Sức mạnh table trong giải toán phương trình, bất phương trình vô tỷ

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

SỨC MẠNH TABLE TRONG
GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Đoàn Trí Dũng – CASIO MAN

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

VÍ DỤ : Giả bất phương trình:

x  x  1

2



 1

x  4 1

 x  3 x  4 

Điều kiện: x  4;   \3 .

Trước tiên v|o b|i to{n n|y ta nhận thấy cần phải đưa biểu thức mẫu số

 x  3 x  4 

sang vế bên phải của bất phương trình. Tuy nhiên khó khăn

nằm ở chỗ gi{ trị x  3 chưa có cơ sở để khẳng định l| một biểu thức luôn
dương.



Quan s{t kỹ bất phương trình, ta nhận thấy biểu thức



x  4  1 nếu

được nh}n với một lượng biểu thức liên hợp sẽ trở th|nh:







x  4 1

x  4  1  x  4  1  x  3 . Do đó ta ph}n tích bất phương

trình trên dưới dạng sau:
x  x  1

2



 1 

x  4 1

 x  3 x  4 



x  x  1



x  4 1

2





x  4 1



x  4  1  x  4

1

 x  3
 x  3

2


x  x  1


2
1
 x  x  1  x  4  1  x  4 


 x  4  1  x  4

Trước tiên để có thể định hướng một c{ch ho|n chỉnh đường đi cho b|i
to{n bất phương trình, ta ph}n tích phương trình bằng công cụ sử dụng
m{y tính CASIO như sau:
Sử dụng công cụ TABLE (Mode 7) trong
F X
X
máy tính CASIO:
4
 100
Xét
 3.5
 71,72
2
F  X   X  X  1  X  4  1  X  4 
3
 50
 2.5
 33,96
Với điều kiện x  4 , ta chọn các giá trị:
2
 22,82
 START = 4 .
 1.5
 15,82
 END = 5.
1
 12,19
 STEP = 0,5.
 0.5
 11,17
Khi đó dựa vào bảng giá trị TABLE như
 12
0
hình bên ta kết luận như sau:
 13,92
0,5
 Phương trình có một nghiệm duy













SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

nhất nằm trong khoảng



 3,5; 4 

1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5

do đó nếu chúng ta sử dụng công
cụ SHIFT CALC với x  3,8 ta sẽ
tìm được nghiệm của phương
trình.
Hàm số không đơn điệu nhưng

trong  2;   hàm số có dấu hiệu
của tính đồng biến.

 16,18
 18,02
 18,69
 17,44
 13,52
 6,164
5,3725
21,843
44

Sử dụng công cụ SHIFT CALC trong máy tính để tìm nghiệm:
SHIFT CALC với x  3,8 ta thu được nghiệm x  3,791287847 .
Thay nghiệm x  3,791287847 v|o căn thức ta được:
x  4  2,791287847  x  1 .

Do đó nh}n tử cần xác định là x  1  x  4 v| phương trình có một
nghiệm duy nhất đó l| x  1  x  4  x 

3  21
.
2

Kết luận hướng đi của bài toán:


Do có nhân tử là x  1  x  4 nên ta có thể giải bài toán bằng
phương ph{p nh}n liên hợp.



Do có nhân tử là x  1  x  4 nên ta có thể giải bài toán bằng
phương ph{p ph}n tích nh}n tử.



Do có đ{nh gi{ x  1  x  4 nên ta có thể giải bài toán bằng
phương ph{p đ{nh gi{ h|m đại diện.



Do có nghiệm vô tỷ x 



3  21
nên nếu sử dụng phương ph{p
2
n}ng lũy thừa ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán.
Do trong  2;   hàm số có dấu hiệu của tính đồng biến nên nếu

chỉ ra được điều kiện x  2 ta có khả năng chứng minh được hàm
số đơn điệu và hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất.
Như vậy b|i to{n có 5 con đường đi tương ứng với 5 cách giải khác nhau.
☺Phân tích điều kiện chặt chẽ:
 x  3
 x  3


 3
2

2
 x  x  1  x  4  1  x  4 
x  2x   x  4  x  4  4







SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

 x  3


x2
2
 x  2  x   x  4  x  4  4  0


Vậy x  2 và x3  2x2   x  4  x  4  4 .

☺Cách 1: Tư duy giải bài theo định hướng nhân liên hợp:

Ta có: x3  2x2   x  4  x  4  4  x3  2x2   x  4  x  4  4  0





 x 3  3x 2  3x   x  4  x  1  x  4  0





 x x  3x  3   x  4 
2

 x  1   x  4   0
2

x 1 x  4
x 2  3x  3
 x x 2  3x  3   x  4 
0
x 1 x  4







x4
 x 2  3x  3  x 
0
x 1 x  4 






Vì x  2  x 

 x 2  3x  3  0
3  21

x
.
 0 do đó 
2
x 1 x  4
x  2

x4

☺Cách 2: Tư duy giải bài theo định hướng phân tích nhân tử:

Ta có: x3  2x2   x  4  x  4  4  x3  2x2   x  4  x  4  4  0





 x 3  3x 2  3x   x  4  x  1  x  4  0




   x  2x  1   x  4   x   x  4   x  1 


 x 2  3x  3 x   x  4  x  1  x  4  0
2

  x   x  4  x  1  x  4   0
x  4  x  1  x  4  x   x  4   x  1  x  4   0
x  4  x  4  x x  4   0

2

   x  1 



 x  1
 x 1





x4 0

x4

2

2

Vì x  2  x2  4  x x  4  0 do đó ta có:

x  2
 x 2  3x  3  0
3  21



x
.

2
x  1  x  4 x  2



SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

☺Cách 3: Tư duy giải bài theo định hướng đánh giá hàm đại diện:
Ta có: x  x  1 
2









x  4  1  x  4

  x  1  1  x  1 
2





x 4 1

x4



2

Vì x  2 cho nên x  1  0, x  4  0 .

Do đó xét h|m đặc trưng f  t    t  1 t 2 với t  0 .

Ta có: f  t   t 3  t 2  f '  t   3t 2  2t  0t  0 . Vậy f  t  l| h|m số liên tục
v| đồng biến trên  0;   nên f  x  1  f





x  4 khi đó ta có:

x  2
 x 2  3x  3  0
3  21



x
.

2
x  1  x  4 x  2


☺Cách 4: Tư duy giải bài theo định hướng nâng lũy thừa:

Ta có: x3  2x2  4   x  4  x  4 và x  2 nên bình phương hai vế ta được:

x

3

 2x2  4

   x  4
2

3

 x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48  0

Chú ý rằng phương trình có nh}n tử x  1  x  4 do đó bình phương hai
vế ta được nh}n tử x2  3x  3 .
Thực hiện phép chia đa thức x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48 cho biểu
thức x2  3x  3 ta được kết quả x4  x3  4x2  1 .
Do đó: x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48  0







 x 2  3x  3 x 4  x 3  4 x 2  1  0





Vì x  2 nên x4  x3  4x2  1  x2 x2  x  4  1  0 do vậy:

 x 2  3x  3  0
3  21

 3x  3 x 4  x 3  4 x 2  1  0  
x
.
2
x  2

☺Cách 5: Tư duy giải bài theo định hướng chứng minh hàm số đơn điệu:

x

2





Từ bất phương trình x3  2x2  4   x  4  x  4 ta chuyển vế v| xét h|m số
sau: f  x   x3  2x2  4   x  4  x  4 với x  2;   .
3
x  4 . Để chứng minh f '  x   0 hay h|m số
2
f  x  đồng biến không phải l| một điều đơn giản.

Ta có: f '  x   3x2  4 x 

Vì vậy để chắc chắn định hướng của b|i to{n ta sử dụng công cụ TABLE để
3
khảo s{t h|m f '  x   3x2  4 x 
x4:
2