Xem mẫu

THỬ VẬN DỤNG HẰNG-BẤT ðẲNG THỨC CAUCHY, CÔNG CỤ ðẠO HÀM, HOẶC LƯỢNG GIÁC HỌC ðỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ ðIỆN XOAY CHIỀU. A. ðẶT VẤN ðỀ Nhận thấy trong số bài toán ñiện xoay chiều, có không ít những bài tìm cực trị của công suất tiêu thụ trên mạch, tìm số chỉ lớn nhất của volt kế mắc giữa hai ñầu tụ ñiện v.v… Nay thử ñưa ra ñây một ít bài về loại nói trên và ñồng thời dùng các công cụ toán học như: hằng-bất ñẳng thức Cauchy, ñạo hàm hoặc lượng giác học ñể làm rõ việc khảo sát hàm công suất, hàm hiệu ñiện thế hiệu dụng giữa hai ñầu cuộn thuần cảm, tụ ñiện… trong mạch xoay chiều nối tiếp. B. VÀI ðIỀU CẦN NẮM R r, L C R r L C I. Khảo sát hàm công suất tiêu thụ: P = f(R + r,L, C, ω). Trong mạch xoay chiều gồm 3 phần tử nối tiếp: ñiện trở thuần, cuộn cảm, tụ ñiện thì công suất tiêu thụ mạch là hàm nhiều biến. Tạm phân ra 2 trường hợp như sau: 1.L, C, ω không ñổi → P = f(R + r). Hàm công suất lúc này theo một biến là (R + r). Có: P (R r)I2 (Rr)U2 (R (Rr)UZC )2 UZL ZC )2 const ZC )2 (Rr) (Rr) Áp dụng hằng-bất ñẳng thức Cauchy cho 2 số không âm: R + r và (ZL ZC )2 Có: Rr (ZL ZC )2 2 ZL ZC Rr (ZL ZC )2 2 ZL ZC min Mặt khác, hằng ñẳng thức Cauchy xảy ra khi: Rr (ZL ZC )2 Rr ZL ZC 2 2 2 Vậy: P ax (ZL ZC )2 2 ZL ZC 2(Rr) Rr min Tóm lại: 2 P ax 2(Rr) Rr ZL ZC P Pmax P = f(R + r) R + r O ZL ZC 2.(R + r) không ñổi → P = f(L, C, ω). Hàm công suất lúc này phụ thuộc vào ba biến là L, C, ω. Có: P = (R + r)I2 Muốn Pmax → Imax → Mạch cộng hưởng (φ = 0) Trong trường hợp này, ba biến nói trên sẽ liên hệ nhau qua ñiều kiện cộng hưởng: LCω = 1. 2 2 Khi ñó: P ax (Rr) (Rr)2 Rr Tóm lại: P ax Rr LC2 1 Khảo sát hàm công suất theo từng biến như sau: a) C, ω không ñổi → P = f(L) R r L C P U2 R r P = f(L) (Rr)U2 (Rr)2 Z2 L O 1 C2 b) L, ω không ñổi → P = f(C) R r L C P U2 R r P = f(C) (Rr)U2 (Rr)2 Z2 C O 1 L2 c) L, C không ñổi → P = f(ω) P U2 Rr P f ( ) O 1 LC Chú ý: Ở mục I. 1/. Hàm P = f(R + r) ñã khảo sát trên ñể tìm giá trị Pmax nhưng lúc này mạch không phải cộng hưởng, tức là ñộ lệch pha giữa u, i là φ 0. Hãy xác ñịnh φ ở trạng thái này: ZL ZC ZL ZC Rr ZL ZC 4 Vậy: nếu ZL > ZC (mạch mang tính cảm kháng) 4 nếu ZL < ZC (mạch mang tính dung kháng) II. Khảo sát hàm hiệu ñiện thế hiệu dụng: UR + r = f(R + r), UL = f(L), UC = f(C). 1. UR + r = f(R + r). R r L C V URr Có: URr (Rr)I (Rr)U (Rr)U (Rr)2 (ZL ZC )2 U (ZL ZC )2 (Rr)2 const (ZL ZC )2 (Rr)2 (URr )max ZL ZC 0 (URr )max U Z (Rr)2 (ZL ZC )2 Rr Tóm lại: (URr )max U Rr Z 2. UZL f (ZL ) . R r L C V UL Thử chọn cách dùng công cụ ñạo hàm ñể tìm cực trị trong trường hợp này. Có: UZL ZLI ZL U U ZL (Rr)2 (ZL ZC )2 Lấy ñạo hàm bậc 1 theo biến ZL: (UZL )`U (Rr)2 (ZL ZC )2 2 (Rr)Z(ZL ZC )2 .2(ZL ZC ) (Rr)2 (ZL ZC )2 (Rr)2 (ZL ZC )2 ZL (ZL ZC ) (Rr)2 (ZL ZC )2 (Rr)2 (ZL ZC )2 (UZL )` 0 (Rr)2 (ZL ZC )2 ZL (ZL ZC ) 0 Cho ZL ZC (Rr)2 L C(R r)2 C1 2 Thấy nhị thức theo ZL là ZCZL (Rr)2 ZC chuyển dấu từ + sang – Nên (UZL )max ZL ZC (Rr)2 C Thay trị ZL vào hàm ta ñược giá trị cực ñại của hàm: (UZL )max Rr (Rr)2 ZC Tóm lại: (UZL )max RU r (Rr)2 ZC ZL ZC (Rr)2 hay L C(Rr)2 C1 2 3. UZC f (ZC ). R r L C V UC Thử dùng giản ñồ Fresnel (phương pháp vector quay) thông qua lượng giác học ñể khảo sát cực trị: L Rr L L C U O UC I URr iử UL U Rr L C Xét tam giác có chứa hai góc α và β, dựa vào ñịnh luật hàm sin: sin sinC UC sin sin Có: sin URr Rr const URr UL (R r)2 ZL Vậy: (UC )max (sin)max 1 2 (UC )max Rr (Rr)2 ZL Mặt khác, hệ thức lượng trong tam giác trên: UC U2 UL URr 2U UL URr cos (cosα = 0) Do ñó: Z2 Z2 Z2 (Rr)2 Z2 (Rr)2 (ZL ZC )2 Z2 (Rr)2 ZC ZL (Rr)2 C (Rr) L (L)2 Tóm lại: (UZC )max RU r (Rr)2 ZL ZC ZL (Rr)2 hay C (Rr)2 (L)2 Chú ý: Nếu cuộn cảm là thuần cảm thì xem r = 0 ở các biểu thức có ảnh hưởng ñến r trong toàn bài viết này. C. PHẦN TRƯNG DẪN Trong phần này, chúng tôi sẽ ñưa ra vài bài toán xoay chiều có liên quan ñến các vấn ñề nêu trên, tức là giải quyết một bài toán ñiện cực trị. Xin căn cứ vào mục B ñã dẫn và giải một cách tóm lược. I. Bài toán 1: Mạch ñiện gồm biến trở R, cuộn thuần cảm có ñộ tự cảm L = 1 (H) và tụ ñiện có ñiện dung C = 1 103 (F) mắc nối tiếp rồi ñưa vào nguồn xoay chiều u 120 2sin100t (V). a) ðịnh giá trị của R ñể công suất tiêu thụ trên mạch lớn nhất. b) Tính giá trị lớn nhất của công suất. c) Vẽ dạng ñồ thị hàm công suất theo R. Giải: a) Có: ZL L 1100 100 (Ω) ZC 1 31 40 (Ω) 4 100 P ax Rr ZL ZC 60 (Ω) Vậy: R = 60 (Ω) 2 2 b) Có: P ax 2(Rr) 2.60 120 (W) II. Bài toán 2: Mạch ñiện gồm ñiện trở thuần R = 100 (Ω), cuộn thuần cảm có thể thay ñổi ñược ñộ tự cảm L, tụ ñiện có ñiện dung C = 0,318.10-4 (F) mắc nối tiếp và ñặt vào nguồn xoay chiều u = 200sin100πt (V). ... - tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn