Xem mẫu
- Chương 2
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M T BI N
§1. GI I H N – LIÊN T C
I. Dãy s - Gi i h n dãy s .
1. Dãy s
1.1 nh nghĩa
nh: { x1 , x2, x3 ,..., xn ,...} .
Dãy s là m t t p h p các s ư c vi t theo m t th t xác
∞
ch dãy s ó, ngư i ta thư ng dùng kí hi u { xn }n =1 hay g n hơn { xn } .
Trong chương này, ta ch xét các dãy s th c. Dãy s th c là m t ánh x :
f :» → »
f ( n ) = xn
n
Kí hi u { xn }n∈» hay { xn } .
Lúc ó:
• n ư c g i là ch s .
• xn ư c g i là s h ng t ng quát c a dãy.
x1 = 1, x2 = 2
nh b i công th c t ng quát
Chú ý: Dãy s còn có th xác
xn = 2 xn−1 + xn−2 , ∀n ≥ 3
Ghi chú: Ta thư ng xét dãy s th c là ánh x t »* vào » .
Ví d 1.
∞
1 11 1
a ) = 1, , ,..., ,... ;
n n =1 2 3 n
{ } = {−1,1, −1,1,..., ( −1) ,...} ;
n n
b) ( −1)
c) {n 2 } = {1, 4,9,..., n 2 ,...} ;
n 1 2 3 n
,... .
d) = , , ,...,
n + 1 2 3 4 n +1
Dãy s { xn } g i là tăng n u xn < xn +1, ∀n ∈ »* , g i là gi m n u xn > xn +1 , ∀n ∈ »* .
Trong ví d 1, dãy a) là dãy s gi m, dãy c) là dãy s tăng. Dãy s tăng và dãy s gi m
ư c g i là dãy s ơn i u.
Dãy s { xn } g i là b ch n trên n u t n t i m t s M sao cho xn ≤ M , ∀n ∈ »* ;
g i là b ch n dư i n u t n t i m t s m sao cho xn ≥ m, ∀n ∈ »* ; g i là b ch n n u nó
v a b ch n trên v a b ch n dư i.
Ví d 2. Trong ví d 1
Dãy a) là dãy s gi m, nó b ch n dư i b i 0 và b ch n trên b i 1;
Dãy b) không ph i là dãy s ơn i u, nó b ch n dư i b i -1 và b ch n trên b i 1;
1
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- Dãy c) là dãy tăng, nó b ch n dư i b i 1 nhưng không b ch n trên, do ó nó không b
c h n;
Dãy d) là dãy s tăng, nó b ch n dư i b i 0 và b ch n trên b i 1.
2. Các dãy s c bi t
2.1 Dãy s c ng
2.1.1 nh nghĩa
Là m t dãy s tho mãn i u ki n: hai ph n t liên ti p nhau sai khác nhau m t h ng
s . Ch ng h n, dãy s 3, 5, 7, 9, 11, ... là m t c p s c ng v i các phân t liên ti p sai
khác nhau h ng s 2.
H ng s sai khác chung ư c g i là công sai c a c p s c ng. Các ph n t c a nó
cũng ư c g i là các s h ng.
2.1.2 S h ng t ng quát
N u c p s c ng kh i u là ph n t u1 và công sai là d, thì s h ng th n c a c p s
c ng ư c tính theo công th c:
u n = u1 + (n −1)d
2.1.3 T ng
T ng c a n s h ng u c a c p s c ng ư c g i là t ng riêng th n. Ta có:
n(a1 + a n ) n [ 2a1 + (n −1)d ]
Sn = a1 + a 2 + ... + a n = =
2 2
2.2 Dãy s nhân
2.2.1 nh nghĩa
Là m t dãy s tho mãn i u ki n t s c a hai ph n t liên ti p là h ng s . T s này
ư c g i là công b i c a c p s nhân. Các ph n t c a c p s nhân còn ư c g i là các
s h ng.Như v y, m t c p s nhân có d ng
a,ar,ar 2 ,ar 3 ,...
Trong ó r ≠ 0 là công b i và a là s h ng u tiên
2.2.2 S h ng t ng quát
S h ng th n c a c p s nhân ư c tính b ng công th c
a n = ar n-1 trong ó n là s nguyên th a mãn n>1
Công b i khi ó là
1
a n−1 a
r = n , r = n−1 n trong ó n là s nguyên th a mãn n ≥ 1
a
a
2.2.3 T ng
T ng các ph n t c a c p s nhân :
2
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- n
Sn = ∑ ar k = ar 0 + ar1 + ar 2 + ... + ar n
k =0
a(1− r n+1 )
Hay Sn =
1− r
2.3 Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci là dãy vô h n các s t nhiên b t u b ng hai ph n t 0 và 1, các ph n
t sau ó ư c thi t l p theo quy t c m i ph n t luôn b ng t ng hai ph n t trư c nó.
Công th c truy h i c a dãy Fibonacci là:
0 , khi n = 0
Fn := F(n) := 1 , khi n = 1
F(n −1) + F(n − 2) , khi n > 1
3. Gi i h n c a dãy s
Tr l i dãy d) c a ví d 1. Bi u di n hình h c c a nó ư c cho hình sau:
2 34
1
0 1
3 45
2
Ta nh n th y r ng khi n càng l n thì xn càng g n 1, t c là kho ng cách xn − 1 càng
nh , nó có th nh bao nhiêu cũng ư c mi n là n l n.
Ta nói r ng dãy { xn } g n t i 1 ( hay có gi i h n là 1) khi n d n t i vô cùng.
Ta có nh nghĩa sau:
nh nghĩa: S a g i là gi i h n c a dãy s { xn } n u v i m i s ε dương bé tùy ý cho
trư c, t n t i m t s t nhiên n0 sao cho v i m i n > n0 thì xn − a < ε .
Ta vi t: lim xn = a hay xn → a khi n → ∞ .
n →∞
Khi ó, dãy s { xn } ư c g i là h i t . Dãy s không h i t ư c g i là phân kì.
Chú ý: Ch s n0 ph thu c vào ε , nên ta có th vi t n0 = n0 ( ε ) .
Ví d 3.
1
a) Ch ng minh lim = 0.
n →∞ 2 n
ư c n0 ( ε ) ∈ »*
Th t v y, cho trư c ε > 0 , ta s ch ra r ng tìm cho
1 1 1 1
< ε , ∀n > n0 . Ta có, n < ε khi 2n > , t c là khi n > log 2 .
xn − 0 = n
2 2 ε ε
1
V y ch c n ch n n0 ( ε ) = log 2 thì v i n > n0 ta có xn − 0 < ε .
ε
3
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- 4n − 3
b) Dùng nh nghĩa ch ng minh r ng lim
n +1
n →∞
4. Các Tính ch t và nh lý v gi i h n dãy s
Dùng nh nghĩa gi i h n c a dãy s , có th ch ng minh ư c các nh lý sau:
nh lý 1. a) N u m t dãy s có gi i h n thì gi i h n ó là duy nh t.
b) N u m t dãy s có gi i h n thì nó b ch n.
Chú thích: M nh b) c a nh lý 1 là i u ki n c n c a dãy s h i t . T ó suy ra
r ng n u m t dãy s không b ch n thì nó không có gi i h n. Ch ng h n, dãy c) trong
ví d 1 không có gi i h n vì nó không b ch n.
nh lý 2. N u các dãy s { xn } và { yn } u có gi i h n ( lim xn → a; lim yn → b ) thì
n →∞ n →∞
i) lim ( xn ± yn ) = lim xn ± lim yn = a ± b
n →∞ n →∞ n →∞
ii) lim ( xn . yn ) = lim xn .lim yn = a.b
n →∞ n →∞ n →∞
xn lim xn a
iii) lim ( v i i u ki n lim yn ≠ 0 ).
= n→∞ =
yn lim yn b
n →∞ n →∞
n →∞
Ví d 4. Tính gi i h n các dãy s sau
1 1 a
a) {a n } = 2 , {b n } = ⇒ lim n
n n n→∞ b
n
1 1 b
b) {a n } = , b = ⇒ lim n
2 { n}
n n n →∞ a
n
1 1 a
c) {a n } = , b = ⇒ lim n
2 { n}
n n n →∞ b
n
n−1
(−1) 1 a
d) {a n } = , {b n } = ⇒ lim n
n n n→∞ b
n
Chú ý: Trong tính toán v gi i h n, có khi ta g p các d ng sau ây g i là d ng vô nh
0∞
, 0.∞, ∞ − ∞,... . Khi ó không th dùng các k t qu c a nh lý 2, mà ph i dùng
,
0∞
các phép bi n i kh các d ng vô nh ó.
11
2+ +
2n 2 + n + 1 2n 2 + n + 1 n n2 = 2 .
∞
Ch ng h n, lim có d ng . Ta bi n i: lim = lim
5
n →∞ 3n 2 + 5 n →∞ 3n 2 + 5 3
∞ n →∞
3+ 2
n
4.1 Tiêu chu n t n t i gi i h n
nh lý 3. Cho 3 dãy s { xn } , { yn } , { zn } . N u:
a) ∀n ∈ »* , xn ≤ yn ≤ zn ;
b) lim xn = lim zn = a
n →∞ n →∞
thì dãy { yn } có gi i h n và lim yn = a .
n →∞
nh lý 4. a) N u dãy s tăng và b ch n trên thì nó có gi i h n.
4
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- b) N u dãy s gi m và b ch n dư i thì nó có gi i h n.
nh lý 5. Dãy s {x n } ư c g i là dãy cơ b n ( hay dãy Cauchy) n u v i m i ε > 0
t n t i s n0 >0 sao cho x n − x m < ε v i m i ch s n, m > n0.
Ý nghĩa: K t m t lúc nào ó tr i hai ph n t b t kỳ c a dãy s g n nhau bao nhiêu
cũng ư c.
4.2 Các ví d v gi i h n c a dãy s
3n − 5 1
Ví d 5. Cho dãy s { xn } v i. Ch ng minh lim xn = . V i k nào thì xk n m
xn =
9n + 4 3
n →∞
1 11 1
ngoài kho ng L = − .
;+
3 1000 3 1000
Ta có
5
5
n3− 3−
3n − 5 n =1.
n
= lim
lim = lim
43
4 n →∞
n →∞
n →∞ 9n + 4
9+
n9 +
n
n
1 1 3n − 5 1 19 19
Kho ng cách t xn n b ng xn − = ;
− =− =
3 ( 9n + 4 ) 3 ( 9 n + 4 )
3 3 9n + 4 3
19 1
1 1
x n m ngoài kho ng L khi và ch khi x − hay .
>
>
3 ( 9n + 4 ) 1000
3 1000
18988 7
Do ó n < = 703 . V y các s c a dãy n m ngoài kho ng L là x1, x2, …, x703.
27 27
2n
Ví d 6. Ch ng minh r ng lim = 0.
n →∞ n !
n −3
2n 2.2...2 22 2 2 1 1 1 41
Ta có .
= 2.1. . ... < 2.1. . . ... =
=
n ! 1.2.3...n 34 n 3 2 2 2 3 2
( n −3) sô
n −3
2n
1
Vì lim = 0 nên lim = 0.
n →∞ 2 n →∞ n !
Ví d 7. Tính các gi i h n sau:
3
3n 2 + n − 2
3n 2 + 5n + 4
a) lim b) lim 2
2 + n2 n →∞ 4n + 2 n + 7
n →∞
Gi i.
54
3+ +
3n 2 + 5n + 4 n n2 = 3 .
a) Ta có lim = lim
2
2 + n2
n →∞ n →∞
+1
n2
5
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- 12
3 + n − n2
3
3 3 27
3n 2 + n − 2
b) Ta có lim 2 .
= lim = =
n→∞ 4 + 2 + 7
n →∞ 4n + 2 n + 7
4 64
n n2
Ví d 8. Tìm gi i h n c a các dãy s { xn } sau:
n2 + 1 + n
b) xn = 3 n 2 − n3 + n
a) xn = 2n + 3 − n − 1 c) xn = .
4
n3 + n − n
Gi i.
a) Khi n → ∞ , xn = 2n + 3 − n − 1 có d ng vô nh ∞ − ∞ . Mu n kh d ng vô
nh y, ta nhân t và m u c a xn v i lư ng liên h p 2n + 3 + n − 1 , ta ư c:
( )( ) = lim ( 2n + 3) − ( n − 1)
2n + 3 − n − 1 2n + 3 + n − 1
lim xn = lim
2n + 3 + n − 1 2n + 3 + n − 1
n →∞ n →∞ n →∞
4
1+
n+4 n
= lim = lim = +∞
2n + 3 + n − 1 n →∞ 23 11
n →∞
+ 2+ −
n n2
nn
1
b) Ta có n 2 − n3 = n3 − 1 → −∞ khi n → ∞ , vì v y xn = 3 n 2 − n3 + n có d ng
n
2
(n − n3 ) − n 3 n 2 − n3 + n 2 , ta ư c:
∞ − ∞ . Nhân t và m u c a xn v i lư ng liên h p 2
3
)
( 2
n 2 − n3 + n 3 ( n 2 − n3 ) − n 3 n 2 − n3 + n 2
3
lim xn = lim
2
n →∞ n →∞
(n − n3 ) − n 3 n 2 − n3 + n 2
2
3
n2 1 1
= lim = lim =
3
32 2
n →∞ n →∞
(n ) 1 1
2
− n 3 n 2 − n3 + n 2
−n
3
− 1 − 3 − 1 + 1
3
n n
1
1 1 1
n 1+ 2 + 1+ 2 +
n n 4
2
n +1 + n
= 3 n n.
c) Ta có xn = 4 3 = n.
1 1 41
1
n +n − n 4 1+
n4 4 1+ 2 − 4 −
n2 n
n n
1 1
1+
+
2
n n = +∞ .
Do ó lim xn = lim 4 n .
1 41
n →∞ n →∞
4 1+ −
n2 n
Ví d 9. Tìm gi i h n c a các dãy s { xn } sau:
sin n
a) lim
n →∞ n
6
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- 1 4
b) lim 2 − 3 + 2
n →∞ n n
(2n −1)(n 2 + 3n − 2)
c) lim
4n 3 − n 2 + 1
n →∞
( )
d) lim n n +1 − n
n →∞
4.3 Gi i h n m r ng
lim x n = +∞
n →∞
lim x n = −∞
n →∞
lim x n = ∞
n →∞
Ví d 10.
a) lim n 2
n →∞
b) lim (−n 2 + 5)
n→∞
c) lim (−n 2 + 5n )
n→∞
n
d) lim (−1) n 2
n→∞
Gi i.
a) Ta có lim n 2 = +∞
n →∞
4.4 M t s gi i h n c bi t
n
1 + 1 = e
lim
n →∞
n
1
lim = 0 (α > 0)
n →∞ n α
lim n n = 1
n →∞
lim n a = 1(a > 0)
n →∞
0 ,0 < q < 1
n
lim q = ∞ ,q > 1
n →∞
1 ,q = 1
Ngoài ra n u q =-1 thì gi i h n không t n t i
Ví d 11. Tính gi i h n các dãy s sau
3n − 2.4n
a) lim
n →∞ 5.4 n − 2 n
( )
2 4 2 8 2...2n 2
b) lim
n →∞
7
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- II. Gi i h n c a hàm s
x2 − 4
Ví d 12. Cho hàm s f (x) = . Khi gán cho x l n lư t các giá tr càng d n v 1
x−2
t 2 phía ( 1) nhưng r t g n 1 thì f(x) càng d n v 3
x 0.8 0.9 0.99 0.999 1 1.000001 1.0001 1.001 1.05 1.1
f (x) 2.8 2.9 2.99 2.999 3.000001 3.0001 3.01 3.05 3.1
Tương t khi gán cho x các giá tr d n v 2 t 2 phía ( 2) nhưng r t g n 2 thì f(x)
càng d n v 4
x 1.8 1.9 1.99 1.9999 2 2.000001 2.00001 2.001 2.05 2.1
f (x) 3.8 3.9 3.99 3.9999 4.000001 4.00001 4.001 4.05 4.1
Nh n xét r ng f(x) không t n t i giá tr t i 2 nhưng các giá tr c a f(x) khi x d n v 2
cho ta c m nh n r ng f(x) s có giá tr x p x là 4 khi x ti n v 2 t c hai phía
1. nh nghĩa
Gi s hàm s f ( x ) xác nh lân c n i m a (có th tr t i a ). Ta nói hàm s f ( x )
có gi i h n là A khi x d n t i a n u v i m i s ε > 0 cho trư c, ut ntim ts
δ > 0 sao cho khi x − a < δ thì f ( x ) − A < ε , kí hi u là lim f ( x ) = A hay f ( x ) → A
x →a
khi x → a .
Ví d 13. Ch ng minh r ng lim ( 2 x + 1) = 3 .
x →1
Ta c n ch ra r ng n u cho trư c s ε > 0 , thì tìm ư c s δ > 0 sao cho 2 x + 1 − 3 < ε
ε
hay 2 ( x − 1) < ε n u x − 1 < δ . Ta có 2 ( x − 1) = 2 x − 1 < ε ⇔ x − 1 < .
2
ε
V y l y δ = , ta có lim ( 2 x + 1) = 3 .
2 x →1
Chú ý: Trong nh nghĩa trên, khi nói x d n t i a, có th x > a, cũng có th x < a. N u
khi x d n t i a v phía trái (t c là x d n t i a và x luôn nh hơn a) mà f ( x ) d n t i
gi i h n A thì A g i là gi i h n trái t i a, kí hi u là: lim f ( x ) .
x →a −
Tương t , ngư i ta nh nghĩa gi i h n ph i t i a, kí hi u là: lim f ( x ) .
x →a +
Hàm s f ( x ) có gi i h n A khi x → a khi và ch khi nó gi i h n trái t i a và gi i h n
ph i t i a và hai gi i h n y u b ng A: lim f ( x ) = lim f ( x ) = A .
x →a − x →a +
x ,x0
Ta th y lim f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = 1 .
x → 0− x → 0+
Do ó f ( x ) không có gi i h n khi x → 0 .
Ví d 15. Tính gi i h n các hàm s sau khi x → 0 :
8
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- x
a) f (x) =
x
1
b) f (x) =
x
Ví d 16. Tính gi i h n 1 phía, 2 phía các hàm s sau:
2x − 3 1
1
d) lim g) lim 2 x−1
a) lim x →+∞ 2 x + 3
x →+∞ x 2 +
x →1
1
1
4x −1
e)lim h) lim 2
b) lim x−1
x →0 x
x →+∞ 2x + 5 −
x→1
x x>2
x
−1 l) f (x) =
c) lim
f ) lim 3x x≤2
x →−∞ x + 1 2
(x − 3)
x →3
Nh n xét: Hàm s có th có gi i h n m t phía nhưng không ph i lúc nào cũng có gi i
h n 2 phía suy ra gi i h n không ph i t n t i i v i m i hàm s
2. Các phép toán v gi i h n
nh lý 5. Gi s lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B . Khi ó:
x →a x →a
i) lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = A ± B
x →a
ii) lim ( f ( x ) .g ( x ) ) = A.B
x →a
f ( x) A
iii) lim , n u B ≠0.
=
g ( x) B
x→a
iv) lim n f(x) = n lim f(x) = n A; A > 0 , n ch n
x →a x →a
k
v) lim f (x) k = lim f (x) = A k , k ∈ » .
x →a
x→ a
lim f (x )
vi) lim b f (x ) = b x→a = bA , b > 0 .
x→ a
( )
vii) lim [ log b f (x) ] = lo g b lim f (x) = lo g b A(A > 0,0 < b < 1or b>1) .
x→ a x→ a
Chú ý: Trong quá trình tìm gi i h n c a hàm s ta n u g p m t s các d ng vô nh
0∞ 0 ∞
sau: ∞ −∞;0.∞; ; ; ; ;1∞ ;00 , ∞0 ,... . thì ph i tìm cách bi n i kh
0∞ 1 1
∞0
chúng.
Ví d 17.
lim sin x lim sin x
π π
sin x 1 4
x→ x→
a) lim 2 2 2
= = == =2
lim ( 3 x + x − 1) lim 3 x + lim x − lim1
2
2
2
π 3x + x + 1 3π + 2π − 4
π π
x→
3 + −1
2 π π π
π x→ x→ x→
x→
2 2
2 2 2
2
2
lim( x 2 − 3).lim ( x 2 − 3)
(x − 3)
2
1.1 1
b) lim x→2 x →2
= = =
lim ( 5 x ) − lim 2
5x − 2 10 − 2 8
x→2
x→2 x→2
9
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- 3
lim ( x − 3)
3
( x − 3)
c) lim x →3
=0
=
lim ( x − 2 )
x−2
x →3
x →3
Ví d 18.
x2 −1 0
a) Xét lim ây ta g p d ng vô nh . Khi x → 1, có th xem x ≠ 1,
.
x −1 0
x →1
x 2 − 1 ( x − 1) ( x + 1)
Ta khai tri n = x +1 .
=
x −1 x −1
x2 − 1
Do ó lim = lim ( x + 1) = 2 .
x − 1 x →1
x →1
x3 − 8
b) Tính lim .
x−2
x→2
x3 − 8
= lim ( x 2 + 2 x + 4 ) = 12
Vì x3 − 8 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) nên lim
x − 2 x→2
x→2
Ví d 19. Tính các gi i h n sau:
a) lim (7x 5 − 4x 3 + 2x − 9)
x→+ ∞
b) lim (−x 4 − 4x 3 + 2x − 9)
x→ + ∞
4x 2 − x
c) lim 3
x→−∞ 2x − 5
3x + 5
d) lim 3
6x − 8
x→+ ∞
x2 + 2
e) lim
x →−∞ 3x − 6
( )
x6 + 5 − x3
f ) lim
x→ + ∞
2x 2 + 5 x
- a) N u lân c n i m a, hàm s f ( x ) tăng và b ch n trên b i s M thì t n t i gi i
h n c a f ( x ) khi x → a và lim f ( x ) ≤ M .
x →a
b) N u lân c n i m a, hàm s f ( x ) gi m và b ch n dư i b i s m thì t n t i gi i
h n c a f ( x ) khi x → a và lim f ( x ) ≥ m.
x →a
sin x
Hai nh lý này cho phép ta tìm m t gi i h n quan tr ng, ch ng h n như: lim =1,
x
x →0
x
1
lim 1 + = e , …T ó d a vào nh ng gi i h n này ta có th gi i ư c nhi u bài
x
x →∞
toán tính gi i h n khác.
Ví d 20. Tính các gi i h n sau:
sin x 1 sin x 1
tgx
a) lim = lim . = lim .lim = 1.1 = 1
x cos x x → 0 cos x
x x
x →0 x →0 x →0
arcsin x
b) Xét lim t arcsin x = t , ta có x = sin t. Khi x → 0 thì t → 0 .
.
x
x →0
arcsin x 1 1
t
V y lim = lim = lim =1
=
t → 0 sin t sin t
t → 0 sin t
x
x →0
lim
t t
t →0
arctgx
c) Tương t , lim = 1.
x
x →0
Ví d 21. Tính các gi i h n sau:
x +3
x
3+ x x+2
a) lim b) lim
x →∞ x − 1
x
x →∞
Gi i.
x x
3+ x 3
a) = 1 + có d ng 1 khi x → ∞ . t x = 3t, khi x → ∞ thì t → ∞ . V y
∞
x x
3
1 t
x t
3 3
lim 1 + = lim 1 + = lim 1 + = e3 .
x t t
x →∞ t →∞ t →∞
x +3 x +3 x +3
x+2 x+2 3
b) có d ng 1 khi x → ∞ . Ta có
∞
= 1 + .
x −1 x −1 x −1
t x − 1 = 3t , ta có x = 3t + 1 . Khi x → ∞ thì t → ∞ . V y
x +3 3t + 4 3t 4
3 1 1 1
= lim 1 + .lim 1 + = e3 .1 = e3 .
lim 1 + = lim 1 +
x −1 t t t
x →∞ t →∞ t →∞ t →∞
Ví d 22. Tính các gi i h n sau:
11
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- 1
a) lim x sin
x
x →0
1 1
b) lim cos
x x
x→ + ∞
2 + 3x n
n, m ∈ »*
c) lim ;
x →−∞ 1 − x m
d) lim x − 4
+
x→4
1
e)lim
x →0 x 2
4 . M t s g i i h n cơ b n
s inx
lim =1
x
x →0
tgx
lim =1
x →0 x
e x −1
lim =1
x
x→ 0
ln(1 + x)
lim =1
x
x→ 0
1
lim α = 0(α > 0)
x→ 0 x
1 1
lim 1 + = e; lim (1 + x )x = e
x
x→+∞ x →0
x
1 1
lim 1 − =
x
e
x→+∞
Ví d 23. Tính các gi i h n sau:
sin 5x 1
e) lim cos
a) lim
x
7x
x →0 +
x →0
sinx 1
b) lim f ) lim sin
x →0 5 x x
+
+
x →0
x x 2 − 3sin x
c)lim g)lim
x→0 tgx
x
x →0
x2 2x + s inx
d)lim h) lim
x →0 1 − cosx x
x→ 0
5. Vô cùng bé và vô cùng l n
5.1 nh nghĩa
• Hàm s f ( x ) g i là m t vô cùng bé ( vi t t t là VCB ) khi x → a n u
lim f ( x ) = 0.
x →a
12
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- Trong ó a có th là h u han hay vô cùng. T nh nghĩa gi i h n c a hàm s , ta có
th suy ra r ng n u f ( x ) → A khi x → a thì f ( x ) = A + α ( x ) , v i α ( x ) là m t VCB
khi x → a .
• Hàm s F ( x ) g i là m t vô cùng l n ( vi t t t là VCL) khi x → a n u
lim F ( x ) = +∞.
x →a
1
Có th d dàng th y r ng n u f ( x ) là m t VCB khi x → a thì là m t VCL và
f ( x)
ngư c l i.
Ví d 24. Tính các gi i h n sau:
g) lim (3x 4 + x )
a) lim(1 − cosx) e)lim ln(1 + x)
c)lim(s inx) x →0
x →0 x →0
x →0
(3x 4 + x )
b) lim x 2 f)lim e x −1
d) lim x
h) lim
x →0
x →0 x →0
5x 4
x→ 0
5.2 Tính ch t
N u f ( x ) , g ( x ) là hai VCB khi x → a thì f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) .g ( x ) cũng là nh ng VCB
khi x → a .
N u f ( x ) , g ( x ) là hai VCL cùng d u khi x → a thì f ( x ) ± g ( x ) cũng là m t VCL khi
x → a . Tích c a hai VCL khi x → a cũng là m t VCL khi x → a .
Ví d 25. Tình gi i h n sau
lim(x10 -7x 8 +x 2ln(1+2x 2 )(1− cos3x)
x→ 0
5.3 So sánh các VCB
a) B c c a các VCB
nh nghĩa. Gi s α ( x ) , β ( x ) là hai VCB khi x → a .
α ( x)
N u lim = 0 , ta nói r ng α ( x ) VCB b c cao hơn β ( x ) hay β ( x ) là VCB b c
β ( x)
x →a
th p hơn α ( x )
α ( x)
N u lim = ∞ , ta nói r ng α ( x ) VCB b c th p hơn β ( x ) hay β ( x ) là VCB b c
β ( x)
x →a
cao hơn α ( x )
α ( x)
N u lim = A ( ≠ 0, ≠ ∞ ) , ta nói r ng α ( x ) và β ( x ) là hai VCB cùng b c. c bi t
x→a β ( x )
khi A =1 ta nói α ( x ) , β ( x ) là tương ương v i nhau, ký hi u là α ( x) ~ β(x)
N u α ( x ) là VCB ngang c p v i β k ( x ) (k > 0) thì ta nói α ( x ) là VCB c p k so v i
VCB β ( x )
13
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- α ( x)
N u lim không t n t i, ta nói r ng không th so sánh hai VCB α ( x ) và β ( x ) .
β ( x)
x →a
Ví d 26.
a) 1 − cos x và 2x u là nh ng VCB khi x → 0 . Vì
x x
sin 2 sin
1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0
lim = lim
x
2x 2 x →0 2
x
x →0 x →0 x →0
2
Nên 1 − cos x là VCB b c cao hơn 2x.
1 1
x sin sin
x = 1 lim sin 1
1 x = lim
b) x.sin và 2x là nh ng VCB khi x → 0, Vì lim
2x 2 2 x →0 x
x x →0 x→0
1 1
nhưng không t n t i lim sin nên x sin và 2x là hai VCB khi x → 0 không so sánh
x x
x →0
ư c v i nhau.
c) 1 –cosx và x2 là hai VCB ngang c p khi x → 0, và do ó 1 – cosx cũng là VCB c p
x
2sin 2
1 − cosx 2 =1
hai so v i x2 , vì lim = lim
x2 2
x 2
x→ 0 x →0
s inx x 1
d) sinx và x2 u là nh ng VCB khi x → 0, vì lim = lim 2 = lim = +∞ nên
2
x x→ 0 x x →0 x
+ + +
x →0
2 2
sinx là VCB c p th p hơn x hay x là VCB c p cao hơn sinx.
b) Vô cùng bé tương ương
nh nghĩa: Hai VCB khi x → a g i là tương ương v i nhau n u
α ( x)
=1 ,
lim
x→a β ( x )
Kí hi u : α ( x ) ∼ β ( x ) .
N u α ( x ) → 0 khi x → a thì :
sin α ( x ) ∼ α ( x ) , tgα ( x ) ∼ α ( x ) ,
acr sin α ( x ) ∼ α ( x ) , arctgα ( x ) ∼ α ( x )
2
1 − cosα (x) ~ α (x)
[1 + α (x) ]k −1 ~ kα (x)
2
ln(1 + α (x)) ~ α (x)
α ( x)
e −1 ~ α (x)
2
nh lý 8: N u α ( x ) và β ( x ) là hai VCB khi x → a, α ( x ) ∼ α1 ( x ) , β ( x ) ∼ β1 ( x ) khi
α ( x) α ( x)
x → a thì lim = lim 1 .
x →a β ( x ) x→a β ( x )
1
Th t v y, vì α ( x ) ∼ α1 ( x ) , β ( x ) ∼ β1 ( x ) , ta có
14
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- α ( x) β ( x)
lim = 1, lim =1
α1 ( x ) x→a β ( x )
x →a
1
α ( x ) α1 ( x ) β1 ( x )
α ( x)
Do ó : lim = lim . .
x→a α ( x ) β ( x ) β ( x )
x →a β ( x )
1
1
α ( x) α ( x) β ( x) α ( x)
.lim 1 .lim 1 = lim 1
= lim .
x→a α ( x ) x→a β ( x ) x→a β ( x ) x→a β ( x )
1 1 1
nh lý 9: (quy t c ng t b các VCB b c cao). N u α ( x ) , β ( x ) là các VCB khi
x → a, β ( x ) là VCB b c cao hơn α ( x ) thì khi x → a
α ( x) + β ( x) ∼ α ( x).
β ( x)
α ( x) + β ( x) β ( x)
Th t v y, ta có lim = lim 1 + = 1 + lim =1
x →a
α ( x) α ( x)
x→a α ( x )
x →a
Ví d 27. Ch ng minh r ng sin x x ∼ x 2 + x3 khi x → 0 .
3 3
Khi x → 0 thì sin x x = sin x 4 ∼ x 4 ;
3 3 3
x 2 + x3 = x 2 + x 2 ∼ x 2 = x 4 .
3
Vì b c c a x cao hơn b c c a x . Do ó sin x x ∼ x 2 + x3 khi x → 0 .
2 2
Ví d 28. Tính các gi i h n sau:
s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x
a) lim ;
3x
x →0
1 − cos x + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4
b) lim
tg 3 x − 6sin 2 x + x − 5 x 3
x →0
Gi i.
a) Ta có s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x ∼ 2x + x 2 − x 2 = 2 x khi x → 0
s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x 2x 2
Do ó lim = lim =
3x x →0 3 x 3
x →0
b) Ta bi n it s :
x
1 − cos x + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 = 2sin 2 + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 ∼
2
2
x
∼ 2 + 2 x − x3 + 3 x 4 ∼ 2 x khi x → 0
2
Còn m u s tương ương v i x 3 − 6 x 2 + x − 5 x 3 ∼ x khi x → 0
2x
V y ta ư c: lim = 2.
x→0 x
Ví d 29. Tính các gi i h n sau s d ng các VCB tương ương
15
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- ln(1 + x − 3x 2 + 2x 3 )
a) lim
x →1 ln(1 + 3x − 4x 2 + x 3 )
e 2x −1
b)lim
x→0 ln(1 − 4x)
sin 2 3x
c)lim
x→0 ln 2 (1 + 2x)
1 + 2x −1
d)lim
tg3x
x →0
x10 − 7x 8 + x 2 ln(1 + 2x 2 )(1 − cos4x)
e)lim 2
sin 3 x.(e x −1).arctg(3x)+x 7 − x 8
x→0
(x −1)3 sin 4 (x −1).(e x−1 −1)
f )lim
(1 + (x −1) −1)arcsin (x-1) + (x −1)
23 6 9
x→1
c) So sánh các VCL
Gi s F ( x ) và G ( x ) là hai VCL khi x → a .
F ( x)
N u lim = ∞ , ta nói F ( x ) là VCL b c cao hơn G ( x ) khi x → a
x→a G ( x )
F ( x)
N u lim = 0 , ta nói F ( x ) là VCL b c th p hơn G ( x ) khi x → a
G ( x)
x→a
F ( x)
= A ( ≠ 0, ≠ ∞ ) , ta nói F ( x ) và G ( x ) là nh ng VCL cùng b c.
N u lim
x→a G ( x )
F ( x)
N u lim = 1 , ta nói F ( x ) và G ( x ) là hai VCL tương ương khi x → a kí h u
x→a G ( x )
F ( x ) ∼ G ( x ) khi x → a .
Cũng như i v i các VCB, ta d dàng ch ng minh ư ccác nh lý sau.
nh lý 10: N u F ( x ) và G ( x ) là hai VCL khi x → a , F ( x ) ∼ F1 ( x ) , G ( x ) ∼ G1 ( x ) khi
x → a thì :
F ( x) F ( x)
= lim 1
lim
x→a G ( x ) x→ a G ( x )
1
nh lý 11: N u F ( x ) và G ( x ) là hai VCL khi x → a , G ( x ) là VCL b c th p hơn
F ( x ) thì khi x → a , F ( x ) + G ( x ) ∼ F ( x ) (Quy t c ng t b các VCL).
Ví d 30. Tính các gi i h n sau
7 x3 − x5 + 6 x
a ) lim
x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x
7 x 23 − x 5 + 6 x + 4 x10 − 8 x 30
b) lim
x →∞ 12 x13 + x 2 − 6 x + x 25 − 1000 x 30
16
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- )
( x 4 + 3x 2 − x 4 − 1
c) lim
x →∞
)
( x2 + 1 − x
d ) lim x
x →∞
Gi i.
a) Ta có 7 x 3 − x5 + 6 x ∼ 7 x 3 khi x → ∞
12 x3 + x 2 − 6 x ∼ 12 x3 khi x → ∞ .
7 x3 − x 5 + 6 x 7 x3 7
V y lim =.
= lim
x →∞ 12 x 3 12
x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x
III. Hàm s liên t c
1. nh nghĩa
nh nghĩa 1. Cho f là m t hàm s liên t c trong kho ng (a, b ), x0 là m t i m thu c
( a, b). Ngư i ta nói r ng hàm s f liên t c t i x0 n u:
lim f ( x ) = f ( x0 ) . (1)
x → x0
N u hàm s f không liên t c t i x0, ta nói r ng nó gián o n t i x0.
N u t: x = x0 + ∆x, ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) , thì ng th c (1) có th vi t là:
lim f ( x ) − f ( x0 ) = 0 hay lim ∆y = 0 .
∆x → 0
x → x0
Ví d 31. Ch ng minh hàm s y = x 2 liên t c t i m i x0 ∈ » .
2 2
t x = x0 + ∆x thì y0 = x0 , ∆y = x 2 − x0 = ( x0 + ∆x ) − x0 = 2 x0 ∆x + ( ∆x ) ;
2 2
Ta có: ∀x ∈ »
lim ∆y = 2 x0 . lim ∆x + lim ∆x. lim ∆x = 0 ( pcm).
∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x →0
Ví d 32. Ch ng minh hàm s y = sin x liên t c t i m i x0 ∈ » .
Ta có: x0 ∈ » , t x = x0 + ∆x thì y0 = sin x0 , ∆y = sin x − sin x0 = sin ( x0 + ∆x ) − sin x0 =
∆x ∆x ∆x
.
= 2 sin cos x0 + ≤ 2 sin
2 2 2
Do ó lim ∆y = 0 .
∆x → 0
Tương t như v y, có th ch ng minh ư c r ng m i hàm s sơ c p cơ b n u liên
t c t i nh ng i m thu c mi n xác nh c a nó.
d dàng trong tính tóan ngư i ta thư ng phát bi u nh nghĩa 1 dư i
Nh n xét:
d ng sau:
i) f(x0) ph i xác nh
ii) lim f (x) ph i t n t i
x→ x 0
iii) lim f (x) = f (x 0 )
x→ x 0
Ví d 33. Xét s liên t c c a các hàm s sau
17
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- a) f (x) = x 2 − 2x + 3
x2 −9
b)g(x) =
x 2 − 5x + 6
Gi i.
a) Ta có f (x) = x 2 − 2x + 3 là m t hàm s sơ c p nên xác nh, có gi i h n ∀x ∈ Df .
Nên hàm s liên t c t i m i x thu c t p xác nh D f
x2 − 9
b) Ta có g(x) = là m t phân th c h u t ( là m t d ng c a hàm s sơ c p)
x 2 − 5x + 6
nh, có gi i h n ∀x ∈ Df = » \ {2,3} . Nên hàm s cũng liên t c t i
nên hàm s xác
m i x thu c Df. Riêng t i x=2, 3 ta nghi ng r ng hàm s có ho c không liên t c nên ta
làm như sau:
* Khi x= 3 thì ta ki m tra 3 i u ki n c a hàm liên t c:
x2 − 9 0
i) g(x) = ⇒ g(3) = không xác nh nên ta có th b qua 2 i u ki n kia
2
x − 5x + 6 0
và k t lu n hàm s không liên t c t i x=3.
* Tương t khi x=2.
Ví d 34. Xét tính liên t c c a hàm s f (x) = x .
nh nghĩa 2. (Liên t c trái, ph i)
* Liên t c trái
M t hàm s f ư c g i là liên t c trái t i m t i m x =c thu c Df n u th a mãn 3 i u
ki n sau
- f(c) ư c nh nghĩa ( xác nh).
- lim f (x) ph i t n t i.
x→ c−
- lim f (x) = f (c) .
x→ c−
Ta phát bi u tương t cho trư ng h p liên t c ph i.
nh nghĩa 2. Hàm s f ư c g i là liên t c trong kho ng m ( a, b) n u nó liên t c t i
m i i m c a kho ng ó; ư c g i là liên t c trong kho ng óng [a, b] n u nó liên t c
t i m i i m c a kho ng m (a, b), liên t c ph i t i a và liên t c trái t i b.
Ví d 35. Tìm t t c các giá tr c a x mà t i ó hàm s f(x) không liên t c
18
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- x +1 x 3
x
b)g(x) = 2
x +1
x +3
c) k(x) = 2
x + 3x
2. Các phép toán v hàm s liên t c
T các nh lý v gi i h n c a t ng, tích, thương và t nh nghĩa c a hàm s liên t c
t i m t i m, có th d dàng suy ra:
nh lý 12. N u f và g là hai hàm s liên t c t i x0 thì:
a) f + g liên t c t i x0.
b) f.g liên t c t i x0.
f
c) liên t c t i x0 n u g ( x ) ≠ 0 .
g
nh lý 13.N u hàm s u = ϕ ( x ) liên t c t i x0, hàm s y = f ( u ) liên t c t i
u0 = ϕ ( x0 ) thì hàm s h p y = ( f g ) ( x ) = f ϕ ( x ) liên t c t i x0.
Ví d 36. Xét tính liên t c c a các hàm s sau:
1 + cosx
, khi x ≠ π
s inx ( x-π)2
, khi x ≠ 0
c)f (x) =
a)f (x) = x 1
, khi x = π
1 2
, khi x = 0
1 ln(1 + 2x)
sin , khi x ≠ 0 −1 + e3x , khi x > 0
x
b)f (x) =
d)f (x) =
a , khi x = 0 2
, khi x ≤ 0
3
2.1 Tính ch t c a hàm s liên t c
Các nh lý sau ây nêu lên nh ng tính ch t cơ b n c a hàm s liên t c.
nh lý 14. N u hàm s f ( x ) liên t c trên o n [a, b] thì nó b ch n trong o n ó,
t c là t n t i hai s m và M sao cho
∀x ∈ [ a, b ] .
m ≤ f ( x) ≤ M
nh lý 15. N u hàm s f ( x ) liên t c trên o n [a, b] thì nó t giá tr nh nh t m và
giá tr l n nh t M c a nó trên o n ó, t c là t n t i hai i m x1 , x2 ∈ [ a, b ] sao cho:
∀x ∈ [ a, b] ;
f ( x1 ) = m ≤ f ( x )
∀x ∈ [ a, b ] .
f ( x2 ) = M ≥ f ( x )
19
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
- nh lý 16. ( nh lý v giá tr trung gian) N u hàm s f ( x ) liên t c trên o n [a, b],
m và M là các giá tr nh nh t và l n nh t c a nó trên o n ó thì m i s µ n m gi a
m và M, luôn t n t i i m ξ ∈ [ a, b ] sao cho: f (ξ ) = µ .
H qu . N u f ( x ) liên t c trên [a, b], f ( a ) . f ( b ) < 0 thì trong kho ng (a, b) t n t i
m t i m ξ sao cho f (ξ ) = 0 .
Chú ý: Dùng tính ch t c a hàm s liên t c, ta ch ng minh ư c các công th c sau:
ln (1 + α ) eα − 1 aα − 1
= 1 ; lim = 1 ; lim = ln a . T ó ta có th suy ra r ng n u
lim
α α →0 α α
α →0 α →0
α ( x ) → 0 khi x → a thì khi x → a :
ln (1 + α ( x ) ) ∼ α ( x ) ;
eα ( x ) − 1 ∼ α ( x ) ;
aα ( x ) − 1 ∼ α ( x ) ln a .
2.2 Các ví d
2 x2 + 3
Ví d 37. Tính lim
4x + 2
x →±∞
Khi x → ±∞ , các t s và m u s u là các VCL. Theo nguyên t c ng t b các VCL
x2
2x2 + 3 2x2
lim = lim = lim .
4x + 2 x →±∞ 4 x x →±∞ 4 x
x →±∞
2x2 + 3 2 x2 + 3
2 2
V y lim , lim
= =−
4x + 2 4 4x + 2 4
x →+∞ x →−∞
2x
Ví d 38. Tìm lim 5 x +3 .
x →±∞
2x 2x
lim
Ta có lim 5 = 5 x→±∞ x +3 = 52 = 25
x +3
x →±∞
2x − 2
Ví d 39. Tìm lim 3 .
26 + x − 3
x →1
0
Ta ph i kh d ng vô nh . t 26 + x = z 3 , suy ra x = z 3 − 26 .
0
Khi x → 1 thì z 3 → 27 hay z → 3 . Ta có
2 ( z 3 − 26 ) − 2 2 z 3 − 54 2 ( z 3 − 27 ) 2 ( z − 3) ( z 2 + 3 z + 9 )
2x − 2
= 2 ( z 2 + 3z + 9 )
= = = =
z −3 z −3 z −3 z −3
3
26 + x − 3
khi z ≠ 3.
2x − 2
= lim 2 ( z 2 + 3 z + 9 ) = 54
V y lim 3
26 + x − 3 z →3
x →1
π
sin x −
6
Ví d 40. Tìm lim .
3 − 2 cos x
π
x→
6
20
B môn Tóan- Th ng kê Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
nguon tai.lieu . vn