Xem mẫu
- THI TH I H C L N 2 NĂM 2010
S GD & T HÀ N I
Môn thi: Toán
TRƯ NG THPT LƯƠNG TH VINH
----------------------------- Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH
Câu I. (2 i m)
Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 3m + 1 (1) (m là tham s th c)
1) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s (1) khi m = 1.
2) Tìm các giá tr c a m th hàm s (1) có i m c c i và i m c c ti u, ng th i các i m c c i,
c c ti u t o thành tam giác có di n tích b ng 1.
Câu II. (2 i m)
3π π
1) Gi i phương trình: cos 2 2x − 2 cos x + sin 3x − = 2.
4 4
2x 2 y + y 3 = 2x 4 + x 6
2) Gi i h phương trình: (x, y ∈ R) .
(x + 2) y + 1 = (x + 1) 2
Câu III. (1 i m)
π
2
sin 2x − 3 cos x
∫
Tính tích phân I = dx .
2 sin x + 1
0
Câu IV. (1 i m)
Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, SA vuông góc v i m t ph ng áy, SC t o v i m t
ph ng áy góc 450 và t o v i m t ph ng (SAB) góc 300. Bi t dài c nh AB = a. Tính th tích kh i c a
chóp S.ABCD.
Câu V. (1 i m)
2x + 1
2 x +3 − 2 + 4 x + 9.2 x +1 − 3
< (x ∈ R) .
Gi i b t phương trình:
2
PH N RIÊNG (Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n: PH N A ho c PH N B)
PH N A
Câu VIa. (2 i m)
Oxy cho tam giác ABC có tr c tâm H(1; − 1) , i m E(−1; 2) là trung i m
1) Trong m t ph ng v i h t a
c a c nh AC và c nh BC có phương trình 2x − y + 1 = 0 . Xác nh t a các nh c a tam giác ABC.
x −1 y +1 z −1
Oxyz cho ư ng th ng ∆ 1 : = = . Vi t phương trình m t
2) Trong không gian v i h t a
2 1 2
c u (S) có tâm là i m I(1; 0; 3) và c t ư ng th ng ∆1 t i hai i m A, B sao cho tam giác IAB vuông t i
I.
Câu VIIa. (1 i m)
Tìm s ph c z th a mãn: (z − 1)( z + 2i) là s th c và z nh nh t.
PH N B
Câu VIb. (2 i m)
Oxy cho i m M(2; 3). Vi t phương trình ư ng th ng l n lư t c t các tr c
1) Trong m t ph ng v i h t a
Ox, Oy t i A và B sao cho MAB là tam giác vuông cân t i A.
x +1 y − 2 z +1
Oxyz cho ư ng th ng ∆ 2 : = = . Vi t phương trình m t
2) Trong không gian v i h t a
−1
1 1
ph ng (P) ch a ư ng th ng ∆ 2 và t o v i m t ph ng (xOy) m t góc nh nh t.
Câu VIIb. (1 i m)
Tìm m t acgumen c a s ph c z ≠ 0 th a mãn z − z i = z .
---------- H t ---------
H và tên thí sinh: .................................................................................. S báo danh .........................................
- ÁP ÁN – THANG I M
S GD & T HÀ N I
THI TH I H C L N 2 NĂM 2010
TRƯ NG THPT LƯƠNG TH VINH
Môn thi: Toán
--------------------------------
N I DUNG IM
Câu I. 2 im
1 im
th hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 3m + 1 khi m = 1
1) Kh o sát và v
Khi m = 1 thì y = x 4 − 2x 2 + 4
* T p xác nh: R
* S bi n thiên: y ′ = 4x 3 − 4x, y ′ = 0 ⇔ x = 0; x = -1 ho c x = 1 0,25
t c c i t i x = 0, yC = 4; t c c ti u t i x = ±1 , yCT = 3
* Hàm s 0,25
* B ng bi n thiên
x −∞ +∞
-1 0 1
y’ - 0 + 0 - 0 +
0,25
+∞
+∞ 4
y
3 3
0,25
* V úng th
---------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 im
2) Tìm các giá tr c a m ....................
Ta có y ′ = 4x(x 2 − m) = 0 khi x = 0 ho c x 2 = m . 0,25
hàm s có C , CT thì m > 0.
th hàm s có các i m C , CT là A(0; 3m + 1); B(− m ; − m 2 + 3m + 1) và
Khi ó,
C( m ; − m 2 + 3m + 1) . 0,25
Vì A ∈ Oy; B, C i x ng v i nhau qua Oy nên
1
S ABC = y A − y B . x B − x C = m 2 m = 1 ⇔ m = 1 (th a mãn) 0,5
2
Câu II. 2 im
3π π
1) Gi i phương trình cos 2 2x − 2 cos x + sin 3x − = 2. 1 im
4 4
π
Phương trình ⇔ cos 2 2x − sin 4x + − sin (2x − π ) = 2 0,25
2
2
0,25
⇔ cos 2x − cos 4x + sin 2x = 2
⇔ 1 − sin 2 2x − 1 + 2 sin 2 2x + sin 2x = 2 ⇔ sin 2 2x + sin 2x − 2 = 0 0,25
π
⇔ sin 2x = −2 (lo i) ho c sin 2x = 1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) 0,25
4
----------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 im
2 3
= 2x 4 + x 6 (1)
2 x y + y
2) Gi i h phương trình: (x, y ∈ R ) .
(x + 2) y + 1 = (x + 1) 2 (2)
PTrình (1) ⇔ 2x (y − x ) + (y 3 − x 6 ) = 0 ⇔ (y − x 2 )(2x 2 + y 2 + yx 2 + x 4 ) = 0
2 2
0,25
2 2 2 2 4
⇔ y = x do 2x + y + yx + x > 0 ∀x, y 0,25
Thay vào phương trình (2) ta ư c
(x + 2) x 2 + 1 = x 2 + 2x + 1 ⇔ (x x 2 + 1 − 2x) + [2 x 2 + 1 − (x 2 + 1)] = 0
0,25
⇔ ( x 2 + 1 − 2)(x − x 2 + 1) = 0
- x 2 + 1 = x ⇒ vô nghi m
*
0,25
* x 2 + 1 = 2 ⇔ x = ± 3 . V y h có hai nghi m (− 3; 3) và ( 3; 3)
Câu III 1 im
π
2
sin 2x − 3 cos x
∫
Tính tích phân I = dx .
2 sin x + 1
0
π
0,25
t t = sinx thì dt = cosxdx và x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒t =1
2
π
1 1
4
2
(2 sin x − 3) cos x 2t − 3 0,25
dt = ∫ 1 −
Ta có: I = ∫ dx = ∫ dt
0 2t + 1
2 sin x + 1 0 2t + 1
0
1
= [t − 2 ln( 2t + 1)] = 1 − 2 ln 3 0,5
0
Câu IV 1 im
Tính th tích kh i chóp S.ABCD.
S
D C
O
A a B
∧ ∧
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SCA = 45 0 ; CB ⊥ (SAB ) nên CSB = 30 0 . 0,25
∧ 1
Tam giác SBC vuông t i B có CSB = 30 0 nên BC = SC ; Tam giác SAC vuông t i A
2
0,25
∧ 2
có SCA = 45 0 nên SA = AC = SC .
2
12 1
Có AC 2 = AB 2 + BC 2 ⇔ SC = a 2 + SC 2 ⇔ SC = 2a ⇔ BC = a và SA = a 2 0,25
2 4
a3 2
1
V y VSABCD = SA.S ABCD = 0,25
3 3
Câu V 1 im
2x + 1
Gi i b t phương trình: 2 x +3 − 2 + 4 x + 9.2 x +1 − 3 .
<
2
2x + 1 1
> 0 ⇔ v 2 = (4 x + 2.2 x + 1)
x +3 2 x
t u= 2 − 2 ≥ 0 ⇔ u = 8.2 − 2 và v =
2
2
0,5
2u 2 + 2 v 2
u+v <
Khi ó bpt tr thành:
0,25
⇔ ( u + v ) 2 < 2u 2 + 2 v 2 ⇔ ( u − v ) 2 > 0 ⇔ u ≠ v
2x + 1
⇔ 2 2x − 14.2 x + 5 = 0 ⇔ x = log 2 (7 ± 2 11)
2 x+3 − 2 =
Ta có u = v ⇔
2
-
2 x +3 − 2 ≥ 0 x ≥ −2
V y nghi m c a bpt là ⇔
0,25
x ≠ log 2 (7 ± 2 11)
x ≠ log 2 (7 ± 2 11)
Câu VIa 2 im
1) Xác nh t a các nh c a tam giác ABC. 1 im
0,25
Gi s C(m; 2m + 1) . Vì E(−1; 2) là trung i m AC nên A có t a A(−2 − m; 3 − 2m)
→ →
Có AH = (3 + m; − 4 + 2m) ; u BC = (1; 2) . Vì AH ⊥ BC nên
→ →
0,5
AH . u BC = 3 + m + 2(−4 + 2m) = 0 ⇔ m = 1 . V y A(−3; 1) và C(1; 3) .
→ →
Gi s B ( n; 2 n + 1) . Có BH = (1 − n; − 2 − 2 n ); AC = (4; 2) . Vì BH ⊥ AC nên
→ →
0,25
BH . AC = 4(1 − n ) + 2(−2 − 2 n ) = 0 ⇔ n = 0 . V y B (0; 1) .
----------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 im
2) L p phương trình m t c u (S).......
r
0,25
ư ng th ng ∆1 qua M(1; -1; 1) và có vtcp u = (2; 1; 2) .
r →
→ 20
Ta có IM = (0; − 1; − 2); u, IM = (0; 4; − 2) ⇒ d( I, ∆1 ) = 0,25
3
G i R là bán kính m t c u. IAB là tam giác vuông cân t i I thì
40
0,25
R = IA = IB = 2 . d( I, ∆1 ) =
3
40
V y phương trình m t c u là (x − 1) 2 + y 2 + (z − 3) 2 = 0,25
9
Câu VIIa 1 im
Tìm s ph c z th a mãn: (z − 1)( z + 2i) là s th c và z nh nh t.
Gi s z = a + bi ( a, b ∈ R ) thì
(z − 1)( z + 2i) = [(a − 1) + bi ][a + (2 − b )i ] = [a(a − 1) − b(2 − b)] + [2a + b − 2]i ∈ R
0,5
⇔ 2a + b = 2
2
= a 2 + b 2 = a 2 + (2 − 2a ) 2 = 5a 2 − 8a + 4 0,25
Ta có z
4 2 42
ó suy ra z nh nh t khi a = ;b= .V y z= + i
T 0,25
5 5 55
Câu VIb 2 im
1) Vi t phương trình ư ng th ng .............. 1 im
→ →
0,25
Gi s A(a; 0) và B(0; b). Ta có MA = (a − 2; − 3); BA = (a; − b )
→ → a(a − 2) + 3b = 0
C n có MA . BA = 0 ⇔ 0,25
2 2 2
(a − 2) + 9 = a + b
MA = BA
a(2 − a )
b=
a=3 a = −3
3
0,25
⇔ ⇔ ho c
2
[ ] b = −1 b = −5
(a − 2) 2 + 9 = a 9 + (2 − a ) 2
9
0,25
V y có hai ư ng th ng th a mãn yêu c u là x − 3y − 3 = 0 và 5x + 3y + 15 = 0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------
2) Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a .........
1 im
→
Gi s n P = ( a ; b ; c ) ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 ) .
r rr
Vì (P) ch a ∆ 2 có u ∆ 2 = (1; 1;−1) nên n P .u ∆ 2 = 0 ⇔ a + b − c = 0
0,25
r
G i α là góc gi a (P) và (xOy). Vì n ( xOy ) = (0; 0; 1) nên
- a+b
c
cos α = = = f (a, b )
0,25
a 2 + b 2 + c2 a 2 + b 2 + (a + b ) 2
1 2
Góc α nh nh t ⇔ f (a, b ) l n nh t. Ta có f (a, b ) = ≤ nên f(a,b) l n
3
a2 + b2
+1
(a + b ) 2
nh t khi a = b.
0,25
Ch n a = b = 1 thì c = 2. Vì (P) i qua M(−1; 2; − 1) ∈ ∆ 2 nên (P) có phương trình
1(x + 1) + 1(y − 2) + 2(z + 1) = 0 ⇔ x + y + 2z + 1 = 0
0,25
Câu VIIb 1 im
Tìm m t acgumen c a s ph c z ≠ 0 th a mãn z − z i = z .
0,25
Gi s α là m t acgumen c a z thì z = z (cos α + i sin α)
Khi ó z − z i = z [cos α + i(sin α − 1)] = z cos α + i(sin α − 1) = z 0,25
1
⇔ cos 2 α + (sin α − 1) 2 = 1 ⇔ sin α = 0,25
2
π 5π 0,25
.
V y z có m t acgumen là ho c
6 6
nguon tai.lieu . vn
