Xem mẫu
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Ở LỚP 9
- A. Đặt Vấn đề
I. Lời mở đầu:
Môn toán là môn học có vị trí rất quan trọng trong trường phổ thông, là
công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác. Học toán không chỉ
giúp các em phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi, vận dụng những
hiểu biết của mình vào thực tế mà môn Toán còn có khẳ năng phát triển phẩm
chất đạo đức cho học sinh. Bởi vì khi học toán học sinh phải hình thành và dần
hoàn thiện các đức tính như: cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý trí vượt khó,
yêu thích, trung thực, tự tin, khiêm tốn... Vì vậy trong quá trình dạy học toán đòi
hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp giảng dạy phù hợp với từng bài,
từng phần nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh, từ đó giúp các em
yêu thích môn học hơn. Chính vì thế mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho
các em trong các buổi học bồi dưỡng là rất cần thiết.
Trong chương trình toán THCS không có bài dạy lý thuyết về tìm giá trị
lớn nhất ( GTLN)và giá trị nhỏ nhất ( GTNN), nhưng trong hệ thống bài tập lại
có đề cập đến. Loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dưỡng, nâng cao,
hay trog các đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT.v.v … Với mục đích nhằm nâng
cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến
thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng:
Qua thực tế giảng dạy ở lớp 9 , và các lớp khác tôi thấy đa số các em còn
bỡ ngỡ với dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
đại số. Một số ít em làm được các bài tập dạng này ở sách giáo khoa và sách bài
tập nhưng các bài tập này ở mức độ còn đơn giản và số lượng rất ít. Khi gặp các
dạng phức tạp hơn thì hầu như các em không định hướng được cách làm.
Theo dõi học sinh ở lớp học bồi dưỡng khối 9, và khối 8 năm 2005- 2006-
2007 trường THCS Yên Phú, Yên Định, Thanh Hóa tôi thấy kết quả như sau:
+ 30 % học sinh có thể làm được bài tập dạng tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất ở trong sách giáo khoa và sách bài tập.
+ 8 % học sinh có thể làm được bài tập dạng này ở mức độ cao hơn
nhưng chỉ ở dạng tam thức bậc hai.
- 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:
Từ tình hình thực tế nêu trên và qua kết quả điều tra tôi thấy số lượng học
sinh làm được dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức đại số còn rất ít và khả năng sáng tạo còn yếu. Đa số các em ngại khi gặp
dạng toán này. Vì vậy tôi đã đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số để giúp các em tự tin và có thể làm tốt
dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó kích thích học sinh thêm
yêu thích say mê môn toán, không ngừng tìm tòi, khám phá để thấy được “cái
hay”, “ cái đẹp” của môn toán.
B. NộI DUNG
I. các giải pháp thực hiện
Từ thực trạng nêu trên, để giúp học sinh biết cách làm các bài tập về tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tôi đã tiến hành đọc sách, tham khảo tài liệu
để đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức đại số.
Để chuẩn bị cho việc “ hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức đại số” tôi đã tiến hành kiểm tra lại các kiến thức lý
thuyết đã học có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử; các hằng đẳng
thức đáng nhớ; giá trị tuyệt đối; lũy thừa bậc chẵn của một số; chia đa thức cho
đa thức…
Từ đó giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào từng dạng bài tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất .
Trước khi hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức đại số tôi phải nghiên cứu định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất. Từ đó giúp học sinh biết được và nắm vững:
Muốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta phải chỉ ra:
A £ m với mọi giá trị của biến (với m là hằng số) và tồn tại giá trị của
biến để A = m. Khi đó m là giá trị lớn nhất của biểu thức A.
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B ta phải chỉ ra: B £ n với mọi
giá trị của biến (với n là hằng số) và tồn tại giá trị của biến để B = n. Khi đó n là
giá trị nhỏ nhất của biểu thức B.
Thông qua các ví dụ, hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, giúp học sinh có thể nhận dạng
- và vận dụng phương pháp một cách phù hợp với từng dạng bài tập về tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
II. các biện pháp để tổ chức thực hiện
1. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức đại số:
1.1. Phương pháp dựa vàohằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình
phương của một hiệu:
Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = g ( x) 2 n + a
( với n Î N* ; a là hằng số ).
Khi đó ta có y ³ a. Suy ra min y = a Û g(x) = 0.
Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = - [ h( x)] + b ( với n
2n
*
Î N ; b là hằng số ).
Khi đó ta có y £ b. Suy ra Max y = b Û h(x) = 0.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A1= x2 – 3x + 1.
GV hướng dẫn học sinh biến đổi:
2
A1= æ x - ö - .
3 5
ç ÷
è 2ø 4
2
Vì æ x - ö ³ 0 với "x nên A1 ³ - 5 với "x
3
ç ÷
è 2ø 4
5 3 3
Vậy min A1 = - Û x- =0Û x = .
4 2 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A2= -4x2 +5x -1.
GV hướng dẫn học sinh biến đổi:
A2 = - (4x2 -5x +1)
é 5 25 21 ù
= - ê( 2 x ) - 2.2 x. + - ú
2
ë 2 4 4û
2
æ 5 ö 21
= - ç 2x - ÷ +
è 2ø 4
2
Vì - æ 2 x - ö £ 0 với "x nên A2 £ 21 với "x
5
ç ÷
è 2 ø 4
- 21 5 5
Vậy Max A2 = Û 2x - = 0 Û x = .
4 2 4
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A3= -5x2 +4xy –y2 + 2x + 1
GV hướng dẫn học sinh biến đổi:
A3= - ( 4x2 – 4xy + y2) – ( x2 – 2x + 1) +2
= -(2x – y)2- (x – 1)2 + 2
Vì -(2x – y)2 £ 0 với "x, y
- (x – 1)2 £ 0 với "x
Nên A3 £ 2 với "x, y
ì2 x - y = 0 ìx = 1
Vậy Max A3 =2 Û í Ûí
îx -1 = 0 îy = 2
1.2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta có thể sử dụng các bất đẳng thức
đã biết: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức BunhiaCôpxki, bất đẳng thức về giá
trị tuyệt đối.
* Bất đẳng thức Côsi: ( mở rộng cho nhiều số)
Nếu a1, a2 , a3 , …. an là các số không âm ta có:
(a1 + a 2 + a 3 +....+ a 2 ).(1 + a 2 + a 3 +....+ a 2 )
2
2
2
n
2
2
2
n
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1= a2 = a3 = …. = an
* Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:
Nếu a1, a2 , a3 , …. an và b1, b2 , b3 , …. bn là 2n số tùy ý ta có:
(a1 b1 + a2 b2 + a3b3+…. + an bn )2 £
(a1 + a 2 + a 3 + ... + a 2 ).(b1 + b 2 + b3 + ... + b 2 ).
2 2 2
n
2
2
2
n
a1 a2 a3 a
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi = = = ... = n
b1 b2 b3 bn
* Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
a + b ³ a+b.
| a | + | b |³| a - b |³| a | - | b |
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b ³ 0.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
- x-1 y-2
C1= + .
x y
GV hướng dẫn:
Điều kiện: x ³ 1; y ³ 2.
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 1 và x – 1 ta có:
1+x-1 x x-1 1
³ 1(x - 1) Hay: ³ x-1 Þ £ ( vì x > 0 ).
2 2 x 2
Tương tự:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 2 và y – 2 ta có:
y 2+y-2 y-2 1 2
= ³ 2(y - 2) Hay: £ =
2 2 y 2 2 4
1 2 2+ 2
Vậy: C1 £ + hay C1 £
2 4 4
2+ 2 ìx - 1 = 1 ìx = 2
Þ Max C1 = Û í Û í
4 îy - 2 = y îy = 4
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C2 = x + y biết: x + 2 y = 10.
GV hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức BunhiaCôpxki cho hai bộ số (1; 2) và ( x; y ) ta
có: (1 x + 2 y) 2 £ (12 + 22 ). é(
ë x )2 + ( y )2 ù
û
hay: 102 £ 5(x + y) Þ x + y ³ 20.
ì x y
ï = ìx = 4
Vậy: min C2 = 20 Û í 1 2 Þí
ï x + 2 y = 10 î y = 16
î
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C3 = (x + 5) 2 + (x - 3) 2 .
GV hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức a + b ³ a + b .
- Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b ³ 0.
Biến đổi: C3 = x + 5 + x - 3 = x + 5 + 3 - x ³ x + 5 + 3 + x
Hay: C3 ³ 8 .
Vậy: min C3 = 8 Û ( x + 5 ) ( 3 - x ) ³ 0
Û -5 £ x £ 3 .
1.3. Phương pháp đổi biến số:
Trong quá trình tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có những bài ta cần
đổi biến số để có cách làm đơn giản, thuận tiện hơn.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3x 2 - 4 x + 6
D1= .
x2 - 2x + 1
GV hướng dẫn:
Nhận thấy không thể biến đổi D1 về dạng ở phương pháp b) được nên
sẽ nghĩ đến đặt ẩn phụ
Đặt y = x - 1 Þ x = y + 1
3(y + 1) 2 - 4( y + 1) + 6 3 y 2 + 2 y + 5 2 5
Vậy D1= = .= 3+ + 2
y2 y2 y y
2
æ 1 ö 14 14
Lại đặt: a = thì D1 = 5a2 + 2a + 3 = 5 ç a + ÷ + ³
1
y è 5ø 5 5
14 1
min D1 = Û a = - Û y = -5 Û x - 1 = -5 Û x = -4
5 5
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
D2 = x( x + 1)( x - 2)( x - 3) .
GV hướng dẫn:
Biến đổi D2 = [ x( x - 2)].[( x + 1)( x - 3)]
(
= x - 2x
2
)( x 2
- 2 x - 3)
Đặt x2- 2x = t ( lưu ý học sinh điều kiện t ³ -1)
D2 = t(t -3) = t2 -3t
2
= æt - ö - ³ -
3 9 9
ç ÷
è 2ø 4 4
- 9 3
min D2 = - Û t = > -1
4 2
3 2 ± 10
Û x2 - 2x = Û x1,2 =
2 2
1.4. Phương pháp miền giá trị:
Để tìm miền giá trị, ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc
hai là: D ³ 0 ( hoặc . D'³ 0 )
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P1= 5x2 - 4 x + 1 .
GV hướng dẫn:
Gọi a là một giá trị của P1. Biểu thức P1nhận giá trị a khi và chỉ khi
phương trình 5x2 - 4x +1 = a có nghiệm.
Û 5 x 2 - 4 x + 1 - a = 0 có nghiệm
1
D = 5.a - 1 ³ 0 Û a ³
5
.
1 2
Vậy min P1= Û phương trình có nghiệm kép x = .
5 5
Giáo viên lưu ý học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về lũy thừa bậc
chẵn để tìm giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
4x + 3
P2=
x2 + 1 .
GV hướng dẫn:
Gọi a là một giá trị của P2. Biểu thức P2 nhận giá trị a khi và chỉ khi
4x + 3
phương trình = a có nghiệm.
x2 + 1
2
Û ax - 4x + a - 3 = 0 (1) có nghiệm.
3
Nếu a = 0 Û x = -
4
Nếu a ¹ 0 phương trình (1) có nghiệm ó D ³ 0
- Û 4 - a 2 + 3a ³ 0
Û (a + 1)(a - 4) £ 0
Û -1 £ a £ 4.
1
Vậy: Max P2 = 4 Û x =
2
Min P2 = -1 Û x = -2
I.5 phương pháp đồ thị
GV: Ta có thể dựa vào đồ thị để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một số
biểu thức
ví dụ 1 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = |x+1| + |x-2|
é- 2 x + 1 víi x < -1
Đặt y = |x+1| + |x-2| => y ê3 Víi - 1 £ x £ 2
ê
ê2 x - 1 Víi x > 2
ë
Vẽ đồ thị ta được :
Từ đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất của Y là 3 =>
Giá trị nhỏ nhất của A là 3 Víi -1£ x £ 2
Phương pháp này rất trực quan và dể hiểu . đồng thới nó sẽ góp phần định
hướng cho học sinh học đồ thì và hàm số ở cấp 3 sau này.
2. Một vài chú ý khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
đại số:
2.1. Nhiều khi để tìm cực trị của một biểu thức ta phải tìm cực trị tương
đương của một biểu thức khác.
Chẳng hạn: -A lớn nhất Û A nhỏ nhất.
1
nhỏ nhất Û B lớn nhất với B > 0.
B
C lớn nhất Û C2 lớn nhất với C > 0.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
x4 + 1
A= 2
( x + 1) 2
Hướng dẫn: Nhận thấy: A > 0
- 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A
1
Ta biến đổi biểu thức .
A
1 ( x + 1)2 x4 + 2 x2 + 1 2x2
= 4 = = 1+ 4 ³1
A x +1 x4 + 1 x +1
Þ A £1
Vậy Max A = 1 Û x = 0.
1 ( x + 1)2 x4 + 2 x 2 + 1 2( x4 + 1) - ( x4 - 2 x2 + 1)
Ta lại có: = 4 = =
A x +1 x4 + 1 x4 + 1
( x 2 - 1)2
=2- £ 2 . Suy ra: A ³ 1 .
x +1
4
2
min A =
1
Û x 2 - 1 = 0 Û x = ±1
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
5 7
B= 3x - 5 + 7 - 3x Đk: £x£
3 3
Hướng dẫn: Ta tìm giá trị Max của B2. Ta có:
B 2 = 2 + 2 (3 x - 5)(7 - 3 x )
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số 3x – 5 và 7 – 3x ta có
(3 x - 5 ) + (7 - 3 x ) ³ 2 . (3 x - 5 )(7 - 3 x )
Hay: 2 ³ 2 (3 x - 5 )(7 - 3 x ) Þ B2 £ 4 Þ B £ 2 ( do B > 0).
Vậy Max B = 2 Û ( 3 x - 5 ) = ( 7 - 3 x ) Û x = 2
2.2. Khi sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
đôi khi ta phải biến đổi biểu thức đã cho rồi mới áp dụng BĐT
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x - 16
A= Đk: x ³ 16
2x
Hướng dẫn: Nhân và chia biểu thức dưới dấu căn với 4 rồi áp dụng bất
đẳng thức Cosi ta có:
- ( x - 16).4 1 æ ( x - 16) ö x
x - 16 = £ ç + 4÷ =
4 2è 4 ø 8
x - 16 x 1
£ : 2x =
2x 8 16
1 1 x-16
Hay: A £ Þ Max A = Û = 4 Û x = 32 .
16 16 4
Giáo viên lưu ý cho học sinh: “số 4 tìm được là do lấy căn bậc hai của
16”.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 x 4 + 16
A= Đk: x ¹ 0
x3
3 x 4 + 16 16 16
Hướng dẫn: Biến đổi A = 3
= 3x + 3 = x + x + x + 3
x x x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho bốn số ta có
16 16
A= x + x + x +³ 4 4 x. x. x. 3 = 8
x3 x
16
min A =8 Û x= 3 Þ x = 2
x
2.3. Nhiều khi để tìm cực trị của một biểu thức ta phải chia khoảng:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = x 2 (5 - x ) Đk: x ³ 0
Hướng dẫn:
Xét hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: 0£ x£5
x x
Nhận thấy: A = 4. . .(5 - x) . áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2 2
x x
+ + (5 - x)
2 2 x x 5 A
³ 3 . .(5 - x) Û ³ 3
3 2 2 3 4
3
æ5ö 500
Û A £ ç ÷ .4 Hay: A £
è 3ø 9
- Trường hợp 2: x>5
5 - x < 0 Û x 2 (5 - x) < 0
Hay : A < 0
ìx
500 ï = 5- x 10
Vậy: Max A = Û í2 Ûx=
9 ï0 £ x £ 5 3
î
2.4. Ta có thể áp dụng việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất vào
giải phương trình:
Ví dụ: Giải phương trình:
4 - x + x - 2 = x 2 - 6 x + 11 (1).
Hướng dẫn: Đk: 2 £ x £ 4
+ áp dụng bất đẳng thức BunhiaCôpxki ta có:
( )
2
4- x + x-2 £ (12 + 12 )(4 - x + x - 2) = 4
Û 4- x + x-2 £ 2 (Do 4 - x + x - 2 > 0)
+ x - 6 x + 11 = ( x - 3) + 2 ³ 2.
2 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm:
ì 4- x + x-2 = 2
ï ì
ï 4- x = x-2
Ûí 2 Ûí Û x = 3.
ï x - 6 x + 11 = 0
î ïx - 3 = 0
î
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3. Một vài sai sót của học sinh khi tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu
thức đại số:
3.1. Không chú ý đến dấu bằng sãy ra:
ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = (x+1)2 +(2x-3)2
Học sinh thường mắc sai lầm là :
Vì (x+1)2 ³ 0 và (2x-3)2 ³ 0 Error! Not a valid link. => A ³ 0
Sai vì không chú ý đến dấu bằng sãy ra của bài toán :
GV: phải lưu ý hai bất đẳng thức trên không sãy ra dấu băng tại một vị trí nên
phải biến đổi rồi dưa về hằng dẳng thức.
A = x2 + 2x +1 +4x2 -12x +9 = 5x2 -10x + 10= 5(x2 -2x +1)+5
= 5(x-1)2 +5 ³ 5 dấu = sãy ra tại x=1
3 . 2 Điều kiện dể áp dụng bất đẳng thức
- 2
Ví dụ khi cho biểu thức A = 2x + học sinhdễ đánh giá nhầm :
x
2 2
A ³ 4 vì : theo bất đẳng thức cosi ta có 2x + ³ 2 2 x. =4
x x
Học sinh sai lầm vì x có thể âm bài toán trên không có giá trị nhỏ nhất lớn nhất
C. Kết luận
1. Kết quả nghiên cứu:
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy ở
trường trung học cơ sở Yên Phú tôi thấy kết quả học tập của các em được nâng
lên rõ dệt. Các em thấy hứng thú hơn khi học môn toán đa số các em biết vận
dụng phương pháp vào giải toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Cụ thể:
Có 80% HS nắm được các phương pháp tìm tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất vào giải các bài tập cơ bản (như đưa vào lũy thừa bậc chẵn, miền giá trị,
áp dụng trực tiếp BĐT Cosi, BunhiaCôpxki ).
Có 35% học sinh có thể vận dụng linh hoạt các phương pháp vào những
bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất biết áp dụng vào giải phương
ttrình.
2. Kiến nghị, đề xuất:
Qua quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm và từ kết quả thu được
tôi thấy: mỗi giáo viên cần nắm được khả năng tiếp thu bài của từng đối tượng
học sinh để tìm ra phương pháp dạy phù hợp với từng dạng toán, từng đối tượng
học sinh. Muốn vậy mỗi giáo viên chúng ta phải luôn tự học, tự bồi dưỡng để
nâng cao trình độ của mình. Thường xuyên tìm tòi nghiên cứu các loại sách
tham khảo, học hỏi thêm ở các đồng nghiệp. Tự rút kinh nghiệm qua mỗi tiết
dạy trên lớp và qua các giờ thao giảng để bổ sung những hiểu biết cần thiết cho
việc giảng dạy.
Trên đây là một vài phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của một biểu thức đại số. Trong điều kiện thời gian công tác còn ít và năng lực
còn hạn chế, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo cùng
bạn bè đồng nghiệp để tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Yên Phú, ngày 06 tháng 03 năm 2007.
Người thực hiện:
Lê xuân thường
nguon tai.lieu . vn
