Xem mẫu
- SỞ GD-ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
_____________________________________
THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐH-CĐ NĂM 2008-2009
Đề thi môn : TOÁN . Khối : A - B
Thời gian làm bài : 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I . (2,0 điểm ) Cho hàm số : y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ( m là tham số )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2. Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt
C(0;1), D và E đồng thời các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II . (2,0 điểm )
⎧ 7x + y + 2x + y = 5
⎪
1. Giải hệ phương trình : ⎨
⎪ 2 x + y + 20 x + 5 y = 38
⎩
2. Giải bất phương trình : l o g ( x 2 − x − 6 ) + x ≤ lo g( x + 2) + 4
Câu III . (1,0 điểm ) Tính tích phân :
π
3
⎛ sin 2 3x cos 2 3 x ⎞
I = ∫⎜ 2
− ⎟dx
π ⎝ sin x cos 2 x ⎠
4
Câu IV. (1,0 điểm ) Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm
S với SA = 2a . Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’ . Tính
thể tích hình chóp SAB’C’D’.
Câu V . (1,0 điểm ) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện : x+y+z=1
xy yz xz 3
Chứng minh bất đẳng thức : + + ≤
xy + z yz + x xz + y 2
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
1. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a (2,0 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ
Ox, Oy ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại A.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C): ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 11 và hai đường thẳng :
2 2
x y +1 z −1 x +1 y z
= ( d1 ) :
= ; ( d2 ) : = = .
1 1 2 1 2 1
Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm của (C) đồng thời cắt (d1) và (d2) .
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng :
0
Cn C1 Ck Cn n
1
1
+ 2n + ... + k +n + ... + n +1 =
1
Cn + 2 C n + 3 Cn + k + 2 C2 n + 2 2
2. Theo chương trình Nâng cao .
Câu VI.b ( 2,0 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ
Ox, Oy ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại B.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C): ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 11 và hai đường thẳng :
2 2
x y +1 z −1 x +1 y z
= ( d1 ) : = ; ( d2 ) : = = .
1 1 2 1 2 1
Hãy viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với (C) đồng thời song song với (d1) và (d2) .
Câu VII.b (1,0 điểm )Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng :
0
Cn C1 Ck Cn n
1
1
+ 2n + ... + k +n + ... + n +1 =
1
Cn + 2 C n + 3 Cn + k + 2 C2 n + 2 2
___________________________________Hết___________________________________
Chú ý : Thí sinh dự thi có thể download đáp án và thang điểm tại : http://k2pi.tk
- Phạm Kim Chung 0984.333.030
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI THỬ ĐH-CĐ LẦN I
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH.
Câu Nội dung Điểm
I.1 Khi m = 3, hàm số đã cho trở thành : y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1
• Tập xác định : R 0,25
• Sự biến thiên :
Đạo hàm : y’ = 3x2+6x+3=3(x+1)2 ≥ 0, ∀ ∈ R
Hàm số đã cho đồng biến trên R
Giới hạn : 0,25
lim y = +∞; lim y = −∞; , hàm số đã cho không có tiệm cận.
x →+∞ x →−∞
Bảng biến thiên :
x -∞ -1 +∞
y’ + 0 +
+∞ 0,25
y
-∞
• Đồ thị :
y y = x3 + 3x 2 + 3x + 1
Giao với Ox : A(-1;0)
Giao với Oy : B(0;1)
Đồ thị nhận điểm uốn U(-1;0) làm tâm đối xứng. 0,25
x
O
I.2 Xét phương trình : 1 = x3 + 3x 2 + mx + 1 ⇔ x ( x 2 + 3x + m ) = 0 (*) 0,25
copyright by : http://k2pi.violet.vn 1
- Phạm Kim Chung 0984.333.030
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có ba
nghiệm phân biệt .
Hay phương trình : x 2 + 3x + m = 0 có 2nghiệm phân biệt khác 0
⎧m ≠ 0
⎧ m≠0 ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ 9 (a)
⎩9 − 4m > 0 ⎪m < 4 0,25
⎩
Giả sử D ( x D ; y D ) ; E ( x E ; y E ) , theo yêu cầu bài toán ta cần có :
( )(
f ' ( x D ) .f ' ( x E ) = −1 ⇔ 3x 2 + 6x D + m 3x 2 + 6x E + m = −1
D E ) 0,25
Do xE , xD là nghiệm của phương trình : x + 3x + m = 0 , nên ta có :
2
9 ± 65
( 3x D + 2m )( 3x E + 2m ) = −1 ⇔ 4m2 − 9m + 1 = 0 ⇔ m = ( tho¶ m·n (a) ) 0,25
8
II.1 Đặt : 7 x + y = a, 2 x + y = b (a, b ≥ 0)
Lúc đó : 2a 2 + 3b 2 = 20 x + 5 y 0,25
Hệ đã cho trở thành :
⎡ ⎧b = 3
⎢⎨
⎢ ⎩a = 2
⎧a + b = 5 ⎧a = 5−b ⎢
⎨ ⇔⎨ 2 ⇔ ⎢⎧ b = 4 0,25
⎩b + (2a + 3b ) = 38 ⎩5b − 19b + 12 = 0
2 2
⎪
⎢⎪⎨
5
⎢⎪ 21
⎢ ⎪a =
⎣⎩ 5
⎧b = 3
• Với ⎨ , thay trở lại ta có :
⎩a = 2
⎧7 x + y = 4 ⎧ x = −1 0,25
⎨ ⇔⎨
⎩2 x + y = 9 ⎩ y = 11
⎧ 4
⎪b= 5
⎪
Với ⎨ , thay trở lại ta có :
⎪a = 21
⎪
⎩ 5
⎧ 441 ⎧ 17 0,25
⎪7 x + y = 25
⎪ ⎪ x= 5
⎪
⎨ ⇔⎨
⎪ 2 x + y = 16 ⎪ y = − 154
⎪
⎩ 25 ⎪
⎩ 25
II.2 ⎧ x2 − x − 6 > 0 0,25
Điều kiện xác định : ⎨ ⇔ x>3
⎩ x+2>0
Với điều kiện đó ta có : 0,25
log( x 2 − x − 6) + x ≤ log ( x + 2 ) + 4 ⇔ log( x − 3) + x − 4 ≤ 0
Xét hàm số : f ( x) = log( x − 3) + x − 4 , ta có :
copyright by : http://k2pi.violet.vn 2
- Phạm Kim Chung 0984.333.030
1 0,25
f '( x) = + 1 > 0, ∀x > 3
( x − 3) ln10
Suy ra : f ( x) = log( x − 3) + x − 4 ≤ 0 ⇔ 3 < x ≤ 4
0,25
( Do x = 4 là nghiệm của phương trình : f(x) = 0 )
III Ta có :
sin 2 3 x cos 2 3x ( sin 3x.cos x − sinx.cos3x )( sin 3 x.cos x + sinx.cos3 x ) 4.sin 2 x.sin 4 x
− = = = 8cos2 x
sin 2 x cos 2 x sin 2 x.cos 2 x sin 2 2 x 0,5
Do đó :
π π π
3
⎛ sin 3x cos 3 x ⎞
2 2 3
3 0,5
I = ∫⎜ − ⎟dx = 8∫ cos2 x.dx = 4.sin 2 x = 2 3 − 4
2
π ⎝ sin x
2
cos x ⎠ π π
4 4
4
IV AB ' ⊥ SB ⎫
Ta có : ⎬ ⇒ AB ' ⊥ SC , tương tự : AD ' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AB ' C ' D ' ) ⇒ SC ⊥ AC ' 0,25
AB ' ⊥ CB ⎭
Do tính đối xứng ( tự CM ) ta có : VSAB 'C ' D ' = 2VSAB 'C '
Áp dụng tính chất tỉ số thể tích cho 3tia SA,SB,SC ta có :
VSAB 'C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 4a 2 4a 2 8 0,25
= . = . = 2. 2 = 2. 2 =
VSABC SB SC SB 2 SC 2 SB SC 5a 6 a 15
1 a2 a3 8 a 3 8a 3
VSABC = . .2a = ⇒ VSAB 'C ' = . =
3 2 3 15 3 45
3
0,25
16a
⇒ VSAB 'C ' D ' =
45
(học sinh nêu và chứng minh tính chất tỉ số thể tích )
0,25
V Cách 1 :
Ta có :
copyright by : http://k2pi.violet.vn 3
- Phạm Kim Chung 0984.333.030
xy xz xy yz xz yz 0,25
x+ y+ z = . + . + . =1
z y z x z x
A yz B xz C xy 0,25
Suy ra luôn tồn tại tam giác ABC sao cho : tan = ; tan = ; tan =
2 z 2 y 2 z
Lúc đó :
xy yz xz
xy yz xz 3 z + x + y 3
+ + ≤ ⇔ ≤ 0,25
xy + z yz + x xz + y 2 xy
+1
yz
+1
xz
+1 2
z x y
Hay bài toán đã cho trở thành, chứng minh BĐT :
C B A
tan 2 tan 2 tan 2
+2 + 2 2 ≤3
C B A
tan 2 + 1 tan 2 + 1 tan 2 + 1 2
2 2 2
0,25
A B C 3
⇔ sin + sin + sin ≤ (dÔ CM)
2 2 2 2
Cách 2 :
Ta có : xy + z = xy + z ( x + y + z ) = ( x + z )( y + z )
xy xy 1⎛ x y ⎞
Do đó : = ≤ ⎜ + ⎟ (1)
xy + z ( x + z )( y + z ) 2 ⎝ x + z y + z ⎠
Hoàn toàn tương tự ta có :
zy zy 1⎛ y z ⎞
= ≤ ⎜ + ⎟ (2)
zy + x ( x + y )( x + z ) 2 ⎝ x + y x + z ⎠
zx zx 1⎛ z x ⎞
= ≤ ⎜ + ⎟ (3)
zx + y ( z + y )( x + y ) 2 ⎝ z + y x + y ⎠
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có ĐPCM.
II. PHẦN RIÊNG
1. Theo chương trình Chuẩn.
Câu Nội dung Điểm
VI.a.1 Giả sử : A ( a, 0 ) ; B ( 0, b ) , ta có : 0,25
AM = ( 2 − a,3) ; AB ( − a; b ) ; AM = (2 − a)
2
+ 9 ; AB = a 2 + b 2
Theo bài ra ta có :
⎧ a (2 − a) ⎡⎧ a = 3
b= ⎢⎨
⎧ AM . AB = 0 ⎪ 3b − a ( 2 − a ) = 0
⎪ ⎧ ⎪
⎪ ⎩b = −1 0,5
⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ 3 ⇒⎢
⎢ ⎧a = −3
⎪( 2 − a ) + 9 = a + b
2
⎪ AM = AB
2 2 2
⎩ ⎩ ⎪( 2 − a )2 + 9 = a ⎡( 2 − a )2 + 9 ⎤ ⎢⎨
⎪
⎩ 9 ⎣ ⎦ ⎢ ⎩ b = −5
⎣
0,25
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán : x − 3y − 3 = 0 và 5x + 3y + 15 = 0
copyright by : http://k2pi.violet.vn 4
- Phạm Kim Chung 0984.333.030
VI.a.2 Mặt cầu (C) có tâm : I (1; −1;0 )
Lấy điểm A thuộc (d1) : A(0; -1; 1) ⇒ AI = (1;0;1) 0,25
Mặt phẳng ( β ) chứa (d1) và I có véctơ pháp tuyến là :
nβ = ⎡u1 ; AI ⎤ = ( −1;3; −1) ( Trong đó u1 (1;1; 2 ) là véctơ chỉ phương của (d1) )
⎣ ⎦
Phương trình mặt phẳng ( β ) là : −1( x − 1) + 3 ( y + 1) − 1( z − 0 ) = 0 hay : − x + 3 y − z + 4 = 0 0,25
Toạ độ giao điểm B của ( β ) và (d2) là nghiệm của hệ :
⎧ 9
⎪ x=−4
⎧− x + 3 y − z + 4 = 0 ⎪
⎪ ⎪ 10 ⎛ 13 6 5 ⎞
⎨ x +1 y z ⇒ ⎨ y = − . Do đó véctơ : BI = ⎜ ; ; ⎟ 0,5
⎪ = = ⎪ 4 ⎝ 4 4 4⎠
⎩ 1 2 1 ⎪ 5
⎪ z=−4
⎩
x −1 y +1 z
Vậy phương trình đường thẳng IB là : = =
13 6 5
VII Ta có : 0,25
Cn k
n! (k + 1)!(n + 1)! n !(n + 1)!(k + 1)
= . =
k +1
Cn + k + 2 (n − k )!k ! (n + k + 2)! ( n − k )!(n + k + 2)!
⎡ (2n + 1)! (2n + 1)! ⎤
1⎡ n !(n + 1)! n !(n + 1)! ⎤ 1 ⎢ (n − k )!(n + k + 1)! (n − k − 1)!(n + k + 2)! ⎥
= ⎢ − = ⎢ − ⎥
2 ⎣ (n − k )!(n + k + 1)! (n − k − 1)!(n + k + 2)!⎥ 2 ⎢
⎦ (2n + 1)! (2n + 1)! ⎥
⎢
⎣ n !(n + 1)! n !(n + 1)! ⎥
⎦
0,25
1 ⎛ C −C
n−k n − k −1
⎞
= ⎜ 2 n +1 n 2 n +1 ⎟ (1)
2⎝ C2 n +1 ⎠
Đẳng thức (1) đúng với mọi k từ 0 đến n . Do đó :
0
C1 Ck n
1 1
+ 2n + ... + k +n + ... + n +1 = . n ⎡( C2 n +1 − C2 n +1 ) + ( C2 n +1 − C2 n +1 ) + ... + ( C2 n +1 − C2 n +1 ) ⎤
Cn Cn n n −1 n −1 n−2 1 0
1
Cn + 2 C n + 3 1
Cn + k + 2 C2 n + 2 2 C2 n +1 ⎣ ⎦
0,5
1 1 1
= . 1 .C2nn +1 =
2 C2 n +1 2
2. Theo chương trình nâng cao .
Câu Nội dung Điểm
VI.b.1 Giả sử : A ( a, 0 ) ; B ( 0, b ) , ta có : 0,25
BM = ( 2;3 − b ) ; BA ( a; − b ) ; BM = 4 + ( 3 − b ) ; BA = a 2 + b 2
2
Theo bài ra ta có :
copyright by : http://k2pi.violet.vn 5
- Phạm Kim Chung 0984.333.030
⎡ ⎧a = 1 0,5
⎧ b (3 − b)
a= ⎢⎨
⎧ BM .BA = 0 ⎪ 2a − b ( 3 − b ) = 0
⎪ ⎧ ⎪
⎪ ⎩b = 2
⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ 2 ⇒⎢
⎢ ⎧a = −5
⎩4 + ( 3 − b ) = a + b
2
⎪ BM = BA
2 2 2
⎩ ⎪ ⎪ 4 + ( 3 − b ) 2 = b ⎡( 3 − b ) 2 + 4 ⎤ ⎢⎨
⎪
⎩ 4 ⎣ ⎦ ⎢ ⎩ b = −2
⎣
0,25
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán : 2x + y − 2 = 0 và 2x + 5y + 10 = 0
VI.b.2 Ta có véctơ chỉ phương của (d1) : u (1;1; 2 ) ; Véctơ chỉ phương của (d2) : u (1; 2;1) 0,25
1 2
Mặt phẳng song song với (d1); (d2) có véctơ pháp tuyến : n = ⎡u1 ; u2 ⎤ = ( −3;1;1)
⎣ ⎦
0,25
Phương trình của mặt phẳng này có dạng : −3 x + y + z + D = 0 (α )
Mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu : ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 11 khi và chỉ khi :
2 2
⎪d ( I ;(α ) ) = 11
⎧ −3 − 1 + D ⎡ D = 15
0,25
⎨ ⇔ = 11 ⇒ ⎢
⎪ I (1; −1;0 )
⎩ 11 ⎣ D = −7
Vậy mặt phẳng (α ) có dạng :
0,25
-3x+y+z+15=0 hoặc -3x+y+z-7=0
VII.b Ta có :
Cn k
n! (k + 1)!(n + 1)! n !(n + 1)!(k + 1)
= . = 0,25
k +1
Cn + k + 2 (n − k )!k ! (n + k + 2)! ( n − k )!(n + k + 2)!
⎡ (2n + 1)! (2n + 1)! ⎤
1⎡ n !(n + 1)! n !(n + 1)! ⎤ 1 ⎢ (n − k )!(n + k + 1)! (n − k − 1)!(n + k + 2)! ⎥
= ⎢ (n − k )!(n + k + 1)! − (n − k − 1)!(n + k + 2)!⎥ = ⎢ − ⎥
2⎣ ⎦ 2⎢ (2n + 1)! (2n + 1)! ⎥
⎢
⎣ n !(n + 1)! n !(n + 1)! ⎥
⎦ 0,25
1 ⎛ C n − k − C n − k −1 ⎞
= ⎜ 2 n +1 n 2 n +1 ⎟ (1)
2⎝ C2 n +1 ⎠
Đẳng thức (1) đúng với mọi k từ 0 đến n . Do đó :
0
C1 Ck n
1 1
+ 2n + ... + k +n + ... + n +1 = . n ⎡( C2 n +1 − C2 n +1 ) + ( C2 n +1 − C2 n +1 ) + ... + ( C2 n +1 − C2 n +1 ) ⎤
Cn Cn n n −1 n −1 n−2 1 0
1
Cn + 2 C n + 3 1
Cn + k + 2 C2 n + 2 2 C2 n +1 ⎣ ⎦ 0,5
1 1 1
= . 1 .C2nn +1 =
2 C2 n +1 2
copyright by : http://k2pi.violet.vn 6
nguon tai.lieu . vn