Toán 9 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên đề 4: C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc A. KiÕn thøc c¬ b¶n. * Mét sè bÊt ®¼ng thøc cÇn nhí: 1. a2 0;a 0 ; - a a , dÊu " = " x¶y ra khi vµ chØ khi ab 0 2. BÊt ®¼ng thøc C« - si : a, b 0 2 ab, dÊu " = " x¶y ra vµ chØ khi a = b 3. BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki: a b (a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dÊu " = " x¶y ra khi vµ chØ khi B. C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A B <=> A - B 0 Chó ý c¸c h»ng ®¼ng thøc: * a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0; * a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 0 Bµi 1.1: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta lu«n cã: a. x2 y2 xy; b. x2 + y2 + 1 xy + x + y; c. x4 + y4 xy3 +x3y a. XÐt hiÖu:2 y2 4 xy Gi¶i: 4x2 4xy y2 4 1(2x y)2 0 1 abc (b a)( ca ab ab c2 CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 VËy: x2 4 xy. DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi 2x = y. b. x2 + y2 + 1 - (xy + x + y) =(2x2 2y2 2 2xy 2x 2y) 1 (x y)2 (y 1)2 (x 1)2 0 VËy: x2 + y2 + 1 xy + x + y. c. x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y) = x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2) = (x - y)(x y)2 3y2 0 VËy: x4 + y4 xy3 + x3y Bµi 1.2: Cho 0 < a b c. Chøng minh r»ng: a.a b c b c a b c a a b c b. c a. b b b a c a b b c b c a c a a b c Gi¶i: abc (a2c b2a c2b b2c c2a a2b) = abc (a2c b2c) (b2a a2b) (c2b c2a) = abc c(a2 b2 ) ab(b a) c2 (b a) = abc (b a)( ca cb ab c2 ) = abc (b a)(c b)(c a) 0 ( v× o < a b a b c bc)c a VËy: b c a a b c a c a b abc(c2b b2a b2c a2c) b. abc(c2b b2a b2c abc) 2 abc (c2b b2c) (b2a abc) abc bc(c b) ba(b c) CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (V× a2c abc) abcb(c b)(c VËy: a) 0 (V× o < a b c). Bµi 1.3: Cho a < b < c < d. H·y xÕp thø tù t¨ng dÇn c¸c sè sau: x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c). Gi¶i: XÐt hiÖu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d) = ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd = b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > 0 (v× a < b < c < d) Suy ra: y > z T¬ng tù, xÐt hiÖu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d) = (a - b) (c - d) > 0 Suy ra: z > y. VËy: x < y < z. Bµi 1.4: Cho abc = 1 vµ a3 > 36. Chøng minh r»ng: a2 3 b2 c2 ab bc ca a2 3 Gi¶i 2 2 b2 c2 ab bc ca 4 12 2 2 4 b2 c2 ab bc ca c2 ab ca 2bc a2 12 3bc a 2 2 b c 12a (a3 36) 0 (V× abc = 1 vµ a3 > 36 nªn a > 0). VËy: a2 3 b2 1 a2 c2 ab bc 1 1 a a2 x1 va1 a1) ca 1 a2 1 a 1 a 1 b 1 1 11 a a1 1 1 1 b b2 3 a2 a2 a CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bµi 1.5: Cho a > b > 0. So s¸nh hai sè x, y víi x = Gi¶i: Ta cã x,y > 0 vµ (V× a > b> 0 nªn 1 VËy: x < y. 1 1 1 1 y b2 b Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh B¾c CÇu: * A B => A C. B C * 0 x 1 => x2 x (v× x - x2 = x (1 - x) 0) Bµi 2.1: Cho 0 x, y, x 1, Chøng minh r»ng: a. 0 x + y + z - xy - yz - zx 1; b. x2 + y2 + z2 1 + x2y + y2z + z2x. Gi¶i: a. Ta cã: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) 0 (1) MÆt kh¸c: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx 1 - xyz 1 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: 0 x + y + z - xy - yz - zx 1. b. Ta chøng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x 1. Ta cã: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x) x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (v× x2 x, y2 y, z2 z) x + y +z - xy - yz - zx 1 (c©u a). Bµi 2.2: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng 2. Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. Gi¶i: NÕu a 1 th× tõ b + c 1 suy ra a + b + c > 2, v« lý! VËy 0 < a < 1 T¬ng tù: 0 < b < 1, 0 < c < 1. 4 CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ta cã: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy ra abc < ab + bc + ca - 1 (v× a +b + c = 2) (1) Mµ 4 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca), suy ra: ab + bc + ca = 2 -(a2 b2 c2 ) (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: abc < 1 - 2(a2 b2 c2) a2 b2 c2 2abc 2 Bµi 2.3: Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chøng minh r»ng: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d Ta cã: (1 - a) (1 - V× 1 - c > 0 nªn: Gi¶i: b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b (1) (1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2) (1 - a - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + c (a + b) > 1 - a - b - c (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 1 - a - b - c VËy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > 1 - a - b - c -d (V× d (a + b + c) > 0) Bµi 2.4: Cho 0 a, b, c 2 tho¶ a + b + c = 3. Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 5 Gi¶i: C¸ch 1: V× a + b + c = 3 nªn cã Ýt nhÊt mét trong ba sè a, b, c kh«ng nhá h¬n 1, gi¶ sö a 1. V× 1 a 2 nªn: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + 2 0 => a (3 - a) 2 Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc 2 (1) VËy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca) = 9 - 2 (ab + bc + ca) 5 (theo (1)) C¸ch 2: V× a, b, c 2 nªn: (2 - a) (2 - b) (2 - c) = 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 abc 2 2 5 ... - tailieumienphi.vn