Xem mẫu
- Tông hợp cac bai toan đai số ôn thi HSG Quôc Gia
̉ ́ ̀ ́ ̣ ́
Người soan : Vũ Minh Hoang 11A-THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̣ ̀ ̀
Bai 1. Cho trước số nguyên tố p và số nguyên dương a với 1 < a ≤ p-1. Giả sử
̀
A= a.
Chứng minh răng với moi ước nguyên tố q cua A ta đêu có q-1 chia hêt cho p.
̀ ̣ ̉ ̀ ́
Bai 2. Tim số tự nhiên n lớn nhât sao cho số 1995 băng tông cua n số a, a, a..., a
̀ ̀ ́ ̀ ̉ ̉
trong đó cac số a (i=1,2,...,n) đêu là hợp sô.
́ ̀ ́
Bai 3. Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thoả man:
̀ ̃
abc=1 và + + = + +
Chứng minh răng it nhât môt trong 3 số a,b,c là binh phương cua 1 số hữu ti.
̀ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉
Bai 4. Cho day số (b), (n=1,2,...) được xac đinh bởi: b=0; b=14; b=-18 và
̀ ̃ ́ ̣
b = 7b - 6b với moi n ≥ 3.
̣
Chứng minh răng với moi số nguyên tố p ta đêu có b chia hêt cho p.
̀ ̣ ̀ ́
Bai 5. Giai phương trinh nghiêm nguyên
̀ ̉ ̀ ̣
4y = 2 + 199 − x − 2 x
2
Bai 6. Tim tât cả cac số tự nhiên a để phương trinh
̀ ̀ ́ ́ ̀
x - ax+a+1=0
có nghiêm nguyên.
̣
Bai 7. Chứng minh răng với moi số tự nhiên n (n ≥ 2) ta đêu có
̀ ̀ ̣ ̀
C.C chia hêt́ cho 4.
Bai 8. Tim cac số tự nhiên m,n để A = 3 +4 là số nguyên tô.
̀ ̀ ́ ́
Bai 9. Tim cac nghiêm nguyên (x ; n) cua phương trinh
̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀
1 1
x + x+ + x+ = n.
2 4
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
Bai 10. Cho p là số nguyên tô. Chứng minh răng với moi số m nguyên không âm bât
̀ ́ ̀ ̣ ́
ki, tôn tai môt đa thức Q có hệ số nguyên sao cho p là ước chung lớn nhât cua tât cả
̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̉ ́
cac số
́
a = (p+1) +Q với n=1,2,3,...
Bai 11. Cho day số nguyên (a), (n=0,l,2,...) thoả man
̀ ̃ ̃
- a + a = 2(a + a) với n=1,2,...
Chứng tỏ răng tôn tai số nguyên M không phụ thuôc vao n sao cho M+4a.a là số
̀ ̀ ̣ ̣ ̀
chinh phương với moi n ∈ N.
́ ̣
Bai 12. Cho A có 1997 chữ số trong đó có 1996 chữ số 5 và môt chữ số khac 5. Hoi
̀ ̣ ́ ̉
A có thể là số chinh phương hay không?
́
Bai 13. Cho day số (a), (n=1,2,...) được xac đinh bởi
̀ ̃ ́ ̣
a = 1, a = 3, a = (n+2)a - (n+1)a ∀ n ≥ 2.
Tim tât cả cac giá trị cua n để a là số chinh phương.
̀ ́ ́ ̉ ́
Bai 14. Chứng minh răng nêu môt câp số nhân có n số hang (n ≥ 3) là cac số tự
̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ́
nhiên phân biêt và công bôi cung là môt số tự nhiên thì tông cua tât cả n số hang đó
̣ ̣ ̃ ̣ ̉ ̉ ́ ̣
không thể là luỹ thừa cua 5.
̉
Bai 15. Giai phương trinh nghiêm nguyên
̀ ̉ ̀ ̣
xy - x - 8y = 2xy
Bai 16. Xet day số hữu tỉ (a), (n=1,2,...) thoả man
̀ ́ ̃ ̃
a = 3a - 2 ∀ n ≥ 1.
Tim tât cả cac số hữu tỉ a để tôn tai cac số m,n phân biêt thoả man a = a.
̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ̃
Bai 17. Tim cac số nguyên tố x, y thoả man phương trinh
̀ ̀ ́ ̃ ̀
[] + [] + ... + [] = y
Bai 18. Giả sử x và y là hai số nguyên dương sao cho x + y + 6 chia hêt cho xy.
̀ ́
Chứng minh răng là lâp phương cua môt số tự nhiên.
̀ ̣ ̉ ̣
Bai 19. Cho cac số không âm x, y, z thoả man x+y+z=1, và n ∈ N. Tim giá trị lớn
̀ ́ ̃ ̀
nhât cua biêu thức
́ ̉ ̉
P = xy + yz + zx.
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
Bai 20. Chứng minh bât đăng thức sau với a, b, c là cac số dương
̀ ́ ̉ ́
+ + ≥
Bai 21. Chứng minh bât đăng thức
̀ ́ ̉
+ + ≤
Bai 22. Giai hệ phương trinh
̀ ̉ ̀
- Bai 23. Chứng minh bât đăng thức sau với n ≥ 5:
̀ ́ ̉
1,71 < 1 + + +...+ < 1,72.
Bai 24. Tim tât cả cac đa thức P với cac hệ số thực và thoả man:
̀ ̀ ́ ́ ́ ̃
P = 0, P = P + 1, với moi x ∈ R
̣
Bai 25. Cho ham số ϕ : R → R, đăt A = {x ∈ R, ϕ = x}; A = {x ∈ R, ϕ(ϕ) = x}
̀ ̀ ̣
Giả sử A\A là môt tâp hợp hữu han và tôn tai ham số f: R → R thoả man
̣ ̣ ̣ ̀ ̣ ̀ ̃
f(f) = ϕ ∀ x ∈ R.
Chứng minh răng số phân tử cua A\A là môt số nguyên chia hêt cho 4.
̀ ̀ ̉ ̣ ́
Bai 26. Cho a, b, c, d, e, f là 6 số thực thoả man
̀ ̃
ab + bc + cd + de + ef = 1.
Chứng minh răng a + b + c + d + e + f ≥
̀
Bai 27. Hay tim cac giá trị x, y, z, t để biêu thức
̀ ̃ ̀ ́ ̉
A = (x-y) + (y-z) + (z-t) + (t-x)
Đat giá trị nhỏ nhât, trong đó 4 số x, y, z, t là cac số 1930, 1945, 1975, 1995.
̣ ́ ́
Bai 28. Cho day (a), (n=0, 1, 2,...) được xac đinh như sau
̀ ̃ ́ ̣
a = , a = a(4a - 10a +5) ∀ n=0, 1, 2,...
Tim số hang tông quat a
̀ ̣ ̉ ́
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
Bai 29. Tim nghiêm dương cua hệ phương trinh
̀ ̀ ̣ ̉ ̀
Bai 30. Giai phương trinh
̀ ̉ ̀
729x + 8 = 36
Bai 31. Giả sử a, b, c là ba số dương, n ∈ N, n ≥ 2. Chứng minh răng
̀ ̀
+ + >.
Bai 32. Tim tât cả cac ham số f: R → R thoả man
̀ ̀ ́ ́ ̀ ̃
f((x+1).f(y)) = y(f(x)+1) ∀ x, y ∈ R.
Bai 33. Tim tât cả cac giá trị cua m để hệ phương trinh
̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀
có năm nghiêm.
̣
Bai 34. Xet song anh f: N → N, chứng minh răng tôn tai vô số bộ (a, b, c)
̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣
- với a, b, c ∈ N thoả man điêu kiên a < b < c và 2f(b) = f(a)+f(c).
̃ ̀ ̣
Bai 35. Cho đa thức f(x) = x + 4x - 2x - 12x + 1.
̀
̃ ́ ̉
Hay tinh tông S =
Ở đó n là số nghiêm và x là cac nghiêm cua đa thức f(x).
̣ ́ ̣ ̉
Bai 36. Cho ba số thực a, b, c thoả man điêu kiên a + b + c = 2. Chứng minh răng:
̀ ̃ ̀ ̣ ̀
1, |a+b+c-abc| ≤ 2
2, |a + b + c - 3abc| ≤ 2
Bai 37. Cho cac số dương a, b, c và cac số x, y, z thoả man điêu kiên
̀ ́ ́ ̃ ̀ ̣
Chứng minh răng a(x+b) + b(y+c) + c(z+a) < 1.
̀
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
Bai 38. Tim hăng số dương C nhỏ nhât sao cho với n số dương bât kì a, a,..., a.
̀ ̀ ̀ ́ ́
ta đêu có
̀
+ +...+ < C( + + ... + ).
Bai 39. Tim giá trị lớn nhât cua biêu thức
̀ ̀ ́ ̉ ̉
F= + + +
Với a, b, c, d ∈ [0;1]
Bai 40. Cho hai đa thức có hệ số thực P(x) và Q(x), trong đó P(x) là đa thức bâc ba
̀ ̣
tuỳ y, Q(x) là tam thức bâc hai không có nghiêm thực. Chứng minh răng nêu đồ thị
́ ̣ ̣ ̀ ́
ham số y = có ba điêm uôn thì ba điêm uôn cua nó năm trên môt đường thăng.
̀ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̀ ̣ ̉
Bai 41. Cho 2n số a, a,..., a, b, b,..., b thoả man:
̀ ̃
1, a ≤ a ≤ ... ≤ a
2, b ≥ 0, (i = 1, 2,..., n).
̣
Đăt m={a - a; a}, M = {b}.
Chứng minh răng̀
M(ab + ab + ... + ab) ≥ (b + b + ... + b).
Bai 42. Cho day số thực (x), (n = 1, 2, ...) được xac đinh như sau :
̀ ̃ ́ ̣
x = 2; x = với moi n ≥ 1.
̣
Chứng minh răng < x < 2 với moi n ≥ 1
̀ ̣
Bai 43. Hay xac đinh tât cả cac bộ ba số thực (a, b, c) sao cho ham số
̀ ̃ ́ ̣ ́ ́ ̀
f(x) = ax + bx + cx + 1 có tinh chât |f(x)| ≤ 1 với moi x ∈ [-1; 1]
́ ́ ̣
- Bai 44. Cho 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh răng
̀ ̀
+ + + ≤ 1+
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
Bai 45. Biêt răng đa thức f(x) = x + ax + ax + ... + ax + a
̀ ́ ̀
có 2000 nghiêm thực khac nhau và a = 1995, a = 1997.
̣ ́
Chứng minh răng |a| > 1996.
̀
Bai 46. Cho số nguyên dương n. Chứng minh răng :
̀ ̀
+ + ... + <
Bai 47. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả man x + y + z = 3. Tim giá trị lớn nhât
̀ ̃ ̀ ́
cua biêu thức
̉ ̉
F=x+y+z
Bai 48. Cho x, x,..., x là n số thực thuôc đoan [0; 1]. Chứng minh răng
̀ ̣ ̣ ̀
x(1 - x) + x(1 - x) + ... + x(1 - x) + x(1 - x) ≤
Bai 49. Day số (a), (n = 1, 2,...) được xac đinh như sau
̀ ̃ ́ ̣
a = 1, a = a + với moi n ≥ 1.
̣
Tim tât cả cac số thực α sao cho day số (u), (n = 1, 2,...) xac đinh bởi u = (n ≥ 1)
̀ ́ ́ ̃ ́ ̣
là hôi tụ và giới han cua nó khac 0.
̣ ̣ ̉ ́
Bai 50. Cho cac day (a) và (b), n ∈ N được xac đinh như sau
̀ ́ ̃ ́ ̣
a = 1 + + ... + .
b = với moi n ∈ N.
̣
̀
Tim b.
Bai 51. Chứng minh răng với moi số nguyên dương n cho trước thì phương trinh
̀ ̀ ̣ ̀
x=x+1
có đung môt nghiêm thực. Goi nghiêm ây là x, hay tim giới han cua x khi n→ +∞.
́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ̃ ̀ ̣ ̉
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
Bai 52. Cho phương trinh x - x + 3x - 3x + 1 = 0.
̀ ̀
a, Chứng minh răng phương trinh trên có đung môt nghiêm thực.
̀ ̀ ́ ̣ ̣
- b, Đăt x = 1 và
̣
x = với moi n ∈ N.
̣
Chứng minh răng day số (x) có giới han khi n → +∞ và khi đăt x = -lim x thì x là
̀ ̃ ̣ ̣
nghiêm thực noi trên.
̣ ́
c, Dung may tinh bỏ tui hay tinh gân đung nghiêm thực noi trên đên hai chữ số thâp
̀ ́ ́ ́ ̃ ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̣
phân.
Bai 53. Giả sử S = , biêt răng = .
̀ ́ ̀
Tinh ́
Bai 54. Cho day số (x), (n = 1, 2, ...) thoả man 1 < x < 2 và x = 1+ x -
̀ ̃ ̃
Với moi n ≥ 1. Chứng minh răng day số (x) hôi tụ và hay tim giới han cua nó khi
̣ ̀ ̃ ̣ ̃ ̀ ̣ ̉
n → +∞.
Bai 55. Cho ham số f(x) liên tuc trên [0; 1], có đao ham trong (0; 1) và f(0) = f(1) = 0.
̀ ̀ ̣ ̣ ̀
Chứng minh răng tôn tai môt số c ∈ (0; 1) sao cho f(c) = 1996f '(x).
̀ ̀ ̣ ̣
Kêt luân cua bai toan có thay đôi không nêu cho f(0)=f(1)=m, với m là số thực khac
́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ́
0 cho trước.
Bai 56. Tim tât cả cac ham số f: R→ R thoả man điêu kiên |f(x)-f(q)| ≤ 5(x-q)
̀ ̀ ́ ́ ̀ ̃ ̀ ̣
với moi q ∈ Q, moi x ∈ R.
̣ ̣
Bai 57. Cho m là số thực dương. Với môi n nguyên dương, day số thực (a), (i=0,
̀ ̃ ̃
1,...,n) được xac đinh như sau
́ ̣
a = 1, a = a với i=0, 1, ..., n-1.
1, Chứng minh răng nêu m ≤ 1 thì a > với moi n ∈ N.
̀ ́ ̣
2, Giả sử n > 1. Chứng minh răng̀
a, a < với moi n ∈ N
̣
b, a = .
Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
Bai 58. Cho day (a), (n = 1, 2, ...) thoả man
̀ ̃ ̃
a = a; a = với moi n ∈ N.
̣
Chứng minh răng nêu |a| ≥ 2 thì day (a) hôi tụ và tinh giới han cua day khi n → +∞.
̀ ́ ̃ ̣ ́ ̣ ̉ ̃
Bai 59. Cho day số (b), (n = 1, 2, ...) được xac đinh bởi:
̀ ̃ ́ ̣
b = , b = với moi n ≥ 1.
̣
Chứng minh răng day (b) là day hôi tụ và hay tim giới han cua day khi n→ +∞.
̀ ̃ ̃ ̣ ̃ ̀ ̣ ̉ ̃
- Vũ Minh Hoang - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Binh
̀ ̀
nguon tai.lieu . vn