Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH NGA SƠN
-------***-------
RÈN LUYỆN
CHO HỌC SINH SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Kế
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THPT Ba Đình
SKKN thuộc môn: Toán
SKKN thuộc năm học 2010 -2011
1
- PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó , thường gặp trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng.
Cùng với định nghĩa đạo hàm, các kết quả trong việc khảo sát sự biến
thiên của hàm số được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán toán học và
nhiều bài toán trong các nghành khoa học khác. Do đó việc hướng dẫn học
sinh sử dụng đạo hàm để chứng minh bất dẳng thức là một điều cần thiết,
giúp học sinh hiểu sâu sắc, chắc chắn những kiến thức về đạo hàm; đồng
thời giúp các em không chỉ giải được những bài toán có sẵn một lược đồ giải
chung, mà còn giải được nhiều bài toán đòi hỏi nhiều đến kỹ năng tư duy,
tổng hợp các kiến thức rút ra từ các nội dung khác nhau. Hơn nữa một thực
tế là rất nhiều học sinh chưa thấy hết được ứng dụng của đạo hàm trong các
bài toán về phương trình, bất phương trình ,hệ phương trình và đặc biệt là
bài toán chứng minh bất đẳng thức. Việc sử dụng việc khảo sát sự biến thiên
của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức tạo nên sự phong phú về
thể loại và phương pháp giải toán.
PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN
1.Thực trạng vấn đề :
Bài toán chứng minh bất đẳng thức khá đa dạng phong phú và có thể nói là
khó đối với học sinh phổ thông . Rất nhiều trường hợp việc chứng minh bất
đẳng thức gặp không ít khó khăn , thậm chí không tìm ra được lời giải đúng
bởi một nhẽ là do học sinh chưa được trang bị tốt các kiến thức, phương
pháp ,kỹ năng giải các bài toán thuộc thể loại này.
2.Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài được sử dụng phương pháp phân tích , tổng hợp, so sánh.
3.Đối tượng:
Ôn thi học sinh giỏi và học sinh thi vào các trường Đại học , Cao đẳng.
4.Cách thức thực hiện:
Để thực hiện đề tài này ,tôi phân thành 2 dạng bài tập tương ứng với các
dạng bất đẳng thức chỉ chứa một biến và bất đẳng thức có chứa nhiều biến .
5.Nội dung:
A-CƠ SỞ LÝ THUYẾT :
Trong nhiều bất đẳng thức chứa biến có thể chọn một hàm số đại diện để
khảo sát sự biến thiên, qua đó tìm được miền giá trị của hàm số đại diện , từ
đó suy ra điều cần chứng minh. Tuy nhiên việc chọn hàm số đại diện cần kết
hợp các kiến thức về đạo hàm và vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản
khác về bất đẳng thức .
2
- B- MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN :
Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều trường hợp đã
được giải quyết rất ngắn gọn, lời giải nhẹ nhàng, trong sáng và trong nhiều
trường hợp có thể nói là độc đáo, tạo cho học sinh hứng thú, tự tin hơn trong
học tập .Giúp phát triển óc tư duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh .
Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong
sách giáo khoa , sách bài tập và trong các đề thi học sinh giỏi , các đề thi
tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng . các bài tập được chọn
hướng vào yêu cầu cơ bản và bài tập có nhiều kiến thức cần khai thác , qua
đó khắc sâu , hệ thống và nâng cao các kiến thức cơ bản về ứng dụng của
đạo hàm cũng như bất đẳng thức .
DẠNG 1: Bất đẳng thức có chứa một biến
* Phương pháp : Chọn luôn biến đó làm biến của hàm số cần khảo sát
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc đoạn 0;1 ta luôn có :
x x2
1 x e 1 x
2
(Trích đề tuyển sinh trường Đại học Kiến trúc năm 2000)
Bài giải:
x x2 (1) x (2)
Ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức e x 1 0 , x 1 e 0
2
x2
Xét hàm số f ( x) x 1 e x với x thuộc đoạn 0;1
2
f’(x) =x-1+e , f’’(x) =1-e-x
-x
* Với x thuộc đoạn 0;1 thì e x e0 0 f ''( x) 0, x 0;1
Suy ra f’(x) đồng biến trên đoạn 0;1
Do đó với x thuộc đoạn 0;1 thì:
f’(x) f’(0) x 1 e x 0 e x x 1
Do đó (1) được chứng minh .
* Với x thuộc đoạn 0;1 thì f’(x) f’(0), nên f(x) đồng biến trên đoạn
0;1 .
Suy ra: với x thuộc đoạn 0;1 thì f(x) f(0)
Do đó (2) được chứng minh.
3
- Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có :
5 1
x 5 1 x
16
Bài giải:
5 1
Bất đẳng thức đã cho tương đương với : x 5 1 x 0
16
1 5
Xét hàm số f ( x ) x 5 1 x trên
16
Ta có f’(x) = 5x4-5(1-x)4 = 5[x2+(1-x)2](2x-1)
f’’(x) = 20[x3+(1-x)3]
1 1 1
f’(x) = 0 x f '' 0
2 2 16
1 1
Do vậy hàm số f(x) đạt cực tiểu duy nhất tại x , f CT f 0
2 2
1
Vậy f(x) 0 với mọi x thuộc ,đẳng thức xảy ra khi x=
2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a ta luôn có:
2
3a 4 34a8 2
(Trích đề tuyển sinh trường Đại học Quy Nhơn năm 1997)
Bài giải:
2
a 4 4a8
Bất đẳng thức đã cho tương đương với : 3 3 20
2
Xét hàm số f (a) 3a 4 34a8 2 trên
2
a 4 4a8
Ta có f '(a) 2a.3 .ln3 4.3 .ln3
f '(a ) 0 a 2
2 a2 4 2 4a8
Lại có f ''(a) 4a .3 .ln 3 16.3 .ln2 3 0
Suy ra f’(a) là hàm số đồng biến trên ,nên f’(a)>0 khi a>-2 và f’(a)< 0 khi
a< -2
Ta có bảng biến thiên:
a -2
f’(a) - 0 +
f(a) 0
4
- Từ bảng biến thiên suy ra f (a ) 0, a , đẳng thức xảy ra a=-2
Bài tập tương tự :
1.Cho tam giác ABC có 0 A B C . Chứng minh rằng :
2
2cos3C 4cos 2C 1
2
cosC
2.Chứng minh rằng nếu x là số thực dương thì với mọi n nguyên dương ,
x x2 x3 xn
ta đều có : e 1 x ...
2! 3! n!
( Trích đề 101- Bộ đề tuyển sinh )
3.Chứng minh rằng với mọi x thuộc nửa khoảng 0; ta luôn có:
2
x3
tanx x
6
áp dụng: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
4. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn: a 6, b 8, c 3 .
Chứng minh rằng với mọi x 1ta luôn có : x 4 ax 2 bx c
( Đề 15 – Bộ đề tuyển sinh)
DẠNG 2: Bất dẳng thức có chứa nhiều biến
* Phương pháp :
- Cách 1: Quy về bất đẳng thức có ít biến hơn nhờ việc đổi biến, đánh
giá, chọn hàm số đại diện, …
- Cách 2: Chọn một biến là biến của hàm số và các biến còn lại là tham
số .
Chú ý : Sau khi tìm được giá trị của biến để hàm số đạt cực trị cần thử lại
xem đẳng thức trong bất đẳng thức cần chứng minh có
xảy tại đúng giá trị đó không và giá trị đó có thoả mãn các điều kiện của giả
thiết không.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với a,b là hai số không âm bất kỳ ta luôn có
3a 3 17b 3 18ab 2
Bài giải:
5
- Cách 1: (Quy về BĐT có một biến )
Ta xét hai trường hợp :
+ Nếu b=0 : BĐT trở thành a 3 0 , BĐT đúng với mọi a không âm
+ Nếu b>0: Đặt a=tb (với t 0)
Ta được 3t 3b 3 18tb3 17b3 0 3t 3 18t 17 0
Xét hàm số f(t) = 3t3-18t+17, t D 0;
f '(t ) 9t 2 18, f '(t ) 0 t 2
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên D:
t 0 2
f’(t) - 0 +
17
f(t) 17-12 2
Suy ra f(t) > 0 với mọi thuộc D
Vậy: BĐT được chứng minh , đẳng thức xảy ra khi a=b=0.
Nhận xét: Trong BĐT đã cho thì biểu thức tham gia bài toán là biểu thức
đẳng cấp , nên gợi cho ta cách đặt a=tb, để đưa BĐT đã cho về BĐTchỉ
chứa một biến và khi đó việc chọn hàm số để khảo sát là dễ dàng .
Cách 2: ( Chọn một biến là biến số của hàm số cần khảo sát , biến còn lại
xem là tham số)
Xét hàm số f(a) =3a3-18b2a + 17b3 ,với a thuộc D= 0; và b là tham số
không âm.
f’(a) = 9a2 -18b2, f’(a) = 0 a b 2
+ Nếu b=0 , ta có bảng biến thiên của f(a) trên D :
a 0
f’(a) 0 +
f(a) 0
Suy ra: f(a) 0 , với mọi a thuộc D
6
- + Nếu b > 0 , Ta có bảng biến thiên của f(a) trên D:
a 0 b 2
f’(a) 0 - 0 +
17b3
f(a) b3 (17 12 2)
Suy ra f(a)>0 với mọi b > 0
Cả hai trường hợp ta được f(a) 0 với mọi a thuộc D .Hay
3a 3 17b3 18ab 2 0 với mọi a,b không âm , đẳng thức xảy ra khi a=b=0
Nhận xét : Bằng cách giải tương tự, khi chọn hàm số với b là biến số và a
là tham số để khảo sát sự biến thiên ta cũng chứng minh được BĐT đã cho.
Ví dụ 2 :
Cho hai số khác 0 thoả mãn điều kiện (a+b)ab = a2+b2 – ab. Chứng minh
1 1
rằng: 16
a 3 b3
Bài giải:
1 1 a b a b ab
2 2
Cách 1 : Đặt T 3 3
a b a 3b3
Đặt S = a+b, P = ab với điều kiện S 2 4 P (1). Khi đó theo giả thiết bài toán
2 S2
ta có SP=S -3P , dễ thấy S 0, S 3 , do đó P và điều kiện (1) trở
S 3
2 4S 2 S 1 S 1
thành S 0
S 3 S 3 S 3
S 2 6S 9
Ta biểu diễn T theo S : T .
S2
S 2 6S 9
Xét hàm số f ( S ) , S D ; 3 1;
S2
6( S 3)
f '( S )
S3
Bảng biến thiên của f(S) trên D
S -3 1
7
- f’(S) - -
1 16
f(S) 0 1
1
Từ đó suy ra: T 16 , Đẳng thức xảy ra khi a=b= .
2
Cách 2 :
1 1 a b a b ab a b 1 1
2 2 2 2
Đặt T 3 3
a b a 3b3 ab a b
Đặt a=tb (t 0) , từ giả thiết suy ra (t+1)tb3=(t2-t+1)b2
t2 t 1 t2 t 1
b ,a
t (t 1) t 1
2 2 2
1 1 t 2t 1
Do đó T 2
a b t t 1
t 2 2t 1 3t 2 3
Xét hàm số f (t ) 2 , f '(t ) 2
t t 1 t 2 t 1
Bảng biến thiên của f(t):
t -1 1
f’(t) - 0 + 0 -
1 4
f(t) 0 1
Suy ra f(t) 4
1
Do đó: T 16 , Đẳng thức xảy ra khi a=b= .
2
Ví dụ 3 :
Chứng minh rằng ,nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3
thì : 3a2+3b2+3c2+4abc 13.
( Trích đề tuyển sinh trường Đại học Vinh năm 2001)
Bài giải : Đặt T= 3a +3b2+3c2+4abc -13
2
Cách 1 : (Đánh giá để ước lượng bất đẳng thức về bất đẳng thức có chứa
một biến).
Do vai trò của a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b c ,suy
ra a+b 2c (1)
Lại có a+b+c=3 và a+b>c (2)
8
- 3
Từ (1) ,(2) suy ra 3-c 2cvà 3-c>c 1 c<
2
Ta biến đổi T = 3(a2+b2)+3c2+4abc -13
= 3[(a+b)2-2ab] +3c2+4abc -13
= 3(3-c)2+3c2-2ab(3-2c)-13
2
ab
Do 3-2c>0 và từ bất đẳng thức ab suy ra :
2
2 1 2 3 1
T 3 3 c c 2 a b 3 2c -9 = c3 c 2
2 2 2
3 1 3
Đặt f(x)= x 3 x 2 với 1 x< .
2 2 2
3 3
f’(x)=3x2-3x=3x(x-1) 0 với 1 x< suy ra f(x) đồng biến trên 1;
2 2
Vậy: T f(x) f(1) = 0 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Nhận xét: Nhờ sự đánh giá ta đã ước lượng được một bất đẳng thức chỉ
chứa một biến.
Cách 2: (Khảo sát lần lượt từng biến)
Do vai trò của a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b c
,suy ra: a+b 2c (1)
Lại có a+b+c=3 và a+b>c (2)
3
Từ (1) ,(2) suy ra 3-c 2c và 3-c>c 1 c<
2
Với mỗi giá trị b đã chọn , thay b=3-a-c vào T ta được :
T=(6-4c)a2 -2(2c2-9c+9)a +6c2-18c+16=f(a)
Vì f(a) là hàm số bậc hai đối với a có hệ số của a2 là (6-4c)>0 với mọi
3 3 c
c 1; Suy ra f(a) nhỏ nhất khi a=
2 2
3c 3 1
Do đó T f c 3 c 2 =g(c)
2 2 2
3
Lại có g’(c)=3c2-3c =3c(c-1) 0 với mọi c 1;
2
Vậy: T g(c) g(1)=0
Nhận xét :
9
- - Nếu ba số thực dương có tổng bằng a thì ít nhất một trong các số đó
a a 2a
thuộc nửa khoảng 0; , một số thuộc đoạn ; .
3 3 3
- Khi gặp bất đẳng thức T=T(a;b;c) 0 với a,b,c thoả mãn một điều kiện
nào đó , trong nhiều trường hợp ta có thể làm như sau :
+ Tính b theo a và c
+ Viết T = f(a) , coi c là tham số .
+ Chứng minh f(a) g(c).
+ Chứng minh g(c) 0 , suy ra T 0
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Chứng minh rằng :
sinA+sinB + sinC + tanA+ tanB + tanC >2
Bài giải :
BĐT đã cho tương đương với BĐT :
(sinA+ tanA -2A)+ (sinB + tanB -2B)+( sinC+ tanC-2C) > 0
(1)
(vì A+B+C= )
Xét hàm số f(x)= sinx+tanx -2x trên D= 0; ,
2
(cosx 1)(cos 2 x cosx 1
f '( x )
cos 2 x
cosx 1 0
Do x D 2 f '( x ) 0
cos x cosx 1 sin 2 x cosx 0
Suy ra: f(x) đồng biến trên D f(x)> f(0) =0
Với x=A , x=B,x=C ta có : f(A)>0, f(B)>0, f(C)>0
Cộng ba BĐT trên ta có (1)
Vậy BĐT được chứng minh
Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã chọn hàm số đại diện là f(x)= sinx+tanx
-2x trên D= 0; .
2
Ví dụ 5 :
10
- Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a2+b2+c2 = 1 Chứng minh
rằng:
a b c 3 3
2 2
b2 c2 c a 2 a b2 2
( Trích đề 26- Bộ đề Tuyển sinh).
Bài giải :
BĐT (1) đã cho tương đương với BĐT:
a b c 3 3 a2 b c 3 3
1 a 2 1 b 2 1 c2 2 a 1 a 2 b 1 b2 c 1 c2 2
1
Xét hàm số f x trên (0;1)
x 1 x 2
3x2 1 3
f ' x , f ' x 0 x (do x thuộc khoảng (0;1))
2 2
x 2 1 x 3
Bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (0;1).
x 3
0 1
3
f’(x) - 0 +
f(x) 3 3
2
3 3 3 3 3
Suy ra min f x khi x f x , x 0;1 .
x 0;1 2 3 2
3 3 a2 3 3a 2
Với x=a f a (1).
2 a 1 a 2 2
b2 3 3b2 c2 3 3c2
Tương tự với x=b,x=c ta cũng có 2 , 3
b 1 b2 2 c 1 c2 2
11
- Cộng (1) , (2),(3) các vế tương ứng và chú ý a2+b2+c2=1,ta được điều cần
3
chứng minh , đẳng thức xảy ra khi a=b=c=
3
Bài tập tương tự:
1-Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a b c ab bc ca
2-Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a>c, b>c, c>0 . Chứng minh rằng:
c(a c) c(b c) ab
( Trích đề thi Đại học khối A năm 1980).
3-Cho tam giác ABC không tù . Chứng minh rằng :
1 1
cos3 A cos3B cos3C cos 2 A cos 2 B cos 2C
3 2
5
cosA cosB cosC
4
2 2 2
4- Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng
:
1 1 1 3 15
a b c
a b c 2 2
PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Kết quả nghiên cứu
để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có
chất lượng tương đương là học sinh lớp 12B và lớp 12I. Trong đó lớp
12B chưa được hướng dẫn sử dụng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm
số để chứng minh bất đẳng thức . Với hình thức kiểm tra là làm bài tự luận
với thời gian 60 phút với đề bài như sau:
ĐỀ KIỂM TRA 60’
Câu 1: ( 5 điểm)
a. Chứng ming rằng nếu x là số thực dương thì ta luôn có : ln x x
3
b. Chứng minh rằng: 2cosx cotx 3 x 0, x 0;
2 2
Câu 2: ( 3 điểm)
Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng : 3a 3 7b3 9ab 2
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn x+y+z=3 . Chứng minh rằng:
12
- x 2 y 2 z 2 xyz 4
Kết quả thu được như sau:
Điểm < 5 Điểm 5
- độc lập, sáng tạo và tiềm năng vận dụng tri thức vào những tình huống mới
.
Vì nhiều lí do khác nhau , nên trong bài viết này, tôi cũng chỉ mới nêu
ra cách giải quyết một số dạng bất đẳng thức nhờ sử dụng công cụ đạo hàm.
Rất mong được sự đóng góp, cùng trao đổi của các bạn đồng nghiệp để có
thể khai thác tốt nhất các bài toán thuộc thể loại này .
Tôi xin chân thành cám ơn!
Nga Sơn, ngày 28 tháng 4 năm 2011
Người thực hiện
Nguyễn Văn Kế
14
nguon tai.lieu . vn
