Xem mẫu
- T PH P
I. Khái ni m t p h p
1. T p h p và ph n t
Khái ni m t p h p là m t trong nh ng khái ni m u tiên c a toán h c không ư c nh
nghĩa.
Do ó ta có th hi u m t cách ơn gi n t p h p là m t gom góp các v t th mà ta g i là
ph n t .
Ngư i ta kí hi u t p h p b i các ch in hoa A, B, C, …, X, Y… Các ph n t c a t p h p
ư c kí hi u b i các ch in thư ng a, b, …,x, y…
y
Ví d 1: ◘ T p h p các s t nhiên t 1 n 10.
A
◘ T p h p ngư i Vi t Nam.
◘ T p h p nh ng ngư i yêu nhau. x
◘ T p h p nh ng b n nam trong l p cao trên 1,65m.
• N u x là m t ph n t c a t p h p A , ta kí hi u x ∈ A .
• N u y không là ph n t c a t p h p A kí hi u y ∉ A . Bieåu ñoà Ven cuûa taäp hôïp A
2. Cách xác nh t p h p
{ }.
a) Li t kê ph n t : Li t kê các ph n t c a t p h p gi a hai d u
n 5 ư c kí hi u là A = {1, 2, 3, 4, 5} .
Ví d 2: a) T p h p A nh ng s t nhiên t 1
b) T p h p B nh ng nghi m th c c a phương trình x 2 − x = 0 là B = {0, 1} .
Ví d 3: Li t kê các ph n t c a m i t p h p sau.
a) Không có gì quý hơn c l p t do.
b) T p h p A các s chính phương không vư t quá 100.
b) Ch ra tính ch t c trưng cho các ph n t
Trong vài trư ng h p, ch ng h n như cho A là t p h p các s nguyên dương, thì vi c li t kê
ph n t tr nên r t khó khăn. Khi ó thay vì li t kê ph n t ta có th ch ra tính ch t c
trưng c a các ph n t ó là A = { x x là s nguyên dương }.
Ví d 4: T p h p B các nghi m c a phương trình 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 ư c vi t theo tính ch t
c trưng là
{ }
B = x ∈ » 2x2 − 5x + 3 = 0
3
T p h p B ư c vi t theo cách li t kê ph n t là: B = 1, .
2
B môn Tóan- Th ng kê 1 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- Ví d 5: Cho t p h p C = {−15, − 10, − 5, 0, 5, 10, 15} . Vi t t p C b ng cách ch rõ các tính
ch t c trưng cho các ph n t c a nó
{ }
Ví d 6: Xét t p h p D = n ∈ » 3 ≤ n ≤ 20 . Hãy vi t t p D b ng cách li t kê ph n t c a nó
3. T p h p r ng
• T p h p không ch a ph n t nào là t p h p r ng, kí hi u là ∅
{ }
Ví d 7: Cho E = x ∈ » x 2 + x + 1 = 0 thì E = ∅ vì phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghi m
II. T p h p con
nh nghĩa: T p A ư c g i là t p con c a t p B và kí hi u là A ⊂ B ,
1)
n u m i ph n t c a t p h p A u là ph n t c a t p h p B .
A ⊂ B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B )
Hay; A
B
Thay cho A ⊂ B , ta cũng có th vi t B ⊃ A ( c là B ch a A )
N u A không ph i là t p con c a B , ta vi t A ⊄ B
2) Tính ch t: T nh nghĩa ta suy ra
a) A ⊂ A , v i m i t p h p A
C
A
b) N u A ⊂ B, B ⊂ C thì A ⊂ C B
c) ∅ ⊂ A , v i m i t p h p A
{ }
▲ Câu h i: Cho A = x ∈ » − 1 ≤ x ≤ 3 . Hãy cho bi t:
◘ Các t p con c a A có ch a ph n t 2 và 3.
◘ Các t p con c a A không ch a 0, 1.
◘ Hãy cho m t t p h p C tho C ⊄ A và {−1, 2, 3} ⊂ C .
III. T p h p b ng nhau
Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói t p h p A b ng t p h p B và vi t là A = B . Như v y
A = B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B )
{
Ví d 8: Xét hai t p h p A = n ∈ » n là b i c a 4 và 6}
B = {n ∈ » n là b i c a 12}
1) Hãy ki m tra các k t lu n sau:
a) A ⊂ B b) B ⊂ A
B môn Tóan- Th ng kê 2 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- 2) A có b ng B không?
IV. Các phép toán trên t p h p
1. Giao c a hai t p h p
Cho hai t p h p A và B . Giao c a A và B ,
kí hi u là A ∩ B là t p h p các ph n t v a thu c A
v a thu c B
A
T c là C
B
x ∈ A
x∈ A∩ B ⇔
x ∈ B
Ví d 1: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5}
{ }
B = x∈» − 2 ≤ x ≤ 3
C = {x ∈ » 2 x }
− 3x = 0
2
a) Li t kê các ph n t c a t p h p B và C
b) Tìm A ∩ B, B ∩ C và A ∩ C
2. H p c a hai t p h p
Cho hai t p h p A và B , h p c a hai t p h p
A và B , kí hi u A ∪ B là t p h p các ph n t thu c
A ho c thu c B
T c là A
x ∈ A
x∈ A∪ B ⇔ B
x ∈ B
Ví d 2: V i các t p h p A, B và C trong ví d 1 thì
◘ A ∪ B = {................................} ◘ B ∪ C = {.................................}
◘ ( A ∩ B ) ∪ C = {..................................}
3. Hi u và ph n bù c a hai t p h p
Cho hai t p h p A và B . Hi u c a hai t p h p
A và B , kí hi u là A \ B là t p h p các ph n t ch
B
A
thu c A nhưng không thu c B .
T c là:
x ∈ A
x∈ A\ B ⇔
x ∉ B
B môn Tóan- Th ng kê 3 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- c bi t: Khi B ⊂ A thì ph n hi u A \ B ư c g i
là ph n bù c a B trong A . Kí hi u là C A B
Ví d 3: Cho A là t p h p các h c sinh l p 10 ang h c
trư ng em và B là t p h p các h c sinh ang h c môn Ti ng Anh c a trư ng em. Hãy
di n t b ng l i các t p h p sau
a) A ∩ B c) A \ B
b) A ∪ B
. d) B \ A
4. M t s các t p con c a t p h p s th c
Trong các chương sau, ta thư ng s d ng các t p con sau ây c a t p s th c »
Tên g i và kí hi u T ph p Bi u di n trên tr c s
T p s th c ( −∞; + ∞ )
»
o n [ a; b]
{x ∈ » a ≤ x ≤ b}
Kho ng ( a; b ) ..........................................
N a kho ng [ a; b ) .......................................
.......................................
N a kho ng ( a; b ]
......................................
N a kho ng ( −∞; a ]
......................................
N a kho ng [ a; + ∞ ) .......................................
Kho ng ( −∞; a ) .......................................
.......................................
Kho ng ( a; + ∞ )
c là âm cô c c, kí hi u +∞
Trong các kí hi u trên, kí hi u −∞ c là dương vô c c; a và
b ư c g i là các u mút c a o n, kho ng hay n a kho ng .
Bài t p
1. a) Cho A = { x ∈ » x < 20 và x chia h t cho 3}. Hãy li t kê các ph n t c a t p h p A
b) Cho t p h p B = {2, 6, 12, 20, 30} . Xác nh B b ng cách ch ra m t tính ch t c
trưng cho các ph n t c a nó
c) Hãy li t kê các ph n t c a t p h p các h c sinh l p em cao dư i 1m60
2. Trong hai t p h p A và B dư i ây, t p h p nào là t p h p con c a t p h p còn l i? Hai
t p h p A và B có b ng nhau không?
a) A là t p h p các hình vuông B là t p h p các hình thoi
B môn Tóan- Th ng kê 4 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- b) A = { n ∈ » n là m t ư c chung c a 24 và 30}
B = { n ∈ » n là m t ư c c a 6}
3. Tìm t t c các t p con c a t p h p sau
a) A = {a, b} b) B = {0, 1, 2}
4. Li t kê các ph n t c a các t p h p sau:
{ } { }
a) A = n ∈ » 2n + 1 < 16 .
b) B = n ∈ » n 2 < 16 .
{ }
1 1
d) D = x ∈ » x ( 2 x + 1) ( x 2 − 2 ) = 0 .
c) C = x x = , n ∈ », và x ≥ .
2 8
n
{ } { }
e) E = x ∈ » x = 2 k , k ∈ » , k ≤ 3 .
f) F = x ∈ » x 2 − 4 = 0 .
x 2 − 7 x + 10 = 0
{ }
g) G = x ∈ » x > x 2 .
h) H = x ∈ » .
x − 5x = 0
2
{ } { }
j) L = x ∈ » x (1 − x ) ( x 2 − 2 ) = 0 .
i) K = x ∈ » x < 4 .
5. Xác nh các t p h p sau b ng phương pháp nêu tính ch t c trưng:
a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} . b) B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} .
1 11 1 1
c) C = , d) D = {0, 3, 6, 9, 12, 15}
.
, , ,
4 8 16 32 64
6. T p h p A có bao nhiêu t p con, n u:
a) A có 2 ph n t . b) A có 3 ph n t .
c) A có 4 ph n t .
7. Cho A = ∅; B = {a} ; C = {a, b} ; D = {a, b, c} . Hãy vi t ra t t c các t p h p con c a A, B, C,
D.
{ }
A = 3k + 1 k ∈ »
Ch ng t r ng B ⊂ A .
8. Cho hai t p h p:
B = {6l + 4 l ∈ »} .
nh A ∩ A, A ∪ A, A ∩ ∅, A ∪ ∅, C A A, C A∅ .
9. Cho t p h p A , hãy xác
10. Cho 3 t p h p
C = {1, 3, 5}
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6}
B môn Tóan- Th ng kê 5 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- Tìm A ∪ B, A ∩ B, ( A ∪ B ) ∩ C , ( A ∩ B ) ∪ C , A \ B, ( B \ C ) ∩ A .
11. Cho A = {0 ; 2; 4; 6; 8; 10} , B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} và C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} . Hãy
tìm
a) A ∩ ( B ∩ C ) b) A ∪ ( B ∪ C ) c) A ∩ ( B ∪ C )
d) ( A ∪ B ) ∩ C e) ( A ∩ B ) ∪ C
12. Cho t p h p A các s t nhiên là ư c c a 18, t p h p B các s t nhiên là ư c c a 30.
Xác nh các t p h p A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.
{ }
A = x∈» x ≤ 2
13. Cho
{ }
B = x ∈ » 4 < x2 < 9 .
a) Li t kê các ph n t c a A, B. b) Tìm t t c các t p con c a B.
c) Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.
14. Tìm t t c các t p X sao cho {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} .
{ }
15. Cho E = x ∈ »1 ≤ x ≤ 10 và các t p con c a E:
{ }
A = x ∈ » 1 < x < 6 , B = {1, 3, 5, 7, 9} .
a) Vi t các t p E, A b ng cách li t kê các ph n t .
b) Tìm ph n bù trong E c a A và B.
c) Tính s t p con có m t ph n t và 9 ph n t c a E.
{ }
A = x ∈ » ( x − 3) ( x 2 + x − 2 ) = 0
16. Cho:
{ } { }
B = x ∈ » x 2 < 5 và C = x ∈ » x ≤ 4 .
a) Li t kê các ph n t c a A, B, C.
nh B \ ( A ∩ C ) ; ( B ∪ C ) \ A; ( A \ B ) ∩ ( B \ A ) .
b) Xác
c) So sánh B \ ( A ∪ C ) và ( B \ A ) ∩ ( B \ C ) .
B môn Tóan- Th ng kê 6 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- HÀM S
I. Khái ni m v hàm s
Trong giáo trình này chúng ta ch xét trư ng h p c bi t c a hàm s ó là hàm s th c.
1. Ánh x
Gi s X, Y là hai t p h p tùy ý khác r ng cho trư c. M t phép liên k t f tương ng m i
ph n t x ∈ X v i duy nh t ph n t y = f ( x ) ∈ Y ư c g i là m t ánh x t X vào Y.
Kí hi u: f :X→ Y
x → y = f (x)
Khi ó: X g i là t p h p ngu n ( t p xác nh) .
Y g i là t p h p ích ( t p giá tr ).
Ngư i ta thư ng kí hi u t p xác nh là Df, t p giá tr là Rf
Ví d 1 :
ng 1 → a, 2 → b cho ta m t ánh x
a) G i s X ={1, 2} và Y={a, b, c}. Tương
f :X→ Y
b) Gi s Z={1, 2, 3, 4} và T={a, b, c}. Tương ng 1 → a,2 → b,3 → c, 4 → a cho ta
m t ánh x f : Z → T
c) Gi s Z ={1, 2, 3, 4} và T={a, b, c}. Tương ng 1 → a,1 → b,3 → c, 4 → a không
ph i là m t ánh x
2. nh nghĩa hàm s
Ánh x f sao cho v i m i giá tr x ∈ D f có m t và ch m t giá tr tương ng y ∈ » thì ta có
m t hàm s th c.
Kí hi u: f :X→ »
x → y = f (x)
• Ta g i là x là bi n s và y = f ( x ) là hàm s c a x .
• T p h p Df ư c g i là t p xác nh c a hàm s
M t hàm s có th ư c cho dư i d ng b ng, bi u ho c b ng công th c.
Ghi chú: Khi cho hàm s b ng công th c mà không ch rõ t p xác nh c a nó thì ta có quy
ư c sau:
B môn Tóan- Th ng kê 7 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- y = f ( x ) là t p h p t t c các s th c x sao cho bi u
T p xác nh c a hàm s
th c f ( x ) có nghĩa
Ví d 2: Xét các bi u th c sau, bi u th c nào là hàm s ? Hãy tìm t p xác nh c a chúng
f :X→ »
f :X → »
a) b) x 2 −1
x → y = f (x) = x + 1 x → y = f (x) =
x −1
f :X→ X f :X → »
c) d)
x → y = f (x) = x x → y = f (x) = c
f :X → »
e) 2x + 2 khi x ≥ 1
x → y = f (x) = 2
x khi x
- Ví d 4:
12
th hàm s f(x)=2x+1; g(x)= g(x) = x
a) V
2
y
y
1
1
x
-1 O
x
-1 O
Ñoà thò haøm soá f(x)=x+1
b) V th hàm s sau Ñoà thò haøm soá g(x)=1/2x2
f :X→ »
2x + 2 khi x ≥ 1
x → y = f (x) = 2
x khi x
- là D f ∩ Dg = [ 0, ∞ ) ∩ [ −2, 2] = [ 0, 2] . D a trên cách hình thành các hàm s m i t hai hàm
s f(x) và g(x) ta có
(f ± g)(x) = x + 4 − x 2 ; Df +g = Df ∩ D g = [ 0, 2]
(f .g)(x) = x * 4 − x 2 = 4x − x 3 ;D fg = D f ∩ Dg = [ 0, 2]
f x x
;D f = [ 0, 2 )
(x) = =
4 − x2 g
g 4−x 2
Ví d 5 :
f (x) = 1 + x − 2, g(x) = x − 3 . Tìm ( f ± g ) (x); ( f .g ) ( x ) ; ( f / g ) ( x ) ;7.f .
b) Cho hàm s
Tìm t p xác nh tương ng c a các hàm s v a tìm ư c?
c) Cho hàm s f (x) = x; g(x) = x . Tìm (f.g)(x) và t p xác nh c a hàm s m i .
2. Hàm s h p
Ví d 6 :
2
( x)
Cho hàm s f (x) = x 2 + 3; g(x) = x. Ta có: f 0g = f (g(x)) = +3= x +3
và g 0 f = g(f (x)) = x 2 + 3
Ví d 7 :
a) Cho hàm s f (x) = x 2 + 3; g(y) = y + 1. Tìm f 0g = f (g(y)) ?.
b) Cho f (x) = x ,g(x) = 1/ x, h(x) = x 3 . Tìm (f 0 g 0 h )( x ) = f (g(h(x))) ?.
V y n u bi n s c a m t hàm s này ư c thay b ng hàm s c a m t bi n s
m i nào ó thì ta có “hàm h p”.
(f 0g )( x ) = f (g(x))
T p xác nh c a hàm h p là t p h p t t c các giá tr c a bi n s sau cùng sao cho bi u
th c thu ư c có ý nghĩa.
Ví d 8: Gi s nhu c u c a m t m t hàng ư c cho b i hàm P = 80 − 0, 2Q , hàm t ng
doanh thu có d ng như th nào ?
Gi i: Vì doanh thu ( TR ) ư c tính b ng t ng s ti n ki m ư c khi bán s n ph m nên
TR = P.Q . P = 80 − 0, 2Q ,
Vy là mt hàm s h p. Thay ta có
TR
TR = ( 80 − 0, 2.Q ) .Q = 80Q − 0, 2Q 2 .
B môn Tóan- Th ng kê 10 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- F(x) = cos 2 (x + 9) . Tìm các hàm s
Ví d 9: Cho hàm s f(x), g(x) và h(x) sao cho
F=f g h
3. Hàm ngư c
Hàm s ngư c c a m t hàm s là s o ngư c m i quan h c a hàm s ó. Do ó, n u
f: X ⊂ » → » sao cho y = f ( x ) thì hàm ngư c x
hàm s ư c cho b i công th c
x = g ( y) .
Ví d 10:
Cho hàm s : y = 4 + 5 x thì hàm s ngư c c a nó là x = 0, 2 y − 0,8 .
Lưu ý: Không ph i t t c các hàm s u có hàm s ngư c. i u ki n c n thi t
m t hàm s có hàm s ngư c là hàm s ó ph i “ ơn i u”. i u này m b o r ng v i m i
giá tr c a x ta có m t giá tr duy nh t c a y và ngư c l i.
Ví d 11:
y = 9 x − x 2 v i x ∈ [ 0;9] . M i giá tr c a x tương ng v i m t giá tr duy nh t
Xét hàm s
c a y, nhưng có m t vài giá tr c a y l i tương ng v i hai giá tr c a x, ch ng h n như
y = 14;18; 20 . Do ó hàm s này không ơn i u và nó không có hàm ngư c.
Ví d 12: Trong các hàm s sau hàm s nào có hàm s ngư c?
f :X→ » f :» → »
a) b)
x → y = f (x) = x 2 + 1
x → y = f (x) = x + 1
f : » → [0, +∞) f : (−∞;0] → [0, +∞)
c) d)
x → y = f (x) = x 2 x → y = f (x) = x 2
i nhi t t F sang C, ngư i ta dùng công th c:
Ví d 13:
50
( F − 32 ) . Hãy tìm công th c
C= it C sang F?
0
9
IV. Hàm s sơ c p
Hàm s sơ c p là nh ng hàm s ư c t o thành b i m t s h u h n các phép toán s h c(
c ng, tr , nhân, chia), các phép l y hàm h p c a các hàm s sơ c p cơ b n và các h ng s ,
hàm ngư c.
Ví d 14:
a)
B môn Tóan- Th ng kê 11 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- π
y = 3x + x 2 − 4; y = cos2x + sin(3x- ) + 5
4
x + 1 − x 2 + sinx
y = 3 x − lg(2x − 7) + 2; y= là nh ng hàm s sơ c p
x −3
y = arccosx
y=arctg( 2x+1)
x 2 −1, khi x ≥ 0
b) f (x) = không ph i là hàm s sơ c p
2x − 8, khi x < 0
Chú ý: Trong các lo i hàm s sơ c p ngư i ta c bi t chú ý n hai lo i hàm s : các a
th c và các phân th c h u t (còn g i là hàm s h u t ).
Ví d 13:
Pn (x) = a 0 + a1x + ... + a n x n ,a k ∈ »
π
+ 3x + x 2 − 5x 3
P3 (x) = 2 + lg(5) + sin
3
a + a1x + ... + a n x n
F( x ) = 0
b0 + b1x + ... + b m x m
1. Hàm s lũy th a y = f (x) = x α , α ∈ »
nh c a hàm s lũy th a ph thu c vào α .
T p xác
V i α ∈ » : t p xác nh D f = »
nh D f = » \ {0}
V i α nguyên âm: t p xác
…
y = x α luôn i qua i m (1,1) và qua O(0,0) n u α > 0 , không i qua
th c a hàm s
O(0,0) n u α > 0
B môn Tóan- Th ng kê 12 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- y = x2
y=x
y = x1 / 2
y = x −1
2. Hàm s mũ y = f (x) = a x ,a > 0,a ≠ 1
nh c a hàm s là D f = », R f = ( 0, +∞ )
T p xác
th c a hàm s y = a x luôn i qua i m (0,1)
y = 2x
x
1
y=
2
3. Hàm s logarit y = f (x) = log a x,a > 0,a ≠ 1
nh c a hàm s logarit là D f = ( 0, +∞ )
T p xác
th c a hàm s luôn i qua i m (1,0)
B môn Tóan- Th ng kê 13 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- y = log 2 x
y = log1 / 2 x
4. Hàm s lư ng giác y = f (x) = s inx, cosx,tgx,cotgx
nh c a hàm s y=sinx, y= cosx là D f = » , R f = [-1,1]
T p xác
th c a hàm s y = sinx, y=cosx
y = cosx
y = sin x
π
2
π
π
−
2
2
π
−
2
π
nh c a hàm s y= tgx là D f = » \ (2k + 1) , k ∈ » , R f = »
T p xác
2
th c a hàm s y= tgx
B môn Tóan- Th ng kê 14 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- y = tgx
π
2
π
−
2
nh c a hàm s y= cotgx là D f = » \ {kπ,k ∈ »}, R f = »
T p xác
th c a hàm s y=cotgx
y = cotgx
π
2
π
−
2
5. Hàm lư ng giác ngư c
5.1 Hàm s y = f (x) = arcsin x
ππ
nh c a hàm s là D f = [-1,1], R f = [- , ]
T p xác
22
th c a hàm s y= arcsinx
B môn Tóan- Th ng kê 15 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- π
2
−1
1
π
−
2
5.2 Hàm s y= f(x)=arccosx
nh c a hàm s là D f = [-1,1], R f = [0,π]
T p xác
th c a hàm s y= arccosx
π
−1
5.3 Hàm s y=f(x)=arctg(x)
ππ
nh c a hàm s là D f = », R f = [ − , ]
T p xác
22
th c a hàm s y=arctg(x)
B môn Tóan- Th ng kê 16 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- π
2
π
−
2
5.4 Hàm s y=f(x) =arccotgx
nh c a hàm s là D f = », R f = [0,π]
T p xác
th c a hàm s y=arccotg(x)
V. M t vài tính ch t c a hàm s
1. Hàm s ơn i u: Cho hàm s f : X ⊂ » →»:
( a; b ) n u
y = f ( x)
• Hàm s gi là ng bi n (tăng) trên kho ng
∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
y = f ( x) ( a; b ) n u
• Hàm s g i là ngh ch bi n (gi m) trên kho ng
∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
Ghi chú: T nh nghĩa, ta suy ra:
f ( x2 ) − f ( x1 )
f tăng trên ( a; b ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 ≠ x2 , >0
x2 − x1
f ( x2 ) − f ( x1 )
f gi m trên ( a; b ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 ≠ x2 ,
- x1 < −2
o Trên ( −10; − 2 ) , ta có ⇒ x1 + x2 < −2 − 2 = −4
x2 < −2
⇒ −3 ( x1 + x2 ) > 12
f ( x1 ) − f ( x2 )
> 18 > 0
T (1), trên kho ng ã cho
x1 − x2
Và do ó hàm s ng bi n.
x
trên ( −∞; 7 ) và ( 7; + ∞ ) .
b) y =
x−7
2. Hàm s b ch n
Hàm s g i là b ch n ( b ch n trên ho c ch n dư i) n u t p giá tr c a nó b ch n ( b ch n
trên ho c b ch n dư i).
Ví d 15: Xét tính b ch n c a hàm s sau
3. Hàm s ch n và l
Cho hàm s f xác nh trên D
− x ∈ D
• f là hàm ch n ⇔ ∀x ∈ D thì
f (−x) = f ( x)
− x ∈ D
• f là hàm l ⇔ ∀x ∈ D thì
f (−x) = − f ( x)
Ví d 15: Xét tính ch n, l c a các hàm s sau
a) y = −2 x
Gi i:
nh c a hàm s là D = » .
a) T p xác
Ta có: ∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x ) = 3 ( − x ) − 1 = 3x 2 − 1 = f ( x )
2
V y hàm s ã cho là hàm s ch n
d) y = −5 x 2 − 3 x + 8
b) y = 3 x 2 − 1 c) y = 2 x + 9
4. Hàm s tu n hoàn
Hàm s f g i là hàm s tu n hoàn n u t n t i s m ≠ 0 sao cho
( ∀x ∈ D f ) f (x + m) = f (x)
S dương bé nh t trong các s m th a mãn ng th c trên g i là chu kì c a hàm s tu n
hoàn
B môn Tóan- Th ng kê 18 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- Ví d 16: Hàm sinx là hàm tu n hoàn v i chu kì là 2π . Nhưng hàm s f(x) =c là hàm tu n
hoàn nhưng l i không có chu kì.
B môn Tóan- Th ng kê 19 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
nguon tai.lieu . vn
