Xem mẫu
- SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Cho hàm số xác định trên D
f ( x ) M , x D
+Nếu thì max f ( x) M
xo D : f ( xo ) M xD
f ( x ) m, x D
+Nếu thì min f ( x) m
xo D : f ( xo ) m xD
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Ta thường gặp hai dạng bài toán sau:
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là
+∞). Hãy tìm max f ( x) và min f ( x ) (nếu chúng tồn tại).
( a ;b ) ( a ;b )
Cách giải. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó mà kết
luận. Nếu trên khoảng (a;b) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu), thì giá trị
cực đại đó là giá trị lớn nhất(giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên
khoảng (a;b).
Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn
điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãi tìm max f ( x) và min f ( x ) .
[ a ;b ] [ a ;b ]
Cách giải 1. Để giải bài toán này , ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức
là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách giải 2.Ta có quy tắc sau đây:
1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …., xn của f(x) trên đoạn [a;b].
2) Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).
3) max f ( x) max f a , f x1 , f x2 ,..., f b ;
[ a ;b ]
min f ( x) min f a , f x1 , f x2 ,..., f b
[ a ;b ]
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3a trang 66 Sgk)
y x 3 3 x 2 9 x 35 trên đoạn [-4;4]
Bài làm
x 1
Ta có: y , 3 x 2 6 x 9 , y , 0 3 x 2 6 x 9 0
x 3
Cả hai giá trị này đều thuộc đoạn [-4;4]
f(-4)=-41, f(-1)= 40, f(3)= 8, f(4)=15
Vậy max f ( x) 40 và [min f ( x ) 41 .
[ 4;4] 4;4]
- Bài 2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3d trang 66 Sgk)
y sin 2 x x trên đoạn ;
2 2
Bài làm
,
Ta có: y 2 cos 2 x 1
1 2 x 6 k 2
y , 0 2 cos 2 x 1 0 cos 2 x
2 2 x l 2
6
Trên đoạn ; phương trình trên có nghiệm là 2x = ± x
2 2
3 6
3 3
f , f , f , f
2 2 2 2 6 2 6 6 2 6
Vậy max y = , min y =
2 2
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số (Bài tập 3b trang 66 Sgk)
y x 2 3 x 2 trên đoạn [-10;10]
Bài làm
Ta có
x 2 3 x 2, x 10;1 2;10
2 x 3, x 10;1 2;10
y 2 y,
x 3x 2, x 1; 2
2 x 3, x 1; 2
Bảng biến thiên
x -10 1
3
2 10
2
y, - + 0 - +
y(x) 132
1
72
4
0 0
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của y là [0;132]
max f ( x) 132 , min f ( x ) 0
[ a ;b ] [ a ;b ]
Bài 4.
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
f x 1 2 cos x 1 2 sin x
- Bài làm.
Ta có f x 6 4(cos x sin x ) 2 1 2(cos x sin x ) 2 sin 2 x
2
Đặt t=sinx + cosx ( t 2 ) t 2 1 sin 2 x . Khi đó :
f 2 x g (t ) 2( 2t 2 2t 1 2t 3) với t 2 . Ta có
1 3 1 3
2(2t 2 4t 2 ) với t 2; ; 2
2 2
g(t) =
1 3 1 3
4t 2 8 với t ;
2 2
1 3 1 3
8(t 1), t 2; ; 2
2 2
g , (t )
1 3 1 3
8t , t 2 ; 2
Bảng biến thiên:
t 1 3 1 3
2 0 2
2 2
g, x - + 0 -+
g(x) 8 4( 2 1) 2
4( 2 1)2
4 2 3
42 3
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của g(t) là 4 2 3;4( 2 1)2
Do f(x)≥0 nên minf x = 4 2 3 = 3 1 ; max f x =4( 2 1)2
Bài 5.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
12
12 x 2 6mx m 2 4
0
m2
Tìm m sao cho x13 x23
a) Đạt GTNN
b) Đạt GTLN
Bài làm:
Để phương trình có nghiệm , 0 4 m 2 12 m 2 3; 2 2; 2 3
m 1 12
Theo định lí Vi- et thì x1 x2 , x1.x2 m 2 4 2
2 12 m
m 3
Ta có F x13 x23 ( x1 x2 )3 3x1.x2 x1 x2
2 2m
- 1 3
F, 0, m 0 .
2 2m 2
Bảng biến thiên :
m -∞ 2 3 -2 0 2 2 3 +∞
F, + +
1
3 3
4
4
F
3 3 1
4 4
3 3
Do đó F lớn nhất =
4
3 3
F nhỏ nhất =
4
Bài 6.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
1 sin 6 x cos6 x
y
1 sin 4 x cos 4 x
Bài làm
3
2 sin 2 2 x
Ta có : y 4
1 2
2 sin 2 x
2
3
X 2
Đặt X sin 2 x, X 0;1 ta có y F
2
X 4 8 3X 3 X 8
1
2 X 8 2X 2X 8
2
8
Suy ra F , X 0, X 0;1 nên F(X) nghịch biến trên đoạn [0;1]. Do đó
2 X 82
5
GTLN của F(X) = F(0)=1, GTLN của F(X) = F(1)=
6
Bài 7
Cho phương trình : 2 x 2 2(m 1) x m 2 4m 3 0
Gọi x1, x2 là các nghiệm. Tìm GTLN của A x1 x2 2( x1 x2 )
Bài làm:
Để phương trình có nghiệm 0 m 2 6m 5 0 5 m 1
m 2 4m 3
Theo định lí Vi – et ta có x1 x2 m 1 , x1.x2
2
- m 2 4m 3 1 1
A 2 m 1 m 2 8m 7 m2 8m 7 trên đoạn [-5;-1]
2 2 2
,
Do đó A m 4 trên đoạn [-5;-1]. Bảng biến thiên
m -5 -4 -1
A ,
+ 0 -
A 9
2
4 0
9
Vậy GTLN của A bằng
2
Ta còn gặp bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến số
Bài 8.
2( xy y 2 )
Cho x 2 y 2 1 . Tìm max, min của S
2 xy 2 x 2 1
Bài làm.
2 2
2( xy y ) 2( xy y ) 2( xy y 2 )
S 2
2 xy 2 x 2 1 2 xy 2 x 2 ( x 2 y 2 ) 3x 2 xy y 2
Nếu y=0 thì S=0
Nếu y≠0 thì chia cả tử và mẫu của S cho y 2 , ta có
x
2 1
y 2 t 1 x
S 2
2 với t
x x 3t 2t 1 y
3 2 1
y y
2 3t 2 6t 1 3 6 3 6
Ta có S ,
2 2
, S , 0 t1 , t2
(3t 2t 1) 3 3
2 t 1
Mặt khác lim 2 0
x 3t 2t 1
Bảng biến thiên:
t -∞ t1 t2 +∞
,
S - 0 + 0 -
2 6
S 0
2
2 6
2
0
- 2 6 2 6
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra: min S , max S
2 2
Bài 9.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
a 4 b4 a2 b2 a b
F Với a,b≠0
b4 a 4 b2 a2 b a
Bài làm
a b
Đặt X Thì X 2, a, b 0 . Khi đó
b a
2
F X 2 2 2 X 2 2 X X 4 5 X 2 X 4
F , 4 X 3 10 x 1 , F ,, 12 X 2 10
Suy ra:
X≥2 F ,, 0 F , X F , 2 13 0
X≤-2 F ,, 0 F , X F , 2 11
Bảng biến thiên
X -∞ -2 2 +∞
F ,
- +
+∞ +∞
F
-2 2
Giá trị nhỏ nhất của F = -2
Bài 10
Cho x,y≥0 và x+y = 1. Tìm GTLN, GTNN của
x y
S
y 1 x 1
Bài làm
1
Từ giả thiết suy ra 0 xy
4
Ta có
x2 y 2 x y
S
xy x y 1
2
x y 2 xy 1
xy x y 1
2 2 xy
2 xy
1 2 2t
Đặt xy = t ( 0 t ), suy ra S
4 2t
6
S, 0, t 2 . Bảng biến
2 t 2
thiên
- 2 6
2 2
Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra: GTLN của S bằng 1; GTNN của S bằng
3
Bài 11
x≥0
Cho hai số thực x, y thoã mãn : y≥1
x+y = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : P = x3 + 2y2 +3x2 + 4xy - 5x
Bài làm
x≥0
x + y = 3 => y = 3 - x . Ta có => 0 ≤ x ≤ 2
y≥1
P = x + x – 5x + 2(y +2xy + x ) = x3 + x2 – 5x + 2(x + y)2 = x3 + x2 – 5x + 18
3 2 2 2
Xét f(x) = x3 + x2 – 5x + 18 ; x [0; 2]
x 1
2 5
f’(x) = 3x + 2x – 5 ; f’(x) = 0 ; x loại
x 5 3
3
Ta có f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20.
Vậy GTLN của P bằng 20 ; GTNN của P bằng 15
Bài tập tự giải:
Bài 1.Với giá trị nào của m thì hàm số:
y x 2 5 x 4 mx có GTNN lớn hơn 1?
Bài 2.Tìm p,q để giá trị lớn nhất của hàm số
y x 2 px q
trên đoạn [-1;1] là bé nhất
Bài 3. Cho x, y > 0 và x + y =1.
x y
Tìm GTNN của S
1 x 1 y
1 4 4
Bài 4. Giả sử x 2 px 2
0 có nghiệm x1 , x2 . Tìm p ≠ 0 sao cho S = x1 + x2 nhỏ nhất
p
nguon tai.lieu . vn
