Stern:
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
B - Tính ch t
Chúng ta hãy cùng xét các tính ch t thú v c a phân s Farey
h h
Đ nh lí 1. N u k và k là hai ph n t liên ti p c a Fn thì
(k + k ) > n
Ch ng minh
h+h h h
Xét phân s k+k (phân s này đư c g i là trung bình c a và ). Khi đó
k k
h+h h kh − hk
− = >0
k+k k k(k + k )
Và
h h+h kh − hk
− = >0
k k+k k (k + k )
Do đó
h+h h h
∈ ,
k+k k k
h+h h h
Nên n u k + k ≤ n thì ∈ Fn . Đi u này là vô lí vì và là hai ph n t liên ti p. Đ nh
k+k k k
lí đư c ch ng minh. Chúng ta s quay l i tính ch t này ph n sau.
Đ nh lí 2. Không có hai ph n t liên ti p nào c a Fn có m u s gi ng nhau.
Ch ng minh
h h
N u k > 1 và , là hai ph n t liên ti p trong Fn , khi đó h + 1 ≤ h < k. M t khác
k k
h h h+1 h
< < ≤
k k−1 k k
h h h
Do dó là m t ph n t n m gi a 2 ph n t liên ti p , , vô lí. Ta có đi u ph i ch ng
k−1 k k
minh.
h h
Đ nh lí 3. N u và là hai ph n t liên ti p c a Fn thì
k k
hh − kk = 1
Ch ng minh
Đ u tiên ta c n ch ng minh m t b đ
B đ 1. N u (h, k) là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau thì khi đó t n t i các s nguyên
dương (x, y) sao cho
kx − hy = 1
Ch ng minh.
Xét các s nguyên
k, 2k, 3k, · · · , (h − 1)k
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
và s dư c a chúng khi chia cho h. Các s dư này đ u khác nhau. Th t v y, n u
k1 k = q1 h + r, k2 k = q2 h + r
v i k1 , k2 ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)} thì
(k1 − k2 )k = (q1 − q2 )h ≡ 0 (mod h)
Mà k1 , k2 ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)} nên k1 − k2 < h. Do đó k1 − k2 = 0.
D th y r ng kk ≡ 0 (mod h) v i m i k ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)}. Do đó ít nh t m t s trong các s
1.k, 2.k, · · · , (h − 1)k có s dư là 1 khi chia cho h, suy ra t n t i x ∈ {1, 2, · · · , (h − 1)} và y ∈ Z+ .
Quay l i đ nh lí c n ch ng minh, n u (x0 , y0 ) là m t nghi m c a phương trình trên, khi đó
(x0 + rh, y0 + rh) cũng là m t nghi m v i m i s nguyên r. Chúng ta có th ch n r sao cho
n − k < y0 + rk ≤ n
Đ t x = x0 + rk, y = y0 + rk, khi đó (x, y) là m t nghi m c a phương trình trên và th a mãn
(x, y) = 1, 0 ≤ n − k < y ≤ n
x x
Do đó t i gi n và y ≤ n nên là m t ph n t c a Fn . Ta cũng có
y y
x h 1 h
= + >
y k ky k
x h x h x h
Suy ra n m sau trong Fn . N u = thì cũng n m sau , khi đó
y k y k y k
x h k x−hy 1
− = ≥
y k ky ky
mà
h h kh − hk 1
− = ≥
k k kk kk
Vì v y
1 kx − hy x h 1 1 k+y n 1
= = − ≥ + = > ≥
ky ky y k k y kk kk y kk y ky
(theo Đ nh lí 1)
x h
Vô lí, v y = do đó kh − hk = 1.
y k
h h h
Đ nh lí 4. N u , và là ba ph n t liên ti p c a Fn thì
k k k
h h+h
=
k k+k
Ch ng minh.
T Đ nh lí 3 ta thu đư c
kh − hk = 1, k h −h k =1 (3.1)
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Gi i h phương trình trên theo n h và k ta có
h+h k+k
h = , k =
kh − hk kh − hk
Hay
h h+h
=
k k+k
Đây chính là Đ nh lí 4.
Nh n xét. Chú ý r ng Đ nh lí 3 và Đ nh lí 4 là tương đương, ta có th suy ra Đ nh lí 3 t
Đ nh lí 4 b ng phép quy n p như sau:
Gi s r ng Đ nh lí 4 đúng v i m i Fn và Đ nh lí 3 đúng t i Fn−1 , ta s ch ng minh nó cũng
đúng v i Fn . Hi n nhiên r ng nó tương đương v i vi c ch ng minh phương trình (3.1) th a mãn
khi h thu c Fn nhưng không thu c Fn−1 , do đó k = n. Trong trư ng h p này, theo Đ nh lí 4,
k
k, k < k và h , h là hai ph n t liên ti p trong Fn−1 . T Đ nh lí 4 và gi thi t h t i gi n, ta đ t
k k k
h + h = λh , k + k = λk
v i λ là m t s nguyên. Do k, k < k , nên λ = 1. Do đó
h = h + h , k = k + k kh − hk = kh − hk = 1
Tương t
k h −h k =1
Phép ch ng minh này g i ý cho ta m t l i gi i khác cho Đ nh lí 3:
Đ nh lí đúng v i n = 1, gi s nó đúng t i Fn−1 ta c n ch ng minh minh nó cũng đúng v i Fn .
h h h
Gi s k và k là hai ph n t liên ti p trong Fn−1 nhưng b chia ra trong Fn b i k .Đ t
kh − hk = r > 0, k h − h k = s > 0
Gi i h phương trình này theo n h , k v i đi u ki n kh − hk = 1 ta thu đư c
h = sh + rh , k = sk + rk
T đó k t h p v i (h , k ) = 1 nên (r, s) = 1. Xét t p h p S bao g m t t c các phân s có d ng
p γh + λh
=
q γk + λk
v i γ, λ là các s nguyên dương có (γ, λ) = 1. Do đó h ∈ S, M i ph n t c a t p h p S đ u n m
k
gi a h và h do m i ư c chung c a p và q đ u chia h t cho
k k
k(γh + λh ) − h(γk + λk ) = λ, h (γh + λh ) − k (γk + λk ) = γ
Do đó m i ph n t c a S đ u là ph n t c a m t s chu i Farey nào đó, khi đó phân s đ u
tiên xu t hi n ph i có q nh nh t. Suy ra γ = λ = 1, V y phân s này ph i là h . Nên
k
h = h + h ,k = k + k
Đ nh lí đư c ch ng minh.
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Hai phép ch ng minh trên cho Đ nh lí 3 không ph i là duy nh t, các b n có th tham kh o
cách ch ng minh b ng hình h c khá hay c a G.H.Hardy ho c dùng đ nh lí Pick, chi ti t các b n có
th tham kh o [1].
Đ nh lí 5. T ng c a các t s b ng m t n a t ng các m u s trong chu i Farey b c n.
Ch ng minh
Đ u tiên ta ch ng minh m t b đ .
h k−h
B đ 2. N u là m t ph n t c a chu i Fn thì cũng là m t ph n t c a chu i.
k k
Ch ng minh
h h
Do (h, k) = 1 và 0 ≤ ≤ 1 nên (k − h, k) = 1 và 0 ≤ 1 − ≤ 1. Ta có đpcm.
k k
Quay l i bài toán, kí hi u là t ng c a t t c các ph n t c a chu i Fn .
Áp d ng B đ 2, ta có h= (k − h) nên 2 h= k. Đây là chính là k t qu c a Đ nh
lí 5.
n
Đ nh lí 6. T ng c a các ph n t c a chu i Farey Fn b ng 2
Ch ng minh
h h
Theo B đ 2, ta có k = 1− k nên
h
2 = 1=n
k
Đây là đi u ph i ch ng minh.
1
Đ nh lí 7. Trong chu i Farey b c n Fn , m u s c a phân s li n trư c và li n sau phân s
2
b ng s nguyên l l n nh t không vư t quá n.
Ch ng minh
h 1
G i là phân s li n trư c trong Fn , khi đó k − 2h = 1 nên k l . Theo Đ nh lí 3, ta có
k 2
k + 2 > n nên k ≥ n − 1, mà k ≤ n nên k là s nguyên l lơn nh t không vư t quá n.
C-M r ng
Phân s Farey và Phi hàm Euler
Trong ph n trư c, ta đã làm quen v i m t s tính ch t cơ b n c a phân s Farey, v n đ đ t ra
đây là có bao nhiêu phân s Farey trong m t chu i Farey b c n? Chúng ta xu t phát t m t nh n
xét đơn gi n: Do t t c các phân s Farey đ u d ng t i gi n, nên v i m t m u s b cho trư c, s
t s nh hơn b và nguyên t cùng nhau v i b là φ(b), g i là Phi-hàm Euler. (Chi ti t v các tính
ch t cũng như các phép ch ng minh c a Phi-hàm Euler, các b n có th tham kh o [3].) Ta có th
s d ng tính ch t này cho m i nguyên t 2 đ n n. Do đó ta có th tính đư c s phân s có trong
0 1
Fn (k c hai phân s cơ s 1 và 1 ) là
N = 2 + φ(2) + φ(3) + · · · + φ(n)
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Ta có th tính đư c φ(n) v i n > 1 qua công th c
1
φ(n) = n 1−
p
p|n
Ví d khi n = 7 ta có
N = 2 + φ(2) + φ(3) + · · · + φ(7) = 2 + 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 = 19
Đúng v i k t qu trong b ng ph n Đ nh nghĩa. Ví d ta có th tính khi n = 100 thì N = 3045.
Do φ(x) luôn là s ch n ngo i tr trư ng h p x = 1, 2 nên ta có
N = 2 + φ(2) + φ(3) + · · · + φ(n)
1
luôn là m t s l . Do đó s phân s cách đ u 2 luôn b ng nhau. Đây là m t cách ch ng minh khác
cho B đ 2.
V i n r t l n thì vi c tính N tr nên khó khăn hơn r t nhi u. Nhưng nh m t tính ch t c a Phi
hàm Euler ta có th tính toán d dàng hơn:
3n2
φ(1) + φ(2) + · · · + φ(n) ≈
π2
Do đó
3n2
N ≈1+
π2
Giá tr x p x này s ngày càng chính xác hơn khi giá tr c a n tăng. Ví d v i n = 100, theo
2
công th c trên ta tính đư c N = 1 + 3.100 ≈ 3040, 635... trong khi giá tr chính xác c a N là 3045.
π2
Ta có th l p b ng tính như sau:
S PH N T C A CHU I FAREY
n φ(n) N = 1 + φ(n) 1 + 3n2 /π 2
1 1 2 1,30
2 1 3 2,22
3 2 5 3,74
4 2 7 5,86
5 4 11 8,60
6 2 13 11,94
7 6 19 15,90
8 4 23 20.46
9 6 29 25,62
10 4 33 30,40
15 8 73 69,39
25 20 201 190,98
50 20 775 760,91
100 40 3045 3040,63
200 80 12233 12159,54
300 80 27399 27357,72
400 160 48679 48635,17
500 200 76115 75991,89
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Phân s Farey và đư ng tròn Ford
M t trong nh ng m r ng liên quan đ n hình h c c a phân s Farey là đư ng tròn Ford.
p
Đ nh nghĩa. Xét h tr c t a đ Oxy. V i m i phân s t i gi n q n m trên tr c Ox, ta d ng
p 1
các đư ng tròn ti p xúc v i Ox t i đi m đó, tâm có t a d là q , 2q 2 , đư c g i là đư ng tròn Ford,
kí hi u C(p, q).
M t s hình nh đ p c a đư ng tròn Ford sau khi đư c cách đi u
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Ta có m t r t cơ b n sau c a đư ng tròn Ford:
Tính ch t 1. Hai đư ng tròn Ford C(h, k) và C(h , k ) ho c ti p xúc v i nhau, ho c n m ngoài
nhau. Đi u ki n đ hai đư ng tròn này ti p xúc là |hk − h k| = 1.
Ch ng minh
G i D là kho ng cách gi a tâm c a 2 đư ng tròn. r, R tương ng là bán kính c a đư ng tròn
C(h, k), C(h , k ).
Khi đó ta có
2
1 1
(r + R)2 = +
2k 2 2k 2
Xét hi u s D2 − (r + R)2 :
2 2 2
h h 1 1 1 1 (hk − h k)2 − 1
D2 − (r + R)2 = − + 2
− − + = ≥0
k k 2k 2k 2 2k 2 2k 2 k2 k 2
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi |hk − h k| = 1.
T tính ch t này ta d dàng th y đư c b t c hai phân s Farey liên ti p nào đư c bi u di n
trên h tr c t a đ cũng có hai đư ng tròn Ford ti p xúc v i nhau. Ta có m t ví d minh h a sau
v i chu i Farey b c 7.
Tính ch t 2. Gi s h < k
h
k < h
k là ba ph n t liên ti p c a Fn . Khi đó C(h, k) và C(h , k )
ti p xúc v i nhau t i đi m
h k 1
A1 = − ,
2 + k 2 ) k2 + k 2
k k (k
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
và C(h , k ) và C(h , k ) ti p xúc v i nhau t i đi m
h k 1
A2 = + ,
2 + k 2) k 2 + k 2
k k (k
Ch ng minh
Kí hi u đ dài các đư ng như trong hình v .
Áp d ng đ nh lí Thales ta có
1
a 2k2 b
h
= 1 1 = 1 1
k −hk 2k 2 − 2k2 2k 2 − 2k2
Do đó
k k2−k 2
a= ,b =
k (k 2 +k 2) 2k 2 (k 2 + k 2 )
T a đ đi m A1 = (x1 , y1 ), trong đó
h h k h 1 1 1
x1 = −a= − 2 + k 2)
, y1 = + 2
− 2 −b= 2 2
k k k (k k 2k 2k k +k
Tương t ta cũng tính đư c to đ c a A2 .
K t thúc bài vi t, tôi xin nêu ra m t s bài t p đ các b n luy n t p thêm.
Bài t p 1. Hai phân s a và d đư c g i là đ ng b c n u (c − a)(d − b) ≥ 0. Ch ng minh r ng
b
c
b t kì hai ph n t liên ti p nào c a chu i Farey b c n cũng đ ng b c.
a c
Bài t p 2. Cho a, b, c, d là các s nguyên dương th a mãn b < d và λ, γ là các s nguyên dương.
Ch ng minh r ng
λa + γc
θ=
λb + γd
a c
n m gi a hai phân s b, d và (c − dθ)(θb − a) = λ . Khi λ = γ, θ chính là trung bình c a
γ
a c
b , d.
a
Bài t p 3. (Hurwitz) Cho m t s vô t θ, khi đó t n t i vô s phân s h u t b sao cho
a 1
θ−
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Tài li u tham kh o
[1] G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition,
Oxford Science Publications, 1996.
[2] J. H. Conway and R. K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, NY, 1996.
[3] David M, Burton, Elementary number theory, 6th Edition, Mc Graw Hill, 2007.
[4] A. H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover, 1966
[5] Apostol, T. M. , Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New
York: Springer-Verlag, 1997.
[6] Ford, L. R, Fractions, Amer. Math. Monthly 45, 586-601, 1938.
[7] Weisstein, Eric W, Ford Circle, From MathWorld–A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/FordCircle.html
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
Bài vi t Chuyên đ MathVn
Câu chuy n nh v m t đ nh lý l n
Hoàng Qu c Khánh - L p 12A10 THPT Chuyên Vĩnh Phúc, T nh Vĩnh Phúc
A - Sơ lư c v đ nh lí Pascal và phép ch ng minh
M t đ nh lí đư c Descartes kh ng đ nh là bao hàm đư c c b n cu n sách đ u c a Apolonius,
t t nhiên là m t đ nh lí l n, đó chính là đ nh lí Pascal. Đ nh lí Pascal ch c không còn quá xa l v i
nh ng b n yêu toán và đ c bi t là yêu thích hình h c và bài vi t này ch là m t tìm tòi nh c a
tác gi đ c p đ n nh ng ng d ng c a đ nh lí tuy t mĩ y trong toán ph thông. Đ nh lí Pascal
t ng quát đư c phát bi u cho các đư ng cônic trong m t ph ng x nh nhưng đây chúng ta s
ch đ c p đ n m t trư ng h p đ c bi t c a nó, đó là v i đư ng tròn trong m t ph ng, c th như sau:
Đ nh lí. Cho sáu đi m b t kì A, B, C, A , B , C cùng thu c m t đư ng tròn (O). Khi đó giao
đi m n u có c a t ng c p đư ng th ng (AB , A B), (BC , B C), (CA , C A) s th ng hàng.
Ch ng minh (Jan van Yzeren)
Đây là m t đ nh lí đ p và cũng có r t nhi u ch ng minh đ p cho nó (Các b n có th xem thêm
[1], [2], [3], [4]) đây tác gi s ch trình bày m t ch ng minh khá thú v và ít quen bi t, ch ng minh
này có s d ng m t b đ sau:
B đ . Cho hai đư ng tròn phân bi t c t nhau A và B. Hai đi m C, E thu c đư ng tròn th
nh t, hai đi m D, F thu c đư ng tròn th hai sao cho C, A, D th ng hàng; E, B, F th ng hàng. Th
thì: CE//DF .
Ch ng minh b đ
Nh n th y: (CE, CA) ≡ (BE, BA) ≡ (BF, BA) ≡ (DF, DA) (modπ)
Suy ra CE//DF .
Tr l i ch ng minh đ nh lí:
- T p chí Toán h c MathVn S 02-2009
G i giao đi m c a t ng c p đư ng th ng (AB , A B), (BC , B C), (CA , C A) l n lư t là M, N, P .
G i (O ) là đư ng tròn đi qua C, P, C . B C và BC c t l i (O ) tương ng Q, T .
S d ng b đ trên ta có: AB //QP nên M B //QP (1); BB //T Q (2); BA //P T nên BM//P T
(3).
T (1), (2) và (3) suy ra t n t i m t phép v t bi n tam giác BM B thành tam giác T P Q
Do đó: BT, M P, B Q đ ng quy t i tâm v t y. Nói cách khác BC , B C và M P đ ng quy. T
đây suy ra đi u c n ch ng minh.
B-M ts ng d ng c a đ nh lí Pascal trong hình h c sơ c p
I. ng d ng c a đ nh lí Pascal v i sáu đi m phân bi t
Chúng ta cùng b t đ u v i m t bài toán khá quen thu c:
Bài toán 1. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (O). G i A , B , C l n lư t là các đi m
chính gi a c a các cung BC, CA, AB không ch a A, B, C c a (O). Các c nh BC, CA, AB c t các
c p đo n th ng C A và A B ; A B và B C ; B C và C A l n lư t các c p đi m M và N ; P và
Q; R và S. Ch ng minh r ng M Q, N R, P S đ ng quy.
L i gi i
nguon tai.lieu . vn
