Xem mẫu
- THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI
THTT SỐ 400-10/2010
ĐỀ SỐ 01
Thời gian làm bài 180 phút
PHẦN CHUNG
Câu I:
Cho hàm số: y x 3 3mx 3m 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng
x y 0.
Câu II:
5 cos 2x
2cos x
1) Giải phương trình:
3 2 tan x
x 3 y3 9
2) Giải hệ phương trình: 2 2
x 2y x 4y
Câu III:
1 cos x
1 sin x
2
Tính tích phân: I ln dx .
1 cos x
0
Câu IV:
w
ÿ
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A. AB a, AC a 3, DA DB DC . Biết
rằng DBC là tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu V:
Chứng minh rằng với mỗi số dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx 3, ta có bất đẳng thức:
1 4 3
.
xyz x y y z z x 2
PHẦN RIÊNG
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a:
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là
5x 2y 7 0, x 2y 1 0 . Biết phương trình phân giác trong góc A là x y 1 0 . Tìm tọa
độ đỉnh C của tam giác ABC.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho điểm M 1;2;3 . Viết phương trình đường
thẳng đi qua M, tạo với Ox một góc 600 và tạo với mặt phẳng (Oxz) một góc 300.
Câu VII.a:
www.MATHVN.com - 1 - www.MATHVN.com
- Giải phương trình: e x 1 ln 1 x .
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b:
3
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 và parabol (P): y 2 x . Tìm
2
trên (P) các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và hai tiếp tuyến này tạo với
nhau một góc 600.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho hình vuông ABCD có A 5;3; 1 ,
C 2;3; 4 , B là một điểm trên mặt phẳng có phương trình x y z 6 0 . Hãy tìm tọa độ điểm
D.
Câu VII.b:
3
1 x 1 x3 2 .
Giải phương trình:
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
PHẦN CHUNG
Câu I:
1) Tự giải
2) y ' 3x 2 3m y’ có CĐ và CT khi m 0 .
x1 m y 2m m 3m 1
1
Khi đó:
y 2 2m m 3m 1
x 2 m
m 2m m 3m 1
x1 y 2
Vì CĐ và CT đối xứng qua y = x nên:
x 2 y1 m 2m m 3m 1
1
Giải ra được m
3
Câu II:
3
1) ĐK: tan x ,cos x 0
2
PT 5 cos x sin 2 x 2 3cox 2sin x
2
cos 2 x 6 cos x 5 sin 2 x 4sin x
2 2
cos x 3 sin x 2
cos x sin x 1 cos x sin x 5 0
cos x sin x 1
sin x 0
x k kZ
cos x 0 loai
www.MATHVN.com - 2 - www.MATHVN.com
- 2)
x 3 y3 9 (1)
Hệ PT 2 2
x x 2y 4y (2)
Nhân 2 vế PT(2) với -3 rồi cộng với PT(1) ta được:
3 3
x 3 3x 2 3x y 3 6y 2 12y 9 x 1 y 2 x y 3
y 1 x 2
2
Thay x y 3 vào PT(2): y 3 y 3 2y 2 4y y 2 3y 2 0
y 2 x 1
Nghiệm hệ: 2; 1 , 1; 2
Câu III:
1 cos x
1 sin x
2 2 2 2
dx cos x.ln 1 sin x dx ln 1 sin x dx ln 1 cos x dx
I ln (1)
1 cos x
0 0 0 0
Đặt x t dx dt
2
2 2 2
Suy ra: I sin t.ln 1 cos t dt ln 1 cos t dt ln 1 sin t dt
0 0 0
2 2 2
Hay I sin x.ln 1 cos x dx ln 1 cos x dx ln 1 sin x dx (2)
0 0 0
2 2
Cộng (1) với (2): 2I cos x.ln 1 sin x dx sin x.ln 1 cos x dx
0 0
J K
2
Với J cos x.ln 1 sin x dx
0
2 2
2
Đặt t 1 sin x dt cos xdx J ln tdt t ln t 1 dt 2ln 2 1
1 1
2
Với K sin x.ln 1 cos x dx
0
1 2
Đặt t 1 cos x dt sin xdx K ln tdt ln tdt 2ln 2 1
2 1
Suy ra: 2I 2ln 2 1 2ln 2 1 I 2ln 2 1
www.MATHVN.com - 3 - www.MATHVN.com
- Câu IV:
ABC vuông tại A BC 2a
DBC vuông cân tại D DB DC DA a 2
BC
Gọi I là trung điểm BC IA ID a
2
Vì DA a 2 , nên IAD vuông tại I ID IA
Mà ID BC
ID (ABC)
a3 3
1 1 1
VABCD ID.SABC .ID.AB.AC .a.a.a 3
3 6 6 6
Câu V:
4
1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ; và
x y y z z x
2xyz 2xyz
1 1 4 3
2xyz 2xyz x y y z z x x 2 y 2 z 2 x y y z z x
3
Ta có: x 2 y 2 z 2 x y y z z x xyz xz yz xy zx yz xy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương xy, yz và zx:
3
xy yz zx 222
xy.yz.zx 1 x y z 1 xyz 1 (1)
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương xy + yz, yz + zx và zx + xy:
3 3
xz yz xy zx yz xy 2 xy yz zx
xz yz xy zx yz xy 8 (2)
3 3
Từ (1) và (2) suy ra: x 2 y 2 z 2 x y y z z x 8
1 4 3 3
Vậy: 3
xyz x y y z z x 82
PHẦN RIÊNG
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a:
1) Tọa độ điểm A:
5x 2y 7 0 x 3
A 3;4
x y 1 0 y4
Tọa độ điểm B:
5x 2y 7 0 x 1
B 1; 1
x 2y 1 0 y 1
www.MATHVN.com - 4 - www.MATHVN.com
- Gọi D là giao điểm phân giác và BC.
Tọa độ điểm D:
x y 1 0 x 1
D 1;0
x 2y 1 0 y 0
Giã sử đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến n n1 ;n 2 5;2
Suy ra:
n1.1 n 2 .1 5.1 2.1 n n2 7
1 20n1 58n1n 2 20n 2 0
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
29
n1 n 2 . 1 1 5 2 . 1 1 n1 n 2
5
n1 n 2
2 n 2;5 (AC) : 2x 5y 14 0
n 2 n
1 5 2
Tọa độ điểm C:
11
x
2x 5y 14 0 11 4
3
C ;
x 2y 1 0 y 4 3 3
3
2) Gọi vectơ chỉ phương của d là a a1 ;a 2 ;a 3
Ox có vectơ chỉ phương là 1;0;0
a1 1
Đường thẳng d tạo Ox 1 góc 600 cos 600 3a1 a 2 a 3 0
2 2
2
2
a1 a 2 a 3
2 2
2
(Oxz) có vectơ pháp tuyến 0;1;0
Đường thẳng d tạo (Oxz) 1 góc 300 nghĩa là d tạo với vectơ pháp tuyến này 1 góc 600.
a2 1
cos 600 a1 3a 2 a 3 0
2 2
2
2
2 2 2
a1 a 2 a 3
12 1
Giải ra được: a1 a 2 a 3 a1 a 2
2
a3
2
2 2
Chọn a 3 2 , ta được: a 1;1; 2 , a 1;1; 2 , a 1; 1; 2 , a 1; 1; 2
Suy ra 4 phương trình đường thẳng (d):
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
,
1
1 1 1 2
2
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
,
1
1 1 1
2 2
www.MATHVN.com - 5 - www.MATHVN.com
- Câu VII.a:
ĐK: x 1
Đặt y ln 1 x e y 1 x .
ey 1 x (1)
Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ: x
e 1 y (2)
Lấy (2) trừ (1): e x e y y x e x x e y y
Xét hàm số f t e t t t 1
Ta có: f ' t e t 1 0 t 1
Hàm số luôn tăng trên miền xác định.
f x f y x y x ln 1 x e x 1 x e x x 1
Dễ thấy x = 0 là 1 nghiệm của phương trình.
Xét hàm số f t e t t
Ta có: f ' t e t 1
- Với t 0 thì f ' t 0 Hàm số luôn tăng f t f 0 1 e t t 1 t 0
PT vô nghiệm.
- Với 1 t 0 thì f ' t 0 Hàm số luôn giảm f t f 0 1 e t t 1 1 t 0
PT vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b:
2 2
1) Điểm M(x0;y0) này cách tâm của (C) một đoạn bằng 6 x 0 y 0 6
M (P) y 2 x 0
0
Suy ra: y 4 y 2 6 0 y 0 2 y 0 2
2
0 0
Vậy M 2; 2 hoặc M 2; 2
2) AC 3 2 BA BC 3
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:
x 5 2 y 32 z 12 9 x 5 2 y 32 z 12 9
2 2 2
x 2 y 3 z 4 9 x z 1 0
x yz 6 0 x yz 6 0
x 5 2 4 2x 2 2 x 2 9 x3
x2
y 3 hoặc y 1
z 1 x
z 2
z 1
y 7 2x
www.MATHVN.com - 6 - www.MATHVN.com
- B 2;3; 1 hoặc B 3;1; 2
AB DC D 5;3; 4 hoặc D 4;5; 3
Câu VII.b:
3
1 x 1 x3 2
ĐK: x 1
x 2 2 x 1 3 x3 2
x 2 3 x3 2
x 3 6x 2 12x 8 x 3 2
2
6 x 1 0
Suy ra: x 1 là nghiệm của PT.
www.MATHVN.com - 7 - www.MATHVN.com
nguon tai.lieu . vn
